Bài giảng Biến đổi năng lượng điện cơ - Chương 5: Ổn định các hệ thống điện cơ

Nội dung Chương 5 - Ổn định các hệ thống điện cơ trình bày về tuyến tính hóa, tuyến tính hóa hệ bậc hai, ổn định của hệ bậc hai, phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến, hàm năng lượng trong hệ điện cơ.

Trang 1

1

Ổn định các hệ thống điện cơ

ĐH Bách Khoa TP.HCM – Khoa Điện-Điện Tử – Bộ Môn Thiết Bị Điện

Bài giảng: Biến đổi năng lượng điện cơ

Chương 5:

Ổn định các hệ thống điện cơ

Biên soạn: Nguyễn Quang Nam Cập nhật: Trần Công Binh NH2012–2013, HK2

2

 Các mô hình động học của hệ thống điện được mô tả bởi các phương trình vi phân Tính ổn định của hệ thống phi tuyến trong vận hành được đặc biệt quan tâm Một số công

cụ phân tích tính ổn định sẽ được giới thiệu

 Nghiệm trong miền thời gian của bài toán động học hệ thống có được bằng việc tính tích phân số và các điểm cân bằng được xác định bằng đồ thị Với các hệ thống bậc cao hơn, các kỹ thuật số được sử dụng để tính các điểm cân bằng

Ổn định các hệ thống điện cơ – Giới thiệu

3

 Sẽ có ích nếu biết điểm cân bằng tĩnh là ổn định hay

không Với các nhiễu mạnh của trạng thái x hay ngõ vào u

luôn cần các mô phỏng trong miền thời gian

 Với các thay đổi nhỏ quanh điểm cân bằng, một phân tích

tuyến tính hóa là đủ để xác định điểm cân bằng là ổn định

hay không

 Đôi khi, các hàm năng lượng có thể được dùng để đánh

giá tính ổn định của hệ thống đối với nhiễu mạnh mà không

cần các mô phỏng trong miền thời gian

Ổn định các hệ thống điện cơ – Giới thiệu (tt)

4

 Điểm cân bằng sẽ biểu diễn trạng thái vận hành xác lập của hệ thống, chẳng hạn một lưới điện Hệ vật lý có thể có thay đổi nhỏ (ví dụ thay đổi tải), vốn có thể dẫn đến dao động hay thậm chí sụp đổ hệ thống, hoặc gặp các nhiễu mạnh (ví

dụ, sự cố hay sét đánh)

 Với trường hợp vô hướng, mô hình hệ thống là

Tuyến tính hóa

  x u f

x   ,

Tuyến tính hóa (tt)

 Để tuyến tính hóa, khai triển f(x, u) thành 1 chuỗi Taylor

quanh điểm cân bằng xe và ngõ vào không đổi, và chỉ giữ

lại các số hạng bậc nhất

uˆ

u

f x x

f u x f u u u

f x x x

f u x f u



























0 0 0

0

ˆ , ˆ ˆ

, ,

Hay

u

f x x

f u x f u x f

















0 0

ˆ , ,



 Gọi , , và Tuyến tính hóa hệ quanh điểm cân bằng dẫn đến

Tuyến tính hóa hệ bậc hai

x x u

f

x1 1 1, 2,

x x u

f

x2 2 1, 2,

e

x x

  u  u  u ˆ

u u f u f

x x

x f x f x f x f

x





















































0 2 0 1

2 1

0 2 0 2 0 1 0 1

2

1



A

Trang 2

7

Tuyến tính hóa hệ bậc hai

 Để xét tính ổn định của hệ, cần tìm trị riêng của ma trận A

 Trị riêng của ma trận A có được bằng cách giải phương

trình det(A – lI) = 0

 Hệ thống là ổn định nếu tất cả các trị riêng nằm ở nửa trái

của mặt phẳng phức (nghĩa là, phần thực < 0)

8

Ổn định của hệ bậc hai

 

x x x x f M x dt

d M

B dt x









0 2

2

 Xét mô hình một hệ bậc hai

 u f dt

dx B dt x d

2





có dạng tuyến tính hóa

 Định nghĩa và , dạng không gian trạng thái trở thành

1

x

  x    x2

































2 1 2

2

x x M B x

x





9

Ổn định của hệ bậc hai (tt)

 Phương trình đặc tính (để tìm trị riêng) có được

0 1



l



l

M

2

l

M B

 Trường hợp I (B > 0, M > 0, 2 )  0

2 2 2

M

2 2

M

2 2

M B

 Nghiệm tổng quát của phương trình đặc tính

2 2 2

2 1

4 2

M B M B

Trong cả 3 trường hợp, hệ là ổn định

10

Ổn định của hệ bậc hai (tt)

 Trường hợp II (B > 0, M > 0, ): hệ không ổn định

 Trường hợp đặc biệt (B = 0, M > 0): hệ là không ổn định

nếu , hay 20 ở biên ổn định nếu 20

0

2



11

Ví dụ 5.1

 Cho mạch từ giống như bài tập 4.15, với đồng năng lượng

và phương trình chuyển động

Hãy tìm các điểm cân bằng xe > 0, giá trị tối thiểu của I0 để tồn

tại điểm cân bằng, và xác định tính ổn định của điểm cân bằng

 Lực điện từ fe

1 2





W

a m

e f Mg dt x d

M 22  

I L x

W f

a m

1 2

1

2 2 0













 Để tìm điểm cân bằng, đặt các đạo hàm bằng 0, dẫn đến

12

Ví dụ 5.1 (tt)

 Giải theo x

I L Mg

a

1 1 2

1

2 2 0



















Mga I L a

x e

2 1

2 0

 Chọn x > 0 như yêu cầu 















Mga I L a

x e

2 1

2 0

 Để tồn tại xe > 0, I0 cần thỏa điều kiện

0 0

2

L Mga

I 

Trang 3

13

Ví dụ 5.1 (tt)

 Đây là trường hợp có B = 0, M > 0, và Do đó, hệ

thống nằm trên biên ổn định tại x = xe

a I L x x f dt x d M

a x

e

e e

















2 3 2 0 2

2

1 1

 Để xét tính ổn định tại xe, tuyến tính hóa pt chuyển động

0

2

0



14

Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến

 Với nhiễu mạnh, việc phân tích ổn định của hệ phi tuyến

có thể cần đến các kỹ thuật tính số vốn rất tốn kém sức mạnh tính toán

 Trong nhiều trường hợp, thông tin hữu ích có thể thu được bằng một phương pháp trực tiếp, tránh việc phải tính tích phân số

 Kỹ thuật này dựa trên các hàm năng lượng, và được gọi là phương pháp Lyapunov

 Có thể thu được các lời giải tốt với các hệ bảo toàn

15

Phương pháp hàm năng lượng cho hệ phi tuyến

 Trong các hệ bảo toàn, tổng năng lượng là không đổi, và

điều này được dùng trong phân tích ổn định các hệ này

 Xét con lắc trong hình 5.2, bao gồm khối lượng M nối vào

một điểm tựa không ma sát bằng một thanh cứng

 Coi V(q) = 0 tại q = 0, khi đó tại vị trí bất kỳ q, thế năng

được cho bởi

 q Mgl1cos q

V

16

Hệ bảo toàn

 Không có lực nào khác ngoài trọng lực, và hệ là bảo toàn, vậy

 

q

sin 2

2

l Mg dt

d

 Vế phải có thể được biểu diễn như một đạo hàm âm của một hàm thế vô hướng Trong trường hợp này,

q

q q

q















Hệ bảo toàn (tt)

 

q q q





dt

d

J 2

2 Dẫn đến

 Các điểm cân bằng là nghiệm của

0 sin 







q

Mgl V

 Dựa vào lược đồ, chỉ xét trong khoảng –p đến +p,

0 p

qe  

Năng lượng của hệ

2





 q q

dt

d J

 Nhân với dq/dt để có

 

V dt

d











energy Potential energy Kinetic

2







  0

2







dt d V dt d dt

d

q q q q

 Tích phân theo t để thu được

 Việc phân tích ổn định có thể được thực hiện cho 3 trường hợp (xem sách), bằng khái niệm giếng thế năng

Trang 4

19

Hàm năng lượng trong hệ điện cơ

 Xét hệ trong hình vẽ bên dưới, giả thiết cả hệ điện lẫn hệ

cơ đều không chứa các phần tử tiêu tán năng lượng

Mech

system

Ghép điện

cơ

T e or f e

q or x +

_

+ _

I 2

I 1

l 1

l 2

 Nếu l hoặc i ở mỗi cửa

được giữ không đổi, có thể

dự đoán một dịch chuyển đều

trong hệ cơ Không có dòng

chảy năng lượng hay đồng

năng lượng vào cửa điện Ở

hệ cơ, giả thiết không có

phần tử tiêu tán năng lượng

20

Hàm năng lượng trong hệ điện cơ

 Thế năng tổng quát hóa:

 q U q W'I1,I2,q

V   m

 q U qW m1,2,q

V

(dòng hằng i 1 và i 2 ) (từ thông móc vòng hằng l 1 và l 2 )

 

q





Tm

 Lực cơ học gây tác động

21

Quan hệ giữa ổn định tuyến tính hóa và thế năng

 Phương trình mômen   0

2





 q q

dt

d J

 Các điểm cân bằng có được bằng cách giải  

0





 q

q

V

 Tuyến tính hóa quanh một điểm cân bằng qe cho ta

 

0

2 2 2

2











q q q q

qe

V dt

d J

qe là ổn định nếu   , qe là không ổn định nếu

0

2





e

V

q

q q

 

0

2





e

V

q

22

Ví dụ 5.2 và 5.3

 Cho hệ phương trình

với R = 1 W và v(t) = 2 V

Hãy tìm các điểm cân bằng, tuyến tính hóa hệ phương trình, biểu diễn dưới dạng không gian trạng thái và tìm trị riêng

 Đặt các đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cân bằng, rút ra

 i iR v t dt

d

i dt d





 q

q q 2

2 2

 Vậy, hệ có 1 điểm cân bằng (qe, ie) = (1, 2)

 / 2, 4/21

23

Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt)

 Tuyến tính hóa hệ phương trình tại điểm cân bằng

 Phương trình đầu có bậc là 2, do đó sẽ dẫn đến hệ bậc 3

 

4 4 2

0 0

2 2 2





























i i i

dt d

i i

dt d

q q

 Định nghĩa các biến trạng thái x1, 2, 3 lần lượt là q, ,

và i, ta có mô hình không gian trạng thái như sau

q



24

Ví dụ 5.2 và 5.3 (tt)

 Dẫn đến phương trình đặc trưng để tìm trị riêng như sau









































3 2 1

5 0 2 0 4 0 4 0 1 0

x x x



 Giải ra ta được 3 trị riêng:

0 2 4 5

0 2

3 l  l   l

0502 , 2 4578 , 0

, 4515 ,

0 2,3

l

Trang 5

25

Ví dụ 5.4

 Cho quan hệ dòng điện – từ thông của hệ trong hình

Hãy viết phương trình chuyển động Với l = 1, M = 1, và Mg =

2 trong một hệ đơn vị nhất quán nào đó, tìm điểm cân bằng

Viết phương trình thế năng của hệ và xác định tính ổn định

của hệ tại điểm cân bằng trên

 2 2

1

2 x

i  l  l 

 Tính lực điện từ theo hàm năng lượng

3

0

2

3 1

Wm l l   l   l   l  l 

26

Ví dụ 5.4 (tt)

x

W





 Phương trình chuyển động

 1  2 0 2

2     e

x x

Mg f dt x d

2

l

 Điểm cân bằng sẽ thỏa mãn (với l, M, và Mg đã cho)

 Hàm năng lượng tại l đã cho

1 1 / 3 1

Wm l l   

27

Ví dụ 5.4 (tt)

Mgx x U Mg x x



 Chọn U(x)

  2 2 0 2 2

2









e

x

x V

1 2 1/3 1

W x U x

 Xây dựng hàm thế năng V(x)

 Vậy hệ đã cho ổn định tại điểm cân bằng xe = 2

 Tính đạo hàm cấp 2 của V(x)

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	378,32 KB