Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 4 - TS. Đinh Đức Anh Vũ

Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 4: Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số cung cấp cho người học các kiến thức: Phân tích tần số của tín hiệu LTTG, phân tích tần số của tín hiệu RRTG, các tính chất của BĐ Fourier cho các tín hiệu RRTG, đặc trưng miền tần số của hệ LTI, bộ lựa chọn tần số. Mời các bạn cùng tham khảo.

• Các tính ch ất của BĐ Fourier cho các t/h RRTG

• Đặc trưng miền tần số của hệ LTI

• B ộ lựa chọn tần số

dce

3

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

F Công c ụ phân tích tần số

- Chuỗi Fourier – tín hiệu tuần hoàn

- Biến đổi Fourier – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn

(J.B.J Fourier: 1768 - 1830)

F

Tín hiệu

t/h hình SIN: F0t/h hình SIN: F1

- Chuỗi Fourier ngược – tín hiệu tuần hoàn

- Biến đổi Fourier ngược – tín hiệu năng lượng, không tuần hoàn

dce

Đáp ứng của hệ LTI với t/h sin

Biên độ: Co/giãn lượng α

Tần số: Không đổi ω0

T/h hình Sin

n j

Ae ω 0

T/h hình Sin

) ( ω0 θ

α j n+

e A

Phổ (spectrum): Nội dung tần số của tín hiệu

Phân tích phổ: Xác định phổ của t/h dựa vào công cụ toán học

Ước lượng phổ: Xác định phổ của t/h dựa trên phép đo t/h

dce

• Chu ỗi Fourier

– x(t): LTTG, tu ần hoàn với chu kỳ cơ bản Tp = 1/F0 (F0: t ần số)

– Đặt

• xk(t) tuần hoàn với chu kỳ Tk=Tp/k (kF0: tần số)

• Đóng góp cho x(t) một lượng ck (Tần số kF0 có đóng góp một lượng ck)

ke c t

T

) (

Phương trình tổng hợp

Phương trình phân tích

t kF j k

x ( ) ( )

k

j

e c

Đóng góp về biên độ Đóng góp về pha

dce

7

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

• Đ/k Dirichlet: bảo đảm chuỗi Fourier hội tụ về x(t) ∀t

– x(t) có s ố hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ – x(t) có s ố hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ – x(t) kh ả tích phân tuyệt đối trong một chu kỳ, tức

• Đ/k Dirichlet chỉ là đ/k đủ

– T/h bi ểu diễn bằng chuỗi Fourier chưa chắc thỏa đ/k Dirichlet

• Nếu x(t) là t/h thực

– ck và c-k liên h ợp phức ( ) – Bi ểu diễn rút gọn của chuỗi F

– Do cos(2 πkF0t + θk) = cos2 πkF0t cos θk – sin2 πkF0t sin θk

⇒ Cách bi ểu diễn khác của chuỗi F

x ) (

∑∞

=

+ +

=

1

0

0 2 cos( 2 ) )

t

k

j k

=

1

0 0

0 2 ( cos 2 sin 2 ) )

t

3 )

100 ( 2

3

) 100

( 2

3 )

100 ( 2 3

3 3

3 3

) (

t j

j t

j j

t j

t j

e e e

e

e e

t x

π π

π π

π π

π π

e c

3 3

2

3 1

2

3 1

π π

Tín hi ệu miền thời gian

Ph ổ tần số 50Hz đóng góp c 1

-50Hz đóng góp c -1

1

|θk|π/3

-π/3

0

dce

100 Hz, đóng góp: 2 -100 Hz, đóng góp: 2

200 Hz, đóng góp: 5 -200Hz, đóng góp: 5

Xác định công thức của x(t)

) 400 cos(

10 )

200 cos(

4

5 5

2 2

) ( 2 100 2 100 2 200 2 200

t t

e e

e e

t

π π

π π

π π

+

=

+ +

các công suất trung bình của các t/h hài tần

– Giản đồ công suất theo tần số

T

dt t

x T

k

t F j k p

x

p

p

dt e

t

x T

c

dt e

c t

x T

) ( 1

ke c t

|

| )

( 1

Công thức quan hệ Parseval

• Ví d ụ 2: cho x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ Tp Phân tích x(t) ra các

thành ph ần tần số

j j

e c

e

2

3 1

2

3 1

π π

|

| ,

0

2 /

|

|

, )

x

Mi ền thời gian

x(t)

t -Tp - τ/2 0 τ/2 Tp

A

Mi ền tần số

p p

T

T

A Adt

T

dt t

x T

2 /

2 / 0

1 )

(

1

τ π

τ π

τ π

πτ

π τ

π

τ

τ

π τ

τ

π

0

2 /

2 / 0

2 2

/

2 /

2

sin 2

2 1

0 0

0 0

kF

kF T

A j

e e

kF T

A

kF j

e T

A dt

Ae T

c

kF j kF

j

t kF j

p

t kF j p

A c

p

k =

• x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn hữu hạn

• x(t) có hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu

• x(t) khả tích phân tuyệt đối, nghĩa là

x ( ) ( ) j2πFt

Phương trình phân tích(biến đổi Fourier thuận)

Phương trình tổng hợp(biến đổi Fourier ngược)

) (

) (

1

0 0

0 F X kF kF

X T

x ) (

| ,

0

2 /

|

|

, )

x

τ π

τ π τ

π

F

F A

dt Ae

F X

t

x

dt t x t x dt

t x E

Ft j

) ( )

(

) ( ) (

| ) (

|

∞ +

∞

−

∞ +

t x dF

F X

dt dF e

F X

t x E

Ft j

Ft j x

(

) ( )

)

( )

( )

(

) ( )

(

F S

F

S F

X F

X

F X F

N k

n j

k

N

k

e c n

1 N

n

n j

k

N

k

e n

x N

Phương trình tổng hợp

Phương trình phân tích

, :

) (

) cos(

3 )

(

) 2 cos(

3 )

(

tuan n

x c

n n

x b

n n

x a

π

π

2 /

1 ,

0 = π tuc f =

ω

) 2

cos(

3 )

dce

) cos(

3 )

n x c

n

n j

k

k

π

n j

n j

e e

n n

x

6

1 6

2

2

3 2

3

) 6

1 2 cos(

3 )

(

π π

1

4 3

c c

c c

Tín hi ệu trong miền thời gian: (3 chu kỳ)

Tín hi ệu trong miền tần số

) cos(

3 )

(

dce

) 2

1

( 4 1

3

0 )

( 4

1

2 3

j n

n j

k

e e

k e

n x

π π

=

=

4 5

4 3

4

2 4

1 4

1 3

2

1 4

1 2

4

2 4

1 4

1 1

4

1 0

) 2

1 (

) 1 2 1 (

) 2

1 (

1 )

1 2 1 (

π

π

j j

j j

e j

C

C

e j

=

=

= +

−

=

= +

0 1

{ : 1

, :

) (

.

↑

ky chu

hoan tuan

n x c

– Chu ỗi │ck│2: ph ổ mật độ công suất của t/h tuần hoàn

• Năng lượng t/h trong một chu kỳ

/ 2

*

*

1 0

* 1

1 )

( 1

N

k

N kn j k

N

n

N

n x

e c n

x

n x n

x N

n

x N

0

2

) (

k

k N

n

N P

1 0

2

*

1 0

1 0

2

*

) ( 1

) ( 1

e n

x N

c

e c n

x N

P

π π

Công thức quan hệ Parseval

0

2

) (

N k

k N

n

E

pha Pho

c c

chan xung

doi do

bien Pho

c c

k k

k k

k N k

c c

c c

=

L k

k k

L k

k k

kn N

b

kn N

a a

kn N

c c

n x

1 0

1 0

2 sin

2 cos

)

2 cos(

2 )

(

π π

θ π

c b

c a

c a

N N

k k

k

k k

k

: :

sin 2

cos 2

2 1 2

0 0

θ

θ

V ới

N k N

kL

e N A

N N

k N

AL

c

N

L k j k

π

π

π

sin sin

, 2 , , 0

) 1 (

e n x

Phương trình phân tích

Phương trình tổng hợp

dce

31

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

• Ví d ụ: xác định nội dung tần số của tín hiệu sau

) 2 cos(

2 cos

2 1 )

(

1 )

ω ω

ω

+ +

=

+ +

+ +

X

e e

e e

Chú ý: X( ω) tuần hoàn

Chu k ỳ: 2π

dce

33

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

d e

X n

x

n j

n j

ω ω ω

ω π

π

ω π

ω

ω π

2 1

)

( 2

1 )

0 )

(

n n

n

n n

x

c

c c

c

ω

ω π

ω π ω

dce

• S ự hội tụ của BĐ Fourier

– Trong BĐ Fourier ngược (PT phân tích), chuỗi XN(ω) được giả thiết hội tụ về X(ω) khi N→∞

– Ý nghĩa: giá trị sai số X(ω) – XN(ω) sẽ bằng 0 khi N→∞

– XN(ω) hội tụ nếu x(n) khả tổng tuyệt đối

• Đ/k đủ để tồn tại BĐ Fourier RRTG

• Tương đương đ/k Dirichlet thứ 3 cho BĐ Fourier của t/h LTTG (đ/k 1 và 2 không có

do b ản chất của t/h RRTG)

– Nếu x(n) khả tổng bình phương tuyệt đối (i.e x(n) có năng lượng hữu hạn)

• Đ/k hội tụ được giảm nhẹ

• N ăng lượng của sai số X(ω) – X N ( ω) sẽ tiến về 0, nhưng không nhất thiết giá trị sai

n j

N x n e

0 )

( )

n j

n x e

n x

0)

()

ω ω

N

n x

n x n x n

x E

n j

n n

x

)

( 2

1 )

(

) ( ) ( )

(

*

*

* 2

n x

2 2

)

( 2

1 )

(

) (

| ) (

| ) ( ω = ω jΘ ω

e X

X

) ( )

( )

( )

( ω X ω 2 X ω X * ω

) ( ω

X

) ( ω

ω

π π

ω

ω

ω π

ω

ω π

d e

n x X

d e

X n

x E

n

n j n

n j x

) ( )

( 2

1

)

( 2

1 ) (

*

*

Công thức quan hệ Parseval

n j n

ae X

ae e

a X

(

) (

) (

0 0

a) X( ω) = ?

cos 2

1

sin )

(

cos 2

1

) cos 1

( )

(

cos 2

1

) sin (

) cos 1

( )

1 )(

1 (

) 1

( 1

1 )

(

a a

a X

a a

a X

a a

a j a

ae ae

ae ae

X

I R

j j

j j

ω

ω ω

1

1 )

1 )(

1 (

1 )

( )

( )

(

a a

ae ae

X X

) (

tan )

(

) ( )

(

| ) (

|

) (

) ( 1

2 2

ω

ω

ω

ω ω

ω

R

I

X X

I

X X

−

= Θ

+

=

dce

) ( tan )

(

1

1

| ) (

|

1

1 1

1 )

(

1 2

2 2

2

2

a a X

ja ae

A n

x

, 0

1 0

, )

(

) sin(

)

sin(

) (

2

2 )

1 (

2

ω

ω ω

(

) ( )

(

ω ω

ω

ω

X X

X X

dce

T/h không tuần hoàn T/h tuần hoàn LTTG Time-limited: x(t)=0 với |t|>τ

Bandlimited: X(F)=0 với |F| > B

Time-limited: xp(t)=0 với τ<|t|<Tp/2 Bandlimited: ck=0 với |k|>M

RRTG Time-limited: x(n)=0 với |n|>N

Bandlimited: |X(ω)|=0 với ω0<|ω|<π

Time-limited: x(n)=0 với n0<|n|<N Bandlimited: ck=0 với k0<|k|<N

• Phân lo ại t/h dựa vào phổ mật độ công suất/năng lượng

– T/h tần số cao: phổ tập trung ở tần số cao– T/h tần số thấp: phổ tập trung ở tần số 0– T/h tần số trung bình (t/h bandpass): phổ tập trung trong dải tầm tần số

dce

44

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

• 2 tính ch ất đặc trưng cho t/h trong miền thời gian (mặt toán học và mặt vật lý)

– Biến thời gian: liên tục hay rời rạc– Tính chu kỳ: tuần hoàn hay không tuần hoàn

– T/h năng lượng không tuần hoàn

• Ph ổ liên tục (do hàm mũ e j2πFt ho ặc e jωn liên t ục, không tuần hoàn theo F hoặc ω)

Đối ngẫu

Tu ần hoàn với chu kỳ α trong một miền thì s ẽ rời rạc với khoảng cách 1/α trong mi ền khác, và ngược lại

dce

• T/h RRTG, không tu ần hoàn và có năng lượng hữu

h ạn

• Tương tự cho t/h LTTG, không tuần hoàn và có

năng lượng hữu hạn

• Qui ước

– BĐ Fourier thuận – BĐ Fourier nghịch – C ặp BĐ Fourier

• Chú ý: X( ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π

e n x n

x F

1 )}

( { )

) ( )

x ← →F

T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier

n

I R

R

n n

x n n

x X

n n

x n n

x X

ω ω

ω

ω ω

ω

cos ) ( sin

) ( )

(

sin ) ( cos

) ( )

ω ω

ω π

ω ω

ω ω

ω π

2

2

cos ) ( sin

)

( 2

1 )

(

sin ) ( cos

)

( 2

1 )

(

d n X

n X

n x

d n X

n X

n x

I R

I

I R

R

BĐ Fourier thuận

BĐ Fourier nghịch

T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier

) ( )

(

ω ω

ω ω

I I

R R

X X

X

X

) ( )

) ( tan

) (

) ( )

( )

(

1

2 2

ω

ω ω

ω ω

ω

R I

I R

X

X X

X X

(

) ( )

(

ω ω

ω ω

X X

X X

n R

n n

x X

n n

x X

ω ω

ω ω

sin ) ( )

(

cos ) ( )

n I

ω π

ω ω

ω

0

1

sin ) (

1 )

(

) (

sin ) ( 2

) (

0 ) (

nd X

n x

le hàm n

n x X

X

I

n I

R

T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier

ω ω

ω π

ω ω

ω ω

1)

(

)(

cos)()

(

)(

sin)()

(

d n X

n X

n x

chan hàm

n n

x X

le hàm n

n x X

I R

I

n

I I

n

I R

1)(

0)(

)(

sin)(2

)(

nd X

n

x

X

le hàm n

n x X

I

n I R

ωω

ω

1

cos)(

1)(

)(

cos)(2

)0()

(

0)(

nd X

n x

chan hàm

n n

x x

X X

n I I

I R

xI(n) lẻ xI(n) chẵn

T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier

− +

= +

=

+

=

+ +

+

= +

=

)]

( )

( [ )

( )

( )

(

)]

( )

( [ )

( )

( )

(

) ( )

(

)]

( )

( [ )

( )

( )

( )

( )

(

* 2

1

* 2

1

n x

n x n

jx n

x n

x

n x

n x n

jx n

x n

x đó

trong

n x n

x

n x n

x j n

x n

x n

jx n

x n

x

o I

o R o

e I

e R e

o e

o I

e I

o R

e R I

R

) (

) ( )

( )

( )

( )

(

ω ω

ω ω

I

o R

e I

e R

o I

o R

e I

e R

jX X

jX X

X

n jx n

x n

jx n

x n

x

+ +

+

=

+ +

+

=

T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier

( )

( )

( )

( )

(

) ( )

(

2 2 1

1 2

2 1

1 2

a n

x a n

x

a X

n x

X n

0 0

0 )

(

0 0

0 )

(

) ( )

( )

(

2

1

2 1

x

n

n

a n

x

n x n

x n

n j

ae X

a ae

Do

ae e

n x X

(

1

)(

)()

(

1

0

1 1

ω ω

ω ω

n j n

n j

ae

a ae

Do

ae ae

e n x X

) (

) ( )

(

1

1 2

2

T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier

2 1

cos 2

1

1 )

(

) ( )

( )

(

a a

a X

X X

ω ω

ω

) ( 3 ) ( = 12 −3 −

n u n

) ( )

( )

( )

X e

k n x X

n

) (

) (

) ( )

( n ← → X ω ⇒ x − n ← → X − ω

1 1

ω ω

ω

ω ω

ω ω

ω

j

j F

n

j

j j

F n

j

F n

e

e X

X n

x n

u n

x

e

e X

e X

n u n

x n

x

e

X n

u n

2 2

2 2

2 1

2 1

2 2

2 1

2

2 1 1

2

1 1

1

6 )

( 6 ) ( )

( 6 ) 2

( 2

1 6 ) (

1

) ( )

( )

2

( 2

1 )

2 (

) (

1

1 )

( )

( ) ( ) (

T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier

( )

( )

(

* ) ( )

( )

( )

(

) ( )

(

2 1

2 1

2 2

X n

x n

x n

x X

n x

X n

) ( )

( )

( )

( )

(

) ( )

(

2 1

2 2

1 1

2 1 2

S m

r X

n x

X n

x

x x

F x

x F

F

) (

) ( )

( )

( )

( n thuc ⇒ r l ← → S ω = X ω X − ω

T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier

d X

X n

x n

x X

n x

X n

x

n F

F

) ( )

( 2

1 )

( )

( )

( )

(

) ( )

2 1

* 2 1

2 2

1 1

T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier

dce

56

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

• Nhân 2 chu ỗi (định lý cửa sổ)

• Đạo hàm miền tần số

• Liên h ợp phức

ω

ω ω

d

dX j n

nx X

n

) (

) ( )

( )

ω ω

d X

X X

n x n x n

x

X n

x

X n

x

F

F F

) (

)

( 2

1 )

( )

( ) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

2 1

3 2

1 3

2 2

1 1

T/h RRTG: Đặc tính của BĐ Fourier

k j n

j k

k n j k

e AH

e k h Ae

Ae k h

k n x k h n

h n x n

y

ω

ω ω

ω

ω)(

)()

(

)(

)()

(

*)()

(

) (

dce

58

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

) ( )

e H

H

tan 2

) ( )

(

) ( )

(

sin ) ( cos

) ( )

( )

(

ω ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω

R

I H H

j I

R

I R

k k

k

k j

e H

H

jH H

k k

h j

k k

h e

k h H

k h H

chan hàm

k k

h H

k I

k R

ω ω

sin ) ( )

(

cos ) ( )

(

le hàm

chan hàm

H H

H

R

I

H H

I R

) (

) ( 1

2 2

tan )

(

) ( )

( )

ω

−

= Θ

+

=

Ae n

n j

Ae n

x2( ) = − ω

n j j

e e

H A n

n j j

n j j

e e

H A

e e

H A n

y

ω ω

ω ω

ω

ω

− Θ

−

−

− Θ

=

−

=

) (

) ( 2

) (

) (

) (

sin )

( n A n 21 x1 n x2 n

sin )

(

) ( )

( )

ω ω

A

n y n

y n

cos )

( n A n 21 x1 n x2 n

cos )

(

) ( )

( )

ω ω

A

n y

n y n

y

dce

60

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

• Ví d ụ: cho hệ LTI nhân quả, điều kiện đầu bằng 0

3

3

2 1

3 )

(

2 1 3

π π

3 6

dce

• Đáp ứng cho t/h tuần hoàn

– Đáp ứng của t/h tuần hoàn cũng là t/h tuần hoàn chu kỳ N

• Đáp ứng cho t/h không tuần hoàn

) (

N k

n j N

k k

N

k

e H

c n

N k

n j k

N

k

e c n

dce

62

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

M k

k k

z a

z b z

M k

k j k

e a

e b H

z H

k M

N

p z

z z z

b z

H

1

1 0

) (

) (

M k

k j

M N j

p e

z e

e b H

1

1 )

( 0

) (

) (

)

(

ω

ω ω

ω

H ệ ổn định

) ( )

/ 1

) (

) / 1

H

) (

) (

* ω = H − ω

H

) (

) ( )

( ) ( )

( )

( )

dce

• Tính hàm đáp ứng tần số H(ω)

– Bi ểu diễn dưới dạng cực

– Do đó, có thể tính được H(ω) nếu biết được zero và pole

c ủa hàm hệ thống – Ý ngh ĩa ?

) (

) (

) (

ω ω

ω ω

k j

j k

k j

e U

p e

e V

z e

M

k

k j

M N j

p e

z e

e b H

1

1 )

( 0

) (

) (

)

(

ω

ω ω

+

− +

k

k

N M

M N

b H

U U

U

V V

V b

H

1 1

0

2 1

2 1

0

) ( )

( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω

ω ω

– Sự hiện diện của zero gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng tần số tại

những điểm trên vòng tròn gần điểm đó nhỏ– Ngược lại, sự hiện diện của pole gần vòng tròn đơn vị khiến biên độ đáp ứng

tần số tại những điểm trên vòng tròn gần điểm đó lớn

) (

) (

) (

ω ω

ω ω

k j

j k

k j

e V

z e

BL

e U

p e

dce

• Ví d ụ: xác định đáp ứng tần số của h/t được mô tả bằng hàm h/t

– Zero tại z = 0– Pole tại z = 0.8

8 0 8

0 1

1 )

z H

8 0

) (

1 64 1

1 8

0

) (

8 0 cos

sin tan

ω θ

dce

66

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

• Hàm tương quan vào-ra và phổ

) (

* ) ( )

) (

* ) ( )

) ( )

( ) ( )

( )

( )

) ( )

( )

( z H z S z

) ( )

( )

( )

( )

( )

ω ω

ω π

( 2

1 )

) (

1 )

tác động vào h/t t/h có phổ phẳng

dce

Lowpass filter

Highpass filter

Bandpass filter

Bandstop filter All-pass

chỉnh phổ– Có tác dụng

• Lo ại bỏ nhiễu trên t/h

• Tinh ch ỉnh hình dạng phổ của t/h

• Phân tích ph ổ t/h

• Phát hi ện t/h trong Radar, Sonar, …

• Phân lo ại bộ lọc

dce

• B ộ lọc lý tưởng

– Đặc trưng của H(ω) lý tưởng

• Biên độ = hằng số A, trong vùng tần số được qua

= 0, trong vùng tần số không được qua

• x(n) khi qua bộ lọc lý tưởng

– b ị delay: τg( ω) = -dΘ(ω)/dω = n0(t ất cả các thành phần t/s đều bị trễ như nhau)

– b ị co giãn biên độ– Trong th ực tế không hiện thực được tình trạng lý tưởng, mà chỉ là xấp

n j

) ( )

( ) ( )

( ω = ω ω = − ω 0 ω ω1 < ω < ω2

X Ce

X H

• Thi ết kế bộ lọc bằng sơ đồ zero-pole

– Bộ lọc số đơn giản nhưng quan trọng– Nguyên lý: đặt các pole gần các điểm trên vòng tròn đơn vị tương ứng với các tần số cần nhấn mạnh (có góc pha bằng tần số được cho qua bộ lọc) và đặt các zero gần các điểm tương ứng với các tần số không muốn

– Ràng buộc

• Pole bên trong vòng tròn đơn vị (để hệ ổn định) Zero có thể nằm bất kỳ ở đâu trên mpz

• Các zero/pole ph ức phải theo từng cặp liên hợp (để hệ số của bộ lọc là số thực)

• Ch ọn b0 thích h ợp để chuẩn hoá đáp ứng tại tần số được cho qua bộ lọc (để

│H(ω0) │ = 1, ω0 là t ần số trong bandpass của bộ lọc)

k

k

M k

k N

k

k k

M k

k k

z p

z z b

z a

z b z

H

1

1 1

(

) 1

( 1

) (

G ≡ b0: độ lợi

• B ộ lọc thông cao (highpass)

– Tương tự như bộ lọc thông thấp, bằng cách lấy đối xứng các zero/pole qua trục ảo của mpz

– Trong bi ểu thức hàm h/t, thay z bởi –z

– Độ lợi G được chọn (1–a) để

biên độ H(z) bằng đơn vị khi

ω = 0– Việc thêm zero = –1 sẽ làm

1

1 )

H

1

1 2

1

1 2

1 )

z H

a = 0.9

1

1

1 2

1 )

1 )

Hhp

z = –z

a = 0.9

1

1 )

z

z G

z

H

p e

e G

2 2

2

cos 2

1

1

) 1

)(

1 (

1 )

(

p p

G

pe pe

=

= +

−

=

2

1 1

) (

1 2

1

) 0 (

2

2 2

2 2

p

G S

p p

G S

( 2

3 2

( cos

) 3 2

( 2 1

) 3 2

(

2 )

(

− +

dce

76

DSP – Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ

• Ví d ụ 3: xác định các tham số của bộ lọc trong hình

1 để thoả yêu cầu phổ mật độ năng lượng trong hình 2

– Ví dụ 4: thiết kế bộ lọc bandpass thoả:

• Tâm c ủa passband = π/2 Đáp ứng tần số tại tâm đó = 1

2 2

2

1)

)(

(

)1)(

1(

)

(

r z

z G jr

z jr z

z z

G z

H

+

−

=+

15 0 )

(

1 ) (

2

1 9

4

2

r

G H

H

π π

2

2

7 0 1

1 15 0 )

H

1

2 , 1

2 , 1

re p

1 15 0 )

H

dce

• Bi ến đổi đơn giản từ bộ lọc lowpass sang bộ lọc highpass

– T ạo bộ lọc highpass bằng cách dịch Hlp( ω) một đoạn π (nghĩa là thay

−

−

k k N

k

k y n k b x n k a

n

y

0 1

)(

)(

k

k

k

k n x b k

n y a n

y

0 1

)(

)1()

()

1()

M k

k j k lp

e a

e b

−

k j k k

M k

k j k k

hp

e a

e b

) 1 ( 1

) 1 ( )

(

ω ω

ω