Sử dụng công thức véc tơ từ thế để tính toán dòng điện xoáy trong lõi thép máy biến áp bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Trong nội dung bài báo này, nhóm tác giả đã đưa ra kết quả về phân bố từ trường và dòng điện xoáy trong lõi thép bằng phương pháp phần tử hữu hạn, và sử dụng Phương pháp phần tử hữu hạn được phát triển với công thức véc-tơ từ thế a cho bài toán từ động để tính toán sự phân bố của từ trường, dòng điện xoáy trong các lá thép kỹ thuật điện trong lõi thép của MBA.

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(112).2017-Quyển 1 69

SỬ DỤNG CÔNG THỨC VÉC-TƠ TỪ THẾ ĐỂ TÍNH TOÁN DÒNG ĐIỆN XOÁY TRONG LÕI THÉP MÁY BIẾN ÁP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

USING A MAGNETIC VECTOR POTENTIAL FORMULATION FOR CALCULATING EDDY

CURRENTS IN IRON CORES OF TRANSFORMERS BY A FINITE ELEMENT METHOD

Trần Thanh Tuyền 1 , Đặng Quốc Vương 2

1 Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh; tuyenttbk48@gmail.com

2 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; vuong.dangquoc@hust.edu.vn

Tóm tắt - Các mô hình bài toán điện từ xuất hiện hầu hết trong các

loại máy điện nói chung và máy biến áp nói riêng Do đó, việc xây

dựng mô hình toán để nghiên cứu và tính toán sự phân bố của từ

trường, dòng điện xoáy trong máy biến áp (MBA) điện là cần thiết

và cấp bách đối với các nhà nghiên cứu, nhà thiết kế và chế tạo

MBA Phương pháp phần tử hữu hạn được phát triển với công

thức véc-tơ từ thế a cho bài toán từ động để tính toán sự phân bố

của từ trường, dòng điện xoáy trong các lá thép kỹ thuật điện trong

lõi thép của MBA Trong nội dung bài báo này, nhóm tác giả đã

đưa ra kết quả về phân bố từ trường và dòng điện xoáy trong lõi

thép bằng phương pháp phần tử hữu hạn,

Abstract - Modelling of electromagnetic problems almost occur in

machines in general and transformers in particular Hence, the establishment of mathematic model for computing distribution of magnetic fields and eddy currents in transformers is neccesary and imperative for transformer researchers, designers and manufacturers The finite element method is developed with a magnetic vector potential a for magnetodynamic problems to calculate the distribution of magnetic fields and eddy currents in iron cores of transformers This paper show the results of computing magnetic fields and calculating eddy curents in the iron cores of transformers by the finite element method

Từ khóa - phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH); dòng điện

xoáy; véc-tơ từ thế; bài toán từ động; lõi thép Key words - finite element method (FEM); eddy current; magnetic vector potential; magnetodynamics; steel core

1 Đặt vấn đề

Lõi thép trong các máy điện thường được làm bằng các

lá thép kỹ thuật điện để giảm tồn hao do từ trễ và dòng điện

xoáy do từ thông biến đổi theo thời gian Để tính toán sự

phân bố của từ thông, dòng điện xoáy và tổn hao trong lõi

thép, một số phương pháp được áp dụng như: phương pháp

giải tích; phương pháp mạch từ không gian thay thế;

phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)

Phương pháp giải tích có ưu điểm là cho phép tìm được

nghiệm cụ thể, dễ dàng phân tích các yếu tố ảnh hưởng và

giải thích được các hiện tượng xảy ra trong thiết bị điện hay

tính toán các đại lượng liên quan Ngoài ra, nghiệm của bài

toán cũng phản ánh các điều kiện biên của bài toán, đặc

tính của nguồn trường cung cấp [1] Tuy nhiên, đối với bài

toán có mô hình và điều kiện biên giữa các môi trường tiếp

giáp phức tạp, miền giá trị phi tuyến thì việc áp dụng

phương pháp giải sẽ gặp khó khăn (gây ra sai số lớn) và đôi

khi không thể thực hiện được Phương pháp mạch từ không

gian thay thế [1] có thể giải bài toán có cấu trúc phức tạp

với độ chính xác cao, tuy nhiên với bái toán có số bậc tự

do lớn hơn 100, thì việc áp dụng phương phường này gặp

khó khăn và không đáp ứng được [1]

Để khắc phục được nhược điểm của hai phương pháp

trên, một phương pháp PTHH [2-5] được để xuất để phát

triển cho công thức véc-tơ từ thế a với mô hình bài toán từ

động để tính toán sự phân bố từ trường, dòng điện xoáy,

tổn hao trong lõi thép và vỏ của máy điện

2 Mô hình bài toán từ động

2.1 Hệ phương trình Maxwell

Trong phần này, tác giả giới thiệu về hệ phương trình

Maxwell tổng quát cùng với các luật trạng thái, và kết hợp

với sơ đồ Tonti (hình 1) [6] để thiết lập công thức véc-tơ

từ thế a của bài toán nghiên cứu, sau đó áp dụng phương

pháp PTHH để giải bài toán trong miền nghiên cứu Ω Sơ

đồ Tonti, còn được gọi là sơ đồ cơ bản hay sơ đồ kép liên quan đến các phương trình yếu nhận cần tìm của bài toán Điều này có nghĩa, dọc theo hàng ngang phía trên và phía dưới của sơ đồ (hình 1) là các biểu thức liên quan đến phương trình từ trường Trong khi đó, dọc theo hàng dọc (vuông góc với hàng ngang) của sơ đồ biểu diễn luật trạng

thái của đặc tính vật liệu

Hình 1 Sơ đồ Tonti [6]

Xét một hình bài toán điện từ kinh điển được xác định trên miền Ω với điều kiện biên được phân tích ∂Ω = Γ = Γh

∪ Γe trong miền không gian hai chiều và ba chiều Miền dẫn từ trong miền nghiên cứu của Ω được ký hiệu Ωc và miền không dẫn trong miền nghiên cứu của Ω ký hiệu ΩcC Miền Ωs của cuộn dây thuộc về miền ΩcC Hệ phương trình Maxwell bao gồm các phương trình đạo hàm riêng được

liên kết với nhau thông qua các véc-tơ điện trường e và từ trường h, các luật trạng thái, và các điều kiện biên được

viết trong không gian ba chiều Eculidean Ε3 [2], [4]:

c l ur h= j , div b=0, c l ur e= −∂t b (1a-b-c)

1

s

μ−

h b h j=σe+ j s (2a-b)

0

h

Γ =

n×h , n b⋅ Γb =0 (2a-b)

0

e b

Γ ⊂Γ =

Phương trình (1a) là phương trình “Ampere”, phương trình (1b) là phương trình “Gauss”, và phương trình (1c) là

70 Trần Thanh Tuyền, Đặng Quốc Vương

phương trình “Faraday” Các véc-tơ trường: h là véc-tơ

cường độ từ trường (A/m); e là véc-tơ cường độ điện

trường (V/m); b là véc-tơ mật độ từ thông (T) với Γb là mặt

biên bao quanh của b; j là mật độ dòng điện (A/m2); μ là

độ từ thẩm (H/m), σ là độ dẫn điện (S/m); ∂t là đạo hàm

theo thời gian và n là véc-tơ pháp tuyến đơn vị có hướng

từ trong ra ngoài của miền Ω Trường hs trong (2a) có thể

được xác định thông qua mật độ dòng điện js được đặt vào

cuộn dây [6] hoặc trường hs cũng có thể được xác định

thông qua định luật Biot-Savart [1] Các phương trình

Maxwell trên được giải cùng với các điều kiện biên, với

các thành phần tiếp tuyến của trường e và trường h lần lượt

được đặt lên biên Гh và Гe (được biểu diễn ở mục 2.2)

2.2 Điều kiện biên

Các phương trình Maxwell được trình bày ở mục 2.1

xác định trường điện từ trong miền hữu hạn, nếu những

điều kiện biên thích hợp được đặt lên biên của miền nghiên

cứu Đối với các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của

trường điện từ, điều kiện biên được xác định như sau:

- Đối với vật liệu dẫn từ lý tưởng (tức là μ ~ ∞), phương

trình (3a-b) ngụ ý h ~ 0 trên miền Γh và thỏa mãn

0

h

Γ =

n×h

- Đối với vật liệu dẫn điện lý tưởng (tức là σ ~ ∞),

phương trình (4c) ngụ ý e ~ 0 trên miền Γe và thỏa mãn

0

e

Γ =

n×e

Trường hợp, nếu khác 0, các trường là không liên tục và

được xem như là các nguồn mặt, được xác định thông qua

miền mỏng lý tưởng [.]γ [2] (với [.]γ = |γ+ - |γ+ là sự kết nối

giữa hai miền dẫn hoặc giữa miền dẫn và không dẫn)

3 Phương trình yếu nhận với véc-tơ từ thế

Phương pháp PTHH cho phép rời rạc hóa miền nghiên

cứu/liên tục Ω thành các miện rời rạc Ω1… Ωn Hệ phương

trình Maxwell được xác định trên miền rời rạc gọi là

phương trình yếu nhận Ở đây, phương trình yếu nhận với

véc-tơ từ thế a cho mô hình bài toán từ động được thiết lập

dựa trên hệ phương trình Maxwell tổng quát và các luật

trạng thái đã được thể hiện trong mục 2.1 Như chúng ta đã

biết, để thỏa mãn được định luật Faraday (1c), thì trường

b thuộc không gian hàm He (div, Ω) (b He (div, Ω)) và

trường e thuộc không gian hàm He (curl, Ω) (e He (curl,

Ω)) [6] Điều này tương đương với việc kiểm chứng lại sơ

đồ Tonti (mục 2.1 [6]) Hơn nữa, để thỏa mãn chính xác

các luật trạng thái (2a-b), thì trường h He (div, Ω) và j

He (curl, Ω) Định luật Ampere (1a) cũng được kiểm chứng

một cách yếu nhận “weakly” Công thức yếu nhận cho

véc-tơ từ thế a được thiết lập dựa vào định luật Ampere (1a)

như sau [1], [2]:

0

(curlh a, ')Ω=( , ') ,j a Ω ∀ ∈a' H e (curlh; ), (5)Ω

trong đó H e0(curl; )Ω là không gian hàm được xác định

miền nghiên cứu Ω (bao gồm Ωc và ΩcC), và bao gồm các

hạm nội suy (hàm dạng) cho trường a và hàm thử “test

function” a' (tại miền rời rạc, không gian hàm này được

xác định thông qua các phần tử hữu hạn cạnh [6]) Các ký

hiệu ( , ·)Ω và < ·, ·>Γ lần lượt là các ký hiệu của tích phân khối được xác định trong miền Ω, và tích phân mặt được xác định trên biên ∂Ω = Γ (với Γ = Γh U Γe) (hình 2) của các tích trường véc-tơ của chúng Trong đó, tích phân mặt trên biên Γh kể đến điều kiện biên (3a), được xác định bằng

0 Bằng cách áp dụng công thức Green với curl-curl [6]

trong miền Ω cho các trường h và a’ , với j = j s ta có: 0

s e

curl

curl

Hình 2 Miền nghiên cứu Ω và mặt biên bao quanh Γ

Để thỏa mãn sơ đồ Tonti (cho cả định luật Faraday và

định luật Gauss), các luật trạng thái (2a-b) được giới thiệu

vào phương trình yếu nhận (6), đó là:

1 0

s e

e

−

curl

Thay biểu thức véc-tơ mật độ từ thông b = curl a và véc-tơ cường độ điện trường e = - ∂ t a – gradυ vào phương

trình (7), ta có:

1

0

t s e

v

−

Ω

curl

n h a n h a j a

từ thế véc-tơ a trong (8) được xác định là duy nhất trong

các miền dẫn Ωc, thì một điều kiện Gauss phải được đặt vào mọi nơi trong miền Ω [6, 7] Phương trình yếu nhận

(8) cho thấy rằng, bằng cách lấy a’ = gradv’ như là một

hàm thử để có:

10

t e

trong đó Γg là một phần của biên Ωc và mang một dòng điện Phương trình (9) thực tế là một phương trình yếu nhận

của divj = 0 trong miền dẫn Ωc Các trường trên biên Γ e với các điều kiện biên cần thiết trênn b⋅ thì thường bỏ qua bởi

vì tại đó thì giá trị của hàm thử bằng không, vì vậy nó

không đóng góp trong phương trình (8) Sự tồn tại của trườngn h× trong (9) được sử dụng điều kiện biên tự nhiên trên biên của Γh của miền nghiên cứu Ω (có nghĩa là

thành phần tiếp tuyến của trường h bằng 0 trên Γ h) , đó là:

4 Bài toán ứng dụng

Dựa vào công thức véc-tơ từ thế a đã được phát triển ở

phần 3, nhóm tác giả sử dụng phần mềm Gmsh [8] để xây

dựng mô hình nghiên cứu với kích thước hình học thực tế

của bài toán và phần mềm GetDP [9] để xây dựng mô hình

∈

∈

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 3(112).2017-Quyển 1 71 toán với các phương trình yếu nhận Kết quả đạt được từ

GetDP sẽ được mô phỏng thông qua phần mềm Gmsh

Xét một với mô hình 2D bao gồm cuộn dây và lõi thép

có nguồn dòng bao quanh lõi thép (gồm nhiều lá thép mỏng

ghép lại với nhau) Đây là một dạng bài toán liên quan đến

mô hình lõi thép và cuộn dây của máy biến áp Hình 3 chỉ

ra một mô hình mà lõi thép được bao quanh bởi cuộn dây

Trong đó, lõi thép gồm 12 lá thép kỹ thuật điện được sơn

cách điện với nhau và có chiều dày của mỗi lá thép là

0,3mm (với độ từ thẩm tương đối μr = 500 và độ dẫn điện

σ = 10MS/m) Cuộn dây được kích thích bởi dòng điện

xoay chiều 1A với tần số f = 50Hz (số vòng của cuộn dây

là w = 1.000 vòng) Trong mô hình, do dây quấn quấn xung

quanh lõi thép nên có tính chất đối xứng Do đó hình 3, tác

giả chỉ mô phỏng ½ lõi thép và dây quấn

Hình 3 Mô hình chia lưới cuộn dây và lõi thép

Mô hình chia lưới 2D cũng được thể hiện trong hình 3

với hai cấu trúc phần tử lưới khác nhau Để đảm bảo được

kích thước của phần từ lưới luôn nhỏ hơn

2 / 2 f

bố của dòng điện xoáy theo chiều dày của lá thép hoặc màn

chắn có cấu trúc vỏ mỏng, tác giả sử dụng phần tử lưới là

dạng chữ nhật với 8 lớp/1 lá thép Đối với khu vực cuộn

dây và xung quanh cuộn dây (không khí) sử dụng phần tử

lưới thưa có dạng tam giác

Hình 4 Phân bố của nguồn dòng trong cuộn dây

Hình 5 Phân bố mật độ từ thông trong lõi thép (μ r = 500,

σ = 10MS/m), với tần số f = 50Hz (trên) và f = 1kHz (dưới)

Hình 6 Phân bố mật độ từ thông b trong các lá thép kỹ thuật

điện theo mặt cắt vuông góc với trục 0x

Hình 4 biểu diễn sự phân bố nguồn dòng điện trong

cuộn dây với tần số công nghiệp f = 50Hz Hình 5 cho thấy

sự phân bố của b do dòng điện chạy trong cuộn dây sinh ra

ở tần số là 50Hz (trên) và 1kHz (dưới) Đối với trường hợp

tần số f = 50Hz, do tần số thấp và độ sâu của bề mặt

(skindepth) lớn cho nên hiệu ứng bề mặt nhỏ và từ thông

được phân bố đều trên các lá thép Khi tần số tăng lên f =

1kHz, sự phân bố của b trong lõi thép thay đổi, skindepth

nhỏ, hiệu ứng bề mặt lớn, dẫn đến từ thông chỉ tập trung ở hai bên của lá thép dọc theo chiều dày như hình 5 (dưới)

Sự phân bố của mật độ từ thông phần thực (real part) và từ thông phần ảo (imaginary part) theo chiều dày của các lá thép thông qua một vết cắt được thể hiện như trong hình 6 Trên từng lá thép mật độ từ thông phân bố theo chiều dày của các lá thép và có dạng hypecbol

Hình 7 Phân bố của mật độ dòng điện xoáy trong lõi thép

(μ r = 500, σ = 10MS/m, f = 1kHz)

Sự phân bố của dòng điện xoáy trên từng lá thép kỹ thuật điện sinh ra bởi từ thông biến thiên theo thời gian

(hình 4 và 5) được mô tả trong hình 7, với μ r = 500, σ = 10MS/m, f = 1kHz Tương tự như hình 6, sử dụng một vết

cắt vuông góc/dọc theo chiều dày của các lá thép, sự phân

bố của dòng điện xoáy được miêu tả trong hình 8 Do các

lá thép kỹ thuật điện được sơn cách điện với nhau, cho nên hình 8 cho thấy dòng điện xoáy khép vòng kín trong từng lá thép mà không khép vòng từ lá thép này qua lá thép khác Điều đó chứng tỏ rằng, nếu chiều dày của lá thép càng nhỏ thì sự khép vòng của dòng điện xoáy càng nhỏ và giảm được tổn hao trong lõi thép Đây cũng chính

là câu trả lời cho việc khi chế tạo MBA nói riêng và máy điện nói chung, việc sử dụng các lá thép kỹ thuật điện có chiều dày càng nhỏ thì sẽ càng giảm được tổn hao do từ trễ và dòng xoáy

Hình 8 Phân bố mật độ dòng điện xoáy trong các lá thép

kỹ thuật điện theo mặt cắt vuông góc với trục 0x

72 Trần Thanh Tuyền, Đặng Quốc Vương

5 Kết luận

Phương pháp PTHH đã được phát triển cho việc tính

toán, mô phỏng từ trường và dòng điện xoáy trong lõi thép

của MBA Các kết quả đạt được đã chỉ ra rằng, với độ từ

thẩm và độ dẫn điện không đổi, từ trường và dòng điện xoáy

phụ thuộc hoàn toàn vào tần số Có nghĩa rằng khi tần số

tăng, hiệu ứng mặt ngoài lớn và sự phân bố của từ trường,

dòng điện xoáy chủ yếu tập trung lớn về hai phía của từng lá

thép (dọc theo chiều dày) Giá trị của từ trường thông qua

mật độ từ cảm và dòng điện xoáy được thể hiện thông qua

việc khép vòng (loop) trên từng lá thép Điều này chứng tỏ

rằng nếu chiều dày lá thép càng lớn thì tổn hao sinh ra do từ

trường và dòng điện xoáy càng lớn, và ngược lại Các kết

quả đạt được đã cho thấy được sự ảnh hưởng của từ trường,

dòng điện xoáy đối với lõi thép là rất quan trọng Từ việc

tính toán và mô phỏng của từ trường và dòng điện xoáy trong

lõi thép của MBA là cơ sở để các nhà nghiên cứu, thiết kế và

chế tạo MBA có thể tính toán được chính xác tổn hao công

suất do dòng điện xoáy sinh ra trong lõi thép, từ đó tối ưu

hóa được các thông số khi thiết kế và chế tạo Với kết quả

đạt được từ việc áp dụng công thức véc-tơ từ thế a, sẽ là cơ

sở để phát triển cho công thức véc-tơ cường độ từ trường h,

và sẽ được phát triển ở nghiên cứu tiếp theo

SỰ GHI NHẬN

Bài báo được thực hiện từ nguồn kinh phí thực hiện đề

tài nghiên cứu khoa học với mã số T2016-PC-085 của

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Các kết quả mô phỏng của bài báo được thực hiện

dựa trên hai phần mềm mã nguồn mở được viết bởi hai thầy giáo tại Trường Đại học Liege, Vương Quốc Bỉ: Gmsh (https://geuz.org/svn/gmsh/) và GetDP (http://geuz.org/getdp/)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đặng Văn Đào, Lê Văn Doanh, Các phương pháp hiện đại trong nghiên cứu tính toán thiết kế kỹ thuật điện, Nhà xuất bản Khoa học

và Kỹ thuật, 2000

[2] P Dular, Vuong Q Dang, R V Sabariego, L Krähenbühl and C

Geuzaine, “Correction of thin shell finite element magnetic models

via a subproblem method,” IEEE Trans Magn., Vol 47, no 5, 2011,

pp 158 –1161

[3] P Dular, R V Sabariego, M V Ferreira da Luz, P Kuo-Peng and

L Krähenbühl, “Perturbation Finite Element Method for Magnetic Model Refinement of Air Gaps and Leakage Fluxes”, " IEEE Trans

Magn., vol.45, no 3, 2009, pp 1400-1403

[4] Gerard Meunier, The Finite Element Method for Electromagnetic Modeling, John Wiley & Sons, Inc, 2008

[5] S V Kulkarni, J C Olivares, R Escarela-Perez, V K Lakhiani, and J Tur-owski (2004), “Evaluation of eddy currents losses in the cover plates of distribution transformers”, IET Sci., Meas Technol

151, no 5, pp 313-318

[6] C Geuzaine (2001), High oder hybrid finite element schems for Maxwell’s equations taking thin structures and global quantities into account, Ph.D thesis, University of Liege, Belgium

[7] C Geuzaine, P Dular, and W Legros, “Dual formulations for the

modeling of thin electromagnetic shells using edge elements”, IEEE Trans Magn., vol 36, no 4, 2000, pp 799–802

[8] Christophe Geuzaine, Jean-François Remacle (2015), Gmsh

Reference Manual, University of Liege, Belgium

[9] Patrick Dular, Christophe Geuzaine (2014), GetDP Reference Manual, University of Liege, Belgium

(BBT nhận bài: 27/7/2016, hoàn tất thủ tục phản biện: 20/3/2017)