Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 6 - TS. Đinh Đức Anh Vũ

Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 6: Giải thuật cho biến đổi Fourier cung cấp cho người học các kiến thức: DFT & IDFT, phương pháp chia -trị, FFT cơ số 2, Parallel-Pipelined architecture, hiện thực các giải thuật FFT,... Mời các bạn cùng tham khảo.

dce

Tính DFT & IDFT

→ Độ phức tạp : O(N2)

• Bi ến đổi WN

– 2N2 phép tính lượng giác– 4N2 phép nhân số thực– 4N(N-1) phép cộng số thực– Một số phép toán chỉ số

và địa chỉ để nạp x(n)

DFT & IDFT

1 0

) ( )

W n x k

X

N

n

kn N

1 0

) (

1 )

W k

X N

n x

N

k

kn N

DFT IDFT

0

2 2

1

0

2 2

)]cos(

)()

sin(

)([)

(

)]

sin(

)()

cos(

)([)

N

kn R

N

kn R

R

n x n

x k

X

n x n

x k

X

π π

π π

Giải thuật tính DFT tối ưu mỗi phép toán theo những cách khác nhau

= −

= Doi xung

Tuan hoan

dce

Phương pháp chia-trị (1)

• Nguyên tắc: phân rã nhỏ việc tính DFT N điểm thành việc tính các DFT kích thước

nhỏ hơn → các giải thuật FFT

• Phương pháp

– Gi ả sử N=L.M – Lưu trữ x(n) vào mảng 2 chiều L × M (l: chỉ số hàng, m: chỉ số cột)

) , ( )

, (

M m

L l

l mL q Mp NW m l x q

p X

lq N

Mpl N

mLq N

MLmp N

l mL q

pl L

pl M N

Mpl N

mq M

mq L N

mqL N

Nmp N

W W

W

W W

W W

1

lp L L

l

M

m

mq M

lq

N x l m W W W

q p

,

(

10

)()

n x k

X

N

n

kn N

DFT M điểm F(l,q) G(l,q)

DFT L điểm X(p,q)

2 Tính DFT L điểm của mỗi cột

3 Nhân ma tr ận kết quả với hệ số pha W Npm

4 Tính DFT M điểm của mỗi hàng

2 Tính DFT M điểm của mỗi hàng

3 Nhân ma tr ận kết quả với hệ số pha W Nlq

4 Tính DFT L điểm của mỗi cột

5 Đọc ma trận kết quả theo hàng

Gi ải thuật 1

n = l + mL

k = Mp + q

dce

Phương pháp chia-trị (4)

• Mô hình tính toán DFT 6 điểm thông qua việc tính DFT 3 điểm và DFT 2 điểm

• Giải thuật tính FFT cơ số 2

– N ếu N = r1 r2r3…rv = r v → mô hình tính DFT có cấu trúc đều (chỉ dùng 1 DFT r điểm) – r = 2 → FFT cơ số 2

– Ch ọn M = N/2 và L = 2

x(5) x(3)

X(5) X(4)

x(1)

W6lq

X(0) X(1) X(2)

X(3)

x(1) x(3) … x(N-1)

x(0) x(2) … x(N-2) l=0

) 1 2 ( 1

) 2 / (

( )

2 (

) ( )

(

1 , ,

1 , 0 )

( )

(

N m

m k N N

m

mk N

old n

kn N even

n

kn N

N n

kn N

W m

x W

m x

W n x W

n x

N k

W n x k

X

2 /

1 , 0 )

( )

(

) ( )

( )

(

2 1

2 /

1 ) 2 / (

0

2 2

/

1 ) 2 / (

0 1

−

= +

k F W k

F

W m f W

W m f k

X

k N

km N N

m

k N

km N N

m

2 / , , 1 , 0 )

( )

(

2 / , , 1 , 0 )

( )

(

2 2

1 1

2 /

2 /

N k

k F m

f

N k

k F m

N k

W + / 2 = −

F1(k), F2(k) tuần hoàn chu kỳ N/2

−

= +

=

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

2 2

1 2

2 2

1

N k

N N

N k

N

k k

F W k

F k

X

k k

F W k

F k

X

1 , 0 )

( )

(

1 , ,

1 , 0 )

( )

(

2 2

2

2 1

1

N k

N

N

k k

F W k

G

k k

F k

−

= +

=

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

1 , ,

1 , 0 )

( )

( )

(

2 2

1 2

2 2

1

N N

N

k k

G k

G k

X

k k

G k

G k

DFT

2 điểm

DFT

2 điểm DFT

2 điểm

DFT

2 điểm

12

()

(

1, ,

1,0)

2()

(

1, ,

1,0)

12

()

(

1, ,

1,0)

2()

(

4 2

22

4 2

21

4 1

12

4 1

11

N N N N

n n

f n

v

n n

f n

v

n n

f n

v

n n

f n

−

=+

−

=+

=

1, ,

1,0)

()

()

(

1, ,

1,0)

()

()

(

1, ,

1,0)

()

()

(

1, ,

1,0)

()

()

(

4 22

2 / 21

4 2

4 22

2 / 21

2

4 12

2 / 11

4 1

4 12

2 / 11

1

N k

N N

N k

N

N k

N N

N k

N

k k

V W k

V k

F

k k

V W k

V k

F

k k

V W k

V k

F

k k

V W k

V k

F

DFT N/4 điểm

x(4)x(6)x(1)

x(3)

x(5)x(7)

Bộ nhớ:

+ Vào : (a,b) – số phức+ Ra : (A,B) – số phức+ Có thể lưu (A,B) đè lên (a,b)

 Chỉ cần N ô nhớ phức (2N ô nhớ thực)

 Tính toán tại chỗ

dce

0 8

W

0 8

W

0 8

W

2 8

W

0 8

W

1 8

W

2 8

dce

Baseline Parallel Architecture

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Parallel FFT

 Butterfly structure

 Removes redundant calculation

Size 16 8192 ∆

Pins 448 229K

Fly 32 53K

Mult Add Shift 0 0

dce

Parallel-Pipelined Architecture

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

• Th ứ tự chuỗi dữ liệu vào sau khi phân (v-1) lần

– Bi ểu diễn các chỉ số ở dạng nhị phân – Chu ỗi sau khi phân chia sẽ là lấy theo thứ tự đảo các bit

– Chuỗi dữ liệu nhập được sắp xếp theo cột– Phân chia X(k) thành X(2k) và X(2k+1)– Sau đó có thể phân chia tiếp tục mỗi X(k chẵn) và X(k lẻ)

X(5)

X(2)

X(1) X(4)

X(7)

1 8

W

2 8

W

0 8

W

-1 -1

dce

FFT cơ số 4 (1)

x(0)x(1)x(2)x(3)

x(4)x(5)x(6)x(7)

x(0) x(2) x(4) … … … x(N-1)

L = 4, M = N/4

N = 4v

x(4n)x(4n+1)x(4n+2)x(4n+3)

) , (

) 4

( )

, (

) 1 (

, , 1 , 0

3 , 2 , 1 ,

0 )

, ( )

, (

3 , 2 , 1 , 0 )

, ( )

, (

4

4

4 /

0

4 /

3

0

4

q p X

q p X

l m x

m l x

q

l W

m l x q

l F

p W

q l F W q

p X

N

N N

m

mq N

l

lp lq

) , 2 (

) , 1 (

) , 0 (

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

) , 3 (

) , 2 (

) , 1 (

) , 0 (

3 2 0

q F

W

q F

W

q F

W

q F

W

j j

j j

q X

q X

q X

q X

q N

q N

q N N

lp L L

l

M

m

mq M

lq

W q

, (

q N

W 2

q N

W3

-j

-1

j -1

1 -1

j -1 -j

0 q 2q

3q

) , 0 (

) , 0 (

) , 0 (

1 0

1 0

1 0

1 0

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0

0 1

0 1

0 1

0

0 1

0 1

) , 3 (

) , 2 (

) , 1 (

) , 0 (

3 2 0

q F

W

q F

W

q F

W

q F

W

j

j

q X

q X

q X

q X

q N

q N

q N N

Độ phức tạp: 1 khối tính toán cần

+ 3 nhân phức+ 12 cộng phứcN=4v

+ Tầng tính toán : v = log4N + Mỗi tầng có : N/4 khối tính toán

Bi ểu diễn lại nhân ma trận

(3N/8)log2N : Nhân phức (giảm 25% vs FFT2)Nlog N : Cộng phức (bằng FFT )

3vN/4 = (3N/8)log2N : Nhân phức (giảm 25% vs FFT2)12vN/4 = (3N/2)log2N : Cộng phức (tăng 50% vs FFT2)

• 4N n ếu muốn đơn giản hóa các tác vụ chỉ số và điều khiển; đồng thời cho phép chu ỗi nhập và xuất theo đúng thứ tự

1 0

) (

1 )

W k

X N

n x

N

k

kn N

n x n

x n

x

n x n

x n

x

2

) ( )

( )

(

2

) ( )

( )

(

* 2

* 1

(

) ( )

( 2

1 )

(

* 2

* 1

n x DFT n

x DFT k

X

n x DFT n

x DFT k

) (

) ( )

(

* 2

1 2

* 2

1 1

k N

X k

X k

X

k N

X k

X k

=

) (

)

*

k N

X n

x ←  →DFTN −

dce

Ứng dụng của các giải thuật FFT

• Tính DFT c ủa chuỗi thực 2N điểm

– g(n): chuỗi thực độ dài 2N cần tính DFT– Tách thành 2 chuỗi x1(n) = g(2n) và x2(n) = g(2n+1) 0 ≤ n ≤ N-1– Định nghĩa chuỗi x(n) = x1(n) + jx2(n) 0 ≤ n ≤ N-1

– X(k) = X1(k) + jX2(k)(tính tuyến tính của DFT)

) (

) (

) ( )

(

* 2

1 2

* 2

1 1

k N X

k X k

X

k N X

k X k

=

1

0

2 2

1

0 1

1

0

) 1 2 ( 2 1

0

2 2

) ( )

(

) 1 2

( )

2 ( )

(

N

n

nk N

k N N

n

nk N

N

n

k n N N

n

nk N

W n x W

W n x

W n

g W

n g k

G

1 ,

, 1 , 0 )

( )

( )

(

1 ,

, 1 , 0 )

( )

( )

(

2 2

1

2 2

−

= +

=

N k

k X W

k X N

k G

N k

k X W

k X k

G

k N

k N





dce

Ứng dụng của các giải thuật FFT

• L ọc tuyến tính các chuỗi dữ liệu dài

– Overlap-add– Overlap-save

• Phương pháp

– h(n) – Đáp ứng xung đơn vị của bộ lọc (chiều dài M)

• Được đệm thêm L-1 số không sao cho N = L + M – 1 = 2 v

• H(k): DFT N điểm của h(n), theo thứ tự đảo nếu h(n) được sắp theo thứ tự thuận (Gi ải thuật FFT suy giảm theo tần số)

– xm(n) – khối dữ liệu chiều dài L (đã được phân cắt)

• Được đệm thêm M–1 điểm (giá trị tùy theo PP lọc được dùng)

• X m(k): DFT N điểm của xm (n), c ũng theo thứ tự đảo (Giải thuật FFT suy giảm theo

t ần số)

– Ym(k) = H(k)Xm(k)

• H(k) và Xm(k) cùng có th ứ tự đảo → Ym(k) theo th ứ tự đảo

• ym(n) = IDFTN{Ym(k)} s ẽ đúng theo thứ tự thuận nếu dùng giải thuật FFT suy giảm theo th ời gian

– Không cần thiết đảo vị trí các dữ liệu trong việc tính DFT và IDFT

• Tính tương quan (tương tự)

+ FFT

DFT

• Gi ải thuật Goertzel

– Dựa vào tính chu kỳ của WNk và biểu diễn việc tính toán DFT như lọc tuyến tính

N n k

kn N k

k N

m

m n k N k

N

m

m N k N N

m

km N

kN N

n y k

X

n u W

n h vói

n h n

x W

m x n

y

Đăt

W m x W

m x W

(

) ( )

(

) (

* ) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

1

0

) (

1

0

) (

−

=

z W

z

N k

M ột pole trên vòng tròn đơn vị

t ại tần số ωk=2 πk/N

0 )

1 ( )

( )

1 (

)

k k

k N

k n W y n x n y

y

Thay vì tính t ổng chập trực tiếp, ta có thể dùng PTSP Viđược thực hiện bằng cách cho t/h ệc tính DFT tại một điểm k có thể

đi vào bộ cộng hưởng một pole

t ại tần số ωk=2 πk/N

dce

• Kết hợp từng cặp các bộ cộng hưởng có pole liên hợp phức

n v W n

v n

y

N n

n x n

v n

v n

v

k

k N k

k

k k

N

k k

) ( )

(

, , 1 , 0 )

( )

2 (

) 1 (

cos 2 )

0 ) 2 ( )

1

) / 2 cos(

2 1

1 )

N k

z W z

H

k N

+

+

) cos(

N k

dce

• DFT N điểm ~ X(zk) với zk = ej2 πkn/N , k=0,1,…,N-1 (các điểm cách đều trên vòng tròn đơn vị)

• BĐ Z của x(n) tại các điểm zk

• Nếu zk = rej2 πkn/N (zk là N điểm cách đều nhau trên vòng tròn bk r)

– Vi ệc tính DFT có thể được thực hiện bằng giải thuật FFT cho chuỗi x(n)r -n

• Tổng quát, zk nằm trên cung xoắn ốc bắt đầu từ điểm (đi vào hoặc

đi ra gốc toạ độ)

1 , ,

1 , 0 )

( )

z n x z

X

N n

n k k

1, ,

1,0]

)([)

e r n x z

X

N

n

N kn j n k

π

0

0 0

θ

j

e r

z =

1 ,

, 1 , 0 )

dce

1 ,

, 1 , 0 )

( ) ( )

(

) )(

( )

(

) (

1 ,

, 1 ,

0 )

(

)

( )

(

1

0

2 / 0

2 / 0

2 0

2 0

n k

h n g k

y

V e

r n x n

g

V n

h

e R V

L

k k

h

k

y z

X

N

n

n n

j n

j k





θ φ

n j n

n j n

j

e e

e n

) ( 1

2 /

dce

• Xác định tổng chập vòng của chuỗi g(n) N điểm và chuỗi h(n) M điểm (M > N)

– N- 1 điểm đầu là các điểm lặp lại – M-(N- 1) điểm còn lại chứa kết quả

• Giả sử M = L + (N–1)

• M điểm của chuỗi h(n) được xác định –(N–1) ≤ n ≤ (L–1)

• Định nghĩa chuỗi M điểm h1(n) = h(n–N+1) n = 0,1,…,M–1

• H1(k) = DFTM{h1(n)}

• G(k) = DFTM{g(n)} (sau khi đã đệm thêm vào g(n) L-1 số 0)

• Y1(k) = G(k)H(k) → y1(n) = IDFT{Y1(k)} n = 0,1,…,M–1

• N-1 điểm đầu tiên của y1(n) là các điểm lặp → loại bỏ chúng

• Các điểm kết quả là giá trị của y1(n) khi N–1 ≤ n ≤ M–1

– y(n) = y1(n+N-1) n = 0,1,…,L–1

• X(zk)= y(k)/h(k) k = 0,1,…,L–1

1 ,

, 1 , 0 )

( ) ( )

n k

h n g k

y

N

n

