Bài giảng Lý thuyết thông tin: Chương 4.3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 4.3 trình bày các nội dung về chận trên và dưới cho khả năng sửa sai của bộ mã kiểm tra chẵn lẻ. Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung giải quyết bài toán liên quan đến chủ đề trên. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương 4: Mã sửa sai

4.3 Chận trên và dưới cho khả năng

sửa sai của bộ mã kiểm tra chẵn lẻ

Khả năng sửa sai

• Như đã biết, số từ mã tăng sẽ làm giảm khả năng sửa sai của bộ mã Ta sẽ cố gắng định lượng mối

liên hệ này

liên hệ này

• Trong phần này, ta giải quyết bài toán sau: cần

chọn ma trận kiểm tra chẵn lẻ như thế nào để bộ

mã thu được sửa sai được e bit trở lại

• Xét trường hợp e = 1 Ta xây dựng bộ mã sửa sai

được 1 bit

• Nếu bit sai ở vị trí thứ j thì vector hiệu chỉnh

tương ứng là cột thứ j của ma trận chẵn lẻ

Khả năng sửa sai

• Ta chọn ma trận chẵn lẻ sao cho n cột của nó

khác nhau đôi một (và khác 0)

• Khi đó mọi dãy sai một bit đều có các vector hiệu

9/30/2010

Huỳnh Văn Kha

• Khi đó mọi dãy sai một bit đều có các vector hiệu chỉnh khác nhau Do đó mọi lỗi sai 1 bit đều sửa

sai được

• Ví dụ, nếu n = 7, k = 4, ta có thể chọn ma trận

chẵn lẻ như sau:

ðịnh lý 4.9

Bộ mã kiểm tra chẵn lẻ xác định bởi ma trận A sẽ

sửa sai được e bit trở lại nếu và chỉ nếu mọi tập 2e cột của A đều độc lập tuyến tính

Chứng minh:

Theo định lý 4.8, mọi lỗi sai không quá e bit sẽ được làm đúng nếu và chỉ nếu các mẫu sai ≤ e bit có các

vector hiệu chỉnh phân biệt nhau Nghĩa là nếu và

chỉ nếu không có tổ hợp tuyến tính của e (hoặc ít

hơn) cột nào trong A bằng với một tổ hợp tuyến tính khác (cũng của e cột (hoặc ít hơn) trong A)

Điều này tương đương với mỗi tập 2e cột của A đều

phải độc lập tuyến tính

Ví dụ

9/30/2010

Huỳnh Văn Kha

• Có thể thấy mỗi tập gồm 4 cột của A là độc lập

tuyến tính Bộ mã ứng với A có thể sửa sai 2 bit

• Tuy nhiên: c(r1)+c(r8)+c(r9)=c(r3)+c(r4)+c(r6)

• Do đó các dãy sai ở ba cột 1, 8, 9 và các dãy sai ở

ba cột 3, 4, 6 có cùng vector hiệu chỉnh

• Như vậy sai 3 bit chưa chắc sửa được

Chận trên và dưới cho khả năng sửa

sai của bộ mã kiểm tra chẵn lẻ

• Giả sử ta cần xây dựng bộ mã kiểm tra chẵn lẻ

sửa sai được e bit (chiều dài từ mã n cố định)

• Vấn đề đặt ra là cần bao nhiêu bit kiểm tra để xây

• Vấn đề đặt ra là cần bao nhiêu bit kiểm tra để xây dựng bộ mã như vậy

• Ta muốn càng ít bit kiểm tra càng tốt Do số bit

kiểm tra càng ít thì số bit thông tin càng lớn và ta

có càng nhiều từ mã

• Tổng quát thì không thể xác định chính xác số bit kiểm tra cực tiểu Nhưng ta có thể ước lượng chận dưới và chận trên như các định lý sau

ðịnh lý 4.10

(Chận dưới Hamming cho số bit kiểm tra)

Số bit kiểm tra trong một bộ mã chẵn lẻ sửa sai

được e bit cần thỏa:

9/30/2010

Huỳnh Văn Kha

được e bit cần thỏa:

Trong đó: n = chiều dài từ mã

m = số bit kiểm tra = n - k

Chứng minh ñịnh lý 4.10

• Để bộ mã kiểm tra chẵn lẻ sửa sai được e bit trở

lại thì các lỗi sai e bit hoặc ít hơn có các vector

hiệu chỉnh khác nhau đôi một

hiệu chỉnh khác nhau đôi một

• Nếu từ mã có chiều dài n thì số lỗi sai đúng i bit

là tổ hợp chập i của n

• Số các vector hiệu chỉnh là 2m

• Do đó để các vector hiệu chỉnh là duy nhất cho

mỗi lỗi sai e bit trở lại thì:

Chú ý

• Chận dưới Hamming cho số bit kiểm tra chính là chận trên Hamming cho số từ mã (định lý 4.3)

• Chận dưới Hamming là điều kiện cần nhưng

không đủ cho việc xây dựng bộ mã kiểm tra chẵn

lẻ sửa sai được e bit

9/30/2010

Huỳnh Văn Kha

lẻ sửa sai được e bit

• Nói cách khác, nếu gọi m0 là số nguyên nhỏ nhất thỏa định lý 4.10 (với n và e cho trước) thì có thể

không có bộ mã nào sửa sai được e bit mà chỉ sử

dụng có m0 bit kiểm tra

• Ví dụ với n = 10, e = 2 ta có m0 = 6 Tuy nhiên

không có bộ mã chẵn lẻ nào sửa sai được 2 bit mà

sử dụng ít hơn 7 bit kiểm tra

ðịnh lý 4.11

(Điều kiện Varsharmov-Gilbert-Sacks)

Một bộ mã kiểm tra chẵn lẻ sửa sai được e bit với

chiều dài từ mã là n có thể xây dựng được nếu số

bit kiểm tra m thỏa điều kiện:

Đây là chận trên cho số bit kiểm tra cần thiết cho

việc xậy dựng bộ mã chẵn lẻ sửa sai e bit

Chú ý

• Điều kiện trong định lý 4.11 là điều kiện đủ nhưng không cần

• Nói cách khác, cố định n và e, gọi m1 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa định lý 4.11 Thì theo định lý 4.11 có thể xây dựng bộ mã sửa sai e bit sử dụng

9/30/2010

Huỳnh Văn Kha

4.11 có thể xây dựng bộ mã sửa sai e bit sử dụng

m1 bit kiểm tra Tuy nhiên, trong một số trường

hợp, ta cũng có thể xây dựng bộ mã sửa sai e bit

mà chỉ sử dụng ít hơn m1 bit kiểm tra

• Ví dụ với n = 10, e = 2, ta có m1 = 8 Tuy nhiên ta

có thể xây dựng bộ mã sửa sai 2 bit mà chỉ sử

dụng 7 bit kiểm tra như ví dụ sau định lý 4.9

Chứng minh ñịnh lý 4.11

• Ta sẽ xây dựng bộ mã thỏa yêu cầu bằng cách chỉ

ra các cột c(r1), c(r2), …, c(rn) của ma trận chẵn lẻ tương ứng

tương ứng

• Các cột này cần phải thỏa điều kiện: mọi tập gồm 2e cột đều độc lập tuyến tính

• Đầu tiên, chọn c(r1) khác 0 tùy ý

• Chọn c(r2) sao cho c(r2) ≠ 0, c(r2) ≠ c(r1)

• Chọn c(r3) sao cho c(r3) ≠ 0, c(r3) ≠ c(r1), c(r3)

≠ c(r2), c(r3) ≠ c(r1)+c(r2)

Chứng minh ñịnh lý 4.11

• Giả sử đã chọn được c(r1), c(r2), …, c(rn-1), ta

chọn c(rn) thỏa:

9/30/2010

Huỳnh Văn Kha

Chứng minh ñịnh lý 4.11

• Số các tổ hợp nói trên, không vượt quá:

(Chú ý: không nhất thiết tất cả các tổ hợp nói trên phân biệt nhau, do đó số tổ hợp có thể nhỏ hơn)

• Như vậy, nếu tổng trên ≤ 2m thì hiển nhiên ta

chọn được c(rn) Và do đó định lý được chứng

minh