Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động 2: Chương 3 - Đỗ Quang Thông

Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động 2: Chương 3 Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa sau khi học xong chương này người học có thể hiểu về: Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa, phân tích tính ổn định của tự dao động và xác định biên độ, tần số dao động, khảo sát hiện tượng tự dao động,...

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA ĐIỀU HÒA 3.1 PHƯƠNG PHÁP TTHĐH

3.1.1 Khái quát chung

Ưu điểm:

- có thể áp dụng với các HT bậc thấp và bậc

cao;

- do nó sử dụng phương pháp phân tích trên

miền tần số của các HT tuyến tính nên rất dễdàng áp dụng và cho phép đánh giá các tham sốchuyển động trong HT;

- áp dụng tương đối dễ dàng đối với các phần tửphi tuyến cứng có trong các HTĐKTĐ.

Nhược điểm: là phương pháp tính toán gần

đúng

Việc nghiên cứu HTĐKTĐ phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa điều hòa được thực hiện qua hai giai đoạn :

- giai đoạn 1: thay thế khâu phi tuyến trong HT bằng khâu tuyến tính tương đương, có HST phụthuộc vào các tham số chuyển động trong HT; bằng cách đó ta nhận được HST của HT được tuyến tính hóa điều hòa;

- giai đoạn 2: bằng phương pháp bất kỳ của LTĐKTĐ tuyến tính, tìm chuyển động của HT đã tuyến tính hóa điều hòa

Để thực hiện phương pháp tuyến tính hóa điều hòa thì trong cấu trúc của HT được nghiên cứu cần tách ra phần tuyến tính và khâu phi tuyến F(x) (H.3-1).

H 3-1

Wtt(s)F(x)y(t) x(t)

Điều kiện áp dụng phương pháp tuyến tính hóa điều hòa:

- khâu phi tuyến tạo ra tín hiệu có hài bậc nhất trội hơn các hài bậc hai trở lên và không cóthành phần một chiều;

- phần tuyến tính có tính chất của bộ lọc thấp tần: loại bỏ các hài bậc cao

Lúc này tín hiệu x(t) được làm gần đúng với hài bậc nhất:

], )

( sin[

) ( )

( t = A t ψ t + ψ 0

trong đó biên độ A(t) và pha Ψ( t) có thể được xác định như sau:

];

)(exp[

A

t t

∫

0

)

( )

( ω τ τ ψ

ξt-hệ số suy giảm, phụ thuộc vào thời gian,ω-tần

số dao động

Giả sử trong một chu kỳ dao động các giá trị của

hệ số suy giảm ξt và tần số ω thay đổi không đáng kể, nên có thể cho rằng chúng không thay đổi Khi đó, có thể biểu diễn tín hiệu y(t) bằng chuỗi Fourier:

, cos

) ,

( sin

) ,

( )

sin(

1)

,

A

A a

)sin

(

1)

,

A

A b

(3.2)

Lúc này khâu phi tuyến được thay thế bằng HST tương đương Để xác định nó cần thực hiện biếnđổi Laplace (3.1) và (3.2):

1 2

2

) ( s = A ω s − ξ + ω −

X

)] )(

, ( )

, ( [ ]

) [(

),

()

(

)

()

,,,

( ξ ω a A ω ω 1 s ξ b A ω

s X

s

Y A

s

3.1.2 Hệ số tuyến tính hóa điều hòa của một

số khâu phi tuyến

3.1.2.1 Khâu rơle ba vị trí có trễ

Trên H.3-2 biểu diễn tín hiệu đầu ra của khâu rơ

le ba vị trí có trễ dưới tác động của tín hiệu hình sin ở đầu vào

a xma

Tính toán hệ số tuyến tính hóa điều hòa

π

ω ω

ω π

0

2 0

), ( sin

) sin (

1 )

( ) sin(

)]

sin(

[

1 )

,

A

t d

t t

A

f A

2

sin

2)

(sin

)sin

(

2)

,

(

2 1

ψ

ψ π

ψ ψ

ψ π

ω

ψ ψ

ψ ψ

d

B A

d A

f A

2 2

2 cos 1 ( )

sin

A

ma ma

)(

1)

(1(

2)

,

A

ma A

a A

B A

πω

Biến đổi tương tự, nhận được:

2cos

2)

,(

ψ ψ

ψ

ψ π

ψ

ψ π

ω

A

B d

B A

A

b

).

1 (

2 )

b

πω

3.1.3 Khảo sát hiện tượng tự dao động

Chuyển động riêng của HT đã tuyến tính hóa điều hòa được xác định bằng nghiệm phươngtrình đặc trưng:

0 1

) ,

, , ( )

( s W s A ξ ω + =

W tt tđ

Phương trình đặc trưng phụ thuộc vào các tham

số chưa biết A, ξ, ω Nghiệm của nó cũng phụthuộc vào A, ξ, ω

Khi trong HT xảy ra chuyển động tuần hoàn (tự dao động) thì hệ số suy giảm ξ=0, lúc này HST tương đương của khâu phi tuyến có dạng

(3.6)

, ( )

, ( )

, ,

Khi này phương trình đặc trưng của HT (3.6) códạng

0 1

) ,

, ( )

( s W s A ω + =

Từ đây nhận được

.)(

1)

(

A W

j

W

tđ tt

−

=

Cần tìm A, ω

3.1.3.1 Phân tích tính ổn định của tự dao

động và xác định biên độ, tần số dao động

Phương pháp cân bằng điều hoà (phương pháp Gôlpharba L.C.)

RejIm

) (

Giải PTĐT (3.8) bằng đồ họa:

- dựng đồ thị củahàm -1/Wtđ(A) vớichiều mũi tên chỉchiều tăng của A;

- dựng đồ thị của

Wtt(jω) với chiều mũi tên chỉ chiều tăng của ω;

H.3-5

) ( j ω

W tt

(A3,ω3)(A4,ω4)

0

Dao động ổn định chỉ xảy ra tại giao điểm mà tại

đó, nếu chuyển động theo đường cong -1/Wtđ(A)theo hướng tăng của biên độ A sẽ ra khỏi vùngkín được tạo ra bằng các đường cong đó, thí

dụ, điểm (A1, ω1) trên H.3-5 Khi này dựa vàođường cong -1/Wtđ(A) xác định biên độ dao động A, còn theo đường cong Wtt(jω) xác định tần số dao động ω

Thí dụ 3.1 Xác định sự tồn tại tự dao động và

biên độ dao động trong HTĐKTĐ phi tuyến trên H.1-3, trong đó phần tuyến tính có HST

) 1 )(

1 (

s T s

k s

1

4)

A

a A

B A

π

Phương pháp sử dụng tiêu chuẩn ổn định Mikhailôp

Phương pháp này được thực hiện qua các bước như sau:

- tìm số phức đặc trưng của HT kín và tách nó ra thành phần thực U(A, ω) và phần ảo V(A, ω)

) (

) (

,

) (

) (

A V

Thí dụ 3.2 Xác định biên độ và tần số dao động

của HTĐKTĐ phi tuyến trong thí dụ 3.1

Sau khi thực hiện tuyến tính hoá điều hoà khâu phi tuyến, nhận được HST HT kín dưới dạng

)1)(

1(

s T

s

k s

W tt

1 ,

, ,

) (

) (

) (

)

( )

s W

A W

s

W A

s

W

tđ tt

tđ tt

k

) (

) )(

( )

(s , A T1s 1 T 2 s 1 s kW A , ω

⇒

) (

) (

) (

(

0 ,

,

) (

) (

) (

) (

2 1

2

2 1

2

T T A

V

A kW

T T

A

ω ω

ω

ω ω

ω

Từ phương trình thứ hai nhận được nghiệm

2 1

3 1

1

;

0

T T

=

ω

Do khi ω1=0 thì U(A, ω)=kWtđ (A, ω)>0, nên thay

ω3 vào phương trình thứ nhất, sau đó biến đổi, nhận được

(A =

(3.10)Phương trình trên có 2 nghiệm

) (

) (

4 4

8

2 1

2

1

2 2

2 2 2

2 2

2 1

2

2 2

1

2 2

2 1

2

2 2

2

,

1

T T

a T

T T

T B k T

T B k T

T B

k A

a T

T k

2 1

A T

T B k

A T

T A

M

2 2 2

2 1

2 2

2 2 2

2 1

2 2 4

2 2

16

16 )

( )

) (

) (

4 4

8

2 1

2

1

2 2

2 2 2

2 2

2 1

2

2 2

1

2 2

2 1

2 2

2

T T

a T

T T

T B k T

T B k T

T B

k A

) (

4 4

8

2 1

2

1

2 2

2 2 2

2 2

2 1

2

2 2

1

2 2

2 1

2 2

1

T T

a T

T T

T B k T

T B k T

T B

k A

Trong đó chỉ có một nghiệm

) (

) (

4 4

8

2 1

2

1

2 2

2 2 2

2 2

2 1

2

2 2

1

2 2

2 1

2 2

2

T T

a T

T T

T B k T

T B k T

T B

k A

) ,

( A = ( − 2T1T 2) =

đã có 2 nghiệm ω1=0 và ω3 Bây giờ, khi tăng biên độ dao động A, cần phải chỉ ra sự tồn tại nghiệm ω2 của phương trình

0 ,

(

0 1

ω

U

ω1 ω3

.0,

(

3 2

1

2 3

3

<

+ +

Sau khi biến đổi (3.12), nhận được

; 0 )

(A >

M

trong đó M(A, ω3) được xác định từ (3.10)

Xét dấu của (3.10) Biểu thức này có giá trị âm khi nằm trong khoảng , trong đó

(3.13)

) ,

) (

4 4

8

2 1

2

1

2 2

2 2 2

2 2

2 1

2

2 2

1

2 2

2 1

2 2 2

1

T T

a T

T T

T B k T

T B k T

T B

k A

) (

) (

4 4

8

2 1

2

1

2 2

2 2 2

2 2

2 1

2

2 2

1

2 2

2 1

2

2 2

2

T T

a T

T T

T B k T

T B k T

T B

k A

và có giá trị dương khi khi A2 nằm ngoài khoảng

đó Rõ ràng chỉ có giá trị biên độ A2 mới thoả mãn điều kiện (3.13) khi nó tăng Như vậy, A2 là biên độ tự dao động trong HT

Thay số vào (3.11,a), nhận được A=1,1841; thay

số vào (3.11,b), nhận được A=0,10036

Phương pháp sử dụng tiêu chuẩn ổn định Nyquist

cần thực hiện như sau:

- xác định điều kiện để ĐTTSBĐP của HT hở đi qua điểm (-1, j0); từ đó xác định biên độ và tần

số dao động;

- tiến hành kiểm tra tính ổn định của tự dao động (tự dao động sẽ ổn định, nếu như khi tăng biên độ A sẽ làm cho HT kín ổn định, tức là, ĐTTSBĐP của HT hở không bao điểm (-1, j0) hoặc bao điểm này l/2 lần theo chiều dương, với l là

số nghiệm PTĐT của HT hở nằm ở nửa bên phải mặt phẳng nghiệm).

Thí dụ 3.3 Xác định biên độ và tần số dao động

của HTĐKTĐ phi tuyến trong thí dụ 3.1

Sau khi thực hiện tuyến tính hoá điều hoà khâu phi tuyến, nhận được HST của HT hở như sau

; ) )(

K s

trong đó K=kWtđ(A)

Hàm số truyền tần số của HT hở có dạng

) )(

(

)

(

11

T j

j

K A

j

W h

ω ω

ω ω

) )(

(

) )(

( )

1 2

2 1

2

1

11

T j

T j

jK T

j T

j j

K j

W h

ω ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω

+ +

−

−

−

= +

+

=

).

( )

( 1

1

1

) )(

(

) (

) (

2 2

2 2

1 2

2 1

2 2

1

ω

ω ω

ω ω

ω

ω

jv

u T

T

T T jK

T T

K

+

= +

+

− +

ω→∞

Wh(jω)

ωπKhi ω=ωπ thì v(ω)=0, vì vậy:

1

0 1

2 1

2 1

2

) (

T T

T T K

=

⇒

=

−ω

ω

π

Để HT nằm trên biên giới ổn định (tồn tại tự dao động) hàm tần số phần thực của HT hở tại tần

số ωπ phải bằng -1 Từ đây nhận được phương trình có dạng (3.9) và nghiệm của nó có dạng (3.11)

Để tự dao động trong HT ổn định thì khi tăng giátrị biên độ, tại tần số ωπ, hàm tần số phần thực của HT hở phải lớn hơn -1 Từ đây nhận được bất đẳng thức dạng (3.13)

Xác định biên độ dao động bằng tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

Các bước thực hiện như sau:

- tìm PTĐT của HT kín (3.7):

0 1

) ,

, ( )

( s W s A ω + =

W tt tđ

- sử dụng tiêu chuẩn Hurwitz để viết điều kiện

HT nằm trên biên giới ổn định (a0>0; an>0;

∆1÷∆n-2>0; ∆n-1=0; hoặc a0>0; an=0; ∆1÷∆n-1>0);

từ đó xác định biên độ dao động A;

- tiến hành kiểm tra tính ổn định của tự dao động (tự dao động trong HT sẽ ổn định, nếu như khi tăng biên độ dao động A sẽ làm cho HT trở nên

ổn định (a0>0 và tất cả các định thức Hurwitz trở nên dương))

Thí dụ 3.4 Xác định biên độ dao động của

HTĐKTĐ trong thí dụ 3.1

Sau khi thay thế HST tương đương của khâu phi tuyến vào phương trình đặc trưng (3.7) vàbiến đổi, nhận được

;

2 1

2 1

3 2

1 + ( + ) + + 1 − =

A

a k

B s

A s

T T

A s

T T

Bậc của HT bằng 3 và ai>0 (i=0÷3) nên nó nằm trên biên giới ổn định khi ∆1>0 ; ∆2=0

; 0 )

( )

, ( )

, (

) ,

1

2= a A ω a A ω − a A ω a A ω

∆

Từ đây nhận được kết quả như trong thí dụ 3.2

Thay A=1,1841 vào (3.14) nhận được ∆1=1,116;

∆2=0; thay A=1,1842 vào (3.14) nhận được

∆1=1,1161; ∆2=0,0003 Như vậy, dao động với biên độ A=1,1841 là dao động ổn định

(3.14,a)(3.14,b)

Thay A=0,10036 vào (3.14) nhận được

∆1=0,0946; ∆2=-1,1161.10-14; thay A=0,1004 vào (3.14) nhận được ∆1=0,0946; ∆2=-0,0017; thay A=0,1005 vào (3.14) nhận được ∆1=0,0947;

∆2=-0,0053 Như vậy, không thể tồn tại dao động với biên độ A=0,10036