Bài giảng Mạch Logic (hệ tổ hợp) - CĐ Công nghệ Thủ Đức

Bài giảng trình bày về phương pháp biểu diễn hàm đại số Boole, bài tập bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool, cách chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh, các bước giải bài toán thiết kế logic,... Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

Chương 3

Mạch Logic ( hệ tổ hợp) 3.1 Bài toán thiết kế

3.2 Bài toán bìa Karnaugh

3.3 Bài tập áp dụng

3.1.Phương pháp biểu diễn hàm đại số Boole

Ví dụ : Cho bảng sự thật của một hàm logic như sau:

Biểu diễn hàm logic trên dưới dạng đại số Boole?

3.1.Phương pháp biểu diễn hàm đại số Boole

Hàm bool có thể viết ở một trong 2 dạng:

•Hàm dạng thực (tổng của tích): hàm tồn tại ở dạng tổng của các tích. Các biến ở dạngthực tương ứng giá trị 1, các biến dạng bù tương ứng giá trị 0 Hoặc cũng có thể viết hàm

ở dạng thực bằng  (các giá trị thập phân của các ô có giá trị 1 trong bìa Karnaugh)

Ví dụ 3: Hàm tổng của các tích:

C AB ABC

BC A C

B A

cũng có thể được viết ở dạng thực

) 7 , 6 , 3 , 1 ( )

, ,

(

Y

.

3.1.Phương pháp biểu diễn hàm đại số Boole

Ví dụ 4: Hàm tích của các tổng:

Hàm dạng bù (tích của tổng): hàm tồn tại ở dạng tích của các tổng Các biến ở dạng thực tương ứng giá trị 0, các biến dạng bù tương ứng giá trị

1 Hoặc hay cũng có thể viết ở dạng bù (các giá trị thập phân của các

ô có giá trị 0 trong bìa Karnaugh) 

) )(

, , (

2   A B C  

Y

Để ý rằng hàm Y1 và Y2 là một nhưng tồn tại ở hai dạng khác nhau ( dạng thực và dạng bù)

Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool

- Bảng Karnaugh thực chất là một dạng khác của bảng sự thật, trong đó mỗi ô của bảng tương đương với một hàng trong bảng sự thật

Để vẽ bảng Karnaugh cho n biến, người ta chia số biến ra làm đôi, phân nửa dùng

để tạo 2n/2 cột, phân nửa còn lại tạo 2n/2 hàng (nếu n là số lẻ, người ta có thể cho số lượng biến trên cột lớn hơn số lượng biến cho hàng hay ngược lại cũng được) Như vậy, với một hàm có n biến, bảng Karnaugh gồm 2n ô, mỗi ô tương ứng với tổ hợp biến này Các ô trong bảng được sắp đặt sao cho hai ô kề nhau chỉ khác nhau một đơn vị nhị phân (khác nhau một bit), điều này cho thấy rất thuận tiện nếu chúng ta dùng mã Gray Chính sự sắp đặt này cho phép ta đơn giản bằng cách nhóm các ô

kề nhau lại

Với 2 biến AB, sự sắp đặt sẽ theo thứ tự: AB = 00, 01, 11, 10 (đây là thứ tự mã

Gray, nhưng để cho dễ ta dùng số nhị phân tương ứng để đọc thứ tự này: 0, 1, 3, 2)

Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool

Thí dụ : Bảng Karnaugh cho hàm 3 biến (A = MSB, và C = LSB)

Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool

Và 4 tổ hợp biến ở 4 góc cũng là các tổ hợp kề nhau Hình (H 2.4) là bảng Karnaugh cho 4 biến

(H 2.4)

Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool

Bìa Karnaugh là một bảng gồm 2n ô vuông chứa hàm có n biến Như vậy hàm 2 biến có 4 ô, hàm 3 biến có 8 ô và hàm 4 biến có 16 ô Hai ô được xem là kế cận khi thoả mãn điều kiện tổ hợp biến của chúng chỉ khác nhau về trị số của một biến

Xây dựng bìa Karnaugh: - Vẽ một bảng gồm 2n ô cho hàm có n biến

Bảng 4 ô cho hàm 2 biến A,B Bảng 8 ô cho hàm 3 biến A,B,C.

Bảng 16 ô cho hàm 4 biến A,B,C,D

Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool

- Đặt tên biến và gắn các giá trị cho bìa: tên biến phụ thuộc vào hàm đã cho, các giá trị trên bìa phải thoả mãn điều kiện tổ hợp biến của hai ô kế cận chỉ khác nhau về trị số của một biến

Bảng 4 ô cho hàm 2 biến A,B Bảng 8 ô cho hàm 3 biến A,B,C.

Bảng 16 ô cho hàm 4 biến A,B,C,D

Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh

Trong mỗi ô của bảng ta đưa vào giá trị của hàm tương ứng với tổ hợp biến, để đơn giản chúng ta có thể chỉ ghi các trị 1 mà bỏ qua các trị 0 của hàm Ta có các trường hợp sau:

Từ hàm viết dưới dạng tổng chuẩn:

Nếu hàm không phải là dạng chuẩn, ta phải đưa về dạng chuẩn bằng cách thêm vào các số hạng sao cho hàm vẫn không đổi nhưng các số hạng chứa đủ các biến

Hàm này gồm 4 biến, nên để đưa về dạng tổng chuẩn ta làm như sau:

Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh

Từ dạng tích chuẩn: Ta lấy hàm đảo để có dạng tổng chuẩn và ghi trị 0 vào các ô tương ứng với tổ hợp biến trong tổng chuẩn này Các ô còn lại chứa

số 1

Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh

Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh

Trường hợp có một số tổ hợp cho giá trị hàm không xác định: nghĩa là ứng với các tổ hợp này hàm có thể có giá trị 1 hoặc 0, do đó, ta ghi dấu X vào các

ô tương ứng với các tổ hợp này, lúc gom nhóm ta sử dụng nó như số 1 hay

số 0 một cách tùy ý sao cho có được kết quả rút gọn nhất

Thí dụ 7: f(A,B,C,D) = Σ(3,4,5,6,7) với các tổ hợp từ 10 dến

15 cho hàm có trị bất kỳ (không xác định)

Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh

Qui tắc rút gọn trong bảng Karnaugh

Các tổ hợp biến có trong hàm logic hiện diện trong bảng Karnaugh dưới dạng các số 1 trong các ô, vậy việc gom thành nhóm các tổ hợp kề nhau được thực hiện theo qui tắc sau: - Gom các số 1 kề nhau thành từng

nhóm sao cho số nhóm càng ít càng tốt Điều này có nghĩa là số số hạng trong kết quả sẽ càng ít đi

- Tất cả các số 1 phải được gom thành nhóm và một số 1 có thể ở nhiều nhóm

- Số số 1 trong mỗi nhóm càng nhiều càng tốt nhưng phải là bội của 2m (mỗi nhóm có thể có 1, 2, 4, 8 số 1) Cứ mỗi nhóm chứa 2m số 1 thì tổ hợp biến tương ứng với nhóm đó giảm đi m số hạng

- Kiểm tra để bảo đảm số nhóm gom được không thừa

Hàm rút gọn là tổng của các tích

Các ví dụ:

Chú ý:Kết hợp 2m ô kế cận thì loại được m biến , các biến có giá trị thay đổi sẽ bị loại, hàm có giá trị bằng 1 được viết dưới dạng thực, hàm có giá trị bằng 0 được viết dưới dạng bù.

Ví dụ 5: Dùng bìa Karnaugh rút gọn hàm dạng bù 3 biến:

) 5 , 4 , 2 , 0 ( )

, , (

1   A B C  

F

) )(

( A  C A  B

F=

Chú ý:Kết hợp 2m ô kế cận thì loại được m biến , các biến có giá trị thay đổi sẽ bị loại, hàm có giá trị bằng 1 được viết dưới dạng thực, hàm có giá trị bằng 0 được viết dưới dạng bù.

Ví dụ 6: Dùng bìa Karnaugh rút gọn hàm dạng thực 4 biến:

F 2  

Các bước giải bài toán thiết kế logic:

3.1 Bài toán thiết kế

 Bước 1: Lập bảng sự thật theo yêu cầu của đề bài

 Bước 2: Viết hàm logic quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra.

 Bước 3: Đơn giản hàm logic.

 Bước 4: Kết nối mạch theo hàm logic.

Ví dụ: Thiết kế mạch logic điều khiển một đèn Y bằng 3 ngõ A, B, C Đèn

chỉ sáng khi có hai ngõ vào điều khiển ở mức cao

)(

)(

)(

)(A B A B C A B C B C A B C A B C C

AB C

B A BC A

- Mạch logic:

Bài tập 1: Viết dưới dạng tổng chuẩn (dạng thực) các hàm xác định bởi:

Bài tập:

Bài tập 2: Viết dưới dạng tích chuẩn (dạng bù) các hàm xác định bởi:

Bài tập 3: Viết dưới dạng số các bài tập 1:

Bài tập 4: Viết dưới dạng các bài tập 2

Bài tập 5: Dùng bảng Karnaugh rút gọn các hàm sau: (A = MSB)

Bài tập:

Bài tập 6: Chứng minh các đẳng thức sau bằng đại số)

Bài tập:

) )(

)(

( A D A C B D D

C B D

A B

))(

)(

(A C B C B D BD

A C B D

a. Viết biểu thức của hàm F1 và F2

b. Viết biểu thức hàm F1 dưới dạng tích các tổng (POS)

c. Viết biểu thức hàm F2 dưới dạng tổng các tích (SOP)

d. Viết hàm F1 dưới dạng Σ và Π

e. Viết hàm F2 dưới dạng Σ và Π

Bài tập:

Bài tập 8: Cho bảng chân trị sau

a. Viết biểu thức của hàm F1 và F2

b. Viết biểu thức hàm F1 dưới dạng tích các tổng (POS)

c. Viết biểu thức hàm F2 dưới dạng tổng các tích (SOP)

D B A D BC A D

C B A

, , , (

) 12 , 8 , 6 , 4 , 2 , 1 , 0 ( )

, , , (

2

1

D C B A F

D C B A F

Bài tập:

Bài tập 10: Cho sơ đồ mạch như sau

Lập bảng chân trị và viết các hàm trong các trường hợp sau

a E=0 và D=0

Tìm dạng chuấn tắc tuyển và chuẩn tắc hội của các hàm sau

Bài tập 11:

C B A B

A C

B A F

B A C

A C

B A F

Z X XY

Z Y X F

XZ YZ

XY Z

Y X F

) , , (

) , , (

) , , (

) , , (

4 3 2 1

Dùng bìa Karnaugh rút gọn và vẽ mạch logic (nếu có) các hàm sau

, , , , (

) (

) , , , (

) 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ( )

, , (

) 14 , 12 , 10 , 8 , 5 , 4 , 2 , 1 , 0 ( )

, , , (

F

D C ABC

D C

A B

A D

C B A D

C B A

F

C B A

F

D C B A

F

Dùng bìa Karnaugh rút gọn và vẽ mạch logic (nếu có) các hàm sau

Bài tập 13:



 ( 1 , 2 , 4 , 7 , 9 , 15 ) )

, , , (

1 A B C D

F



 ( 0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 8 , 10 , 11 , 14 , 15 ) )

, , ,

, , ,

(

4 A B C D

F

) 15 , 10 , 13 , 8 , 7 , 5 , 2 , 0 ( )

, , ,

(

3 A B C D  

F

, , ,

(

) 8 , 7 , 6 , 4 , 3 , 2 , 0 ( )

, , ,

(

2

1

D C B

A

F

D C B

A

F

a Rút gọn hàm F1 và thực hiện F1 dùng cấu trúc cổng AND-OR

b Rút gọn hàm F2 và thực hiện F2 dùng cấu trúc cổng OR-AND

c Thực hiện F1 dùng cấu trúc toàn bộ bằng cổng NAND

d Thực hiện F2 dùng cấu trúc toàn bộ bằng cổng NOR

Rút gọn hàm sau và thực hiện bằng cổng NAND 2 ngõ vào

Bài tập 15:



 ( 4 , 6 , 9 , 10 , 12 , 14 ) )

, , ,

F

Rút gọn hàm sau và thực hiện bằng cổng NOR 2 ngõ vào

) 11 , 10 , 9 , 6 , 4 , 3 , 2 , 0 ( )

, , , ( A B C D  

F

THE END