Bài viết đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian metric đầy đủ. Các kết quả này là mở rộng thực sự của một số kết quả trong các tài liệu
Trang 1TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Số 24 (49) - Tháng 01/2017
Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong khơng gian mêtric
About the existence of fixed point results for generalized Chatterjea-type Cyclic
weakly contractive mappings in metric spaces
PGS.TS Đinh Huy Hồng, Trường Đại học Vinh Dinh Huy Hoang, Assoc.Prof., Ph.D., Vinh University
ThS Đậu Hồng Quân, Trường Đại học Vinh Dau Hong Quan, Vinh University
Nguyễn Hồi Phương, Trường Đại học Vinh Nguyen Hoai Phuong, Vinh University
Tĩm tắt
Trong bài báo này chúng tơi đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong khơng gian metric đầy đủ Các kết quả này là mở rộng thực sự của một
số kết quả trong các tài liệu [1], [2], [4], [6]
Từ khĩa: điểm bất động, ánh xạ cyclic co yếu, khơng gian mêtric
Abstract
In this paper, we obtain fixed-point results for generalized Chatterjea-type cyclic weakly contractive mappings in complete metric spaces Our results extend and generalize well-known comparable results
in [1], [2], [4], [6]
Keywords: fixed point, cyclic weakly contractive maps, metric space
1 Mở đầu
Nguyên lý Banach về sự tồn tại duy
nhất điểm bất động của ánh xạ co trong
khơng gian mêtric đầy đủ là một trong
những kết quả quan trọng đầu tiên của lý
thuyết điểm bất động Nĩ cĩ nhiều ứng
dụng quan trọng trong tốn học và các
ngành kỹ thuật khác Do đĩ, việc mở rộng
nguyên lý Banach đã thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà tốn học Người ta đã
mở rộng nguyên lý Banach cho nhiều loại
ánh xạ và nhiều loại khơng gian Một trong
những hướng mở rộng đĩ là thay đổi các điều kiện co Năm 1972, Chatterjea [1] đã đưa ra định nghĩa sau
1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử ( , )X d
là khơng gian mêtric và f X: X Ánh
xạ f được gọi là co kiểu Chatterjea nếu
tồn tại 0;1
2
sao cho
d fx fy d x fy d y fx x y, X Trong [1], Chatterjea đã chứng minh được rằng, mọi ánh xạ co kiểu Chatterjea
Trang 2trong không gian mêtric đầy đủ có duy
nhất một điểm bất động Sau đó,
Choudhury [2] đưa ra khái niệm ánh xạ co
yếu kiểu Chatterjea như sau
1.2 Định nghĩa ([2]) Giả sử ( , )X d
là không gian mêtric và f X: X Ánh xạ
f được gọi là co yếu kiểu Chatterjea nếu
1
( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))
2
d fx fy d x fy d y fx d x fy d y fx
,
,
trong đó : [0, +)2 [0, +) là
hàm liên tục và ( , )u t 0 khi và chỉ khi
0
u t
Trong [2], Choudhury đã chứng minh
được rằng, mọi ánh xạ co yếu kiểu
Chatterjea trong không gian mêtric đầy đủ
có duy nhất một điểm bất động Vào năm
2003, Kirk và các cộng sự [5] đã đưa ra
khái niệm ánh xạ cyclic và nghiên cứu sự
tồn tại điểm bất động của nó trong không
gian mêtric
1.3 Định nghĩa ([5]) Giả sử A1 ,…,
A m là các tập con khác rỗng của không gian
mêtric (X, d) và f :
i A i A Ánh
xạ f được gọi là m-cyclic (nói gọn là
cyclic) nếu f A( )i A i1 với mọi i = 1,
2,…, m; trong đó A m+1 = A 1 Khi đó, tập
1
m
i
i
Y A được gọi là biểu diễn cyclic
của Y tương ứng với f
Sau đó, vào năm 2011 và 2012,
Karapinar và các cộng sự trong ([3], [4]) đã
giới thiệu các khái niệm ánh xạ cyclic -
co yếu, co yếu kiểu Chatterjea, co yếu kiểu
Chatterjea suy rộng và chứng minh một số
định lý về sự tồn tại điểm bất động của các
lớp ánh xạ này trong không gian mêtric
1.4 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X, d) là
không gian mêtric, A 1 ,…,A n là các tập con
khác rỗng của X Ánh xạ f :
i A i A được gọi là cyclic - co yếu nếu f là ánh xạ cyclic và tồn tại ánh xạ
: [0, +) [0, +) liên tục, tăng và
(t) = 0 khi và chỉ t = 0 sao cho
d fx fy d x y d x y , với mọi x
A i , yA i+1 , i=1,…,m, trong đó A m+1 = A 1
nửa liên tục dưới và ( , )t u 0 t u 0
và
tục dưới và ( , , , ) 0x y t u x y t u 0
1.5 Định nghĩa ([4]) Giả sử (X, d) là
không gian mêtric, A 1 , A 2 ,…, A m là các tập con khác rỗng của X và f :
i A i A 1) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu kiểu Chatterjea nếu f là cyclic và tồn tại
1
1
2
F
sao cho
d fx fy d x fy d y fx d x fy d y fx
với mọi xA y i, A i1,i1, 2, ,m, trong
đó A m1 A1
2) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng nếu f là cyclic và
4
F
sao cho
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,, )
d fx fy d x fx d y fy d x fy d y fx
( ( ,d x fx d x fy d y fy d y fx), ( , ), ( , ), ( , ))
với mọi xA y i, A i1,i1, 2, ,m, trong đó
1 1
m
A A Trong [3], [4] Karapinar cùng các cộng sự đã đưa ra các định lý khẳng định rằng, trong không gian mêtric đầy đủ các ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng có suy nhất một điểm bất động trong
1
m i
iA
Trang 3Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra
một định lý và một số hệ quả của nó về sự
tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic
co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong
không gian mêtric Các kết quả này là sự
mở rộng của một số kết quả chính trong
[1], [2], [4], [6]
2 Các kết quả chính
Ta kí hiệu
F x y u v x y u v
và
liminf ( , , , )n n n n (liminf n,liminf n,liminf n,liminf )}.
n x y u v n x n y n u n v n
2.1 Định lí Giả sử (X, d) là không
gian mêtric đầy đủ, A 1 , A 2 , , A n là các tập
con đóng khác rỗng của X và f :
i A i A là ánh xạ cyclic Khi đó,
nếu tồn tại F 3 và các số không âm
1, 2, , 5
1 2 2 3 5 1
, (1)
1 3 4 1
và
d fx fy d x y d x fx d x fy d y fx
5d y fy( , ) ( ( ,d x fx d x fy d y fy d y fx), ( , ), ( , ), ( , ))
với mọi x A y i, A i1,i1, 2, ,m ,
trong đó A m1A1 thì f có điểm bất động
duy nhất
1
m i i
z A
Chứng minh Lấy 0
1
m i i
x A và xác định dãy x n bởi x n fx n1, n 1, 2,
Nếu tồn tại n0 sao cho
0 0 1
n n
thì
0 0 1 0
fx x x Như vậy
0
n
x là điểm bất động của f Giả sử x n x n1 với mọi
n=0,1,… Khi đó, với mọi n=0,1… ắt tồn
tại i1, 2, ,m sao cho x nA i Do
đóx n1 fx nA i1 Từ đó, sử dụng điều
kiện (3), với mọi n = 1, 2,… ta có
( ,n n ) ( n , n) ( n , n) ( n , n)
d x x d fx fx d x x d x x
3d x( n 1,x n 1) 4d x x( ,n n) 5d x x( ,n n 1)
( (d x n ,x n), (d x n ,x n ), (d x x n, n ), 0)
( ) (d x n, )x n d x( n, )x n d x x( ,n n) d x x( ,n n)
( (d x n ,x n), (d x n ,x n ), (d x x n, n ), 0)
Do đó, với mọi n = 1, 2, … ta có
1
d x x d x x d x x
Điều này chứng tỏ d x x( ,n n1) là dãy các số không âm và giảm Do đó, tồn tại
1
Từ (4) và tính chất của ánh xạ suy ra
n d x x
Vì 1 2 2 3 5 1 nên từ bất đẳng thức này suy ra
1 1
( , liminf ( n , n ), , 0) 0.
Do đó từ tính chất của suy ra = 0, tức là
1
lim ( ,n n ) 0
Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mọi 0
tồn tại số tự nhiên n sao cho với
mọi r,q N mà r – q = 1(mod m),
,
rn q nthì d(x , x )r q Giả sử điều này không đúng Khi đó,tồn tại 0 sao
cho với mỗi n N tồn tại các số tự nhiên
r n , q n sao cho r n > q n ≥ n, r n – q n =1(mod m) và
r q
Lấy n > 2m Khi đó, với q n ≥ n ta có thể chọn r n sao cho r n là số tự nhiên nhỏ
nhất mà r n > q n , r n – q n = 1(mod m) và
r q
q r m
d x x Từ
đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có
d x x d x x d x x d x x
Cho n trong bất đẳng thức trên và sử dụng (5) ta có
q r
n d x x
Trang 4Ta có
Cho n ta được
1 1
q r
n d x x
Vì r n q n 1(mod )m nên tồn tại
1, 2, , m
n
r i
1
n
q i
n
q i
n
r i
n
r i
n
q i
( q n, r n) ( r n, q n) ( r n, q n) ( r n, r n)
3 ( , 1) 4 ( , 1) 5 ( , 1)
( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ))
1 ( , ) 2 ( , 1 ) 3 ( , ) ( , 1 )
d x r n x q n d x r n x r n d x r n x q n d x q n x q n
4 ( , ) ( , 1) 5 ( , 1)
d x x d x x d x x d x x
Cho n , sử dụng (5),(7),(8) và tính
chất của ta được
( ) (0, lim inf ( , ), 0, lim inf ( , ))
Vì 1 3 4 1 nên
(0, lim inf ( , ), 0, lim inf ( , )) 0.
n d x x n d x x
Do đó lim inf ( , 1) 0
n n
q r n
r q
n d x x
mâu thuẫn với 0
Nếu
n
q i
n
r i
x A thì chứng minh tương tự ta cũng có một điều mâu thuẫn
Bây giờ, ta chứng minh x n là dãy
Cauchy Giả sử 0 Khi đó, theo chứng
minh trên ắt tồn tại n1N* sao cho với
mọi rn1 và qn1 mà r q 1(mod )m thì
( , )
2
r q
(9) Mặt khác, từ (5) ta suy ra tồn tại
* 2
n N sao cho
1
2
n n
d x x
m
n n2 (10) Với mọi nn0maxn n1, 2, với mọi
p= 0,1, , giả sử p – k = 0(mod m ),
1, 2, , ,
(n p k 1) n 1(mod )m Do đó, theo (9) ta có
( , 1)
2
n n p k
(11)
Từ bất đẳng thức tam giác và (10) suy
ra
( n p k , n p) ( n p k , n p k ) ( n p k , n p k )
d x x d x x d x x
1
n p n p
m
Từ (11) và (12) suy ra rằng, với mọi
0
nn và mọi p=0,1, ta có
( ,n n p) ( ,n n p k ) ( n p k , n p)
d x x d x x d x x
Do đó x n là dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên tồn tại z X sao cho x n z Từ cách xây dựng dãy x n và f là ánh xạ cyclic suy ra rằng, với mỗi i = 1, 2, …, m, tồn tại dãy
con x i n của x n sao cho x i n A i Vì
i
A đóng trong X và
n
i
x z với mỗi i = 1, 2,…, m nên zA i với mỗi i = 1, 2, , m
Trang 5tức là
1
m
i i
z A
Bây giờ, ta chứng minh z là điểm bất
động của f Vì zA i với mỗi i=1,2,…, m
nên áp dụng điều kiện (3), với mọi
n=1,2,… ta có
( n , ) ( n, ) ( , )n ( ,n n )
3 ( , ) 4 ( , 1) 5 ( , )
d x n fz d z x n d z fz
( ( ,d x x n n ), ( ,d x n fz d z fz d z x), ( , ), ( , n ))
Vì x n z khi n nên từ bất đẳng
thức này suy ra
3 5
(z, ) ( ) ( , ) (0, ( , ), ( , ), 0).
Kết hợp với 3 5 1 suy ra
(0, ( ,d z fz d z fz), ( , ), 0) 0
= 0 tức là fz = z Vậy z là điểm bất động
của f
Giả sử u X cũng là điểm bất động
của f Khi đó, vì f là ánh xạ cyclic suy ra u
A i với mọi i = 1, 2, …, m Do đó, theo
điều kiện (3) ta có
d u z d fu fz d u z d u u d u z d z u d z z
(0, ( , ), 0, ( , ))d u z d u z
( ) ( , ) d u z (0, ( , ),0, ( , )) d u z d u z
Từ 1 3 4 1 và tính chất của
suy ra d(u, z) = 0, tức là u = z Vậy điểm
bất động của f là duy nhất
Sau đây là các hệ quả của Định lý 2.1
2.2 Hệ quả ([4] Theorem 2.9) Cho
(X, d) là không gian mêtric đầy đủ
1, 2, , m
A A A là các tập con đóng khác
rỗng của X, và
1
m i i
X A Giả sử rằng f: X X là ánh xạ cyclic co yếu kiểu
Chatterjea Khi đó, f có duy nhất một điểm
bất động
1
m i i
z A
Chứng minh Vì f là ánh xạ cyclic co
yếu kiểu Chatterjea nên tồn tại
1
1 , 0, 2
F
thỏa mãn Định nghĩa 1.5.1).Ta xác định
1 ( , , , )a b c d ( , )b d ( , ),a c ( , , , )a b c d 0,
1 : 0, 0,
F
liên tục dưới và ( , )x y 0 x y nên
ta có 1( , , , )a b c d 0 a b c d 0
Mặt khác, từ tính nửa liên tục dưới của suy ra
1
liminf ( n, n, n, n) liminf ( ,n n) ( n, n
liminf ( ,n n) lim inf ( n, n)
n b d n a c
(liminf n, liminf n) (liminf n, lim inf n)
1(lim inf , lim inf , lim inf , lim inf )
n a n b n c n d
Như vậy 1F3 Bây giờ, dễ dàng kiểm tra các điều kiện của Định lí 2.1 được thỏa mãn với
1 2 5 0, 3 4
và 1 được xác định như trên Do đó, từ Định lí 2.1 ta
có điều phải chứng minh
2.3 Hệ quả ([4] Theorem 2.9) Cho
(X,d) là không gian mêtric đầy đủ
1, 2, , m
A A A là các tập con đóng khác rỗng của X, và X
1
m i
i A
X X là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động
1
m i i
z A Chứng minh Vì F2F3 nên từ Định nghĩa 1.5 2) dễ dàng kiểm tra được các điều kiện của Định lý 1.2 được thỏa mản
4
và
2
F
Do đó kết quả cần chứng minh được suy ra từ Định lí 1.2
Trang 6Trong Định lý 2.1, lấy A1A2 A nX
ta nhận được hệ quả sau
2.4 Hệ quả Giả sử (X, d) là không
gian mêtric đầy đủ và f: X X là ánh xạ
cyclic sao cho tồn tại F3 và các số
không âm 1, 2, ,5 thỏa mãn
1
5
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ))
d fx fy d x y d x fx d x fy d y fx
d y fy d x fx d x fy d y fy d y fx
với mọi x, y X Khi đó, f có điểm bất
động duy nhất z X
2.5 Hệ quả Giả sử (X, d) là không
gian mêtric đầy đủ A A1, 2, A , là các tập m
con đóng, khác rỗng của X và f:
i A i A là ánh xạ cyclic Khi đó,
nếu tồn tại các hằng số không âm
1, 2, , 5
1 3 4 1
và
d fx fy d x y d x fx x fy
d y fx d y fy
với mọi x A y i, A i1,i1, 2, , ,m trong đó A m1 A1 thì f có điểm bất động duy nhất trong
1
m i
i A Chứng minh Từ (13) và (14) suy ra
tồn tại các hằng số không âm 1, 2, ,5 sao cho các điều kiện (1) và (2) trong Định
lý 2.1 được thỏa mản và i i với
4
( , , , ) (a b c d )a ( )b ( )d ( )c
( , , , )a b c d 0, Khi đó, liên tục và từ i i với mọi i = 1, 2, , 5
suy ra rằng, nếu (a, b, c, d) = 0 thì a =b =
c = d =0 Do đó, F3 Từ (15) suy ra
5
5
( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ))
x d x fy d y fy d y fx), ( , ), ( , ), ( , ))
với mọi xA y i, A i1,i1, 2, ,m
.Như vậy các điều kiện của Định lý 2.1
được thỏa mãn Do đó f có một điểm bất
động duy nhất trong
1
m i
i A
2.6 Hệ quả Giả sử (X, d) là không
gian mêtric đầy đủ, f: X X Khi đó, nếu
tồn tại các hằng số không âm 1, 2, ,5
sao cho
1 2 3 4 5 1
và
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
d fx fy d x y d x fx d x fy
d y fx d y fy
với mọi x, y X thì f có duy nhất một điểm bất động trong X
Chứng minh Theo điều kiện (17) ta có
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
d fy fx d x y d y fy d y fx d x fy d x fx
x y, X (18)
Từ (17) và (18) suy ra
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
d fx fy d x y d x fx d x fy
d y fx d y fy x y X
(19)
Trang 7Đặt 2 5 3 4
Khi đó, từ (16) suy ra 1 2 2 3 5 1
và 1 34 1
Mặt khác, nếu lấy A1A2 A m X
thì từ (19) suy ra f thỏa mãn (15) Như vậy
các điều kiện trong Hệ quả 2.5 được thỏa
mãn Do đó f có một điểm bất động duy
nhất trong X
2.7 Hệ quả ([6] Theorem 3.1) Giả sử
1, 2, , m
A A A là các tập con đóng khác
rỗng của không không gian mêtric đầy đủ
(X, d) và f: i m1A i m i1A i là ánh xạ
cặp (x, y)A i x A i1,i1, 2, , ,m A m1 A 1
một trong ba điều kiện sau được thỏa mãn
1) d fx fy( , )ad x y( , );
2) d fx fy( , )b d x fx ( , )d y fy( , ) ;
3) d fx fy( , )c d x fy ( , )d y fx( , )
thì f có duy nhất điểm bất động
1
m
i
i
z A
Chứng minh Hệ quả này được suy ra
trực tiếp từ Hệ quả 2.5 bằng việc lấy
1) 1a,2 3 4 5 0;
2) 10,2 5 b,3 4 0;
3) 12 3 0,3 4 c
Hệ quả 2.2 và Hệ quả 2.3 đã chỉ ra
rằng Định lý 2.1 là mở rộng của hai Định
lý 2.2 và 2.9 trong [4] Ví dụ sau đây cho
thấy Định lý 2.1 thực sự mạnh hơn hai
Định lý 2.2 và 2.9 trong [4]
2.8 Ví dụ
Giả sử X 1, 2,3, 4 , A1 1, 4 ,A2 2,3, 4
và f X: X là hàm được cho bởi
Trên X ta xét mêtric d được cho bởi
i) d x y( , ) 0 x y ii) d x y( , )d y x( , ),x y, X
iii) (1, 2) (1,3) (1, 4) 3
2
iv) d(2,3)d(2, 4)d(3, 4) 1.
Khi đó, (X, d) là không gian mêtric
đầy đủ, A A là các tập con đóng, khác 1, 2
rỗng của X và f là ánh xạ cyclic
Bây giờ, ta xác định hàm :
4
0, 0, bởi
0 ( , , , ) 1
3
a b c d
nếu a = b = c = d = 0 nếu xảy ra các
trường hợp còn lại
Ta thấy F3 Đặt 1 1; 2 3 4 5 0. Khi đó, ta
dễ dàng kiểm tra được hàm f thỏa mãn tất
cả các điều kiện của Định lý 2.1 Do đó
Định lý 2.1 áp dụng được cho f
Tiếp theo, ta chứng minh Định lý 2.2
và Định lý 2.9 trong [4] không áp dụng
được cho f
( 1, 2) (2, 4) 1 (1, 2) (2, 1)
Từ đó suy ra f không là ánh xạ cyclic
co yếu kiểu Chatterjea Do đó Định lý 2.2
trong [4] không áp dụng được cho f
Mặt khác
1 ( 1, 2) 1 (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2)
4
3 3 3 3 ( , , 0,1) 1 ( , , 0,1).
2 2 2 2
d f f d f d f d f d f
với mọi F2 Điều này chứng tỏ f
không là ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng Do đó Định lí 2.2
trong [4] không áp dụng được cho f
nếu a = b = c = d = 0
nếu xảy ra các trường hợp còn lại
Trang 8TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 S.K Chatterjea (1972), Fixed-point theorems
Acad Bulgare Sci, vol 25, pp 727-730
2 B.S Choudhury (2009), Unique fixed point
theorem for weak C - contractive mappings,
Kathmandu University Journal of Science,
Engineering and Technology, vol.4, no.1, pp 6-13
3 E Karapinar (2011), Fixed point theory for
cyclic weak - contraction, Applied
Mathematics Letters, vol 24, no.6, pp 822-825
4 E Karapinar and H.K Nashine (2012), Fixed
point theorem for cyclic Chatterjea type contraction, Journal of Applied Mathematics,
Volune 2012, Article ID 165698, 15 pages, doi: 10.1155/2012/165698
5 W.A.Kirk, P.S Srinivasan, and P.Veeramani
(2003), Fixed point for mappings satisfying
cyclic contractive conditions, Fixed point
Theory, vol 4, no 1, pp 79-89
6 M.Petric, Bzalatanov (2010), Fixed point
theorems of Kannan type for cyclical contractive conditions, Anniversary International Conference REMIA.
Ngày nhận bài: 22/12/2016 Biên tập xong: 15/01/2017 Duyệt đăng: 20/01/2017