Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 7: Hiện thực các hệ thống RRTG cung cấp cho người học các kiến thức: Cấu trúc hiện thực cho hệ FIR, cấu trúc hiện thực cho hệ IIR, không gian trạng thái, lượng tử hóa các hệ số của bộ lọc. Mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 2• C ấu trúc hiện thực cho hệ IIR
– C ấu trúc trực tiếp – C ấu trúc hoán vị – C ấu trúc cascade – C ấu trúc song song – C ấu trúc lattice và lattice-lader
• Không gian tr ạng thái
– Mô t ả không gian trạng thái bằng PTSP – Gi ải PT không gian trạng thái
– Mô t ả vào-ra và mô tả không gian trạng thái – Không gian tr ạng thái trong miền Z
• Lượng tử hóa các hệ số của bộ lọc
– Phân tích độ nhạy của việc lượng tử hóa các hệ số – Lượng tử hóa các hệ số của bộ lọc FIR
Trang 3• Hiện thực ⇔ sắp xếp lại PTSP
• Sự cần thiết của việc sắp xếp lại các PT
– Độ phức tạp tính toán – B ộ nhớ
– Sai s ố tính toán – C ấu trúc hiện thực: song song/pipeline
M
k
k k
z a
z b z
H
1
01
) (
b n
0
1
0 )
M
k
k
kz b z
) (
) ( )
(
M
k
k M
k
k n x b k
n x k h n
k
a n
y
0 0
) (
) (
) (
Trang 4dce
4
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – C ấu trúc trực tiếp (1)
• Tham số đặc trưng cho bộ lọc: giá trị của đáp ứng xung
• Bộ nhớ: M – 1 (ô nhớ)
• Độ phức tạp (cho 1 mẫu của y(n))
– Nhân: M – C ộng: M – 1
• Để 1 mẫu của x(n) đi qua khỏi hệ FIR
– Ph ải đi qua (M – 1) ô nhớ – C ần thời gian: (M – 1)Ts (s), Ts: chu k ỳ mẫu
) (
) (
) ( )
(
M
k
k M
k
k n x b k
n x k h n
y
Trang 5dce
FIR – C ấu trúc trực tiếp (2)
• Khi h(n) đối xứng: h(n) = ± h(M–1–n) → FIR là tuyến tính pha
+
+
Trang 6dce
6
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
H
K k
z b z
b b
z H đó
trong
z H z
H
k k
k k
K
k
k
, , 2 , 1 )
(
) ( )
(
2 2
1 1 0
1
= +
Trang 7dce
Tích các Hk(z) tương đương cấu trúc cascade
Khi h(n) thực và đối xứng: h(n) = ± h(M–1–n) → FIR là tuyến tính pha
Các điểm zero của H(z) cũng có dạng đối xứng
3 1
2 2
1 1 0
1 1
* 1
1 1
* 1
0( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( ) ) )
+ +
c z
c z
c c
z z
z z z
z z
z c
z
H
k k
k k
k
k k
k k
k k
ck2
Gi ảm 50% số phép nhân (gi ảm từ 6 xuống 3)
Trang 8dce
8
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Tham s ố đặc trưng cho bộ lọc: giá trị của đáp ứng tần số
, 1 , 0
) ( ))
( ( )
(
1
0
) (
M k
e n h k
H k
H
M
n
n k j M
, 1 , 0 )
( )
e n h H
, 1 , 0
) (
1 )
(
1
0
) (
2
M n
e k
H M
n h
M
k
n k
Trang 91 0
1 ) ( 1
1 0
1 0
) ( 1
1 0
) (
) (
) (
) ( )
j M
M
n
n M
k
n k j M
M
n
n
z e
k H z
e k
H
z n h z
H
M
α α
2
2
1
) (
1 )
(
M
k
k j
j M
z e
k H M
e
z z
2 1
(
) 1
( )
(
M
k
k j
j M M
z e
k
H z
H
e z
Trang 10dce
10
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• H ệ H1(z)
– Bậc M– Có M điểm zero
• H ệ H2(z)
– Tổng của M hệ H2k(z) (k =1,2,…,M)– Cấu trúc gồm M hệ mắc song song: H21(z), H22(z),…, H2M(z)– Mỗi hệ H2k(z) có tần số cộng hưởng (điểm cực)
1 ,
, 1 , 0
) (
, 1 , 0
) (
( )
1
πα
j M
M z e z
1
)
( )
H
Mπ α
α
Trang 11dce
• Khi LTI là bộ lọc thông hẹp (narrowband)
– H ầu hết các H(ω) ~ 0 Các H(k+α) tương ứng cũng ~ 0 → có thể bỏ qua một số hệ
H2k(z) ⇒ Gi ảm được số phép tính
• H(k+α) là một hàm đối xứng
– H(k+ α) = H * (M – k – α) – Có th ể rút gọn hơn H2(z)
• Nhóm 2 h ệ H2k(z) m ột pole thành một hệ có 2 pole với các tham số thực
• Khi α = 0 (tương tự khi α = ½)
2
1 1
2
) cos(
2 1
) ( )
( 1
) 0
( )
(
M
z k B k
A z
H z
2
1 1
2 1
2
2
) cos(
2 1
) ( )
( 1
)
( 1
) 0
( )
k
z k B k
A z
H z
H z
=
− +
=
e k M
H e
k H k
B
k M
H k
H k
A
/ 2 /
2
)
( )
( )
(
) (
) ( )
(
π π
Trang 12dce
12
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Ví dụ: cho hệ FIR tuyến tính pha có hàm đáp ứng xung đơn vị là h(n), h(n) thực và
có chiều dài M = 8 Biết rằng các mẫu tần số của h(n) như sau
– Yêu c ầu:
• V ẽ sơ đồ hiện thực dạng trực tiếp
• V ẽ sơ đồ hiện thực dạng lấy mẫu tần số
• So sánh s ố phép toán nhân và cộng trong mỗi loại trên
• Từ các mẫu đã cho suy ra các mẫu còn lại như sau [dựa vào tính đối xứng
2 , 1 1
0 2
) (28
k k
k k
6 , 7 , 2 , 1 1
0 2
) (28
k k
k k
1 )}
( { )
(
k
kn
W k H k
H IDFT n
h
0.428}
0 0.0732
0.25
0.0732
0 0.428
0.75 {
h(n)
↑
=
Trang 13dce
FIR – C ấu trúc Lattice (1)
• Trong nhiều ứng dụng (xử lý tiếng nói), cần thiết có sự dự đoán mẫu tín hiệu
– D ự đoán mẫu: x(n) từ M–1 mẫu quá khứ: x(n–1), x(n–2), …, x(n–M)
– D ự đoán mẫu: x(n–M) từ M–1 mẫu tương lai: x(n), x(n–1), x(n–2), …, x(n–M+1)
x
1
^
) (
) ( )
) ( )
(
m k
m k x n k m
n
1 )
0
(
) (
) ( )
) ( )
( )
(
^
n x n
x n
y = −
1 )
0 ( )
( )
( )
m
Đáp ứng xung đơn vị hm(0) = 1 và h km( ) = αm( ) k k = 1, 2, , m
Trang 14dce
14
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – C ấu trúc Lattice (2)
• B ộ lọc m = 1
– y(n) = f1(n) = x(n) + α1(1)x(n–1)– α1(1) = K1
• B ộ lọc m = 2
– y(n) = f2(n) = x(n) + α2(1)x(n–1) + α2(2)x(n–2)– α2(1) = K1(1+K2)
g0(n–1)
++ Z–1
f1(n)
g1(n)
Trang 15) ( )
(
) 1 (
) ( )
(
) ( )
( )
(
1 1
1 1
0 0
− +
=
− +
n f
K n
g
n g
K n
f n
f
n x n
g n
f
m m
m m
m m m
m
) (
) ( )
(
z X
z F z
Am = m
) ( ) ( )
( z A z X z
Fm = m
) (
)
( )
(
z X
z
G z
Bm = m
) ( ) ( )
( z B z X z
Gm = m
Hàm h/t của bộ lọc
dự đoán thuậnHàm h/t của bộ lọc
) ( k m m k
β Bm( z ) = z−mAm( z−1)
Bm(z): đa thức ngh ịch đảo của A m (z)
Trang 16dce
16
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
FIR – C ấu trúc Lattice (4)
• Quan h ệ giữa hệ số bộ lọc dạng cấu trúc lattice và hệ số bộ lọc dạng cấu trúc trực tiếp
)1(
)()
(
)1(
)()
(
)()
()
(
1 1
1 1
0 0
−+
=
−+
n f
K n
g
n g
K n
f n
f
n x n
g n
f
m m
m m
m m m
m
)1()
()
(
)()
()
(
)()
()
(
1
1 1
1
1 1
0 0
−+
z z F
K z
G
z G
z K z
F z
F
z X z
G z
F
m m
m m
m m
m m
)()
()
(
)()
()
(
1)()
(
1
1 1
1
1 1
0 0
z B
z z A
K z
B
z B
z K z
A z
A
z B z
A
m m
m m
m m
m m
)(1
1)
(
)(
1 1
1
z B
z
z A
K
K z
B
z A
m
m m
m m
m
BĐ Z / X(z)
T ổng hợp
)]
( [
) ( )
1
0
1 0
) 1 (
) ( )
(
m
k
k m
m m
k
k m
2 , 1
1 1
) (
) ( )
(
) (
1 ) 0 (
1 1
M m
m k k
m K
k k
K m
m m m
m
m m
m
αα
ααα
Trang 17• H1(z) đặt trước H2(z): cấu trúc trực tiếp dạng I
• H2(z) đặt trước H1(z): cấu trúc trực tiếp dạng II
M
k
k k
z a
z b z
H
1
01
) (
k
k y n k b x n k a
n y
0 0
) (
) (
) (
∑
=
−+
k
k
kz a
z H
1
2
1
1 )
Trang 18dce
18
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
IIR – C ấu trúc trực tiếp
• Nhược điểm (cả 2 cấu trúc): khi lượng tử hóa các tham số của bộ lọc với
N l ớn, sai số nhỏ cũng dẫn đến sự thay đổi lớn vị trí điểm zero và điểm pole c ủa h/t
bM
+ +
Trang 19dce
• Biểu diễn sơ đồ khối của h/t: biểu đồ dòng t/h
– Nhánh: có hướng – Node: node c ộng/node rẽ nhánh
1 1
2 2
1 1 0
+
+
=
z a z
a
z b z
b
b z
+++
+
Trang 20dce
20
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Các hệ số {aki} và {bki} thực → gộp các zero và các pole theo cặp liên hợp phức trong việc tách Hk(z)
• Hk(z) có thể hiện thực dùng cấu trúc trực tiếp hoặc cấu trúc đảo
M
k
k k
z a
z b z
H
1
01
) (
] [
) ( )
H
2 2
1 1
2 2
1 1 0
+
+
=
z a z
a
z b z
b
b z
H
k k
k k
k k
z–1
++
Trang 21dce
• Nếu pk phức, Ak cũng phức → gộp các pole liên hợp phức để tạo các hệ số thực
M
k
k k
z a
z b z
N
N
a b
A C
z H
2 2
1 1
1 1 0
+
=
z a z
a
z b
b z
H
k k
k k
k
] [
) ( )
z H
z–1
++
z–1
++ 1
Trang 22dce
22
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
( ) ( )
(
1
n x k
n y k a n
1 )
( 1
1 )
(
1
k A z
k a
z
H
N N
k
k N
= +
( ) ( )
(
1
n y k
n x k a n
( 1
) (
1
k A z
k a z
Hệ IIR toàn pole Hệ FIR toàn zero
Hệ này có thể được hiện thực bằng cách đảo vai trò ngõ nhập/xuất
Trang 23dce
• H ệ lattice 1 pole (hệ IIR toàn pole bậc 1)
• H ệ lattice 2 pole (hệ IIR toàn pole bậc 2)
y(n) = –K1(1+K2)y(n–1) – K2y(n–2) + x(n)
g2(n) = K2y(n) + K1(1+K2)y(n–1) + y(n–2)
Hệ IIR 2 pole
Hệ FIR 2 zero
Trang 24dce
24
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
• Hệ IIR chứa cả pole và zero
) ( )
( 1
) ( )
(
1
0
z A
z C
z k a
z k c z
H
N
M N
k
k N
M
k
k M
= +
y
n x k
n w k a n
w
0
1
) (
) ( )
(
) ( )
( ) ( )
(
w(n): h ệ IIR toàn pole – được thực hiện bằng cấu trúc lattice
y(n): h ệ FIR toàn zero – được thực hiện bằng cấu trúc ladder tuyến tính
n y
0
) ( )
(
Trang 25• Quan h ệ giữa ngõ xuất, ngõ nhập và các trạng thái bên trong của hệ
• Mô t ả không gian trạng thái của hệ đặc trưng bởi PTSP
– Trạng thái của h/t tại n0: thông tin về h/t tại điểm n0, kết hợp với ngõ nhập giúp xác định duy nhất ngõ xuất tại các điểm sau đó (n ≥ n0)
– H/t có thể xem như bao gồm 2 phần
• Ph ần có bộ nhớ: chứa thông tin về trạng thái của h/t
• Ph ần không có bộ nhớ: tính toán giá trị ngõ xuất dựa trên giá trị ngõ nhập và trạng thái c ủa h/t
Trang 26dce
26
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
k
k y n k b x n k a
n
y
0 0
) (
) (
)
) ( )
( ' )
1 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
a a
a a
0 0
2 0 2
1 0
1
0
a b b
a b b
a b b
a b b
g
N N
N N
++
d
Trang 27) (
) (
k
k k
k y n k b x n k a
n y
)
(1
0)
(
)(1
0)
1(
)1(
2
1 1 2
2
1
n
x n
v
n v a a
)
()
2
1 1 0 1 2 0
n v
n
v a b b a
b b n
+++
)
()
(
)(1
0)
1(
)1(
1 0 1
2 0 2 2
1 1
2 2
1
n
x a b b
a b b n
v
n v a
a n
v
n v
)(
)
(1
0)
n v
n
v n
Trang 28dce
28
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
) ( )
( )
1
) ( )
( ' )
k n n
) ( i − j ≡ Fi j i ≥ j
( ' )
(
0
n n
n dx k
qx k n
g n
v n n g
n y
n
n k
≥ +
−
− Φ
+
− Φ
=
) ( ) (
' )
( n g n n0 v n0
) ( )
( ) 1
( ' )
(
1
0
n dx k
qx k n
g n
y
n
n k
1 (
) 1 (
' )
Trang 29dce Không gian tr ạng thái – Phân tích trong
mi ền Z
) ( )
( )
1
) ( )
( )
V = − − Y ( z ) = [ g ' ( zI − F )−1q + d ] X ( z )
d q
F zI
g z
H = Y X z z = − −1 +
) (
) (
) (
' )
) (
) det(
)
( )
F zI
F zI
adj F
F zI
adj g
)
( '
) (
Trang 30dce
30
DSP – Hiện thực hệ thống RRTG ©2011, Đinh Đức Anh Vũ
Lượng tử hóa các hệ số của bộ lọc
• Hi ện thực bộ lọc FIR và IIR bằng máy tính → phải lượng tử hóa các hệ số
– Các h ệ số biểu diễn không chính xác → vị trí điểm zero và điểm cực không như mong muốn → đáp ứng tần số của bộ lọc bị sai lệch
• Ảnh hưởng của việc lượng tử hóa các hệ số bộ lọc
M
k
k k
z a
z b z
M
k
k k
z a
z b z
M k
b b
b
N k
a a
a
k k
k
k k
k
, , 1 , 0
, , 2 , 1
=
∆ +
=
=
∆ +
k
k N
k
k
a z
D
1
1 1
) 1
( 1
D
1
1
_
) 1
( )
i l l
l i
k N i N
k
k a
p
p p
p a
p
k i
1 1
N k
p p
pk k k 1 , 2 , ,
=
∆ +