Bài giảng Xử lý tín hiệu nâng cao (Advanced signal processing) - Chương 4: Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

Bài giảng Xử lý tín hiệu nâng cao (Advanced signal processing) - Chương 4 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc trình bày những nội dung cơ bản sau: Biến đổi Fourier ngược, các phương pháp thể hiện của X(ejω),... Mời các bạn cùng tham khảo.

Xử lý tín hiệu nâng cao

-Advanced signal

processing-Chương 4 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc

T

X Miền không gian ban đầu

Y Không gian đặc trưng

T -1

x

Biến đổi Fourier ngược

Từ miền tần số tín hiệu cũng có thể biến đổi ngược lại miền thời gian bằng phép biến đổi Fourier ngược:

Các phương pháp thể hiện của X(ejω)

Thể hiện dưới dạng phần thực và phần ảo:

X e ( ω ) = R e   X e ( ω )   + j Im   X e ( ω )  

X e =   X e   + j   X e  

Các phương pháp thể hiện của X(ejω)

[ ( )]

arg

) (

) ( e jω X e jω e j X e jω

Khi đó:

 X(ejω) : Phổ của tín hiệu x(n)

 |X(ejω)| : phổ biên độ của x(n)

 arg[X(ejω)]= ϕ(ω): phổ pha của x(n)

Các phương pháp thể hiện của X(ejω)

phần thực và ảo của X(ejω):

 Phổ biên độ:

[ ( )] Im [ ( )]

Re )

(ejω 2 X e jω 2 X e jω

) (

Re

) (

Im )

(

ω ω

j

j j

e X

e

X arctg

e

Tính chất quan trọng của X(ejω)

Tuần hoàn: Biến đổi Fourier của tín hiệu

X(ejω) tuần hoàn với chu kỳ 2π

Ví dụ 1

Thực hiện biến đổi Fourier của tín hiệu:

 Áp dụng công thức, sẽ có:

) ( 5

0 )

∞ +∞

1)

5.0(

5.0)

()

(

ω ω

ω ω

ω

j

n j

n j n

n j j

e e

e e

n x e

X

=

−

Ví dụ 1

thị phổ tại 500 điểm rời rạc trong khoảng [-π, π]

w=linspace(-pi,pi,500);

X = exp(j*w) / (exp(j*w)- 0.5*ones(1,500));

magX = abs(X); angX = angle(X);

realX = real(X); imagX = imag(X);

subplot(2,2,1); plot(w,magX); grid;

title('Pho bien do'); xlabel('Tan so chuan hoa (pi)');

ylabel('Bien do');

Ví dụ 1

subplot(2,2,3); plot(w,angX); grid;

title('Pho pha'); xlabel('Tan so chuan hoa (pi)'); ylabel('Pho theo radians');

subplot(2,2,2); plot(w,realX); grid;

title('Phan thuc'); xlabel('Tan so chuan hoa (pi)'); ylabel('Bien do');

subplot(2,2,4); plot(w,imagX); grid;

title('Phan ao'); xlabel('Tan so chuan hoa (pi)'); ylabel('Bien do');

1 1.5

-0.5 0 0.5

Trong Matlab còn có hàm freqz trả về đáp ứng tần số của một hệ thống tại một số hữu hạn các điểm rời rạc trên vòng tròn đơn vị khi biết hàm truyền đạt của nó

Viết chương trình Matlab sử dụng hàm freqz

để vẽ đồ thị phổ của tín hiệu

( ) 0, 5n ( )

x n = u n

Bài tập

Cho phổ X(ejω) có dạng sau:

 Viết chương trình thể hiện trên đồ thị các hàm phổbiên độ, phổ pha, phần thực và phần ảo của

Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc

Biến đổi Fourier rời rạc thuận DFT

 Cho dãy x(n) có chiều dài hữu hạn, khi đó biến đổi Fourier rời rạc thuận được định nghĩa:

Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc

Biến đổi Fourier rời rạc thuận DFT

 Ta cũng có thể biểu diễn DFT dưới dạng ma trận:

Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc

Ký hiệu:

( )

( ) ( ) ( )

0 1 2

1

X X

0 1 2

1

x x

Biến đổi Fourier rời rạc thuận DFT

function [Xk] = dft(xn,N)

% Tim bien doi Fourier roi rac thuan

%

-% [Xk] = dft(xn,N)

% Xk = day cac he so DFT tren doan 0<=k<=N-1

% xn = day huu han N diem

Biến đổi Fourier rời rạc thuận DFT

Dựa vào hàm này, có thể tính DFT 20 điểm của tín hiệu x n( ) = rect n5( )

% Tinh DFT 20 diem cua day x(n)

0 5 10

-2 0 2

4 Pha

Bài tập

Viết chương trình tính và thể hiện trên đồ thị biến đổi Fourier rời rạc của các dãy sau:

 Dãy có chiều dài 40 và

 Dãy có chiều dài 80 và

 Dãy có chiều dài 80 và

 Dãy có chiều dài 100 và

Biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT

Biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT

function [xn] = idft(Xk,N)

% Tim bien doi Fourier roi rac nguoc

%

-% [xn] = idft(Xk,N)

% xn = day co chieu dai huu han tren doan 0<=n<=N-1

% Xk = day cac he so DFT tren doan 0<=k<=N-1

Các tính chất của biến đổi Fourier

Tuyến tính: Giả sử ta có hai tín hiệu x1(n) và x2(n) và

biến đổi Fourier tương ứng là:

FT[x 1 (n)]=X 1 (e jω ) FT[x 2 (n)]=X 2 (e jω ) FT[x 2 (n)]=X 2 (e )

thì:

X(e jω )=a* X 1 (e jω )+b* X 2 (e jω )

Các tính chất của biến đổi Fourier

n n

x

FT − = −

Các tính chất của biến đổi Fourier

Các tính chất của biến đổi Fourier

Liên hợp phức:

( )

e X

n x

Biến đổi Fourier nhanh FFT

Trong biểu thức DFT ta thấy có N phương trình, trong mỗi phương trình có N phép nhân Do đó, để tính DFT cần N 2 phép nhân Thuật toán biến đổi Fourier nhanh FFT cho phép

ta khắc phục được nhược điểm này, nghĩa là cho phép giảm

số phép nhân xuống khi tính DFT.

Chương trình dưới đây biểu diễn trên đồ thị biểu đồ thể hiện

Chương trình dưới đây biểu diễn trên đồ thị biểu đồ thể hiện mối quan hệ giữa chiều dài dãy N, N biến thiên từ 1 đến 2048, với thời gian thực hiện biến đổi Fourier của hàm MATLAB.

Biến đổi Fourier nhanh FFT

% Do thi thoi gian tinh FFT

Biến đổi Fourier nhanh

Trong Matlab hàm fft để tính Fourier nhanh:

Biểu diễn hệ thống trong miền tần số liên

tục

n j k j

k n j n

j

e e

H e

n h FT e

e k h

e k h e

n h n

y

ω ω

ω ω

ω

ω ω

) (

) ( )

(

) ( )

( )

e n h n

h FT e

ω ω

π H e e d

e H IFT n

2

1 )

( )

(

Biểu diễn H(ejω)

)

Biểu diễn H(ejω)

) (

Re

) (

Im )

(

ω ω

j

j j

e H

e

H arctg

e

Công thức quan trọng

)

(n h

Các bộ lọc số lý tưởng

Bộ lọc thông thấp lý tưởng

Bộ lọc thông cao lý tưởng

Bộ lọc thông dải lý tưởng

Bộ lọc thông dải lý tưởng

Bộ lọc chắn dải lý tưởng

0

1 )

-0,07 0,14

Bộ lọc thông cao lý tưởng

Với –π ≤ ω ≤ π

otherwise

and e

1 )

Bộ lọc thông dải lý tưởng

Với –π ≤ ω ≤ π

otherwise

and e

0

1 )

Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc hai chiều

Khái niệm và công thức

Phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc 2 chiều (ảnh số) được tính bằng công thức:

−

= M 1

0 m

1 N

0 n

N

vn M

um j

2

e ) n , m ( x )

v , u ( X

Ánh xạ ngược của phép biến đổi

1 N

0 v

N

vn M

um j

2

e ) v , u (

X MN

1 )

n , m ( x

Khái niệm và công thức

Các thành phần tần số mang giá trị phức nên

ta có thể biểu diễn như sau:

) , arg(

) ,

( )

, ( u v X u v e j u v

Khi đó |X(u,v)| được gọi là độ lớn hay phổ biên độ, arg(u,v) được gọi

là phổ pha

) , arg(

) ,

( )

, ( u v X u v e j u v

Một số tính chất

Tính tuần hoàn

Đố i xứng và đơn vị

)Nv

,Mu

(F)

Nv

,u(F)

v,Mu

(F)

v,u(

F = + = + = + +

Đố i xứng và đơn vị

 FT(u,v)=F(u,v)

 F-1(u,v)=F*(u,v)

) (

2

) , ( )

, (

M N

N

n b v M

m a u j

e n m x b

v a u

0 0

) , (

M m

N n

N

bn M

am j

N

vn M

um j

m n

e e

n m x

π π

Tính chất chuyển đổi (tiếp)

Nhân tín hiệu với e2jπ(am/M+bn/N) trong miền không gian thực sẽ tương đương với dịch chuyển phổ đi một

khoảng (a,b) Xét trường hợp đặc biệt khi a=M/2,

b=N/2

∑∑−1 − − π + 

M N 1 2j um vn

N M

Nhân vào ảnh ban đầu giá trị (-1)(m+n) trước khi biến đổi, ta sẽ thu được phổ tần số mà điểm tần số F(0,0) của nó sẽ nằm giữa mảng 2 chiều

1 N

0 n

) n m ( N

vn M

um j

2

) 1 ( e

) n , m ( x

) 2

N v

, 2

M u

( X

Một số tính chất

Tích chập

 Ta có

DFT(x(m,n))=X(u,v) DFT(h(k,l))=H(u,v)

 Khi đó:

DFT(x(m,n)*h(k,l))=X(u,v)H(u,v)

D(u,

if 0

D v)

D(u,

if

1 )

v , u ( H

Khoảng cách tới nguồn

2 2

2

N v

2

M u

) v , u (

Ví dụ: phép lọc thông thấp

Kết quả

Thực hành chương III

Thực hiện biến đổi Fourier, biển diễn phổ biên

độ và phổ pha của các tín hiệu:

Bài tập

Đ áp ứng tần số của hệ thống

 Viết chương trình Matlab để biểu diễn đáp ứng tần

số ở dạng phổ biên độ, phổ pha và dạng phầnthực, phần ảo của các hệ thống tuyến tính bất biếnđược mô tả bởi phương trình sai phân sau:

1 )

a=[1,-0.9];

zplane(b,a);

Trong Matlab muốn tính H(ejω) ta sử dụng hàm freqz

[H,w]=freqz(b,a,100);