Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 3 do Lã Thế Vinh biên soạn tập trung trình bày các vấn đề về việc biểu diễn Fourier của tín hiệu. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.
Trang 1Bài giảng môn học
Xử Lý Tín Hiệu Số
Giảng viên: Lã Thế Vinh
Email:
vinhlt@soict.hut.edu.vn
Chú ý: bài giảng có sử dụng các học liệu được cung cấp bởi Giáo sư
Tae-Song Kim, Trường Đại học Kyung Hee, Hàn Quốc.
Trang 2Biểu diễn Fourier của tín hiệu
• Cơ sở Fourier
– Tính trực giao
frequency l
fundamenta ,
] , [
, }
cos ,
sin , ,
cos ,
sin ,
{
T
R t
t k
t k
t t
2 0 1
0
0 0
0 0
Trang 3Ví dụ
Trang 4Xấp xỉ tín hiệu xung vuông bằng chuỗi Fourier
Trang 5Xấp xỉ tín hiệu răng cưa
Trang 6Biểu diễn Fourier của 4 loại tín
hiệu
• Các tín hiệu được biểu diễn bằng hàm của biến tần số
• Trọng số của các tín hiệu cơ sở cho biết “mức
đóng góp” của tín hiệu đó trong tín hiệu gốc
• 4 loại tín hiệu
– Thời gian liên tục, tuần hoàn → Chuỗi Fourier
– Thời gian liên tục, không tuần hoàn → Biến đổi Fourier
– Thời gian rời rạc, tuần hoàn → Chuỗi Fourier rời rạc
– Thời gian rời rạc, không tuần hoàn → Biến đổi Fourier rời rạc
Trang 7Tín hiệu thời gian liên tục và tuần
hoàn:
Chuỗi Fourier
tuyến tính của các tín hiệu cơ sở điều
hòa (sinusoidal)
hoàn đều có thể biểu diễn bằng chuỗi
Fourier
Trang 8Chuỗi Fourier lượng giác
• Cho tín hiệu thực
Các h s Fourier đệ ố ược tính nh sau:ư
) (
sin ] [ )
cos(
] [ ]
0 [ )
t k k
A t
k k
B B
t
x
k
dt t k t
x T k
A
dt t k t
x T k
B
dt t x T B
T T T
) sin(
) (
2 ] [
) cos(
) (
2 ] [
) (
1 ] 0 [
0 0
0 0
0
Trang 9• Nếu x(t) chẵn, x(t)sin(kωt) => A[k], lẻ => A[k]=0
• Nếu f(t) lẻ, x(t) sin(kωt) => A[k], chẵn
dt t k t
x T
k B
T T
) sin(
) (
2 ]
[
) cos(
) (
2 ]
[
0 0
0 0
Trang 10A t
k k
B B
sin(
] [ [
)
t k k
A k t k k
B k t
f
k
]}
[ ],
[ {
)
(
0
0B k k A k k
ts coefficien dt
t df
]} [ ) (
], [ ) (
{ )
0
2 0
2
k A k
k B k
ts coefficien dt
t f d
Trang 11Ví dụ về đạo hàm
Trang 12Tích phân
Phép tích phân làm suy gi m thành ph n t n s cao b ng ả ầ ầ ố ằ phép chia cho h s ệ ố
? )
( dt t
f ( ) [ 0 ] [ ] cos( ) [ ] sin ( 0 )
t k k
A t
k k
B B
t
f
k
) sin(
] [ )
k k
B
t o
] 1 ) [cos(
] [ )
k k
A
t o
Trang 13Ví dụ phép tích phân
Trang 14Tổ hợp tuyến tính
] , 0 [ ]},
[ ],
[ {
) (
]}
[ ],
[ { )
(
2 2
2
1 1
1
T t
k A k
B t
f
k A k
B t
f
]} [ ]
[ ],
[ ]
[ {
) ( )
1
Trang 15Chuỗi Fourier giản lược
• Giản lược hàm lượng giác
Trong đó
Ta có
Trang 16Phổ Fourier
Trang 17Ví dụ
hiệu tuần hoàn biết rằng 1 chu kỳ [0,PI] của tín hiệu là e-t/2
hiệu tuần hoàn biết rằng 1 chu kỳ [-PI,PI] của tín hiệu là:
– f(t)=1 với –PI/2 <= t <= PI/2
– f(t) = 0 với t khác
Trang 18Điều kiện Dirichlet
– Để chuỗi Fourier tồn tại, tín hiệu f(t) phải khả tích trong một chu kỳ
– f(t) có hữu hạn cực trị trong 1 chu kỳ
– f(t) có hữu hạn điểm không liên tục trong một chu kỳ
Trang 19Các điểm quan trọng của chuỗi
Fourier
thông tin về tín hiệu
thành phần sin với tần số riêng
đáp ứng của hệ thống với các tín hiệu
tuần hoàn
Trang 20t k e
j
e
t jk
0
k k
t
e k X t
dt e
t
x T
k
Trang 21Tín hiệu thời gian liên tục không
tuần hoàn: Phép biến đổi
Fourier
- Phép bi n đ i Fourier (FT) đ ế ổ ượ c dung đ phân tích tín ể
hi u th i gian liên t c không tu n hoàn thành t h p ệ ờ ụ ầ ổ ợ
tuy n tính c a các hàm đi u hòa ph c ế ủ ề ứ
FT Pair
FT
Inverse FT
dt e
t x j
X
d e
j X t
x
t j
t j
) ( )
(
)
( 2
1 )
(
Trang 22- X(j ) là hàm c a bi n t n s ω ủ ế ầ ố ω
- X( ) là bi u di n trên mi n t n s c a x(t) ω ể ễ ề ầ ố ủ
Trang 26Tín hiệu rời rạc tuần hoàn:
Chuỗi Fourier rời rạc
0
] [ ]
k
n jk
e k X n
x
1 0
0
] [
1 ]
k
n jk
e n
x N
k X
Trang 28Tín hiệu rời rạc không tuần hoàn: Phép biến đổi Fourier rời rạc
DTFT Pair
DTFT Inverse FT
n
t j j
t j j
e n x e
X
d e e X n
x
] [ )
(
)
( 2
1 ]
[
Trang 29Ví dụ:
M
M n
x
n , 0
n ,
1 ]
[
Trang 30Ví dụ:
W , 0
,
1 )
Trang 31Ví dụ: x[n] = ( )nu[n]
(c) Magnitude spectrum for = 0.9. (d) Phase spectrum for = 0.9.
Trang 32• Ví dụ:
1 ]
[n
Trang 34Phép biến đổi Fourier nhanh
(FFT)