Chuyên đề 6. CUNG VA GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bộ chuyên đề Toán 10 gồm Tóm tắt lý thuyết, hệ thống bài tập trắc nghiệm có giải chi tiết. 1. Chủ đề 1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. (14 trang) 2. Chủ đề 2: GÍA TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG. (41 trang) 3. Chủ đề 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC. (14 trang).

Trang 1

LƯỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ 1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn

a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1

rađian Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian

1 rađian còn viết tắt là 1 rad

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung vàgóc

b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian:

Cung tròn bán kính R có số đo a(0£ a £ 2p) , có số đo a0 (0£ a £ 360) và có độ dài là l thì:

.180

a

l =R a = p R do đó

180

a a

p =

Đặc biệt:

0 0

=ççè ÷÷ø = .

2 Góc và cung lượng giác.

a) Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều

chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiềuquay của kim đồng hồ gọi là chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm)

b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou Ov lần lượt cắt đường,

tròn tại U và V Tia Om cắt đường tròn tại M , tia Om chuyển động

theo một chiều(âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng

chuyển động theo một chiều trên đường tròn

 Tia Om chuyển động theo một chiều từ Ou đến trùng với tia

Ov thì ta nói tia Om đã quét được một góc lượng giác tia đầu

là Ou , tia cuối là Ov Kí hiệu (Ou Ov, )

 Điểm M chuyển động theo một từ điểm U đến trùng với điểm

V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác điểm

đầu U , điểm cuối V Kí hiệu là UVþ

 Tia Om quay đúng một vòng theo chiều dương thì ta nói tia Om quay góc 360 (hay 0 2p), quay hai vòng thì ta nói nó quay góc 2.3600 =7200 (hay 4p), quay theo chiều âm một phần tư vòng

ta nói nó quay góc - 900(hay

V O

U

Trang 2

 Với ba điểm tùy ý , ,U V W trên đường tròn định hướng ta có :



C 3 2



D 4



Lời giải Chọn A.

Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad .

5 đổi sang độ là

Lời giải Chọn C

Áp dụng công thức đổi rad sang độ n .180



o o

Trang 3

A.k  B.k 3 C.k 5 D k 5.

Lời giải Chọn D.



C. 4



D.2 3



o o



C. 6



D. 5



o o



Lời giải Chọn B.

o o

o

105 7105

đo của các góc giữa tia OA với trục l , biết trục  l đi qua đỉnh Acủa hìnhvuông

A 180o  360k o B 90o  360k o C.90o 360k o D k360o

Trang 4

Vì trục  l đi qua đỉnh A và tâm O của hình vuông nên trục  l OA nên số đo

của các góc giữa tia OA với trục l bằng 0o 360k o k360o

Độ dài của cung rad 90o

Độ dài của cung 40o trên đường tròn được tính bằng công thức:

Ta có: 1o rad 18o 18 rad rad

Độ dài của cung rad 12o

15



 trên đường tròn được tính bằng công thức:

Trang 5

A Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm.

B Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá 2

C Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn [0;2 ]

D Số đo của một cung lượng giác là một số thực.

Lời giải Chọn C.

lượng giác Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo 25

4

A M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I

B.M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II

C M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III

D M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ IV

Theo giả thiết ta có: 25 6

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có

Lời giải

Trang 6

Vì

o

1801rad

Theo công thức đổi đơn vị độ sang radial ta có số đo độ của góc

Theo công thức đổi đơn vị số đo radian của góc 2700là 3

Theo công thức đổi đơn vị, ta có số đo cung đã cho có số đo bằng

Theo công thức tính độ dài cung ta có độ dài cung có số đo 3,85rad là 8, 43.3,85 32, 4555 cm

lR   Làm tròn kết quả thu được ta có đáp án là D

trục tọa độ Ox và Oy Khi đó M thuộc góc phần tư nào để sin và coscùng dấu

A I và  II B I và  III C I và IV  D  II và  III

Dựa theo định nghĩa các giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác

A sin 0 B cos 0 C tan 0 D cot 0

Lời giải

Trang 7

Chọn C.

Vì  là góc tù, nên sin 0, cos  0 tan 0

A.6

5



B. 11 5



Trang 8

Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M theo chiều dương có số đo là5

2

4 k



 nên loại A,C

Cung  có mút đầu là A và mút cuối là Mtheo chiều âm có số đo là 3

4





và chỉ có duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác nên loại B

góc giữa tia OA với trục  i , biết trục  i đi qua trung điểm I của cạnh AB

A.45ok360 o B.95ok360 o C.135ok360 o D.155ok360 o

Lời giải Chọn A

AOB 90o và OA OB

Tam giác AOB vuông cân tại O

 i đi qua trung điểm của AB nên  i AB

Một bánh xe có 72 răng nên 1 răng tương ứng 360o o

5

72 Khi di chuyển được 10 răng là 10.5o 50o

A Với ba tia Ou,Ov,Ow, ta có: sđOu Ov, sđOv O, w sđOu O, w 2k k,  

B Với ba điểm U V W, , trên đường tròn định hướng:

x A

y B A’

B’

M O

(i) I

O

C

B A

D

Trang 9

Sử dụng hệ thức Sa-lơ về số đo của góc lượng giác thì ba khẳng định ở câu

A Chỉ  I và  II B Chỉ  I ,  II và  III

C Chỉ  II ,  III và IV  D Chỉ  I ,  II và IV 

 có điểm cuối trùng nhau

quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kínhbánh xe gắn máy bằng 6,5 cm (lấy  3,1416)

A 22054 cm B 22063 cm C 22054 mm D 22044 cm

20  vòng, bánh xe lăn được:

6,5.540.2 6,5.540.2.3,1416 cm 22054 cm

chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, biết sđ

Ox OA,  30ok360 ,o kZ Khi đó sđ OA AC bằng:, 

A 120ok360 ,o kZ B 45o k360 ,o kZ.

C 450k360 ,0 kZ D 90ok360 ,o kZ

Trang 10

Tia AO quay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻ

Hệ thức Sa-lơ: Với ba tia tùy ý Ou Ov Ox, , , ta có

sđOu Ov  sđ,  Ov Ox sđ,  Ou Ox +,  k2  k 

tia cuối với nó có số đo dạng :

A k180o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).

B k360o ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).

C k2 ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).

D k ( k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k ).

Nếu một góc lượng giác Ou Ov có số đo  radian thì mọi góc lượng giác, 

cùng tia đầu Ou , tia cuối Ov có số đo 2k, k , mỗi góc tương ứng với

một giá trị của k Các cung lượng giác tương ứng trên đường tròn định hướng tâm O cũng có tính chất như vậy Tương tự cho đơn vị độ

2

Ox Ou   m , m  Z và sđ

2

Ox Ov   n  , n Z Khẳng định nào sau đây đúng?

A Ou và Ov trùng nhau B Ou và Ov đối nhau.

C Ou và Ov vuông góc. D Tạo với nhau một góc

4



Trang 11

Ta có  ,  63 64 32

Ox

sđ Oz         nên hai tia Ox và Oz vuông góc.

Ox Ov,  135on360 ,o nZ Ta có hai tia Ou và Ov

A Tạo với nhau góc 45o B Trùng nhau.

Ox Ov,  135on360o 225on360o 45o180on360o n Z 

Vậy, Ta có hai tia Ou và Ov đối nhau

được số vòng bằng:

Từ 0 đến 3 giờ kim giờ quay 9 vòng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ)Kim phút quay 9.60 540 vòng

 180o

B B  

Cung có mút trùng với B hoặc B có chu kì  hoặc 180o

6sin xcos xtan xcot x , với x là số đo của cung AM ?

ĐK: sin 2x 0

Trang 12

2 2 2 2

6sin xcos xtan xcot x 

cot tan 8sin x cos x x x

8sin x cos x

8sin cosx x

Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác ta thấy có 8 điểm cuối M thỏa ycbt

các cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượnggiác có số đo 4200 o

8



Ta có 4200 120 12.360 nên cung có số đo 120o có ngọn cung trùng vớingọn cung có số đo 4200

.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:

A 2, 77 cm B 2,9 cm C 2, 76 cm D 2,8 cm

Trong 30 phút mũi kim giờ chạy trên đường tròn có bán kính 10,57 cm và điđược cung có số đo là

24 nên độ dài đoạn đường mũi kim giờ đi được là10,57 2, 77 cm

0,

Trang 13

Ta có 4 1



  Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau

Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo

4



Cung  có mút đầu trùng với A và có số đo 3

4 k



    Mút cuối của  trùng với điểm nào trong các điểm L M N P, , , ?

A.L hoặc N B.M hoặc P C.M hoặc N D.L hoặc P

Vì L là điểm chính giữa AB nên 

Trang 14

Câu 56: Cung  có mút đầu là A và mút cuối trùng với một trong bốn điểm

MN NP PQ  

Để mút cuối cùng trùng với một trong bốn điểm M N P Q, , , thì

chu kì của cung  là

cuối là B hoặc M hoặc N Tính số đo của  ?

Cung  có mút đầu là A và mút cuối là B nên

Ox OA,  30ok360 ,o kZ Khi đó sđOx AB bằng, 

A 120on360 ,o nZ B 60on360 ,o nZ.

C 300n360 ,0 nZ D 60on360 ,o nZ.

Trang 15

Xét tam giác OBD, ta có OBD45 ,o BOD 75o BDO 180o 45o 75o60o.

Trang 16

CHƯƠNG 6: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Các giá trị sin , cos , tan , cot    được gọi là các giá trị lượng giác của cung 

Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

3) Với mọi m  mà   1 m 1 đều tồn tại  và  sao cho sin m và cos m

4) tan xác định với mọi  

2 k k



     5) cot xác định với mọi  k k 

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM Ð  trên

A'

B'

B K

A

M

x y

Trang 17

đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos”

3 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

1 Ý nghĩa hình học của tan

Từ A vẽ tiếp tuyến t At' với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cáchchọn gốc tại A

Trang 18

Gọi T là giao điểm của OM với trục t At'

tan được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t At' Viết: tan AT

Trục t At' được gọi là trục tang.

2 Ý nghĩa hình học của cot

Từ B vẽ tiếp tuyến s Bs' với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cáchchọn gốc tại B

Gọi S là giao điểm của OM với trục s Bs'

cot được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ BS

trên trục s Bs' Viết: cot BSTrục s Bs' được gọi là trục côtang.

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1 Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

sin cos  1

sintan

2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau ( và  ) Góc bù nhau( và   ) Góc phụ nhau( và 2  )

y

x t

t' T

M

A O

Trang 19

cos() cos sin( ) sin sin cos

B CÁC DẠNG TOÁN:

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

I PHƯƠNG PHÁP: Dấu của các giá trị lượng giác của góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối (điểm

ngọn) của cung AM Ð  trên đường tròn lượng giác Vì thế cần xác định vị trí điểm M trên đường trònlượng giác rồi sử dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Vị trí điểm M thuộc

góc phần tưGiá trị lượng giác

Trang 20

   suy ra cot 0.Vậy sin14 cot  0

9



  

III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:

Câu 1 Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác Hãy chọn kết quả đúng

trong các kết quả sau đây

A sin 0 B cos 0 C tan 0 D cot 0

Câu 2 Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác Khẳng định nào sau đây

là

sai ?

A sin 0 B cos 0 C tan 0 D cot 0

Câu 3 Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác Khẳng định nào sau đây

là

đúng ?

A sin 0 B cos 0 C tan 0 D cot 0

Câu 4 Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , cos  cùng dấu?

A Thứ II B Thứ IV C Thứ II hoặc IV. D Thứ I hoặc III

Câu 5 Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , tan  trái dấu?

A Thứ I B Thứ II hoặc IV. C Thứ II hoặc III. D Thứ I hoặc IV

Câu 6 Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu cos  1 sin 2

A Thứ II B Thứ I hoặc II. C Thứ II hoặc III. D Thứ I hoặc IV

Trang 21

Câu 7 Điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ mấy nếu sin2 sin 

A Thứ III B Thứ I hoặc III. C Thứ I hoặc II. D Thứ III hoặc IV

Câu 8 Cho 2 5

2



   Khẳng định nào sau đây đúng?

A tan 0;cot 0. B tan 0;cot 0

C tan 0;cot 0. D tan  cot 0

Câu 9 Cho 0

2





  Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin  0. B sin  0. C sin 0. D sin 0

Câu 15 Cho tam giác ABC có góc A tù Cho các biểu thức sau:

(1) M sinAsinBsinC (2) N cos cos cosA B C

(3) cos sin cot

Số các biểu thức mang giá trị dương là:

IV HƯỚNG DẪN GIẢI :

Câu 1 Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ nhất 

sin 0cos 0tan 0cot 0

Trang 22

Câu 2 Điểm cuối của  thuộc góc phần tư thứ hai 

sin 0cos 0tan 0cot 0

Câu 6 Ta có cos  1 sin 2  cos  cos2  cos cos  cos 

Đẳng thức cos  cos   cos  0  điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ

I hoặc IV. Chọn D.

Câu 7 Ta có sin2  sin  sin sin 

Đẳng thức sin sin   sin   0  điểm cuối của góc lượng giác  ở góc phần tư thứ I

Trang 24

DẠNG 2:

TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

I PHƯƠNG PHÁP :

 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác

 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

II VÍ DỤ MINH HỌA :

Trang 25

III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho biết tan 1

Trang 26

Câu 12 Cho góc  thỏa mãn 3cos2sin 2 và sin 0 Tính sin 

IV HƯỚNG DẪN GIẢI:

Câu 1 Ta có : tan cot  1

1tan

Trang 27

  

55

 cos0 sin 1: loại (vì sin 0)

 5cos12sin 0, ta có hệ phương trình

5sin

1

1 cot 1 18 19sin       

Trang 28

b) Cho tana = Tính giá trị của biểu thức 3 3 sin 3cos

1cos

a a

54cos

Trang 29

6sin a- 2 1 2sin- a +sin a =1 4sin4a+4sin2a- 3= 0

 (2sin2a- 1 2sin) ( 2a+3) =0 2sin2a - 1=0(Do 2sin2a + >3 0 )



Ví dụ 3: Biết sinx+cosx=m Tính sin cosx x và sin4x- cos4x

Lời giải

*) Ta có ( )2

sinx+cosx =sin2x+2sin cosx x+cos2x= +1 2sin cosx x (*)

Mặt khác sinx+cosx=m nên m2 = +1 2sin cosa a hay

(sin2 cos2 ) (sin2 cos2 )

A = x+ x x- x sinxcosx sinx cosx

A = x+ x x- x =(1 2sin cos+ x x) (1 2sin cos- x x)

-III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho góc a thỏa mãn cos 3

sin cos .sin cos

-= -

Trang 30



Trang 31

Câu 19. Biết tanx 2b

a a

1

3 4.

3 1

Câu 7.Ta có P=(sin 2a- cos 2a) ( sin 2a+ cos 2a) = sin 2a- cos 2a ( )*

Chia hai vế của ( )* cho cos a2 ta được 2 sin22 1

cos cos

a= a

Trang 32

- P(1 tan + 2a)= tan 2a- 1

2 2

5 1

1 5

-= +

1213

5 12 sin cos

< < suy ra sina< cosa nên sina- cosa< 0 Vậy 3.

Câu 12.Ta có P= tan 2a+ cot 2a ( )2

tana cota 2tan cota a

Chọn B.

Câu 13.Ta có P= tan 3a+ cot 3a ( )3 ( )

tana cota - 3tan cota a tana+ cota

2

cos

4 sina a =- .Khi đó P cossin22a cossin22a

2

2 sin cos sin cos

- =  tan 2a- tana- = 1 0 tan 1 5.

Trang 33

a a

ìïï ïï

4

a a

2

p a

ìïï = ± - = ±ïïï

3 3 cot

4

a a

ìïï ïïï

=-íï

ï ïïïî

=-Thay

4 tan

3 3 cot

4

a a

Trang 34

Ví dụ 3 : Đơn giản biểu thức A1– sin2 x.cot2x1– cot2x, ta được :

A Asin2x B Acos2 x C A– sin2x D A– cos2x

Lời giải Chọn A

1– sin2 .cot2 1– cot2 

A x x x cot2x cos2 x 1 cot2x sin x2

III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM:

1cos 25

1sin 65

Trang 35

Câu 2. Đơn giản biểu thức A cos sin cos sin

A A2sina B A2cosa C Asin – cosa a D A 0

Câu 3 Tính giá trị biểu thức :

x x

A Acosxsinx B Acos – sinx x C Asin – cosx x D A sin – cosx x

Câu 8. Biểu thức Acos cot2x 2x3cos2x– cot2 x2sin2x không phụ thuộc x và bằng

Câu 13 Hệ thức nào sai trong bốn hệ thức sau:

A tan tan tan tan

cos sin cos sin 1 cot



1 cos sin cos 1

Trang 36

Câu 15 Biết A B C, , là các góc của tam giác ABC, mệnh đề nào sau đây đúng:

A sin(A C+ )=- sin B B cos(A C+ )=- cos B

C tan(A C+ )= tan B D cot(A C+ )= cot B

Câu 16 Biết A B C, , là các góc của tam giác ABC, khi đó

A sinC=- sin(A B+ ). B cosC= cos(A B+ ).

C tanC= tan(A B+ ). D cotC=- cot(A B+ ).

Câu 17 Cho tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là sai ?

C sin(A B+ )= sin C D cos(A B+ )= cos C

Câu 18 A,B,C là ba góc của một tam giác Hãy tìm hệ thức sai:

A sinA=- sin 2( A B C+ + ). B sin cos3 .

cos 252

Câu 4 Do 10O+ 80O= 20O+ 70O= 30O+ 60O= 40O+ 50O= 90O nên các cung lượng giác tương ứng đôi

một phụ nhau Áp dụng công thức sin 90( O- x)= cosx, ta được

sin 10 cos 10 sin 20 cos 20

sin 30 cos 30 sin 40 cos 40

Định dạng
Số trang	72
Dung lượng	8,07 MB
File đính kèm	CD6. Cung va Goc - Cong thuc luong giac.rar (3 MB)