Nghiên cứu Didactic về khái niệm hình và hình vẽ biểu diễn trong hình học

Bài viết này trình bày một số quan điểm của các nhà Didactic Toán trên hai đối tượng của Hình học là hình vẽ biểu diễn và hình, trong tiếng Anh là drawing và figure, hay trong tiếng Pháp là dessin và figure.

Nghiên cứu Didactic về khái niệm hình và

hình vẽ biểu diễn trong hình học

Didactic research on concepts of figure and drawing in geometry

TS Nguyễn Ái Quốc, Trường Đại học Sài Gòn

Nguyen Ai Quoc, Ph.D., Saigon University

Tóm tắt

Bài báo này trình bày một số quan điểm của các nhà Didactic Toán trên hai đối tượng của Hình học là

"hình vẽ biểu diễn" và "hình", trong tiếng Anh là "drawing" và "figure", hay trong tiếng Pháp là

"dessin" và "figure" Hơn nữa, bài báo cũng đề cập đến một số đối tượng khác liên quan đến hai đối tượng trên như "mô thức hình học" và "hình vẽ hình học"

Từ khóa: hình vẽ biểu diễn, hình, mô thức, hình hình học

Abstract

- the two objects in geometry which are called "dessin" and "figure" respectively in French Moreover, the paper refers to some miscellaneous objects in association with two previous objects called "paradigm" and

"geometric drawing"

Keywords: drawing, figure, paradigm, geometric drawing

1 Mô thức hình học

1.1 Mô thức của Kuhn

"Từ mô thức, theo phương diện tổng

thể, chỉ tập hợp các niềm tin, kỹ thuật và

các giá trị mà một nhóm nhà khoa học chia

sẽ với nhau Nó cố định cách thức đúng

đắn để đặt ra và thực hiện việc giải quyết

một vấn đề Theo nghĩa này, Kuhn cũng

nói đến ma trận môn học, cái mà cho phép

nhóm các lý thuyết, và tổng quát hơn, các

kiến thức của một nhóm làm việc trên cùng

một chủ đề

Theo nghĩa thứ hai, khá thú vị trong

quan điểm didactic Toán, mô thức nêu lên

đặc trưng các ví dụ có ý nghĩa cho sinh

phân biệt các thực thể cấu thành của mô thức tổng thể Điều này đề cập đến thực hành của các cá thể của trường môn học này." [11]

1.2 Mô thức hình học của Houdement – Kuzniak

"Tốt hơn hết là xem sự tiến triển của hình học là một chuỗi đứt gãy không thể hòa hợp được, chúng ta chấp nhận một tầm nhìn thống nhất của hình học nhờ vào ý tưởng tổng hợp biện chứng tiến hóa giữa các cực khác nhau…" [9, tr.11]

 "Hình học tự nhiên hay sự lẫn lộn giữa hình học và thực tế (GI):

Hình học tự nhiên là nguồn đánh giá

ba phương diện trực quan, kinh nghiệm,

suy diễn, nhưng suy diễn được thực hiện

chủ yếu trên các đối tượng vật chất nhờ

trực quan và thao tác các dụng cụ Điều

này sẽ đặt ra vấn đề về tính hợp thức…

Đây là một bằng chứng rõ ràng trên

giác quan, không phải trên suy diễn logic

và trừu tượng thuần túy Theo nghĩa này, ta

có thể nói đến một "hình học thực

nghiệm"…

Việc xây dựng và nhận thức là trái tim

của hình học tự nhiên kiểu thực nghiệm."

[10, tr.97-98]

 "Hình học tiên đề tự nhiên hay hình

học như một sơ đồ của thực tế (GII):

Trong tổng hợp tiên đề Eulide, các

phương diện "không chặt chẽ" và các yêu

cầu trực quan nhường chỗ cho suy diễn

logic và chứng minh nằm trong một hệ

thống tiên đề chính xác nhất có thể…

Hình học này không đòi hỏi như hình

học tự nhiên là một thực tế, nhưng nó khao

khát là một sơ đồ thực tế." [9, tr.12-13]

"Các tiên đề của nó tương ứng với một

mô hình không gian thực mang tính địa

phương." [10, tr.98]

 "Hình học tiên đề hình thức chủ

nghĩa hay sự độc lập của Hình học với thực

tế (GIII):

Lần này… dây chằng buộc hình học và

thực tế bị chặt đứt Các tiên đề không còn

được dựa trên tri giác và tính ưu việt của

suy luận logic là cần thiết." [9, tr.11-13]

Như vậy, trong GI, học sinh làm việc

trên các đối tượng vật chất nhờ vào nhận

thức và thao tác các dụng cụ Các đối

tượng vật chất này là các đối tượng hình vẽ

hình học trong trường hợp hình học phẳng

Trong GII, hình vẽ biểu diễn chỉ là một

biểu diễn của đối tượng hình học lý thuyết

và chúng ta làm việc trên chính các đối

tượng hình học lý thuyết này

Đối với Houdement và Kuzniak, đối tượng hình học của GII không có nghĩa trong lý thuyết vì nó là mô hình của một đối tượng thực Theo quan điểm này, rõ ràng là đối tượng thứ nhất là đối tượng thực, đối tượng lý thuyết của GII là một

mô hình của thực tế Vai trò của hình vẽ biểu diễn trong GII rất phức tạp vì nó là biểu diễn của một đối tượng hình học lý thuyết mà bản thân nó chính là mô hình của một đối tượng thực

1.3 Mô thức hình học của Parzysz

Nhận xét về mô thức hình học của Houdement và Kuzniak, Parzysz cho rằng:

"Sự nối khớp giữa GI và GII – về mặt bản chất khoa học luận – cơ bản hơn sự nối khớp tách đôi GII và GIII… Thực vậy, trong GI, các đối tượng vẫn còn là đối tượng vật lý lý tưởng nhiều hơn hay ít hơn các tình huống của "thực tế" (mô hình ngôi nhà, hình vẽ một cánh đồng…) và việc đánh giá vẫn còn theo bậc nhận thức (dụng

cụ hóa hay không) Ngược lại, trong GII cũng như GIII, các đối tượng liên quan là các yếu tố nằm ngoài thực tế (nhưng được biểu diễn bởi các đối tượng vật lý), việc đánh giá các khẳng định theo bậc suy diễn:

"học sinh được gợi ý từ bỏ một kiểm tra mang tính kinh nghiệm chủ nghĩa các tuyên bố của họ vì lợi ích của một kiểm tra bằng phương thức suy luận." [3, tr.32] Như vậy, theo Parzysz, sự phân biệt của GII với GI và GIII chủ yếu dựa trên hai phương diện:

1/ GII là một mô hình hóa của không gian "vật lý" (nghĩa là GI), trong khi GIII không còn tham chiếu đến "thực tế" nào khác;

2/ GII có thể gọi là một GIII tiên đề hóa không hoàn toàn, hay tốt hơn là một hình học trong đó các "tiên đề" (có tính kinh điển hay không) ngầm ẩn theo từng

phần (có ý thức hay không) Nói chính xác

hơn, GII dựa trên các lập luận suy diễn có

hiệu lực xuất phát từ một số thực tế được

xem xét như "hiển nhiên"; với điều này nó

tương tự với GIII (phiên bản Euclide) Nói

chung, ở một vài chỗ, nơi mà GIII bao hàm

một tiên đề và có thể cả các định nghĩa và

các định lý bắt nguồn từ nó thì GII đành

chấp nhận "ta thấy rằng" (thậm chí có thể

ngầm ẩn) Nhận thức vẫn còn hiện diện,

nhưng nó coi như chỉ phục vụ xây dựng

một lý thuyết của không gian nhận thức

được, và không còn – ít nhất là về nguyên

tắc – để hỗ trợ một luận chứng (ngay cả khi

"chúng ta thấy rằng" mâu thuẫn với nhận

xét này)." [16, tr.100-101]

Như vậy, không giống như Houdement

– Kuzniak làm nổi bật sự liên tục giữa các

mô thức khác nhau, Parzysz nhấn mạnh

trên sự đứt gãy giữa GI và GII

Parzysz định nghĩa các mô thức hình

học của riêng mình như sau:

"Bằng cách làm theo các phân biệt

được trình bày ở trên, chúng tôi đề xuất một phép thử tổng hợp các mô hình trước

đó, đặc biệt bao gồm một sự nối khớp khác một ít với sự nối khớp được đề xuất của Houdement – Kuzniak vì những lý do nêu trên Các yếu tố mà mô hình này dựa trên, một mặt là bản chất của các đối tượng liên quan (vật lý với lý thuyết), mặt khác là các phương thức đánh giá (nhận thức với suy diễn logic) Bắt đầu từ "hiện thực", hay "cụ thể" (G0) mà không phải là hình học, chúng tôi gây tương phản, một mặt với một hình học không tiên đề, dựa trên các tình huống cụ thể được lý tưởng hóa để tạo thành "không gian – đồ họa" (GI) và mặt khác với một hình học tiên đề, sự tiên đề hóa có thể tường minh hoàn toàn (GIII) hay không (GII), và tham chiếu "thực" là tùy chọn cho cái thứ nhất (nhưng không cho cái thứ hai); trong trường hợp thứ hai, chúng ta sẽ nói về hình học tiền tiên đề Tình huống có thể được sơ đồ hóa bằng biểu đồ 1 sau:

Các Hình học không tiên đề Các Hình học tiên đề Kiểu

hình học

"Hình học"

cụ thể (G0)

Hình học Không gian – đồ họa (GI)

Hình học tiền tiên đề (GII)

Hình học tiên đề (GIII)

Biểu đồ 1

Như vậy, nếu xét theo quan điểm

didactic, sự phân biệt giữa các hình học

này xuất hiện trong các đứt gãy của hợp

đồng xảy ra giữa cái này với cái khác, hay

cụ thể hơn:

- Chuyển từ G0 sang GI: tính vật

chất của các đối tượng liên quan (gỗ, bìa

cứng, rơm…)

- Chuyển từ GI sang GII: độ dày của

nét vẽ, của điểm; kiểm chứng bằng nhận thức

- Chuyển từ GII sang GIII: các thuộc tính được coi là "hiển nhiên" [16, tr.101]

Rõ ràng có một vài đặc trưng của các

mô thức hình học khác nhau có thể được làm rõ bằng cách so sánh với định nghĩa của Houdement – Kuzniak Trước hết, kinh nghiệm nuôi dưỡng sự duy diễn trong GI của Houdement – Kuzniak, nhưng trong định nghĩa của Parzysz đó là các đánh giá kiểu nhận thức Trong cả hai trường hợp,

vấn đề là tác động mang tính vật chất trên

các đối tượng thực của GI Hành động này,

chúng ta gọi là kinh nghiệm hay đánh giá

kiểu nhận thức, có thể thay đổi: đo đạc, vẽ,

cắt, lật ngược,… Mặt khác, trong GI,

chúng ta có thể đánh giá bằng sự nhận thức

với hay không với dụng cụ Sau cùng, hai

định nghĩa dựa trên các yếu tố khác nhau:

trực giác, kinh nghiệm và suy diễn của

Houdement – Kuzniak, và bản chất của đối

tượng và kiểu đánh giá vận hành ở Parzysz

2 Hình vẽ biểu diễn – đối tượng

hình học

2.1 Hình vẽ biểu diễn – đối tượng

hình học

Parzysr (1988) phân biệt hình vẽ biểu

diễn với hình trong các biểu diễn đồ họa

trong hình học: hình vẽ biểu diễn là vết vật

chất trên một tờ giấy trong khi hình đề cập

đến đối tượng lý thuyết được biểu diễn

Hay nói cách khác, hình vẽ biểu diễn thể

hiện cho một hình và hình bao gồm các đối

tượng hình học trong một mối quan hệ

Parzysr nhấn mạnh hai quan điểm về

hình bằng cách đề cập tính đa nghĩa của từ

hình qua việc sử dụng hai từ phân biệt:

hình vẽ biểu diễn và đối tượng hình học:

"Trong thực tế, từ này chỉ hoặc là đối

tượng hình học (lý tưởng, theo nghĩa của

Plato) mà các nghiên cứu thực hiện trên đó,

hoặc là một hình vẽ biểu diễn của đối

tượng này." [15, tr.13]

Một giải thích khác về hình cũng được

trình bày trong [14, tr 80]:

“Hình hình học là đối tượng hình học

được mô tả bằng văn bản định nghĩa, một ý

tưởng, một sự sáng tạo của trí tuệ trong khi

hình vẽ biểu diễn là một sự biểu diễn cho

đối tượng hình học đó.”

Ngoài ra, chúng tôi cũng tìm thấy sự

phân biệt hình vẽ biểu diễn và hình trong

một số bài báo của Arsac:

"Theo truyền thống từ thời Plato đã phân biệt hình được vẽ trên giấy, thường

để chỉ một hình vẽ biểu diễn, với đối tượng hình học mà trên đó thực hiện các chứng minh." [3]

“Về sau, chúng ta phân biệt hình vẽ biểu diễn với hình, hình vẽ biểu diễn để chỉ hình vẽ được vẽ cụ thể trên trang giấy (hay trên cát của Archimede) và hình để chỉ đối tượng toán học mà trong đó hình vẽ chỉ là một sự biểu diễn…Vì thế, hình là một phần

tử của "thế giới toán học" và không phải là phần tử của thế giới cảm tính…” [1, tr.86] Trong một bài báo, Laborde và Capponi nêu rõ:

"Người ta phân biệt các đối tượng hình học và các quan hệ hình học có tính chất lý thuyết với sự thể hiện ra bên ngoài của chúng trong các hệ thống biểu đạt khác nhau Người ta quan tâm đặc biệt đến các

thực tế đồ họa không gian (các hình vẽ

biểu diễn được tạo ra bằng vết vẽ của chì trên trang giấy, của một que gỗ trên cát, của các hạt điện tử trên màn hình máy tính) biểu diễn các đối tượng lý thuyết này." [13] Như vậy, hình vẽ biểu diễn được xem

là các vết vẽ vật chất trên trang giấy, trên bảng, trên cát, trên màn hình máy tính, biểu diễn cho một đối tượng hình học lý thuyết trong thế giới cảm tính, và đối tượng hình học lý thuyết này được gọi là hình (xem biểu đồ 2) Đối tượng hình học lý thuyết được xem xét dưới hai quan điểm, như Parzysz đã đề cập: một đối tượng được định nghĩa bởi một lý thuyết, chẳng hạn hình học Euclide, từ các định nghĩa, các tiên đề,… và do đó hoàn toàn thuộc thế giới toán học hay nói đúng hơn là một đối tượng lý tưởng theo nghĩa của Plato, như Arsac đã nhắc lại:

“Các thành phần của hình (điểm, đoạn)

có thể được xem như có một trạng thái của

các đối tượng lý tưởng (theo quan điểm Hy

lạp) hay được định nghĩa đơn giản bằng

các tiên đề (theo quan điểm hiện đại)…”

[1, tr.86]

2.2 Hình vẽ hình học

Hình vẽ hình học được Parzysz nói

đến trong việc mô tả GI:

"GI là một hình học trong đó các đối

tượng vật lý đã trải qua sự khởi đầu của

việc lý tưởng hóa, theo nghĩa chỉ có một số

đặc tính của đối tượng vật chất được giữ lại

thỏa đáng (ví dụ màu của các nét vẽ trên

một trang giấy hay một màn hình máy tính,

vật liệu mà một mô hình được thực hiện

trên đó sẽ không được tính đến) Nghĩa là

cái nhìn trên các đối tượng đã có một ít

trừu tượng và được đơn giản hóa so với

hiện thực (mô hình, vết vẽ trên trang giấy,

trên màn hình máy tính)." [17]

Như vậy, hình vẽ hình học không còn

là một đối tượng vật lý "thô" nữa, mà là

một đối tượng đã trải qua quá trình chuyển

đổi trí tuệ và diễn giải để tạo ra một hình

vẽ hình học Thực tế, người đọc có thể

hoặc không thể xem hình vẽ như một đối

tượng hình học

Tùy thuộc vào ngữ cảnh, hình vẽ biểu

diễn trở thành hình vẽ hình học kể từ lúc

người đọc quyết định nó, chẳng hạn hình

vẽ biểu diễn này nằm trên bảng của lớp học

toán hay trên một trang sách giáo khoa

toán Hành động duy nhất của chủ thể được

xem xét ở cấp độ này là xem hình vẽ biểu diễn như hình vẽ hình học trước bất kỳ sự diễn giải, suy luận và suy diễn nào Chúng

ta có thể bổ sung quan điểm này bằng sự phân loại việc xử lý hình vẽ của Duval:

"Sự lĩnh hội nhận thức… cho phép ngay lập tức nhận dạng hay nhận biết một hình dạng, hay một đối tượng, hoặc trong mặt phẳng, hoặc trong không gian Quá trình nhận dạng một hình dạng 2D hay 3D được thực hiện theo các quy tắc được gọi là

"những nhà tổng hình học" của tổ chức hay theo các thông số cấu hình… ví dụ sự khác biệt về kích thước hay định hướng." [6, tr.123]

Mặc dù Duval nói đến hình (ông không phân biệt hình và hình vẽ biểu diễn)

ở đây nhưng chúng ta vẫn xem hình vẽ biểu diễn theo nghĩa sự lĩnh hội nhận thức xảy ra trên đối tượng vật lý, vết vẽ trên giấy,…, được xem xét như một hình vẽ hình học

2.3 Hình vẽ biểu diễn của đối tượng hình học lý thuyết

Thực tế cho thấy, mối quan hệ giữa đối tượng hình học lý thuyết và biểu diễn của nó rất phức tạp Labord và Capponi [13] đặc biệt xem xét một số khía cạnh của tính phức tạp này

2.3.1 Đa diễn giải

Việc biểu diễn một đối tượng hình học

lý thuyết dễ dẫn đến nhiều diễn giải khác nhau Mặc dù cùng một việc đọc hình học, nhưng diễn giải lại phụ thuộc vào tri thức

Hình vẽ biểu diễn

 Vết vẽ vật chất

trên một giá vẽ,

thực tế đồ họa

không gian

Đối tượng hình học lý thuyết

 Đối tượng được định nghĩa bởi một lý thuyết hình học

 Đối tượng lý tưởng

Biểu đồ 2

của người đọc Chẳng hạn, hình vẽ biểu

diễn (hình 1) trong hệ trục tọa độ vuông

góc Oxy, có thể được diễn giải như một

đường tròn hay một hình tròn tâm O(0; 0),

bán kính bằng 1 ở học sinh lớp 10, hay tập

hợp các điểm M(x; y) biểu diễn cho số

phức z = x+iy trong mặt phẳng phức thỏa

mãn hệ thức ở học sinh lớp 12,

hay như một quả cầu đóng tâm O(0; 0) và

bán kính 1 ở sinh viên toán năm 2 của

trường đại học

Diễn giải này cũng phụ thuộc vào ngữ

cảnh Cùng một học sinh cấp trung học cơ

sở sẽ xem hình vẽ biểu diễn (hình 2) như

một đường tròn hay một hình tròn tùy theo

học sinh đó đang quan tâm đến chu vi hay

là diện tích hình

Diễn giải này cũng phụ thuộc vào các

ràng buộc của thể chế dạy học Chẳng hạn,

trong hình biểu diễn ở hình 3, một học sinh

trung học cơ sở có thể xem là hình bình

hành, nhưng một học sinh trung học phổ

thông có thể xem là một hình chữ nhật, hay

hình thoi, hay hình vuông hay có thể là một mặt phẳng

Hay nói cách khác, cùng một hình vẽ

có thể đề cập đến các đối tượng hình học lý thuyết khác nhau

2.3.2 Miền hoạt động bị giới hạn

Miền hoạt động của một đối tượng hình học lý thuyết được định nghĩa như sau:

"Như là biểu đạt của một đối tượng hình học lý thuyết, hình vẽ biểu diễn trình bày các tính chất của đối tượng này nhưng chỉ thực hiện được từng phần Người ta có thể gắn liền một miền hoạt động với hình

vẽ biểu diễn (là tập hợp các tính chất hình học được biểu diễn bởi một số tính chất không gian của hình vẽ biểu diễn)." [13, tr.171]

Đối tượng hình học lý thuyết có một

số tính chất có thể không thấy được trên hình vẽ biểu diễn Miền hoạt động là miền trong đó hình vẽ biểu diễn có khả năng cung cấp các thông tin thỏa đáng Bởi vì hình vẽ biểu diễn không nói được hết tất cả mọi thứ của đối tượng hình học lý thuyết,

do đó cần thiết phải có văn bản mô tả Chẳng hạn, trong hình 4, làm thế nào biết hình vẽ biểu diễn một đoạn thẳng hay một đường thẳng? Chúng ta có thể lưu ý rằng,

từ một văn bản mô tả, có thể thực hiện một hình vẽ biểu diễn, thậm chí là nhiều hơn, vì đối tượng hình học lý thuyết hoàn toàn được xác định bởi một văn bản mô tả, nhưng từ một hình vẽ biểu diễn, không thể tái tạo lại văn bản mô tả và do đó không thể xác định được đối tượng hình học lý thuyết một cách chắc chắn

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

2.3.3 Miền diễn giải bị giới hạn

"Tất cả các tính chất của hình vẽ biểu

diễn không thể được diễn giải như đề cập

đến các thuộc tính của đối tượng, do đó có

một miền diễn giải gắn liền với hình vẽ

biểu diễn Chẳng hạn, vị trí của hình vẽ

biểu diễn trong trang giấy nằm ngoài miền

diễn giải của các hình vẽ như các biểu đạt

của các đối tượng của hình học Euclide

Một số vấn đề học sinh gặp phải cho thấy

chính xác rằng họ hoạt động với một miền

diễn giải khác với miền diễn giải của hình

học Euclide." [13, tr.172]

Thực tế cho thấy học sinh cấp trung

học phổ thông dễ dàng sử dụng các biểu

thức kiểu "ở phía trên", "ở trên", "bên

phải", "ngang", "thẳng đứng",… mà không

phải là một phần của "miền diễn giải các

hình vẽ biểu diễn như biểu đạt của các đối

tượng của hình học Euclide."

Chẳng hạn, trong hình 5, một điểm

thuộc miền 3 có thể được học sinh diễn giải

nằm phía dưới mặt phẳng và một điểm

thuộc miền 4 có thể được học sinh diễn giải

nằm phía trên mặt phẳng Các diễn giải này

bắt nguồn từ xu hướng của học sinh mở

rộng mặt phẳng theo phương nằm ngang

nhiều hơn so với phương thẳng đứng

2.3.4 Vắng bóng đẳng cấu và mô tả

suy lý logic

Tính phức tạp của diễn giải hình vẽ

biểu diễn cho thấy rõ sự vắng bóng của

"đẳng cấu" giữa tập hợp các hình vẽ biểu

diễn và tập hợp các đối tượng hình học lý thuyết bởi vì cùng một hình vẽ biểu diễn có thể tương ứng với nhiều đối tượng hình học lý thuyết, chẳng hạn trường hợp hình vuông và quả cầu trong mục 2.2.1., và ngược lại nhiều hình vẽ biểu diễn có thể tương ứng với cùng một đối tượng hình học lý tưởng, chẳng hạn nhiều hình vẽ biểu diễn thể hiện cho một tam giác bất kỳ Từ

đó, không thể xác định đối tượng hình học

lý thuyết bằng một hình vẽ và cần thiết phải có một mô tả suy lý logic để:

 tháo gỡ các nhập nhằng gắn kết với hình vẽ biểu diễn

"Một mô tả suy lý logic nêu đặc trưng đối tượng hình học lý thuyết là cần thiết để tháo gỡ các nhập nhằng gắn kết với hình vẽ biểu diễn." [13, tr.171]

 lựa chọn đối tượng được biểu diễn:

"Một hình chỉ có thể biểu diễn một tình huống hình học trong một phạm vi mà

ý nghĩa của một số đơn vị biểu trưng và một số quan hệ của chúng được cố định tường minh ngay từ đầu… cùng một hình

vẽ có thể biểu diễn nhiều tình huống toán học rất khác nhau và như vậy phục vụ hỗ trợ trực quan cho các suy luận khác nhau

Do đó cần phải có một sự chỉ dẫn bằng lời nói để cố định hình vẽ như sự biểu diễn cho đối tượng toán học nào đó." [7, tr.188]

 hay chỉ đơn giản định nghĩa đối tượng này:

"Hình là đối tượng hình học được mô

tả bằng văn bản định nghĩa cho nó." [14, tr.80]

2.4 Hình vẽ biểu diễn – đối tượng của hình học

Đối với học sinh tiểu học và trung học

cơ sở, trong giai đoạn đầu khi học hình học, đối tượng hình học lý thuyết là một đối tượng tư duy không thể tiếp cận được Khi đó, hình vẽ biểu diễn là đối tượng hình học mà học sinh làm việc trên đó Học sinh

Hình 5

trước hết trích ra các tính chất bằng tri

giác, sau đó dẫn đến việc sử dụng các dụng

cụ hình học để kiểm chứng các giả thuyết

được phát biểu Do đó, các hoạt động hình

học được thực hiện trực tiếp trên các hình

vẽ hình học mà không tham chiếu đến một

đối tượng hình học lý thuyết Mục đích

chính của các hoạt động này là cho phép

học sinh làm quen với các đối tượng của

mặt phẳng và của không gian và chuyển

dần dần từ một hình học trong đó các đối

tượng và các tính chất của chúng được

kiểm tra bằng tri giác sang một hình học

trong đó họ nhờ đến các công cụ và kiến

thức về một số tính chất của đối tượng hình

học lý thuyết Chẳng hạn, ở bài tập 13,

trang 79, Sách giáo khoa Toán 6, tập hai

[18], học sinh được yêu cầu đo các góc

, , ở hình 6:

Việc xác định số đo của ba góc trong

tam giác IKL được học sinh thực hiện bằng

cách sử dụng thước đo độ thao tác trực tiếp

trên hình vẽ biểu diễn để đo các góc Trong

trường hợp này, đối với học sinh, hình vẽ

biểu diễn tam giác IKL được xem là đối

tượng hình học và không được xem là hình

vẽ biểu diễn cho đối tượng hình học lý

thuyết

Trong tất cả các trường hợp như trên,

đối tượng làm việc là hình vẽ, không có bất

cứ sự mã hóa cũng như mô tả suy lý logic

nào cho phép xem xét một đối tượng hình

học lý thuyết Tuy nhiên, việc đưa vào mã

hóa không có nghĩa là người ta cần quan

tâm đến đối tượng hình học lý thuyết Chẳng hạn, trong một bài tập được trích ra

từ Sách giáo khoa Toán của Pháp Maths CM1 [5, tr.79], tương đương lớp 4 của Việt Nam, học sinh được yêu cầu dựng lại một hình với các số đo thực trên giấy kẻ ô lưới 1cmx1cm với các dụng cụ hình học từ một

sơ đồ vẽ bằng tay cho trước trên đó có ghi

số đo của các cạnh (Hình 7)

Sơ sồ trong hình 7 có thể được diễn giải như một biểu diễn của một đối tượng vật lý hay một đối tượng lý thuyết, nhưng

nó không được quan tâm trong bài tập này Hoạt động của học sinh trong trường hợp này là giải mã sơ đồ trong 7 để thực hiện dựng hình Việc dựng hình ở đây được xem xét đơn giản là tạo ra một hình vẽ hình học tương ứng với mô tả bằng mã hóa Do

đó, đối tượng làm việc ở đây là hình vẽ mà trên đó học sinh cần đo độ dài các cạnh, sử dụng thước êke,…

3 Hình

3.1 Hình là hình vẽ biểu diễn

Duval định nghĩa hình theo nghĩa vết

vẽ vật chất trên trang giấy, hay nói cách khác, Duval sử dụng từ hình cho cái mà chúng ta gọi là hình vẽ biểu diễn hay hình

vẽ hình học, đối tượng hình học hay biểu diễn của một đối tượng hình học lý thuyết

3.2 Hình là đối tượng hình học lý thuyết

Theo quan điểm cổ điển của Arsac và Parzysz, từ hình để chỉ một số đối tượng hình học lý thuyết

"…chúng tôi dành riêng (là một quy ước, có thể tranh luận như mọi quy ước

Hình 6

Hình 7

khác) từ HÌNH cho bản thể hình học, trong

khi chúng tôi sử dụng từ HÌNH VẼ BIỂU

DIỄN cho một biểu diễn đồ họa (mặt

phẳng) của hình này." [15, tr.14]

Tuy nhiên, trong thực tế, từ hình được

sử dụng để chỉ một đối tượng phức tạp hơn

các đối tượng của hình vẽ biểu diễn hay

của đối tượng hình học lý thuyết

3.3 Hình là lớp tương đương các

hình vẽ biểu diễn

Arsac, trong một số trường hợp, xem

xét hình như một lớp tương đương các hình

vẽ biểu diễn cùng một đối tượng hình học

lý thuyết Chính là cái mà Arsac gọi là

quan điểm toán học trên hình

"Một hình xuất hiện như một lớp tương

đương: cụ thể, hai hình vẽ biểu diễn cùng

một hình khi chúng đồng dạng và đẳng cự

(tùy theo loại thuộc tính mà chúng ta muốn

nghiên cứu) hay thậm chí chúng tương ứng

trong một phép biến đổi affine." [2, tr.174]

Trong trường hợp của hai hình vẽ biểu

diễn trong hình 8, không tồn tại một phép

biến đổi affine biến hình vẽ biểu diễn này

thành hình vẽ biểu diễn kia

Tuy nhiên, nếu xét từ một quan điểm

khác, chúng biểu diễn cùng một đối tượng

hình học : một tứ giác bất kỳ và đường tròn

ngoại tiếp của nó Vậy chúng ta có thể mở

rộng định nghĩa ở trên của Arsac và xem

xét hình như tập hợp tất cả các hình vẽ biểu

diễn của một đối tượng hình học được định

nghĩa bằng một phát biểu mô tả các đối

tượng, các thuộc tính, các mối quan hệ:

một tứ giác bất kỳ, nghĩa là không có góc

vuông, không có hai cạnh song song và

đường tròn ngoại tiếp của nó

Labord và Capponi phát triển khái niệm lớp tương đương theo cách phức tạp hơn: đưa khái niệm hình vào trong tam

giác cái biểu đạt – cái được biểu đạt – cái

quy chiếu Hình vẽ biểu diễn là cái biểu

đạt, sự biểu diễn; đối tượng hình học lý thuyết là quy chiếu, đối tượng được biểu diễn

"Hình hình học bao gồm sự ghép cặp một quy chiếu cho trước với tất cả các hình

vẽ biểu diễn, do đó nó được định nghĩa như tập hợp các cặp được hình thành từ hai từ,

từ thứ nhất là quy chiếu, từ thứ hai là một trong các hình vẽ biểu diễn; từ thứ hai được lấy từ trong không gian tất cả các hình vẽ biểu diễn có thể của quy chiếu Trong sự chấp nhận này, từ hình hình học phản chiếu việc thiết lập một quan hệ giữa một đối tượng hình học và các biểu diễn có thể có của nó Trong cách tiếp cận này, các mối liên quan giữa hình vẽ biểu diễn và quy chiếu của nó được xây dựng bởi một chủ thể, người đọc hay người tạo ra hình vẽ biểu diễn, bao gồm cái được biểu đạt của hình hình học liên kết với chủ thể này Cái được biểu đạt này tương ứng với cái mà

Fischbein (1993) gọi là khái niệm hình."

[12, tr.168]

4 Kết luận

Việc làm rõ các quan điểm về hình và hình vẽ biểu diễn cũng như mối quan hệ giữa chúng là điều cần được quan tâm trong công tác đào tạo giáo viên Toán bậc phổ thông từ tiểu học đến trung học phổ thông

Sự phân biệt giữa hai đối tượng hình

và hình vẽ biểu diễn mở ra một miền rộng lớn cho các nghiên cứu liên quan đến chúng Các đặc trưng của mối quan hệ giữa hai đối tượng này trong hình học phẳng đã được nhiều nhà didactic toán làm rõ trong các công trình nghiên cứu của họ

Hình 8

Thực tế dạy học cho thấy trong hình

học không gian, mối quan hệ giữa hình và

hình vẽ biểu diễn rất phức tạp vì vấn đề

biểu diễn một đối tượng hình học lý thuyết

của không gian 3D trong không gian 2D

được thực hiện qua phép chiếu song song

và việc chọn lựa một môi trường làm việc

trên đó, môi trường giấy-bút chì hay máy

tính, sẽ ít nhiều ảnh hưởng đến mối quan

hệ này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Arsac, G., (1989): La construction du concept

de figure chez des éleves de 12 ans Actes de

la 13 ème conference PME Paris P85-92

Artigue M., Rogalski J et Vergnaud G

2 Arsac, G., & al (1992): Initiation au

raisonnement déductif au college Ed Presses

Universitaires de Lyon

3 Arsac, G., (2004): Bases élementaires de

l’étude de la démonstration mathematique

Séminaire de Didactique, Histoire et

Épistemologie des Mathematiques, des

Sciences et des Techniques du PREMST

IUFM de Lyon 28 janvier 2004

4 Berthelot, R., & Salin, M (1992): Espace et

géométrie dans la scolarite obligatoire Thèse

de doctorat Université de Bordeaux 1

5 Charney, R., & Combier, G., & Dussuc M P

(2003): Cap Maths CM1 Ed Hatier

6 Duval, R (1994): Les differents

fonctionnements d’une figure dans une

démarche géometrique Reperes IREM n017

P121-138 Ed IREM de Grenoble

7 Duval, R (1995): Sémiosis et pensée

humaine Ed Springer Berne

8 Fischbein, E (1993): The theory of figural

concepts Educational Studies in

Mathematics Vol 24 n02 P139-162 Ed

Kluwer Academic Publishers

9 Houdement, C., & Kuzniak, A (1999.3):

Géométrie et paradigmes géométriques Petit

x n0 51 P5-21 Ed IREM de Grenoble

10 Houdement, C., & Kuzniak, A (2000): Formation des maitres et paradigmes

géométriques Recherches en Didactique des

Mathematiques Vol 20 n01 P 89-116 Ed

La Pensée Sauvage Grenoble

11 Kuhn, T (1977) The Essential Tension: Selected

Studies in Scientific Tradition and Change

Chicago: University of Chicago Press

12 Labord, C., & Capponi, B (1994): Cabri-Géometre constituant d’un milieu pour l’apprentissage de la notion de figure

géometrique Recherches en Didactique des

mathematiques Vol 14 n01.2 p165-210 Ed

La Pensée Sauvage Grenoble

13 Labord, C., & Capponi, B (1995):

Modelisation à double sens Actes de la 8 ème

Ecole d’éte de Didactique des mathematiques

Saint Sauves d’Auvergne Aout 1995 Ed IREM de Clemont-Ferrand

14 Parzysz, B (1988): "Knowing" vs "seeing" Problems of the plane representation of space

geometry figures Educational Studies in

Mathematics n019 P79-92 Ed Kluwer Academic Publishers

15 Parzysz, B (1989): Représentations planes et

enseignement de la géométrie de l’espace au lycée Contribution à l’étude de la relation

voir/savoir Thèse de doctorat Université Paris-7 Ed IREM Paris-7

16 Parzysz, B (2002): Articulation entre perception et déduction dans une démarche

géometrique en PÉ Actes du 28 ème colloque Inter-IREM des formateurs et professeurs chargés de la formation des maitres Tours

Mai 2001 P.99-110 Ed Presses Universitaires d’Orléans

17 Parzysz, B (2004): Preuve perceptive ou démonstration? Le rapport des PE1 à la géometrie, étudie à travers leur discours

"méta" Actes du 31 ème colloque Inter-IREM des formateur et professeurs charges de la formation des maitres Foix Mai 2004 Ed

IREM de Toulouse

18 Phan Đức Chính, Tôn Thân, Phạm Gia Đức (2012),

Toán 6 – tập hai, Nxb Giáo Dục Việt Nam

Ngày nhận bài: 02/9/2017 Biên tập xong: 15/10/2017 Duyệt đăng: 20/10/2017