Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 5 - ĐH Công nghệ

Chương 5 - Biến đổi fourier liên tục. Chương này cung cấp những kiến thức như: Biến đổi fourier của tín hiệu liên tục, biến đổi fourier của tín hiệu rời rạc, các tính chất của biến đổi fourier, lấy mẫu tín hiệu.

Chương V:

BIẾN ĐỔI FOURIER LIÊN TỤC

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Nội dung

 Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục

 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

 Các tính chất của biến đổi Fourier

 Lấy mẫu tín hiệu

Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn

 Một tín hiệu tuần hoàn x(t) sẽ biểu diễn

được một cách chính xác bởi một chuỗi

Fourier nếu x(t) thỏa mãn các điều kiện

Dirichlet sau đây:

1 Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của

x(t) phải hữu hạn.

2. Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x(t)

Chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn

 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần

hoàn x(t) với chu kỳ T:

ke c t

x

2

) (

T

kt j

k x t e dt

T c

2

) ( 1

Phổ mật độ công suất của tín hiệu liên tục tuần hoàn

 Tín hiệu tuần hoàn có năng lượng vô hạn nhưng luôn là tín hiệu công suất:

 Công thức Parseval cho tín hiệu công

Phổ mật độ công suất của tín hiệu liên tục tuần hoàn

 Giá trị |c k|2 có thể coi là đại diện cho công

suất của thành phần e j2 kt/T (tín hiệu dạng

tín hiệu x(t).

 Đồ thị của |c k|2 theo các tần số kF0 (k = 0,

1, 2…) thể hiện phân bố công suất

của tín hiệu x(t) theo các tần số khác

nhau phổ mật độ công suất

Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn

 Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(t)

 Biến đổi Fourier ngược:

dt e

t x F

X t

[

F

dF e

F X

F X

t

Biến đổi Fourier của tín hiệu liên

tục không tuần hoàn

 Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của

tín hiệu tuần hoàn

dF e

F X

F e

kF X

e c t

x

kF X

F T

k X

T c

Ft j

k

t kF j

F k

T

kt j

k T

k

2

0

2 0

0 2

0 0

) (

) (

lim lim

) (

) (T

   ) (

1

0 0

Biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục không tuần hoàn

 Điều kiện cho sự tồn tại của biến đổi

Fourier (các điều kiện Dirichlet):

1. Số điểm không liên tục của x(t) phải hữu

hạn.

2. Số điểm cực trị của x(t) phải hữu hạn.

3. Tích phân của |x(t)| trong khoảng ( , + )

phải hữu hạn.

Phổ mật độ năng lượng của tín hiệu liên tục không tuần hoàn

 Xét tín hiệu năng lượng x(t):

 Công thức Parseval cho tín hiệu không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:

dt t

x

Ex | ( ) |2

dF F

X dt

t x

Phổ mật độ năng lượng của tín

hiệu liên tục không tuần hoàn

 Giá trị |X(F)|2 có thể coi là đại diện cho

năng lượng của thành phần e j2 Ft (tín

hiệu dạng sin phức có tần số F) trong tín hiệu x(t).

 Đồ thị của |X(F)|2 theo F thể hiện phân

bố năng lượng của tín hiệu x(t) theo tần

số phổ mật độ năng lượng

Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc

tuần hoàn

 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần

hoàn x(n) với chu kỳ N:

 Các hệ số {c k} được tính bằng công

thức:

1 0

ke c n

x

) (

N

kn j

k x n e

N c

Phổ mật độ công suất của tín hiệu rời rạc tuần hoàn

 Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc

x(n) tuần hoàn với chu kỳ N:

 Công thức Parseval cho tín hiệu công suất rời rạc tuần hoàn:

1 0

2

| ) (

1

N

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

không tuần hoàn

 Định nghĩa: biến đổi Fourier của x(n)

 Biến đổi Fourier ngược:

) ] ,

[ ( 

) ( )

( )]

(

[

n

n j

e n x X

n x

F

d e

X X

n

2

1 )]

( [

)

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn

 Quan hệ với biểu diễn chuỗi Fourier của

tín hiệu rời rạc tuần hoàn

F e

kF X

e c n

x

N kF

X

F N

k X

N c

k

n kF j

F

N

N k

N

kn j

k N

k

) 2

( lim

lim )

(

) (

   ) 2

(

2 1

0

2 0

0

2 /

2 /

2

0 0

0 0

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn

 Điều kiện hội tụ:

2 2

2

| ) (

|

| ) (

|

| ) (

|

| ) (

|

|

||

) (

|

| )

(

|

x

n n

n

n j n

n j

n x n

x E

n x n

x

e n

x e

n x

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn

 Quan hệ với biến đổi Z: thay z = |z|e j

 Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z trên

đường tròn đơn vị trong mặt phẳng Z

) (

) ( 1

|

|

|

| ) ( )

( )

(

X z

X z

e z

n x z

n x z

X

n

n j n

n

n

Phổ mật độ năng lượng của tín

hiệu rời rạc không tuần hoàn

 Xét tín hiệu năng lượng x(n):

 Công thức Parseval cho tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có năng lượng hữu hạn:

n

x x n

d X

2 1

Phổ mật độ năng lượng của tín

hiệu rời rạc không tuần hoàn

 Giá trị |X( )|2 có thể coi là đại diện cho

năng lượng của thành phần e j n (tín hiệu dạng sin phức có tần số góc ) trong tín

hiệu x(n).

 Đồ thị của |X( )|2 theo thể hiện phân

bố năng lượng của tín hiệu x(n) theo tần

số phổ mật độ năng lượng

Các tính chất của biến đổi Fourier

 Tuyến tính:

 Dịch thời gian:

 Lật:

) (

) (

)]

( )

(

F

) (

F

) (

)]

(

F

Các tính chất của biến đổi Fourier

 Biến đổi Fourier của tích chập:

 Biến đổi Fourier của tương quan:

) (

) (

)]

( )

(

F

) )

( (   

| ) (

| ) (

)]

( [

) (

) (

) (

R n

x X

S n

r

S X

X n

r

xx xx

x x x

x

F

F

Các tính chất của biến đổi Fourier

 Dịch tần số:

 Điều chế:

 Đạo hàm trong miền Fourier:

) (

) (

[ 2

1 ]

cos )

(

F

dX j

n

)]

( [

F

Lấy mẫu tín hiệu

 Tín hiệu x(t) có năng lượng hữu hạn bề

rộng phổ hữu hạn tồn tại một tần số cao

Lấy mẫu tín hiệu

 Định lý lấy mẫu (Shannon): một tín hiệu

liên tục có bề rộng phổ hữu hạn với tần số

cao nhất (bề rộng phổ) F a có thể được

khôi phục một cách chính xác từ các mẫu của tín hiệu đó nếu tần số lấy mẫu thỏa

mãn điều kiện: F s 2F a

 Tần số F s = 2F a được gọi là tần số

Nyquist

Lấy mẫu tín hiệu

 Quan hệ giữa tần số của tín hiệu liên tục

và tín hiệu lấy mẫu: xét tín hiệu liên tục

Nếu F s = 2F a : phổ của x(n) trong [ , ] có

dạng đúng như phổ của x(t) trong [ F a ,F a] và lặp lại với chu kỳ 2

Nếu F > 2F : phổ của x(t) trong [ F ,F ] được

Lấy mẫu tín hiệu

Nếu F s < 2F a: xảy ra hiện tượng chồng phổ

(phổ của x(t) trong [ F a ,F a] bị giãn ra trong 1 khoảng rộng hơn [ , ] nên bị chồng giữa các chu kỳ phổ bị biến dạng).