Chương 5 trang bị cho người học những kiến thức về lấy mẫu (Sampling). Trong lecture 9 sẽ tập trung trình bày những nội dung chính sau: Lý thuyết lấy mẫu, biến đổi Fourier rời rạc (DFT), biến đổi Fourier nhanh (FFT). Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
Ch-5: Lấy mẫu (Sampling)
Lecture-9
5.1 Lý thuyết lấy mẫu
5.2 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
5.3 Biến đổi Fourier nhanh (FFT)
5.1 Lý thuyết lấy mẫu
5.1.1 Lấy mẫu trong miền thời gian
5.1.2 Lấy mẫu trong miền tần số
Trang 2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.1.1 Lấy mẫu trong miền thời gian
từ các mẫu biết trước nếu được lấy mẫu tuân theo ĐL lấy mẫu
5.1.1 Lấy mẫu trong miền thời gian
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
b) Lấy mẫu bằng bộ giữ mẫu bậc không
c) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế
Trang 3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
f (t)=f(t)p(t)
s n
∞
=−∞
−
n
∞
=−∞
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
Phổcủa tín hiệuđãđược lấy mẫu
n s
2π p(t) P(ω) δ(ω nω ); F =1/T , ω =2πF
T
∞
=−∞
s n
s
f (t) F(ω)= [F(ω) P(ω)] F(ω nω )
∞
=−∞
Trang 4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
a) Lấy mẫu bằng chuỗi xung đơn vị - định lý lấy mẫu
s
F ≥2B; F =2B Nyquist rates
Khôi phục tín hiệu - Định lý lấy mẫu: ĐL Nyquist, ĐL Shannon
Tín hiệu có phổ giới hạn là B Hz có thể khôi phục chính
xác từ các mẫu của nó có được khi lấy mẫu đều đặn với
tốc độ Fs≥2B mẫu/s Nói cách khác tần số lấy mẫu nhỏ
nhất là Fs=2B Hz
s
ω ≥4πB
Low-pass Filter
b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không
Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không
Trang 5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không
Bộ khôi phục tín hiệu cho bộ giữ mẫu bậc không
H (ω)=T H (ω)H (ω) Không thực hiện được!!!
b) Lấy mẫu với bộ giữ mẫu bậc không
Khôi phục gần đúng cho bộ giữ mẫu bậc 0
Low-pass Filter
Trang 6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế
Ideal Filter
Practical Filter
Giả sử tín hiệu có băng tần hữu hạn
d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế
Băng tần tín hiệu vô hạn – hiện tượng alias
Giải pháp: Anti-aliasing Filter
Trang 7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
d) Khó khăn trong việc khôi phục tín hiệu thực tế
5.1.2 Lấy mẫu trong miền tần số
Xét tín hiệu f(t) có thời gian hữu hạn và phổ như hình vẽ
Lấy mẫu F(ω) trên thang tần số với chu kỳ lấy mẫu làω0
0
0
0
n=
T
2π
+∞
−∞
n=
T
2π
+∞
−∞
−
∑
T0
Trang 8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.1.2 Lấy mẫu trong miền tần số
Điều kiện khôi phục lại tín hiệu gốc khi lấy mẫu phổ của tín hiệu
0
T ≥τ ω0 ≤2π/τ
Lấy mẫu phổ tín hiệu đã được lấy mẫu
T0
5.2 Biến đổi Fourier rời rạc DFT
jωt
F(ω)= ∞ f(t)e− dt
−∞
∫
jωt
1 f(t)= F(ω)e dω
2π
∞
−∞
∫
N 0 mẫu
N 0 mẫu
Mục đích: thiết lập mối quan hệ giữa các mẫu trong miền thời gian
với các mẫu trong miền tần số
0 0 s s 0
N =T /T = ω /ω
T0
Trang 9Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.2 Biến đổi Fourier rời rạc DFT
Biến đổi DFT thuận:
0
N 1
_
k= 0
f (t)= f(kT )δ(t kT )
−
−
s
N 1 _
jωkT s k= 0 F(ω)= f(kT )e
−
−
∑
Mặt khác trong đoạn -ωs/2 đến ωs/2 (tương ứng với N0mẫu):
_
s
F(ω) F(ω)
T
N 1 _
jrω kT
k= 0 F(rω )=T F(rω )=T f(kT )e
−
−
∑
Đặt Ω0=ω0Ts=2π/N0; Fr=F(rω0): mẫu thứ r của F(ω); fk=Tsf(kTs):
mẫu thứ k của f(t); ta có:
Do f(t) chỉ tồn tại từ 0 đến T0(tương ứng với N0mẫu):
0
0
N 1
jrΩ k
r k k=0
F = f e
−
−
∑ (Biến đổi DFT thuận)
5.2 Biến đổi Fourier rời rạc DFT
Biến đổi DFT ngược:
N 1 N 1 N 1
jm r jrΩ k jm r
r=0 r=0 k=0
Ω − Ω
nhân DFT thuận với jmΩ r 0 sau đó lấy tổng:
e
N 1 N 1 N 1
jm r j(m k)Ω r
r=0 k=0 r=0
0
0
N 1
jm r r
0 k 0 m r=0
0; k m
N f N f ; k m
−
Ω ≠
∑
0
0
N 1
jrΩ k
1
−
Trang 10Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT
Giảm khối lượng tính toán: N02→N0logN0
0
0
1
0
N
jr k
k
−
− Ω
=
0
0
1
0 0
r
N
−
Ω
=
Cộng: N0-1 Tổng cộng cho các hệ số: N0N0phép nhân và N0(N0-1) phép cộng
Đưa ra bởi Turkey and Cooley năm 1965, N0phải là lũy thừa của 2
0
2 /
j N j N
Các biểu thức DFT được viết lại:
0
0
1
0
N
kr
r k N
k
−
=
0
1
0 0
r
N
−
−
=
5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT
Chia fkthành 2 chuỗi: chẵn và lẻ theo số thứ tự:
0 4 6 2 1 3 5 1
g h
sequence sequence
(2 1) 2
2 2 1
k r kr
+ +
Biểu thức DFT được viết lại:
0
+
Ta có: 0
0 2
2
0
r
r N r
Trang 11Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT
Do Grvà Hrlà DFT N0/2 điểm nên nó có tính tuần hoàn:
2 & 2
Mặt khác: 20 20
0
N
j r r
0
+
r r N r
0
N
0 2
r N r r
⇒
⇒
0
(0≤r≤N −1)
0 0
0 0
0 2
2
2
N
N r
r r N r
N r
r N r
r
r
r
0
r N W
0
r N
W
−
⇔
5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT
0 0
0 0
0 2
2
2
N
N r
r r N r
N r
r N r
r
r
r
r
0
r N W
0
r N
W
−
⇔
Trang 12Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 2/11-12
5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT
0 0
0 0
0 2
2
2
N
N r
r r N r
N r
r N r
r
r
r
r
0
r N W
0
r N
W
−
⇔
5.3 Biến đổi Fourier nhanh FFT
Số phép toán nhân và cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT:
0 0
0 0
0 2
2
2
N
N r
r r N r
N r
r N r
r
r
r
r
0
r N W
0
r N
W
−
⇔
Số phép toán nhân: 0
2 0
log 2
N
N
Số phép toán cộng: N0log2N0