Bài giảng Sức bền vật liệu 1 nâng cao - ĐH Phạm Văn Đồng

Bài giảng Sức bền vật liệu 1 nâng cao được biên soạn kế tiếp sau tài liệu Bài giảng Sức bền vật liệu 1 dành cho sinh viên bậc cao đẳng ngành Cơ khí đào tạo theo học chế tín chỉ của Trường đại học Phạm Văn Đồng. Bài giảng gồm 2 chương, trong mỗi chương đều có phần Câu hỏi ôn tập và Trắc nghiệm giúp cho học viên củng cố các kiến thức đã học.

KHOA KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ

Quảng Ngãi, 12/2016

MỤC LỤC

Mục lục ……… ……… …… ………… 3

Lời nói đầu ……… ……… ……… …… …………. 4

Chương 6 CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 6.1 Khái niệm ………… …… 5

6.2 Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi ……… …… … 6

6.3 Phương pháp tích phân không định hạn ……… …… … …… 7

6.4 Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo) ….… …… 11

6.5 Bài toán siêu tĩnh của thanh chịu uốn ……… ……… …… …… 16

Câu hỏi ôn tập……… ……… 18

Trắc nghiệm ……… ……… ……… ……… 18

Chương 7 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 7.1 Khái niệm ……….……… ……… …… ……… 20

7.2 Thanh chịu uốn xiên ………….……… ………… …… ……… 20

7.3 Thanh chịu uốn và kéo - nén ……… ……… ……… 35

7.4 Thanh chịu kéo - nén lệch tâm … … ……… … ….…… 44

7.5 Thanh chịu uốn và xoắn ……… …… …….……….…… 50

7.6 Thanh chịu lực tổng quát ………… …… …… ….……… 56

Câu hỏi ôn tập……… ……… 57

Trắc nghiệm ……… ……… ……… ……… 57

Tài liệu tham khảo ……… ……… ………… …… 60

LỜI NÓI ĐẦU

(Cho lần điều chỉnh, bổ sung lần nhất)

Sức bền vật liệu là một môn khoa học thực nghiệm

thuộc khối kiến thức kỹ thuật cơ sở được giảng dạy trong các ngành kỹ thuật ở các trường đại học, cao đẳng Mục đích của môn học là cung cấp những kiến thức cần thiết về

cơ học vật rắn biến dạng nhằm giải quyết các vấn đề liên quan từ thiết kế đến chế tạo, và hỗ trợ cho việc nghiên cứu các môn học chuyên ngành khác trong lĩnh vực cơ khí và xây dựng

Bài giảng Sức bền vật liệu 1 nâng cao được biên soạn kế tiếp sau tài liệu Bài giảng Sức bền vật liệu 1 dành

cho sinh viên bậc cao đẳng ngành Cơ khí đào tạo theo học chế tín chỉ của Trường đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng

gồm 2 chương Trong mỗi chương đều có phần Câu hỏi ôn tập và Trắc nghiệm giúp cho học viên củng cố các kiến

thức đã học Đi kèm với Bài giảng này, chúng tôi có biên

soạn tài liệu Bài tập Sức bền vật liệu 1 nâng cao

Bài giảng này được biên soạn nhằm giúp sinh viên cao đẳng học chế tín chỉ có thêm tài liệu tham khảo Tuy có điều chỉnh và bổ sung nhưng chắc chắn không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự đóng góp của bạn đọc để tài liệu ngày càng được hoàn thiện hơn Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Quảng Ngãi, tháng 12/2016 Người biên soạn

Mobil: 090 531 1727

Email: baoqng2006@gmail.com

Chương 6

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

A MỤC TIÊU

- Thiết lập phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi

- Xác định được chuyển vị (độ võng, góc xoay) của dầm chịu uốn bằng các phương pháp: tích phân không định hạn và đồ toán (tải trọng giả tạo)

B NỘI DUNG 6.1 KHÁI NIỆM

6.1.1 Đường đàn hồi, độ võng, góc xoay

- Đường đàn hồi: Trong uốn phẳng, dầm chịu tác dụng của ngoại lực trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm và trục của dầm bị uốn cong (H 6.1) Đường cong của trục dầm sau khi bị uốn gọi là đường đàn hồi Bán kính cong

của dầm tại một vị trí được xác định:

x x

M 1

ρ= EJ (6.1)

Hình 6.1

- Chuyển vị: Chuyển vị của tiết diện được đặc trưng bởi chuyển vị thẳng của

trọng tâm và chuyển vị xoay của mặt phẳng tiết diện

+ Chuyển vị thẳng: Chuyển vị thẳng có thể phân làm hai thành phần:

chuyển vị ngang u và chuyển vị đứng v Với giả thiết biến dạng bé, nên thành

phần chuyển vị ngang u là số vô cùng bé bậc hai so với chuyển vị đứng v nên có

thể bỏ qua Do đó chuyển vị thẳng được cho là chuyển vị đứng v và gọi là độ

+ Chuyển vị xoay: Chuyển vị xoay của tiết diện một góc so với vị trí ban

đầu gọi là góc xoay:

 z y dz

dy

' tan  

6.1.2 Qui ước dấu của độ võng và góc xoay

- Độ võng y > 0: nếu hướng theo chiều dương trục y, tức là hướng xuống

dưới

- Góc xoay  > 0: nếu quay trục z đến tiếp tuyến với đường đàn hồi tại

điểm khảo sát theo chiều kim đồng hồ, hay mặt cắt tại điểm khảo sát sau khi biến dạng quay theo chiều kim đồng hồ

6.1.3 Điều kiện cứng của dầm chịu uốn

Trong kỹ thuật, người ta khống chế độ võng lớn nhất của dầm ymax (điều kiện cứng) theo công thức:

1000 100

y L

6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GẦN ĐÚNG CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI 6.2.1 Phương trình vi phân gần đúng

Theo hình học vi phân, ta có độ cong của hàm y(z) được xác định:

M y

EJ y

= ± +

Khảo sát dầm bị uốn cong trong hai trường hợp như hình vẽ (H 6.2) ta thấy

y” và Mx luôn luôn ngược dấu nên:

( 2)32

"

x x

M y

EJ y

= +

M

y''   (6.4)

Hình 6.2

6.2.2 Các phương pháp xác định độ võng và góc xoay

Có ba phương pháp cơ bản để xác định độ võng và góc xoay:

1) Phương pháp tích phân không định hạn

2) Phương pháp đồ toán (phương pháp tải trọng giả tạo)

3) Phương pháp diện tích momen

Ta sẽ khảo sát hai phương pháp xác định thường dùng

6.3 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN

6.3.1 Phương trình góc xoay và phương trình đường đàn hồi

Bằng phương pháp tích phân không xác định, ta lấy tích phân liên tiếp biểu thức (6.4), ta được:

6.3.2 Điều kiện biên của một số dầm đơn giản

a) Đầu ngàm của dầm console (H 6.3a):

Chuyển vị và góc xoay đều bằng không

b) Dầm đặt trên hai gối tựa (H 6.3b):

- Tại các đầu khớp, gối đỡ của dầm đơn giản chuyển vị bằng không

ph C tr

C y y





Hình 6.3

Ví dụ 6.1: Cho dầm console như hình vẽ (H 6.4) Biết: P, l, EJ = const

a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm

b) Tính độ võng và góc xoay ở đầu tự do của dầm

Mx + P (l – z) = 0  Mx= - P (l – z) Phương trình vi phân của đường đàn hồi:

Pl z y

x x

Phương trình của đường đàn hồi:

EJ

P z EJ

Pl z y

x x

2 x

z l z E

A

EJ Pl E

Pl y

y

2

J32 max

x

3 max

Ví dụ 6.2: Cho dầm đặt lên hai gối đỡ có chiều dài L chịu tác dụng của tải

trọng phân bố đều q như hình vẽ (H 6.5a) Biết: EJ x = const

a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm

b) Tính giá trị độ võng và góc xoay lớn nhất

Giải:

a) Viết phương trình độ võng và góc xoay của dầm

Phản lực tại hai gối tựa:

D Cz z

Lz EJ

q y

4 3

(b) Điều kiện biên: tại A (z = 0): y(0) = 0 ; tại B (z = L): y(L) = 0

Thay vào (a) và (b) ta được: C =

24

A

x

qL EJ

* Nhận xét: Khi tính toán ta căn cứ vào sơ đồ dầm và tải trọng tác dụng mà

chia dầm thành nhiều đoạn sao cho trên mỗi đoạn biểu thức của momen uốn nội lực M x và độ cứng EJx là các hàm liên tục Nghĩa là ta phải lập phương trình đường đàn hồi cho từng đoạn và ở mỗi đoạn ta phải xác định hai hằng số tích phân

Vậy nếu dầm chia ra làm n đoạn, thì ta phải lập n phương trình đường đàn hồi và xác định 2n hằng số tích phân Do vậy bài toán áp dụng phương pháp trên

có nhược điểm là có khối lượng tính toán nhiều vì phải chia làm nhiều đoạn nên

Ta tưởng tượng tác dụng lên một dầm nào đó (gọi là dầm giả tạo) một tải

trọng phân bố giả tạo nào đó có cường độ là:

EJ

x gt

x

M

q   (6.7) Nghĩa là qui luật phân bố của tải trọng giả tạo q gt giống như qui luật phân

EJ

gt x

gt x

d M M

Ta phải chọn dầm giả tạo và các điều kiện liên kết sao cho có sự tương ứng

giữa độ võng y của dầm thực với momen uốn giả tạo M gt của dầm giả tạo cũng

như sự tương ứng giữa góc xoay  của dầm thực với lực cắt giả tạo Q gt của dầm

giả tạo

y (dầm thực) = M gt (dầm giả tạo)

 (dầm thực) = Q gt (dầm giả tạo)

Như vậy, thay vì tính tích phân phương trình vi phân (6.4) ta chỉ cần tính

lực cắt giả tạo Q gt để có góc xoay  và tính momen uốn giả tạo M gt để có độ

võng y của dầm thực

Ta có thể chọn các dầm giả tạo tương ứng với các dầm thực theo Bảng 6.1

Bảng 6.1 Dầm giả tạo tương ứng với dầm thực

6.4.3 Xác định tải trọng giả tạo q gt, lực cắt giả tạo Q gtvà momen giả tạo M gt

6.4.3.1 Xác định tải trọng giả tạo q gt

Ta có:

EJ

x gt

x M

q   , nghĩa là q gt và M x luôn luôn ngược dấu nhau, do đó:

- Nếu M x > 0 thì q gt < 0: chiều q gt hướng xuống phía dưới

- Nếu M x < 0 thì q gt > 0: chiều q gt hướng lên phía trên

6.4.3.2 Xác định lực cắt giả tạo Q gt và momen giả tạo M gt

2L 3

Đường

bậc hai

lõm

Lh 3

3L 4

Đường

bậc hai

lồi

2Lh3

5L 8

Đường

bậc hai

đối xứng

2Lh3

L2

6.4.4 Trình tự tìm góc xoay và độ võng

1) Vẽ biểu đồ M x : căn cứ vào sơ đồ dầm và tải trọng tác dụng

2) Chọn dầm giả tạo tương ứng: theo Bảng 6.1

3) Đặt tải trọng giả tạo q gt lên dầm giả tạo:

EJ

x gt

- Chọn dầm giả tạo: như hình 6.6c

- Đặt tải trọng giả tạo q gt lên dầm giả tạo:

EJ

x gt

x

M

q   > 0 (vì M x < 0) có chiều hướng lên trên (H 6.6c)

- Tính góc xoay  và độ võng y:

Góc xoay  và độ võng y tại đầu tự do của dầm cũng là lực cắt giả tạo Q gt

và momen uốn giả tạo M gt tại B của dầm giả tạo

6.5 BÀI TOÁN SIÊU TĨNH CỦA THANH CHỊU UỐN

Bài toán siêu tĩnh là bài toán mà ta không thể xác định được các phản lực và nội lực bằng các phương trình cân bằng tĩnh học, vì số ẩn số cần tìm luôn lớn hơn

số phương trình cân bằng tĩnh học thiết lập được

Để giải bài toán siêu tĩnh, ta cần thiết lập thêm một số phương trình cần thiết dựa vào điều kiện biến dạng

Ta có thể dùng phương pháp đồ toán để tính độ võng và góc xoay cho các phương trình biến dạng

Ví dụ 6.4: Vẽ biểu đồ nội lực Q y và M x của dầm siêu tĩnh chịu lực q =

const như hình vẽ (H.6.7a) Biết dầm có độ cứng EJx là hằng số

VB.L E.Jx

Do đó để thiết lập biểu thức y B = 0 ta áp dụng phương pháp đồ toán:

.0

B

V L qL

C CÂU HỎI ÔN TẬP

1 Thế nào là đường đàn hồi, độ võng, góc xoay khi uốn? Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi?

2 Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tích phân không định hạn

3 Thế nào là dầm giả tạo, tải trọng giả tạo? Cách chọn dầm giả tạo và xác định tải trọng giả tạo?

4 Trình tự xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp đồ toán

D TRẮC NGHIỆM

1 Đường đàn hồi là:

a) đường cong của trục dầm sau khi bị uốn

b) đường đồ thị biểu diễn độ võng của dầm khi bị uốn

c) đường đồ thị biểu diễn góc xoay của dầm khi bị uốn

2 Góc xoay  là dương khi:

a) quay từ trục đến tiếp tuyến với đường đàn hồi tại điểm khảo sát theo chiều kim đồng hồ

b) mặt cắt sau khi biến dạng quay theo chiều kim đồng hồ

c) cả hai câu đều đúng

3 Độ võng y là dương khi:

a) hướng theo chiều âm của trục y (hướng lên trên)

b) hướng theo chiều dương của trục y (hướng xuống dưới)

c) tùy ý chọn

4 Khi tính chuyển vị bằng phương pháp tích phân không định hạn ta chia dầm

thành nhiều đoạn sao cho:

a) trên mỗi đoạn có độ cứng EJx là 1 hàm số liên tục

b) trên mỗi đoạn có biểu thức momen uốn M xlà 1 hàm số liên tục

c) cả hai điều kiện trên

5 Tải trọng giả tạo  q gt :

a) dương (> 0) có chiều hướng lên trên

b) luôn ngược chiều với momen uốn M x

c) cả hai câu trên đều đúng

phần nội lực được gọi là thanh chịu lực đơn giản

Thực tế là trên mặt cắt ngang của thanh xuất hiện nhiều thành phần nội lực

được gọi là thanh chịu lực phức tạp

Để giải bài toán này, ta áp dụng “nguyên lý cộng tác dụng” để thiết lập công thức về ứng suất và biến dạng; nghĩa là: ứng suất và biến dạng do nhiều yếu

tố tác động đồng thời gây ra trên một thanh bằng tổng ứng suất và biến dạng do từng yếu tố một gây ra trên thanh đó

Điều kiện để sử dụng nguyên lý này là dựa trên các giả thiết về vật liệu:

- Vật liệu làm việc trong miền đàn hồi và tuân theo định luật Hooke

- Chuyển vị và biến dạng là bé

Ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền trong bài toán chịu lực phức tạp là rất

nhỏ nên có thể bỏ qua Nếu cần tính đến thì áp dụng theo “nguyên lý cộng tác

dụng”

7.2 THANH CHỊU UỐN XIÊN

7.2.1 Khái niệm

Một thanh gọi là chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang có hai thành phần

nội lực là momen uốn M xvàM y nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung

tâm của mặt cắt ngang (H 7.1a)

y x

Momen uốn Mu nằm trong mặt phẳng (V), chứa trục z nhưng không trùng

với với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào Mặt phẳng (V) gọi là mặt

phẳng tải trọng Giao tuyến của mặt phẳng (V) với mặt cắt ngang gọi là đường tải trọng

Trong uốn xiên đường tải trọng đi qua gốc toạ độ và vuông góc với phương của vectơ tổng M u , nhưng không trùng với một trục quán tính chính trung tâm

nào (H 7.1b)

* Nhận xét: Đối với thanh có mặt cắt tròn, mọi đường kính đều là trục đối

xứng, nên bất kỳ mặt phẳng chứa trục thanh nào cũng là mặt phẳng đối xứng và đều là trục quán tính chính trung tâm Do đó thanh mặt cắt tròn chỉ có uốn phẳng mà không có uốn xiên

7.2.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Gọi  là góc của đường tải trọng hợp với trục x, ta có:



cos

.sin

u y

u x M M

M M

y

x M

M



tan (7.1) Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có toạ độ (x, y) sẽ là tổng ứng suất do từng M x , M y gây ra, do đó:

x

M y J

- (x, y) lấy theo hệ trục tọa độ đã xác định

3) Trong thực hành, người ta dùng công thức kỹ thuật sau để tính toán:

x

M y





Với: M x = 8kNm = 800kNcm, M y = - 6kNm = - 600kNcm

Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hai trục:

_

_

_ _

Ta xét dấu của ứng suất do momen M , x M y gây ra như hình 7.2

7.2.3 Đường trung hoà và biểu đồ ứng suất pháp

7.2.3.1 Đường trung hoà

Công thức ứng suất ở (7.2) là phương trình của mặt phẳng trong hệ trục Oxyz Nó biểu diễn giá trị của ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Mặt phẳng này

gọi là mặt ứng suất

Hình 7.3

Giao tuyến của mặt ứng suất với mặt cắt ngang là tập hợp những điểm có

z

 = 0 Đó là đường trung hoà của mặt cắt ngang trong uốn xiên (H 7.3).

Phương trình đường trung hoà là:

0.J

.y



y J

x x

Hay: x

J

J M

M y

y x x

y



Gọi  là góc hợp bởi đường trung hòa với trục x

Đặt:

y x x

y J

J M

M

.tan  (7.5)

Do đó: y tan.x (7.6) Đường trung hòa là đường thẳng qua gốc tọa độ O(0,0) với tan là hệ số góc

Ta có:

y x y

x y x x

y

J

J M

M J

J M

* Nhận xét:

1) Ta nhận thấy  0 khi đi từ phần dương trục x đến đường trung hoà ngược chiều kim đồng hồ và  0 khi đi từ phần dương trục x đến đường trung hoà cùng chiều kim đồng hồ

2) Đường trung hoà là một đường thẳng đi qua trọng tâm mặt cắt ngang và không vuông góc với đường tải trọng

Vì theo biểu thức (7.6) đường trung hòa có dạng y = ax và theo (7.7) thườngJx  J y  tan tan   1

3) Đường tải trọng và đường trung hoà không bao giờ nằm cùng trong một góc phần tư của hệ trục toạ độ (H 7.3)

Vì từ biểu thức (7.7) thì góc  và  luôn luôn trái dấu nhau

4) Đối với các mặt cắt ngang của thanh là hình tròn hoặc đa giác đều thì không xảy ra hiện tượng uốn xiên

Vì khi đó ta có đường tải trọng sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm, còn đường trung hoà sẽ trùng với với trục quán tính chính trung tâm thứ hai vuông góc với đường tải trọng Từ biểu thức (7.7) đối với hình này Jx = Jy nên:

1 tan

.

tan    , đó là bài toán uốn phẳng

7.2.3.2 Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Ta nhận thấy:

- Các điểm nằm trên đường đường trung hoà thì có cùng trị số ứng suất pháp bằng 0

- Các điểm nằm trên cùng một đường đường song song với đường trung hoà thì có cùng trị số ứng suất pháp

- Các điểm càng xa trục trung hoà thì có trị số ứng suất càng lớn

- Những điểm xa trục trung hòa nhất là những điểm chịu ứng suất lớn nhất Điểm xa nhất thuộc miền kéo chịu ứng suất kéo lớn nhất là max Điểm xa nhất thuộc miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất là min

Ta có cách vẽ biểu đồ ứng suất như sau:

+ Kéo dài đường trung hoà và vẽ một đường vuông góc với đường trung hòa kéo dài làm đường chuẩn Lấy trục tung là đường trung hoà chỉ trị số ứng suất, trục hoành là đường chuẩn

+ Tính max,minrồi biểu diễn bằng hai đoạn thẳng về hai phía đường chuẩn

+ Nối hai đầu của đoạn thẳng đã vẽ, ta có biểu đồ của ứng suất pháp trên mặt cắt ngang (H 7.4)

Hình 7.4

7.2.4 Ứng suất cực trị và điều kiện bền

7.2.4.1 Ứng suất cực trị:

Những điểm xa đường trung hoà nhất sẽ có ứng suất pháp cực trị

Giá trị của các ứng suất cực trị là:

x x

k y k

x x

x

M y

J M

x

M y

J M

max y max min

max y max max

.J

.J

( maxk maxk

y

x là toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đường trung hoà nhất

),

(xmaxn ymaxn là toạ độ của điểm chịu nén cách xa đường trung hoà nhất

y max

WW

WW

y

x x

y

x x

M M

M M

M   và bài toán trở thành uốn phẳng

Do đó:

u min

max

W

u M

x

32W

W

7.2.4.2 Điều kiện bền

Từ biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang ta thấy điểm nguy hiểm là các điểm xa đường trung hoà nhất về phía kéo hoặc phía nén Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm là trạng thái ứng suất đơn

Vậy điều kiện bền là:

- Đối với vật liệu dẻo:

 

max

   (7.11) Với: maxlà ứng suất pháp cực trị có trị tuyệt đối lớn nhất

- Đối với vật liệu dòn:

k max σ σ

σ σ

(7.12)

7.2.4.3 Ba bài toán cơ bản

Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bài toán cơ bản:

y

x J x y x y

J , , max, max, max, max

Để giải bài toán trên, ta dùng phương pháp thử dần, tức là ta chọn kích thước của mặt cắt ngang rồi sau đó kiểm tra bền Nếu không thỏa mãn thì phải chọn lại cho đến khi đạt

x

x W

M W

M W

W M

1

W W

W

để tính W x từ đó ta có kích thước của mặt cắt ngang sơ bộ

Kiểm tra lại điều kiện với kích thước sơ bộ đã chọn

2) Các số liệu

y

x W

W thường dùng:

- Mặt cắt chữ nhật:

b

h W

W y

x 

- Mặt cắt chữ I:  8  10

y

x W

a) Kiểm tra điều kiện bền của dầm

b) Xác định vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất

Ta có điều kiện bền đối với vật liệu dẻo với mặt cắt là hình chữ nhật:

 

max

y x

M M

Vậy dầm đủ bền

b) Xác định vị trí đường trung hoà và biểu đồ ứng suất

Tại mặt cắt ngàm, phương trình của đường trung hoà là:

x J

J M

M y

y x x

y



Momen quán tính của mặt cắt ngang đối với hai trục:

y x

M J