giải toán trên máy tính cầm tay casio

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnhThời gian làm bài: 150 phỳt .Ngày thi: 20/12/2009 - Đề thi gồm 5 trang Điểm toàn bài thi Các giám khảo Họ, tên và chữ ký Do Chủ tị

Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh

Thời gian làm bài: 150 phỳt Ngày thi: 20/12/2009 - Đề thi gồm 5 trang

Điểm toàn bài

thi

Các giám khảo

(Họ, tên và chữ ký) (Do Chủ tịch HộiSố phách

đồng thi ghi) Bằng

Qui định: Học sinh trỡnh bày vắn tắt cỏch giải, cụng thức ỏp dụng, kết quả tớnh toỏn vào ụ trống

liền kề bài toỏn Cỏc kết quả tớnh gần đỳng, nếu khụng cú chỉ định cụ thể, được ngầm định chớnh xỏc tới 4 chữ số phần thập phõn sau dấu phẩy

Bài 1 (5 điểm) Tớnh giỏ trị của hàm số f x( ) tại x=0,75:

2

2 2

2 sin cos ( )

x x

f x

=

Bài 2 (5 điểm).Tỡm tọa độ giao điểm của đồ thị 2 hs y x= 4−3x2+4 và 2 22 5

2

y x

=

Bài 3 (5 điểm) Tính gần đúng GTLN.NN của hàm số: y= − +x2 4x− +3 5 2− x

Bài 4 (5 điểm) Cho dãy số u n tm 2

1 1; n 5 n 1 n 1 8 ( 2,3, 4, )

a) Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị k bé hơn 30 để cho các giá trị của dãy số đều nguyên Khi đó tính chính xác các giá trị u u10; 11;u u12; 13

b) Với giá trị k tìm được ở câu a), lập công thức truy hồi tính u n+2 theo u n+1 và u n

Bài 5 (5 điểm) Tìm 3 cs tận cùng A = 29 2010

Bài 6 (5 điểm) Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi

suất 0,72%/tháng Sau một năm, bác An rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng Gửi đúng một số kỳ hạn 6 tháng và thêm một số tháng nữa thì bác An phải rút tiền trước kỳ hạn để sửa chữa nhà được số tiền là 29451583,0849007 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bác An gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu tháng chưa tới kỳ hạn và lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng là bao nhiêu tại thời điểm rút tiền ? Biết rằng gửi tiết kiệm có kỳ hạn thì cuối kỳ hạn mới tính lãi và gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, còn nếu rút tiền trước kỳ hạn, thì lãi suất tính từng tháng và gộp vào vốn để tính tháng sau Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải

Bài 7 (5 điểm) Cho đa thức ( ) ( ) (2 )3 ( )20

P x = x+ + x+ + x+ + ×××+ x+

a) Tính gần đúng 2

3

P− 

b) Tìm hệ số chính xác của số hạng chứa 5

x trong khai triển và rút gọn đa thức P(x)

Bài 8 (5 điểm).Trong ngày thi giải toán trên máy tính cầm tay (20/12/2009), bạn Bình đố bạn

Châu tìm số nguyên x nhỏ nhất sao cho khi bình phương lên thì được một số nguyên có 4 chữ số đầu là 2012 và 4 chữ số cuối là 2009 Em hãy giúp bạn Bình tìm số x này và viết chính xác số x2

Nêu sơ lược cách giải

Bài 9 (5 điểm) Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình: 2

3 2

3 log 12

27 log 25

x x

y y



Bài 10 (5 điểm) Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R=10cm, đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h=4cm Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Tính bán kính của viên bi (kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân)

Cho biết công thức tính thể tích khối chỏm cầu của hình cầu (O, R), có chiều cao h là:

2 hom

3

c cau

h

Hình 1 Hình 2

-HẾT -Đáp án và biểu điểm

Bµ

§iÓ m TP

§iÓ m toµ n bµi

2

2 2

2 sin cos ( )

x x

f x

=

+ + + Trước khi tính, cần chuyển về Mode tính

đơn vị đo góc bằng Radian

(0,75) 0,6063

5

2 Phương trình cho hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số: y x= 4−3x2 +4

và

2 2

2 5 2

y

x

=

+ là:

Dùng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm (khi lấy giá trị đầu là 0 và 1):

Vậy: Hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm

(0,7011; 2,7668 , (1,519; 2, 4018))

3

Hàm số: y= − +x2 4x− +3 5 2− x có tập xác định của hàm số là: 1;5

2

Đạo hàm của hàm số:

'

2 5 2

x y

x

− +

−

2x 14x 32x 23 0 (1 x 2,5)

Giải phương trình, chỉ có một nghiệm thực x= 2 1, 434802283≈ ∈[1; 2,5] và

hai nghiệm ảo

Dùng chức năng CALC để tính giá trị của hàm tại 2 cận và tại điểm cực đại, ta

được:

Tương tự, ta có:

3

2

3 ( ) 2, 2845; ( ) 0,866

2

1 1; n 5 n 1 n 1 8 ( 2,3, 4, )

u = u = u + ku − = − k−

Để u2∈N thì k− =8 0, 1, 4, 9, 16⇔ =k 8, 9, 12, 17, 24 (k < 30).

Thử với k=8, 9, 12, 17: chỉ có u u1, 2 là số nguyên, còn u3∉Z Khi thử với

24

k = thì đúng với nhiều un liên tiếp

Với k = 24: Ta có:

1 1, 2 9, 3 89; 4 881; 5 8721; 6 86329; 7 854569;

8 8459361; 9 83739041; 10 828931049

11 8205571449; 12 81226783441; 13 804062262961;

b) Công thức truy hồi của un+2 có dạng: u n+2 =au n+1+bu n+2 Ta có hệ phương

trình:

89 9 881





Do đó: u n+2 =10u n+1−u n

Chứng minh sơ lược:

(1)

u + − u u+ + +u = (2).

Trừ (1) cho (2) ta có:

Hay: u n+2 =10u n+1−u n

5

Ta có: 29 =29 1 ≡512 mod 1000( )

( )

2 =2× = 2 ≡512 ≡512 ×512 ≡352 (mod 1000)

( )

2 =2 × = 2 ≡352 ≡912 (mod 1000)

( )

2 =2 × = 2 ≡912 ≡952 (mod 1000)

2 = 2 ≡952 ≡312 (mod 1000); 2 = 2 ≡312 ≡552 (mod 1000);

2 = 2 ≡312 ≡552 (mod 1000); 2 = 2 ≡552 ≡712 (mod 1000);

2 = 2 ≡712 ≡152 (mod 1000);2 = 2 ≡152 ≡112 (mod 1000);

2 = 2 ≡152 ≡112 (mod 1000); 2 = 2 ≡112 ≡752 (mod 1000);

( )

11 10 9

2 = 2 ≡752 ≡512 (mod 1000);

Do đó chu kỳ lặp lại là 10, nên

Vậy: A=29 2010 có ba chứ số cuối là: 752

6

Số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau 4 kỳ hạn 3 tháng và sau 1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7

kỳ hạn 6 tháng lần lượt là:

20000000 1 0,72 3 100+ × ÷ 1 0,78 6 100+ × ÷ A Dùng phím CALC lần lượt

nhập giá tri của A là 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta được: 22804326,3 đồng; 232871568,78

đồng; 24988758,19 đồng; 26158232,06 đồng; 27382437,34 đồng ;

28663935,38 đồng; 30005407,56 đồng

Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56,

Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng đủ là: 6 kỳ hạn

Giải phương trình sau, bằng dùng chức năng SOLVE và nhập cho A lần lượt là

1 ; 2; 3 ; 4; 5, nhập giá trị đầu cho X là 0,6 (vì lãi suất không kỳ hạn bao giờ

cũng thấp hơn có kỳ hạn)

20000000 1 0, 72 3 100 + × ÷ 1 0,78 6 100 + × ÷ 1 + ÷X 100 A− 29451583.0849007 0 = X =

0,68% khi A = 4

Vậy số kỳ hạn 6 tháng bác An gửi tiết kiệm là: 6 kỳ hạn ; số tháng gửi không

kỳ hạn là: 4 tháng và lãi suất tháng gửi không kỳ hạn là 0,68%

7

a) 2 68375, 2807

3

P− ≈

b) Hệ số của số hạng chứa 5

x là:

2003, 7003, 3253, 8253, 1747, 6747, 2997, 7997.

4485< 2012abcd <4487; 14184< 2012abcde<14189

44855< 2012abcdef <44866; 141844< 2012abcdefg <141880

Số cần tìm là: x = 14186747

2 201263790442009

9

2 3 2

3 log 12

27 log 25

x

x

y y



Đặt u=3x >0 ; v=log2 y, Hệ phương trình trở thành: 3 312

25

u v

+ =





12

2 36 432 1753 0 (2)

= −







Giải phương trình (2) ta được một nghiệm thực duy nhất: u≈6,11572639

Thay vào (1) ta được: v≈5,88427361

3

3x 6,11572639 log 6,11572639 1,6483

5,88427361 2

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm gần đúng là: (x≈1,6483; y≈59,0667)

10

Gọi x là bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: 0 2< x<10⇔ < <0 x 5

Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào:

2

1

4 416

h

Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi có thể tích là:

2

4 30 2 2

2

x

4

3

3x 30x 104 0

Giải phương trình ta có các nghiệm: x1≈9,6257 5> (loại); x2 ≈2, 0940 5< và

3 1,8197 0

x ≈ − < (loại).

Vậy: Bán kính viên bi là r≈2,09cm