Phân tích tuyến tính cọc tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng trong nền đất nhiều lớp

Bài viết này trình bày một phương pháp đơn giản mới để phân tích tuyến tính phản ứng của cọc đơn với mặt cắt ngang hình chữ nhật theo tải trọng thẳng đứng trong đất lớp. Các thuộc tính của mỗi lớp đất được giả định là không đổi, nhưng có thể khác nhau từ lớp đến lớp.

PHÂN TÍCH TUYẾN TÍNH C C TIẾT DIỆN CH NHẬT

CH U T I TR NG Đ NG TRONG NỀN ĐẤT NHIỀU ỚP

NGUYỄN VĂN VIÊN *

NGHIÊM MẠNH HIẾN **

TRỊNH VIỆT CƯỜNG ***

Linear analysis of rectangular pile under vertical load in layered soil Abstract: This paper presents a new simple method for analyzing linear

response of single pile with rectangular cross section under vertical load

in layered soils The properties of each soil layer are assumed to be constant, but can vary from layer to layer The method is based on energy principles and variational approach proposed by Vallabhan and Mustafa (1996) with explicit solution by using finite element method in pile displacement approximation The solutions provide vertical displacement along the pile, vertical displacement of soil as a function of the radial distance at any depth, and equivalent stiffness of pile-soil system Effectiveness of the proposed method is verified by comparing its results to analytical solutions and 3D finite element analyses

Keywords: Finite element method; Piles; Energy principle; vertical load

1 GIỚI THIỆU *

Phân tích tuyến tính cọc đơn dưới tác dụng

của tải trọng đứng được sử dụng xác định độ

cứng của hệ cọc-nền đất trong tương tác đất-nền

móng-kết cấu Phân tích phi tuyến đồng thời

cũng dựa trên phân tích tuyến tính Đã có nhiều

tác giả nghiên cứu giải bài toán cọc chiu tải

trọng đứng theo phương pháp giải tích và

phương pháp số Đất nền được giả thiết là đồng

nhất với các đặc trưng đàn hồi biến đổi tuyến

tính theo độ sâu, hoặc nền nhiều lớp

Poulos và Davis (1968, 1980) [17][18] phân

tích chuyển vị của cọc đơn chịu tải trọng đứng

trong nền đất đàn hồi lý tưởng với phương trình

của Mindlin (1936) [10] Butterfield và

Banerjee (1971) [3] giải được chính xác bài toán

cọc đơn chịu tải trọng đứng trong nền đàn hồi

tuyến tính đẳng hướng dựa trên lời giải của

*

Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng,

81 Trần Cung, Cầu Giấy, Hà Nội

Email: nguyenvienhau@gmail.com

**

Khoa Xây dựng, trường Đại học Kiến trúc Hà Nội

***

Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng

Mindlin đối với tải trọng tập trung trong nền đàn hổi lý tưởng

Lời giải đối với chuyển vị của cọc trong nền Gibson (Gibson 1967) [6] trong đó mô đun đàn hồi trượt biến đổi tuyến tính với độ sâu được đề xuất bởi nhiều tác giả Randolph vả Wroth (1978) [20] đề xuất biểu thức hệ số nền theo lời giải xấp xỉ được sử dụng rộng rãi trong thực tế tính toán hiện nay Poulos (1979) [16] cũng trình bày một số lời giải áp dụng cho phân tích nền đất ba lớp Rajapakse (1990) [19] trình bày lời giải cho bài toán đàn hồi dựa trên phương pháp biến phân kết hợp với tích phân biên Guo

và Randolph (1997) [8] dựa trên nghiên cứu của Randolph và Wroth (1978) [20] kể đến ảnh hưởng của sự không đồng nhất đến mối quan hệ giữa hệ số nền và các đặc trưng đàn hồi của đất nền Guo (2000) [7] phát triển lời giải gần đúng của Guo vả Randolph (1997) [8] để kể đến điều kiện mô đun đàn hồi trượt khác không ở mặt nền Lời giải được biểu diễn theo hàm Bessel đối với bậc là số thực

Lee và công sự (1987) [14] trình bày lời giải

gần đúng đối với cọc chịu tải trọng đứng trong

nền nhiều lớp Lee (1991) [11] sử dụng phương

pháp truyền tải trọng với hệ số nền đề xuất bởi

by Randolph và Wroth (1978) [20] khi phân tích

cọc đơn và nhóm cọc trong nền đất nhiều lớp

Lee và Small (1991) [12] đề xuất lời giải tuyến

tính đối với cọc đứng trong nền hữu hạn các lớp

đất theo phương pháp phân lớp Cọc được mô

hình bằng phần tử một chiều hai điểm nút Ứng

xử của nền liên tục nhiều lớp chịu lực tương tác

giữa các phần tử cọc tác dụng tại vị trí tiếp xúc

giữa cọc và đất được tính toán theo phương

pháp lớp hữu hạn Ai và Yue (2009) [1] trình

bày phân tích tuyến tính đối với cọc đơn trong

nền đất nhiều lớp sử dụng biến đổi Hankel và

phương pháp sai phân hữu hạn để xác định

chuyển vị của cọc và đất nền Lời giải này được

so sánh với các lời giải của Poulos và Davis

(1980) [18], Randolph và Wroth (1978) [20] đối

với nền đất đồng nhất, Poulos và Davis (1980)

[18], Lee và Small (1991) [12], Chin và cộng sự

(1990) [4], và Guo và cộng sự (1987) [9] đối với

nền đất hai lớp Ai và Cheng (2013) [1] trình

bày phương pháp phần tử biên khi phân tích tĩnh

cọc đơn chịu tải trọng đứng trong nền nhiều lớp

theo phương pháp giải tích

Vallabhan và Mustafa (1996) [25] đề xuất

phương pháp tính toán gần đúng đối với cọc

khoan nhồi trong nền đất hai lớp trong đó mũi

cọc đặt trên bề mặt lớp đất thứ hai Phương

pháp này dựa trên nguyên lý năng lượng với giả

thiết về trường chuyển vị Phương trình cân

bằng thu được từ tối thiểu hàm thế năng hay

biến phân Lee và Xiao (1999) [13], Seo và

Prezzi (2006) [22], và Fidel (2014) [5] phát triển

phương pháp tính toán do Vallabhan và Mustafa

(1996) [25] đề xuất đối với nền đất nhiều lớp

Lee và Xiao (1999) [13] xây dựng mối quan hệ

giữa chuyển vị đứng và nội lực trong cọc bằng

hằng số tích phân xác định bằng việc đưa vào

các điều kiện biên Phương pháp giải lặp được

sử dụng để xác định chuyển vị và nội lực trong

cọc Kết quả tính toán của Poulos (1979) [20]

đối với đất nền ba lớp được sử dụng để kiểm

chứng với kết quả tính toán theo phương pháp

phần tử hữu hạn với độ mảnh của cọc và hệ số

độ cứng khác nhau Seo và Prezzi (2006) [22], Basu và cộng sự (2008) [2] và Seo và cộng sự (2009) [23] trình bày lời giải hiện đối với phương trình vi phân và hằng số tích phân xác định được bằng cách sử dụng luật Cramer và các biểu thức tính lặp Salgado và cộng sự (2013) [21] sử dụng nguyên lý biến phân để phân tích chuyển vị của cọc đơn tiết diện tròn trong nền nhiều lớp có kể đến chuyển vị theo phương đứng và theo phương ngang

Cọc tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng gần đây được nghiên cứu bởi Basu và cộng sự (2008) [2] và Seo và cộng sự (2009) [23] dựa trên nguyên

lý năng lượng và biến phân Hàm suy giảm chuyển

vị theo mỗi phương cạnh cọc được giả thiết là khác nhau Lời giải xác định được biểu thức hệ số nền của đất xung quanh thân cọc Quy trình tính toán được các tác giả đề xuất là khá phức tạp

Sử dụng một số phương pháp như trên khi phân tích cọc chịu tải trọng đứng sẽ gặp một số khó khăn khi áp dụng trong thực tế do sự phức tạp của việc giải phương trình vi phân hoặc của quy trình tính toán Đơn giản và chính xác là hai điều kiện quan trọng để phương pháp tính được áp dụng rộng rãi trong thực tế Trong bài báo này, các tác giả trình bày một phương pháp đơn giản kết hợp giữa giải tích và phương pháp số trong phân tích cọc đơn tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng trong nền nhiều lớp (Nghiem, 2009) [15] Phương trình cân bằng dựa trên phương pháp đề xuất bởi Vallabhan và Mustafa (1996) [25] và phương pháp phần tử hữu hạn Sự khác nhau giữa phương pháp của Vallabhan và Mustafa (1996) [25], Lee và Xiao (1999) [13], Seo và Prezzi (2006) [22], Basu và cộng sự (2008) [2], Seo và cộng sự (2009) [23] và phương pháp đề xuất là: 1) biểu thức độ cứng tương đương của cọc và 2) quy trình tính toán

2 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN

Xét cọc tiết diện chữ nhật có chiều dài L p với kích thước cọc là a và b như trình bày trên hình 1 Cọc chịu tác dụng của tải trọng P đặt tại trọng tâm của tiết diện, đất nền có n lớp nằm ngang Cọc xuyên qua m lớp đất và mũi cọc được đặt vào đáy của lớp đất thứ m Do vậy có

n m lớp đất nằm dưới mũi cọc Chỉ số được sử

dụng để mô tả đặc trưng của lớp đất thứ i bao

gồm mô đun đàn hồi, E i, hệ số Poisson, i, và

mô đun đàn hồi trượt, G i

Theo phương pháp phần tử hữu hạn, cọc

được mô hình hóa thành nhiều phần tử thanh

như trên hình 1 Phần tử cọc thứ j có chiều dài

j

L nằm trong lớp đất thứ i Hệ tọa độ trụ được

sử dụng trong tính toán với gốc tọa độ đặt tại

trọng tâm tiết diện ở đỉnh cọc và trục z có chiều

dương hướng từ trên xuống dưới Phần tử cọc

và đất nền xung quanh được giả thiết là đẳng

hướng, tuyến tính và chuyển vị tại vị trí tiếp xúc

giữa cọc và đất nền là liên tục

Hình 1: Hệ cọc-đất

3 QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ-ỨNG

SUẤT-BIẾN DẠNG

Giả thiết trường chuyển vị là rất quan trọng đối

với phương pháp năng lượng của Vallabhan và

Mustafa (1996) [25] Dưới tác dụng của tải trọng

đứng, biến dạng theo phương tiếp tuyến là rất nhỏ

so với biến dạng theo phương đứng nên có thể bỏ

qua Salgado và cộng sự (2013) [21] đề xuất

phương pháp kể đến biến dạng theo phương bán

kính, tuy nhiên nó khá phức tạp nên biến dạng này

cũng được bỏ qua Do chuyển vị của cọc theo

phương bán kính giảm dần khi khoảng cách theo

phương bán kính tăng lên nên trường chuyển vị

trong đất nền được xấp xỉ theo biểu thức sau:

 ,    

z

u r z w z  r (1)

trong đó w z  là chuyển vị theo phương đứng của cọc tại độ sâu z;  r là hàm không thứ nguyên mô tả sự suy giảm chuyển vị của cọc theo phương bán kính kể từ tâm cọc Giả thiết là  r  1 tại rr p và  r  0 tại r 0 với

p

r là bán kính của cọc

Với các giả thiết như trên, quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị của cọc được xác định như sau:

   

   

1

0

1

0

0 1

r

r r

r

z z

rz

z r z

z

u

u

u

dw z r z

dz

u

d r

dr

u u























(2)

Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của đất nền được viết dưới dạng tổng quát theo định luật Hooke như sau:

G G G G G G



(3)

trong đó G và  và các hằng số Lamé của đất nền

4 PHƯƠNG TRÌNH C N BẰNG

Hàm thế năng của hệ cọc-đất nền được định nghĩa là tổng của năng lượng của nội lực

và của ngoại lực

0

2

1 0 1 0 0

,

2 2 2

j

k z z

dw

dz Pw





trong đó E j là mô đun đàn hồi của phần tử cọc thứ j, nếu jm thì E j E p, nếu jm thì

E E; Alà diện tích tiết diện của cọc; w j,1 và

,2

j

w tương ứng là chuyển vị của nút đầu và nút cuối của phần tử cọc thứ j; Pvà

0

,

k z z

w  tương ứng là tải trọng và chuyển vị tại zz0

Năng lượng biến dạng được xác định theo biểu thức:

2

j



           

trong đó kl và kl là các ten xơ ứng suất và

biến dạng

Thế biểu thức (5) vào biểu thức (4), và tích

phân đối với , thế năng biến dạng được xác

định như sau:

0

2

1 0

1 0

,

1

2

2

j

j

p

L

N

j j

j

L

N

j

k z z

dw

dz

Pw















 

  

(6)

trong đó r p a b   là bán kính tương

đương của cọc tiết diện chữ nhật Phương trình

cân bằng của hệ cọc nền thu được từ việc tối

thiểu thế năng hay biến phân bậc nhất của thế

năng phải bằng không (   0)

Phương trình vi phân sau đây đối với phần tử

cọc thu được từ việc lấy biến phân theo biến w j:

2 2

p

p

j

r

r

d w

dz

d

dr













(7)

Phương trình (7) được viết gọn lại là:

2

2j 0

d w

trong đó k j và t jlà các hệ số nền cắt và nén

được xác định theo:

2

2

p

r

d

dr



p

r

t E A    G  rdr (10)

5 XẤP XỈ CHUYỂN VỊ

Theo phương pháp phần tử hữu hạn, chuyển

vị đứng trong phần tử cọc được xấp xỉ bằng các

chuyển vị tại hai đầu cọc (hình 2):

,1 ,1 ,2 ,2

j j j j j

w N w N w (11)

trong đó w j,1 và w j,2 tương ứng là chuyển vị

đứng của cọc tại nút đầu và nút cuối của phần tử

cọc thứ j; N j,1 và N j,2 là các hàm dạng Các

hàm dạng được xác định như sau:

 

 

 

,1

,2

sinh sinh

sinh

j

j

j j

j j

N

L z

N

L













(12)

trong đó z tọa độ địa phương và j được tính theo biểu thức:

j j j

k t

Hình 2: Phần tử thanh

Tối thiểu hàm thế năng bằng cách lấy biến phân hàm thế năng theo biến , phương trình vi phân cân bằng của đất nền xung quanh cọc thu được là:

2

2 2

1

0

r dr dr

trong đó:

d c

2

1 0

j

L N

i j j



2

j

L N

j

i i j

dw

dz





Dựa trên biểu thức xấp xỉ chuyển vị theo biểu thức (11), giá trị của c và d được tính toán như sau:

2 ,1 ,1 ,2 ,2

1 0

,1 ,2 2

1 ,1 ,2

,1 ,2

4 sinh

4 sinh

2 sinh 2

j

L N

j N

i

j

c G N w N w dz

G

L











 



(18)

2

,1 ,2 2

1 ,1 ,2

,1 ,2

2

2

4 sinh

j

L N

j N

j j j

G

L

















(19)

Phương trình vi phân (14) có dạng của

phương trình vi phân Bessel cải tiến và lời giải

cho phương trình vi phân này là:

c I r c K r

trong đó I0là hàm Bessel cải tiến dạng một

và bậc không, và K0 là hàm Bessel cải tiến dạng

hai và bậc không Áp dụng điều kiện biên   1

tại rr p, và   0 tại r  vào biểu thức (20),

lời giải cho phương trình (14) là:

 

 

0

0 p







Hệ số nền theo biểu thức (9) và (10) được

viết như sau:

2

2 2

2

2

0

2

p

r

i p

p

d

dr

G r











(22)

2

2

2 0

2

p

r

p

G r

 







(23)

6 Giải bài toán

Thế biểu thức (10) và biểu thức (7) thu được

biểu thức như sau:

2

2

0

d

dz

Tích phân biểu thức (24) theo phương pháp

Galerkin và lý thuyết Green (Smith và Griffiths,

2004) [24] thu được biểu thức ma trận độ cứng

của phần tử cọc nền như sau:

 

 

cosh 1

j j

j j

j

j j

L

L









(25)

trong đó  K j là ma trận độ cứng của phần tử

cọc nền thứ j

Nếu tải trọng P đặt tại đỉnh cọc, quy trình

tính toán đơn giản sau đây được sử dụng để xác

định độ cứng tương đương của hệ cọc nền,

chuyển vị và nội lực trong cọc (Hình 3)

Phương trình cân bằng đối với phần tử cọc

thứ jđược viết như sau:

Phương trình (26) được viết lại dưới dạng ma trận là:

j

K

trong đó P j,1 là tải trọng đặt tại đỉnh của phần

tử cọc; K j1 là độ cứng tương đương của phần tử cọc (j 1) Giải phương trình (27), chuyển vị đứng tại nút đầu và nút cuối của phần tử cọc là:

,1 ,1

j j

j

P w

K

1

j j

t





trong đó K j là độ cứng tương đương của phần

tử cọc thứ j trong biểu thức (28) có dạng như sau:

 

 

 

2

1

cosh sinh

j

j j

j j

K

L

t









(30)

Xét phần tử cọc cuối cùng ngàm ở nút thứ 2,

độ cứng tương đương của phần tử này được xác định theo biểu thức sau với K N1 :

 

 

cosh sinh

N

N N

K

L



Hình 3: Quy trình tính toán khi tải trọng đặt tại đỉnh cọc

Lặp lại quá trình tính toán độ cứng tương đương của phần tử cọc từ N đến 1, độ cứng tương đương của toàn bộ hệ cọc nền bằng độ

cứng tương đương của phần tử cọc thứ nhất

Chuyển vị tại đỉnh cọc được tính toán như sau:

1

Z

P

K

Vì chuyển vị của nút thứ hai của phần tử thứ

j là chuyển vị của nút thứ nhất của phần tử thứ

(j 1) nên chuyển vị được tính toán từ phần tử

thứ nhất đến phần tử thứ N theo biểu thức (31)

Nội lực trong phần tử cũng được tính toán đồng

thời với chuyển vị theo biểu thức sau:

Nếu tải trọng P đặt tại mũi cọc như trong

trường hợp thí nghiệm nén tĩnh bằng O-Cell, hoặc

tại điểm bất kỳ như trong trường hợp tương tác

giữa các cọc trong nhóm thì đất nền phía trên và

phía dưới điểm đặt tải được tính toán riêng rẽ

7 VÍ DỤ TÍNH TOÁN

Để kiểm tra mức độ chính xác của phương

pháp tính toán, một số phân tích sau đây được

thực hiện để so sánh với kết quả phân tích theo

phương pháp phần tử hữu hạn ba chiều

Cọc Barrette tiết diện chữ nhật trong nền đồng

nhất có kích thước a b  2.8m 1.0m, chiều dài

30m, mô đun đàn hồi là 30GPa Đất nền đồng

nhất có mô đun đàn hồi 30MPa, hệ số Poisson

0,3 Cọc chịu tải trọng 1000kN đặt tại đỉnh cọc

Mô hình tính toán bao gồm mô hình phần tử hữu

hạn ba chiều sử dụng phần mềm SSI3D, mô hình

theo lý thuyết đề xuất cho cọc chữ nhật

2,8mx1,0m, cọc tròn đường kính 2,4m có chu vi

tương đương, và cọc tròn đường kính 2,23m có

diện tích tiết diện tương đương với tiết diện chữ

nhật Kết quả tính toán trình bày trong hình 4 với

sai số chuyển vị của đỉnh cọc tính toán theo

phương pháp đề xuất so với tính toán theo phần

tử hữu hạn ba chiều là 25 Cọc tròn cùng chu vi

hoặc cùng diện tích tiết diện có chuyển vị xấp xỉ

với chuyển vị của cọc chữ nhật

Cọc Barrette tương tự như trên nhưng nằm

trong nền có 3 lớp đất từ trên xuống bao gồm

lớp thứ nhất: chiều dày 5m, mô đun đàn hồi

30GPa; lớp thứ hai: chiều dày 10m, mô đun đàn

hồi 60GPa; lớp thứ ba: đáy lớp sâu hơn mũi cọc,

mô đun đàn hồi 90GPa Các lớp đất đều có cùng

hệ số Poisson là 0,3

Hình 4: Chuyển vị của cọc tiết diện chữ nhật

trong nền đồng nhất

Kết quả tính toán chuyển vị cho cọc chữ nhật trong nền ba lớp trình bày trong hình 5 Tương

tự như đối với nền đất một lớp, sai số chuyển vị đỉnh cọc tính toán theo phương pháp đề xuất so với phân tích theo phương pháp pháp phần tử hữu hạn là 37 Sai số này cũng phù hợp với kết quả nghiên cứu theo Basu và cộng sự (2008) hay Seo và cộng sự (2009) do giả thiết bỏ qua biến dạng theo phương ngang của đất nền

Hình 5: Chuyển vị của cọc tiết diện chữ nhật

trong nền ba l p

9 KẾT LUẬN

Phương pháp đơn giản tính toán ứng xử của cọc đơn tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng được xây dựng dựa trên nguyên lý năng lượng và biến phân và phương pháp phần tử hữu hạn Quy trình tính toán đơn giản có thể xác định được độ cứng tương đương của hệ cọc nền, chuyển vị và nội lực trong cọc Các

kết quả tính toán so sánh với cọc tiết diện tròn cho

thấy, phương pháp tính toán có độ tin cậy cao phù

hợp với các giả thiết đưa ra Tuy nhiên, kết quả tính

toán còn sai khác với phương pháp pháp phần tử

hữu hạn ba chiều do giả thiết bỏ qua biến dạng theo

phương ngang Vấn đề này sẽ được kể đến trong các

nghiên cứu tiếp theo

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Ai, Z Y., and Cheng, Y C (2013), Analysis of

vertically loaded piles in multilayered transversely

isotropic soils by BEM Engineering Analysis with

Boundary Elements 37 (2013) 327–335

2 Basu, D., Prezzi, M., Salgado, R., and

Chakraborty, T., (2008), Settlement analysis of piles

with rectangular cross sections in multi-layered soils

Computers and Geotechnics 35 563–575

3 Butterfield, R and Banerjee, P K (1971), The

elastic analysis of compressible piles and pile groups

Geotechnique, 21(1), 43-60

4 Chin, J.T., Chow, Y.K., and Poulos H.G (1990),

Numerical analysis of axially loaded vertical piles and

pile groups Comput Geotechn 9 (4) 273–290

5 Fidel, H., S (2014) Analytical methods for

predicting load-displacement behaviour of piles

Durham theses, Durham University

6 Gibson, R E (1967), Some results concerning

displacements and stresses in a non-homogeneous

elastic half-space Geotechnique, 17(1), 58-67

7 Guo, W D (2000), Vertically loaded single piles in

Gibson soil J Geotech Geoenviron Eng., 126(2), 189-193

8 Guo, W D and Randolph, M F (1997), Vertically

loaded piles in non-homogeneous media Int J Numer

Anal Methods Geomech., 21(8), 507-532

9 Guo, D J., Tham, L G., and Cheung, Y K

(1987), Infinite layer for the analysis of a single pile

Comput Geotechn 3 (4) 229–249

10 Mindlin, R D (1936), Force at a point in the

interior of a semi-infinite solid Physics, 7, 195-202

11 Lee C Y (1991), Discrete layer analysis of

axially loaded piles and pile groups Computers

Geotech., 11(4), 295-313

12 Lee, C Y and Small, J C (1991), Finite-layer

analysis of axially loaded piles J Geotech Eng.,

117(11), 1706-1722

13 Lee, K M., and Xiao, Z R (1999), A new

analytical model for settlement analysis of a single pile

in multi-layered soil Soils Found., 39(5), 131-143

14 Lee, S L., Kog, Y C., and Karunaratne, G P

(1987), Axially loaded piles in layered soil J of

Geotech Engrg., ASCE, Vol 113, No 4, pp 366-381

15 Nghiem, H., M (2009) Soil-pile-structure

interaction effects of high-rise building under seismic shaking Dissertation, University of Colorado Denver

16 Poulos, H G (1979), Settlement of single piles

in non-homogeneous soil J Geotech Eng Div

ASCE, 1979, 105(5), 627-641

17 Poulos, H G & Davis, E H (1968), The

settlement behavior of single axially loaded incompressible piles and piers Geotechnique, 18(3),

pp 351-371

18 Poulos, H G., and Davis, E H (1980), Pile

Foundation Analysis and Design John Wiley and

Sons, New York

19 Rajapakse, R K N D (1990), Response of an

axially loaded elastic pile in a Gibson soil

Geotechnique, 40(2), 237-249

20 Randolph, M.F., and Wroth, C P (1978), Analysis

of vertical deformation of vertically loaded piles J

Geotech Eng Div ASCE, 104(12), 1465-1488

21 Salgado, R., Seo, H., and Prezzi, M (2013),

Variational elastic solution for axially loaded piles in multilayered soil Int J Numer Anal Meth Geomech

37:423–440

22 Seo, H., and Prezzi, M (2007), Analytical

solutions for a vertically loaded pile in multilayered soil Geomechanics and Geoengineering An International Journal, 2 (1), pp 51-60

23 Seo, H., Prezzi, M., Basu, D., and Salgado, R.,

(2009), Load-Settlement Response of Rectangular and

Circular Piles in Multilayered Soil Journal of

Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol

135, No 3, March 1

24 Smith IM, Griffiths DV (2004), Programming the

finite element method John Wiley & Sons, Fourth Edition

25 Vallabhan, C.V.G & Mustafa, G (1996), A

new model for the analysis of settlement of drilled piers International Journal of Numerical and

Analytical Methods in Geomechanics, 20, pp 143-152

Người phản biện: PGS.TS VƯƠNG VĂN THÀNH