Chương 6 cung cấp kiến thức về phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace. Bài này tập trung vào biến đổi Laplace với các nội dung chính sau: Biến đổi Laplace thuận, biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng, các tính chất của biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược. Mời tham khảo.
Trang 1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace
Lecture-10
6.1 Biến đổi Laplace
6.1 Biến đổi Laplace
6.1.1 Biến đổi Laplace thuận
6.1.2 Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng
6.1.3 Các tính chất của biến đổi Laplace
6.1.4 Biến đổi Laplace ngược
Trang 2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.1 Biến đổi Laplace thuận
Biến đổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các
thành phần tần số phân tích hệ thống đơn giản & trực quan hơn
trong miền tần số
| ( ) |f t dt & | ( ) |h t dt
−∞ < ∞ −∞ < ∞
Biếnđổi Fourier là công cụchủyếuđểphân tích TH & HT trong
nhiều lĩnh vực (viễn thông, xửlýảnh, …)
Muốn áp dụng biếnđổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT
vớiđápứng xung h(t) phảiổ định
Đểphân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) và hệ
thống khôngổ địnhdùng biếnđổi Laplace (là dạng tổng quát
của biếnđổi Fourier)
6.1.1 Biến đổi Laplace thuận
Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời giantạo hàm mớiφ(t) từ
f(t) sao cho tồn tại biếnđổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R
Biếnđổi Fourier củaφ(t) nhưsau:
( )ω [ ( )]φ t ∞ f t e( ) −σt e−j tωdt
−∞
f t e σ ω dt
−∞
=∫
Đặt s=σ+jω: ( ) ( ) st
f t e dt
−∞
Hay: F(s)= ∞ f(t)e dt−st
−∞
∫ (Biếnđổi Laplace thuận)
( )t f t e( ) σt
t
( )
f t
t
( ) ( )]
F s = L[f t
Ký hiệu:
Trang 3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.1 Biến đổi Laplace thuận
Miền hội tụ(ROC) của biếnđổi Laplace: tập hợp các biến s trong
mặt phẳng phức cóσ=Re{s} làm cho φ(t) tồn tại biếnđổi Fourier
Ví dụ: tìm ROC đểtồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau:
( ) ( ) at ( ); 0
a f t =e− u t a> ( ) ( ) at ( ); 0
b f t =e− u −t a> ( ) ( )c f t =u t( )
6.1.2 Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng
(a) f(t)=δ(t)
-at
(b) f(t)=e u(t); a>0
-at
(c) f(t)=-e u(-t); a>0
( ) 1; ROC: s-plane
F s
1 ( ) ; : Re{ }
s a
+ 1 ( ) ; : Re{ }
s a
+
(d) f(t)=u(t) F s( ) 1;ROC: Re{ }s 0
s
Trang 4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.3 Các tính chất của biến đổi Laplace
Tính chất tuyến tính:
f t ↔F s
⇒
1 1( ) 2 2( ) 1 1( ) 2 2( )
a f t + a f t ↔ a F s + a F s
f t ↔F s
Dịch chuyển trong miền thời gian:
f t ↔F s ⇒ 0
0
f t t − ↔ F s e−
: 2 ( ) ( ) ; : Re{ } 1
Ex e u t e u t ROC s
s s
( 3 5 )
2
t
Ex rect u t u t e e
s
−
6.1.3 Các tính chất của biến đổi Laplace
Dịch chuyển trong miền tần số:
f t ↔F s ⇒ 0
0
f t e ↔ F s s −
Ex bt u t
s b
↔
e bt u t
s a b
Đạo hàm trong miền thời gian:
f t ↔F s
n
n
d f t
dt
(1)
( )t s
δ
( )t 1
( )
t s
δ
4 ( )
2
t
f t rect −
2
2
( )
?
d f t dt
Trang 5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.3 Các tính chất của biến đổi Laplace
Tích phân miền thời gian:
f t ↔F s ⇒
0
( ) ( )
s
τ τ
∫
0
( )
τ τ
τ τ
−
−∞
∫
Tỷlệthời gian:
f t ↔F s ⇒ 1
6.1.3 Các tính chất của biến đổi Laplace
Tích chập miền thời gian:
f t ↔F s f t ↔F s ⇒
1( ) 2( ) 1( ) ( )2
f t ∗ f t ↔ F s F s
Tích chập miền tần số:
2
1( ) ( )2 j 1( ) 2( )
f t f t ↔ π F s ∗ F s
Đạo hàm trong miền tần số:
f t ↔F s ⇒ ( )
tf t
ds
↔−
1 ( )
1
t
e u t
s
1 ( )
1
t
te u t
s
−
+ 2
t u t ↔
Trang 6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4 Biến đổi Laplace ngược
Tín hiệu f(t) được tổng hợp nhưsau: ( ) ( ) t
f t =φ t eσ
2
( ) [ ( )] t ( ) j t t
f t − ω eσ π ∞ F s eωdω eσ
−∞
=F Φ = ∫
1 2
( ) j j ( ) st
j
f t π σ F s e ds
σ
+ ∞
− ∞
= ∫ (Biếnđổi Laplace ngược)
Chúng ta không tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!!
Mô tảF(s) vềcác hàmđơn giản màđã có kết quảtrong bảng các cặp
biếnđổi Laplace Thực tế ta quan tâm tới các hàm hữu tỷ!!!
Zero của F(s): các giá trịcủa s đểF(s)=0
Pole của F(s): các giá trịcủa s đểF(s)→∞
Nếu F(s)=P(s)/Q(s) Nghiệm của P(s)=0 là các zero & nghiệm
của Q(s)=0 là các pole
Ký hiệu: -1[ ]
f(t)= L F s( )
6.1.4 Biến đổi Laplace ngược
Dùng bảng
Dùng ?
Ví dụ:
2
s
−
= − + +
2
s
e e u t
s s s s s s
Trang 7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4 Biến đổi Laplace ngược
start
m<n
m≥ ≥ ≥n Polynomicaldividing;
in case m=n F(s)/s
Expend the proper.
The result depends on
n unknown coefficients (k1, k2,…)
Find unknown coefficients
by using:
[1] Clearing func [2] Heaviside [3] Mixing boths
Xét hàm hữu tỷsau:
1
1
( )
n
b s b s b s b P s
F s
s a s a s a Q s
−
−
−
−
m≥n: improper; m<n: proper, chúng ta chỉ tập trung vào proper!!!
6.1.4 Biến đổi Laplace ngược
( ) ( ) / ( )
Xácđịnh zero & pole của F(s); zero & pole phải khác nhau
Khai triển các hàm proper:
Giảsửcác pole là: s=λ1,λ2,λ3,…
Khai triển F(s) dùng quy luật sau:
• Các pole không lặp lại:
3
k
F s
• Các pole lặp lại, giảsửλ2lặp lại r lần
1
1
0
r
j
r j j
k
F s
s λ s λ s λ
−
−
=
Trang 8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4 Biến đổi Laplace ngược
Phương pháp hàm tường minh xácđịnh các hệsố:
• Nhân 2 vếvới Q(s); sauđó cân bằng thuđược hệphương trình
theo các hệsốc n tìm
It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!!
• Giải hệphương trình tìm các hệsố
2
3
2
k
s
−
2
2 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)
• ví dụ:
1
1
k k k
k k k k
= −
⇒
1
2
3
1 1 1
k k k
= −
=
=
⇒
6.1.4 Biến đổi Laplace ngược
Phương Heaviside xácđịnh các hệsố:
•Các pole không lặp lại: ( ) ( )
i
•Các pole lặp lại:
1
!
i
i
r
j
r
d
j ds
λ
λ
λ
λ
=
=
3
( ) ( 1)( 2)
s
F s
s s
+
=
•Ví dụ: 1 20 21 22
k
Trang 9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4 Biến đổi Laplace ngược
Phương hổn hợp: phương pháp nhanh nhất!!!
3
( ) ( 1)( 2)
s
F s
s s
+
=
•Ví dụ: 1 20 21 22
k
k +k = ⇒k = −
sF s s→ ∞
0 :
5
( )
1
8 10
2
2 s
s
k
s
=−
+
2
8 10
6 1
s
s k s
=−
+
+
21
2
21
10 16 6 8
2 2
6.1.4 Biến đổi Laplace ngược
Ví dụ: tìm biếnđổi Laplace ngược của các hàm sau:
2
7 - 6 ( ) F(s)=
6
s a
s − −s
2
2
2 5 ( ) F(s)=
3 2
s b
+ + +
2
6( 34) ( ) F(s)=
s c
s s s
+