Đánh giá chất lượng mô hình Galerkin-mờ mô tả trường nhiệt độ trong vật nung dày trên cơ sở so sánh với các mô hình thực nghiệm

Bài viết trình bày một khả năng sử dụng kỹ thuật tách biến Galerkin kết hợp chỉnh định tham số mờ để chuyển chính xác mô hình PDE thành mô hình trạng thái phi tuyến dưới dạng hệ ODE mà không cần chia lớp đẳng nhiệt. Điều này giúp ta luôn xác định được nhiệt độ tại mọi vị trí bất kỳ trong lòng vật nung.

ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG MÔ HÌNH GALERKIN-MỜ MÔ TẢ TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ TRONG VẬT NUNG DÀY TRÊN CƠ SỞ

SO SÁNH VỚI CÁC MÔ HÌNH THỰC NGHIỆM

Nguyễn Việt Dũng*, Nguyễn Thu Hà, Nguyễn Đức Quang, Nguyễn Doãn Phước 

Tóm tắt: Để điều khiển quá trình nung vật dày hay dự đoán nhiệt độ trong lòng

vật nung ta cần có mô hình toán mô tả sự phân bố nhiệt độ trong vật nung Từ định luật bảo toàn năng lượng người ta đã thu được mô hình toán này dưới dạng PDE Song do chưa có phương pháp chung giúp tìm được nghiệm chính xác của PDE dưới dạng hàm nhiều biến, nên người ta thường phải thay nó bằng các mô hình ODE xấp xỉ thông qua chia vật nung thành nhiều lớp đẳng nhiệt trong không gian Như vậy, khi thay đổi số lớp đẳng nhiệt ta lại phải xây dựng lại mô hình toán cho vật nung Bài báo trình bày một khả năng sử dụng kỹ thuật tách biến Galerkin kết hợp chỉnh định tham số mờ để chuyển chính xác mô hình PDE thành mô hình trạng thái phi tuyến dưới dạng hệ ODE mà không cần chia lớp đẳng nhiệt Điều này giúp

ta luôn xác định được nhiệt độ tại mọi vị trí bất kỳ trong lòng vật nung Kết quả mô phỏng trong bài báo trên cơ sở so sánh với những mô hình thực nghiệm trước đây

đã xác nhận điều này

Từ khóa: Vật nung dày, PDE, ODE, Galerkin, Điều khiển nhiệt độ. 

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Để có thể nghiên cứu bản chất vật lý, sự phân bố nhiệt trong lò nung cũng như điều khiển  nhiệt độ vật nung người ta cần có mô hình mô tả sự phân bố nhiệt độ  ( , , , )T x y z t  trong vật 

nung theo các chiều trong không gian là x( , , )x y z T  và theo thời gian  t  Do sự phân bố 

nhiệt độ  ( , , , )T x y z t  của vật nung là theo cả ba chiều trong không gian nên mô hình phân bố 

nhiệt trong vật nung sẽ phải là một phương trình vi phân đạo hàm riêng (PDE). Điều này gây  không ít khó khăn cho việc thiết kế bộ điều khiển sau này [[1],[2],[3]]. 

Với mong muốn có được một mô hình mô tả sự phân bố nhiệt độ  ( , , , )T x y z t  trong vật 

nung dưới dạng hệ phương trình vi phân thường (ODE) để tiện cho việc thiết kế bộ điều  khiển, người ta thường chia nhỏ vật nung thành những lớp nhỏ thỏa mãn tính đẳng nhiệt  theo không gian trong từng lớp đó. Các lớp mô hình này có thể được xây dựng từ cấu trúc 

mô hình thực nghiệm cho trước với các tham số được xác định thông qua thực nghiệm đo  đạc và chỉnh định tối ưu (còn gọi là xác định thông qua nhận dạng). 

Bài  báo này trình  bày kết  quả  so  sánh  chất  lượng  của  mô  hình  truyền  nhiệt  trong  vật  nung có sử dụng xấp xỉ Ritz-Galerkin [[4]], kết hợp với chỉnh định tham số mờ để chuyển 

mô hình PDE thành ODE mà không cần chia lớp vật nung đã được chúng tôi giới thiệu ở  tài liệu [[5]], với các mô hình thực nghiệm vẫn thường được sử dụng để thiết kế bộ điều  khiển quá trình nung vật trong lò nung, lấy từ các tài liệu [[2],[6],[7],[8]]. 

2 MÔ HÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG VẬT NUNG

Có hai xu hướng mô hình hóa. Hướng thứ nhất là từ các phương trình được bắt đầu từ  các định luật cân bằng vật chất và cân bằng năng lượng, trong đó, dạng mô hình phù hợp  với bài toán điều khiển quá trình phân bố nhiệt độ trong vật nung là loại mô hình được xây  dựng từ định luật cân bằng năng lượng. Mô hình thu được theo hướng này thường được 

gọi là mô hình lý thuyết. Hướng thứ hai là tiến hành xác định thực nghiệm mô hình truyền  nhiệt dưới dạng hệ ODE (hệ các phương trình vi phân thường) và chúng sẽ được gọi là mô hình thực nghiệm. 

2.1 Mô hình lý thuyết

Mô hình truyền nhiệt trong vật nung được xây dựng từ các phương trình cân bằng năng  lượng giữa nhiệt năng cấp vào và nhiệt năng tỏa ra từ vật nung có dạng như sau [[3]]: 

  dT 1  T

dt  c           (1) 

trong đó: 

  là khối lượng riêng của vật nung có đơn vị đo là kg m  và một cách tổng quát, nó 3

là hàm của các biến  , ,x y z  

  là hệ số dẫn nhiệt của vật nung (thermal conductivity) tại một vị trí cụ thể  , ,x y z  

trong không gian, có đơn vị đo là W mK  Hệ số dẫn nhiệt này còn phụ thuộc nhiệt ( )

độ T  của vật nung ở đúng vị trí đó. 

 c  là nhiệt dung riêng của vật nung (specific heat capacity) có đơn vị đo là  J kg K(  ). 

Giống như hệ số dẫn nhiệt thì nhiệt dung riêng c  còn là hàm của biến nhiệt độ T  tại 

vị trí  , ,x y z  

Ký  hiệu T   và T  của  các  hàm  nhiều  biến,  gồm  ba  biến  , ,x y z  trong không  gian và biến  t  theo thời gian, của công thức (1), sau đây được viết chung lại thành  f , là 

để chỉ phép tính đạo hàm riêng: 

f f f f

x y z

    

Do trong (1) có phép tính hàm hợp   f 2f nên để đơn giản cho việc khai triển  đạo hàm riêng của hàm hợp này, người ta thường sử dụng các biến thể xấp xỉ của nó dạng  đơn giản như sau [[3]]:  

1.  Tọa độ Đề các: 

2

f f f f

x y z

2.  Tọa độ trụ  ( , , )r  z :

2

2

t f

r r

f f f



3.  Tọa độ cầu  ( , , )r   :

2

2

in

r r

f

r





Tất nhiên, mỗi biến thể khai triển phép tính hợp   f như cho ở các công thức trên  đều cần phải có những giả thiết thích hợp kèm theo. 

Hình 1 Mô hình truyền nhiệt một chiều trong vật nung

Xét trường hợp riêng là vật nung tĩnh với chiều dày  Y y Y  như ở hình 1, có nhiệt 

năng cấp đều dọc theo trục  z  và có kích thước theo chiều  x  đủ nhỏ để sự thay đổi nhiệt 

độ T  theo  x  là có thể bỏ qua được. Khi đó, nếu vật nung là đồng chất, tức là  là hằng 

số,  ,c  chỉ còn là hàm của T , thì mô hình tổng quát (1) trên sẽ trở thành [[3]]: 

y Y

  

( , )

P Y t

( , )

P Y t  

z

x 

y 

Y  

0 

( )

T

dt  c T y  y

    với  Y y Y        (2) 

và đây cũng vẫn là một phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến. Điều này gây rất  nhiều khó khăn cho việc xác định nghiệm để phân tích và điều khiển hệ thống. Do đó đã 

có nhiều phương pháp xấp xỉ PDE (2) trên thành ODE cho việc phân tích và thiết kế điều  khiển, trong số đó, phương pháp xấp xỉ Galerkin [[1],[4],[9]]: 

3 1

( , ) i( ) ( )i

i

T y t h y x t



2

( ) 1,   ( ) ,   ( )

3

h y h y h y

 

        (3) 

sử dụng ba trạng thái “ảo” x t x t x t  độc lập tuyến tính, là tỏ ra có chất lượng xấp 1( ),   2( ),   3( )

xỉ tốt hơn cả. Tuy nhiên, mô hình xấp xỉ Galerkin đó lại sử dụng hai biến tham số trung  bình  ( ),   ( ) x c x  phụ thuộc  x , thay cho  ( ),   ( )T c T  ban đầu. Điều này đòi hỏi cần phải 

có thêm một phép biến đổi phi tuyến nữa để chuyển  ( ),   ( )T c T  thành  ( ),   ( ) x c x , trong  khi bản thân công thức mô tả hai tham số này lại không ở dạng tường minh. Chính vì vậy,  trong tài liệu [[5]] chúng tôi đã giới thiệu phương án sử dụng chỉnh định mờ để xác định  ( ),   ( )T c T

  thay vì  ( ),   ( ) x c x , giúp cho nó dễ ứng dụng vào điều khiển hơn. 

Mô hình Galerkin có thêm khâu chỉnh định mờ như mô tả ở hình 2, mà sau đây sẽ được 

gọi  là  mô hình Galerkin-mờ,  gồm  hai  thành  phần.  Thành  phần  thứ  nhất  là  một  mô  hình 

trạng thái cho bởi [[4]]: 

2

( ) ( )

T

c T Y

c T Y









       (4) 

có  được  nhờ  thay  phép  tính  xấp  xỉ  Galerkin  (3)  vào  mô  hình  truyền  nhiệt  (2),  trong  đó 

1 2 3

( , , )T

x x x x  là ký hiệu vector trạng thái của hệ. Thành phần thứ hai là một khâu chỉnh  định mờ để xác định  ( ),   ( )T c T  từ đầu ra T , với các thành phần chi tiết như sau [[5]]: 

 Khối mờ hóa cho ở hình 3 của tín hiệu đầu vào T  có tên gọi các tập mờ lần lượt là 

,   1, 2,    ,9

j

Td j    cho  ( )T  và Tc i  i,   1, 2,   ,12 cho  ( )c T , cũng như có các tập 

mờ đầu ra ld c  tương ứng đều là hàm singleton:  j,   i

[60 ,  57.5 ,  47.5 ,  37.5 ,  30 ,  25 ,  27 ,  28 ,  35]

[0.4 ,  0.5 ,  0.5,   0.6 ,  0.7 ,  1.8 ,  1.8 ,  0.6 ,  1 ,  1 ,  0.6 ,  0.8]

j

i

ld

c



 Luật hợp thành:  Nếu T Tl j thì ld j với j 1, 2,   ,9 

  Nếu T Tc i thì c c i với i 1, 2,   ,12 

 Giải mờ theo phương pháp điểm trọng tâm. 

Chất lượng điều khiển khá tốt khi sử dụng mô hình Galerkin-mờ này cũng đã được xác  nhận thông qua mô phỏng ở các tài liệu [[5]] và [[10]]. 

Hình 2 Cấu trúc mô hình Galerkin-mờ

,

c  

x 

y 

T 

u  Mô hình lò

nung

Xấp xỉ Galerkin Khâu chỉnh định mờ

Hình 3 Mờ hóa tín hiệu vào, ra

Mô hình Galerkin-mờ cho ở (4) có hai tín hiệu vào uu u1, 2 là các dòng nhiệt đưa  vào phía dưới và phía trên vật nung. Nếu lò nung chỉ có một dòng nhiệt đưa vào phía dưới  vật nung như mô tả ở hình 1, thì mô hình (4) sẽ có u   Tương tự, nếu ở đó đầu ra mà 2 0

ta quan tâm chỉ là nhiệt độ  (0)T  ở tâm vật nung thì (4) sẽ trở thành: 

1 2

(0) 1 ,  0 ,   1 3

T

h x

c h x Y c h x Y









      (5) 

2.2 Mô hình thực nghiệm

Mô hình thực nghiệm là loại mô hình toán dưới dạng hệ ODE được thiết lập nhờ đo đạc  tín hiệu vào ra, với hai bước tiến hành như sau: 

 Ở bước thứ nhất, từ kết quả phân tích bản chất vật lý của hệ thống người ta có được các  thông tin ban đầu để xác định cấu trúc mô hình hệ ODE. Những thông tin ban đầu này  được gọi chung lại dưới tên A-priori-informations. 

 Tiếp theo, ở bước thứ hai, người ta tiến hành nhận dạng tham số của mô hình ODE đã 

có từ bước một, trên cơ sở đo đạc các tín hiệu vào ra. Nguyên tắc xác định tham số này 

là cực tiểu hóa hàm mục tiêu đánh giá sai số giữa mô hình ODE với đối tượng là quá  trình truyền nhiệt. 

Có  thể  thấy  vì  mô  hình  thực  nghiệm  được  xây  dựng  dựa  trên  nhận  định  chủ  quan  từ  thông tin A-priori về cấu trúc mô hình nên sẽ có thể có nhiều mô hình thực nghiệm khác  nhau  thu  được  cho  cùng  một  đối  tượng  truyền  nhiệt.  Sau  đây  là  một  số  mô  hình  thực  nghiệm vẫn thường được sử dụng để phân tích và điều khiển lò nung. 

2.2.1 Mô hình thực nghiệm của Pedersen và Wittenmark [[2]]

Trong vật nung đồng chất ở hình 1 người ta chia  Y y Y  thành  n  lớp  y1,   ,y n  với độ dày mỗi lớp đó là h1,   ,h n và ký hiệu nhiệt độ trong từng lớp đó, được giả thiết 

là không đổi, bởi T i T y( )i  Khi đó, mô hình Pedersen và Wittenmark cho T  sẽ là:  i

( , )

i

dT

g T h a T T a T T a T a

dt              (6)  với  ( , )g T h  là tham số vật liệu nung,  i i a a a a  là những tham số hằng của mô hình. 1, 2, 3, 4 Tất cả các tham số này cần phải được xác định bằng nhận dạng. Tín hiệu đầu vào T  của  a

mô hình (6) thực chất là nhiệt độ của lớp trước truyền sang, tức là T a T i1. 

Ghép chung  n  mô hình (6) lại với nhau, thì với ký hiệu  x( ,  x1  ,x n) ,  T x i T i, ta 

sẽ có mô hình trạng thái mô tả nhiệt độ trong vật nung như sau: 

  xf x u( , ) 

trong đó, f x u( , )f1,   ,f nT  có các phần tử lần lượt là: 

 Khi  2 i n thì: 

f g x h a x x a x x a x a 

 Khi i   thì: 1

1 ( , )1 1 1( 1) 2 1 3 1 4

f g x h a u x a u x a x a 

2.2.2 Mô hình thực nghiệm theo phương pháp số (lưới sai phân)

Cũng bằng hình thức chia vật nung thành lớp nhỏ đẳng nhiệt, chẳng hạn khi chia thành  năm lớp, mô hình truyền nhiệt qua năm lớp vật nung sẽ như sau [[7]]: 





















trong đó, các hệ số 1,  1,   ,   2 là các thành phần phụ thuộc vào thông số nhiệt vật lý  của vật nung,  chiều dày mỗi  lớp  chia bên trong  vật nung là cần phải được xác định nhờ  nhận dạng. Ký hiệu x i  i,  1,   ,5 chỉ nhiệt độ lớp vật nung thứ  i  và  u u  lần lượt là 1,   2 nhiệt năng cung cấp vào các mặt phía trên và phía dưới của vật nung. 

2.2.3 Mô hình thực nghiệm dựa theo cân bằng năng lượng cho từng lớp vật nung

Tương tự, khi chia vật nung thành năm lớp đẳng nhiệt rồi dựa vào suy luận về trao đổi  nhiệt giữa các lớp đó cũng như cân bằng nhiệt năng trong từng lớp, người ta đã đưa ra mô 

hình [[8]]: 

5

dv dv dv dv

x a u x x

x a x x x

x a x x x

x a x x x

x a x x a x x



































       (8) 

trong đó, các hệ số  ,  a dv,  Cdv,  kk lần lượt là hệ số dẫn nhiệt độ, hệ số dẫn nhiệt của  mỗi  lớp  vật  nung,  hệ  số  dẫn  nhiệt  đơn  vị  của  tường  lò  nung  và  hệ  số  truyền  nhiệt  của  không khí. Các hệ số này cũng phụ thuộc vào chiều dày mỗi lớp chia bên trong vật nung 

và cần phải được xác định nhờ nhận dạng. Ký hiệu x i  i,  1,   ,5 là nhiệt độ lớp vật nung 

thứ i ,  x  là nhiệt độ của tường lò nung và  vo u  là nhiệt năng cấp vào phía trên vật nung. 1

3 SO SÁNH CHẤT LƯỢNG MÔ HÌNH NHỜ MÔ PHỎNG

Để  kiểm  chứng  mô  hình  Galerkin-mờ  đã  đề  xuất,  ta  sẽ  mô  phỏng  và  so  sánh  với  hai  loại mô hình thực nghiệm đã đề cập ở trên với các dữ liệu mô phỏng cho vật nung dày là 

mô  hình  thép  tấm  ( 0.1%C )  giả  thiết  đồng  nhất  về  mặt  vật  lý,  có  khối  lượng  riêng 

7000 kg m

 , chiều dày Y 0,5( )m , hệ số bức xạ nhiệt hai mặt trên và dưới lần lượt 

là  0,75;  0,65. Giá trị bức xạ nhiệt bề mặt dưới nhỏ hơn mặt trên vì ảnh hưởng  của  cơ  cấu  đỡ  vật  nung.  Hệ  số  bức  xạ  của  phần  tường  lò  bao  quanh  vật  nung  là 

0, 7;   0, 7

        Vật  nung  được  gia  nhiệt  với  nguồn  nhiệt  bức  xạ  có  nhiệt  độ 

w( ) 1600

T t K

 và T tw( ) 300K

  

Hình 4 So sánh nhiệt độ tâm vật nung biểu diễn bằng các mô hình

Bảng 1 Khả năng thực thi của các mô hình mô phỏng đã đề xuất trên Simulink

Đặc điểm       Loại mô 

hình 

Mô hình  Galerkin-mờ 

Mô hình số  (Sai phân) 

Mô hình cân  bằng năng lượng 

Tổng thời gian thực thi mô phỏng  2,73 (s)  16,61 (s)  3,72 (s)  Thời gian thực thi tính toán  1,09375 (s)  16,328125 (s)  2,9375 (s) 

Số lượng Block methods  384  71  194 

Clock precision  4 10  (s) 8   4 10  (s) 8   4 10  (s) 8   Clock speed  2500 MHz  2500 MHz  2500 MHz 

Từ các mô hình và kết quả mô phỏng trên hình 4 ta nhận thấy, nhiệt độ tại lớp vật nung  tùy  ý  có  thể  được  tính  toán  và  thể  hiện  bởi  các  mô  hình  đã  đề  xuất.  Tuy  nhiên  với  2  phương pháp xây dựng mô hình thực nghiệm ta phải tính toán lại nếu muốn chia lớp vật  nung  ít hơn hay nhiều hơn, còn với mô  hình Galerkin-mờ ta chỉ cần thay đổi giá trị của 

biến  y  trong  T y  qua đó cho thấy khả năng biểu diễn đơn giản nhiệt độ tại điểm bất kỳ ( ) bên trong vật nung của mô hình Galerkin-mờ.  Bên cạnh đó, các  mô hình cũng đã chỉ rõ  bản chất vật lý của vật nung dầy, nhiệt độ tâm vật nung thể hiện rõ tính phi tuyến khi phụ  thuộc vào các tham số nhiệt vật lý  ( ),   ( )T c T  của vật nung. 

Bảng 1 cho ta thấy rõ hơn khả năng thực thi của mô hình Galerkin-mờ đã đề xuất, khi  thời gian xử lý và mô phỏng của các mô hình Simulink tính toán và biểu diễn nhiệt độ các  lớp bên trong vật nung rất ngắn. Đó chính là khả năng giải các phương trình ODE xấp xỉ  bởi  máy  tính  cho  phép  ta  nhanh  chóng  thu  được  mô  hình  trường  nhiệt  độ  bên  trong  vật  nung,  từ  đó  trở  thành  một  lợi  thế  khi  thực  hiện  các  thuật  toán  điều  khiển  bài  toán  điều 

khiển quá trình nung vật dày và mở ra khả năng sử dụng trong các ứng dụng điều khiển  thực  như  điều  khiển  nhiệt  độ  lò-vật  nung  theo  quỹ  đạo,  tối  ưu  hóa,  hay  các  tác  vụ  điều  khiển khác. 

Đối với trường hợp vật nung dày khác mà không có đồ thị mô tả mối liên hệ các thông 

số nhiệt vật lý với nhiệt độ [[4]] ta hoàn toàn có thể tra cứu từ sổ tay vật liệu và sử dụng  công cụ lý thuyết mờ như đã thực hiện ở trên. Tuy nhiên, kết quả mô phỏng hay độ chính  xác của mô hình trường nhiệt phân bố trong vật dày như đã đề xuất cần được kiểm chứng  bằng các kết quả thực nghiệm. 

4 KẾT LUẬN

Bài báo đã thực hiện so sánh  chất lượng một  số mô  hình truyền nhiệt trong vật nung  dày thông qua mô phỏng trong MatLab, bao gồm mô hình Galerkin-mờ được đề xuất trong  [[5]] và các mô hình thực nghiệm cho bởi [[7]] và [[8]]. 

Bài báo còn cho thấy bên cạnh khả năng mềm dẻo của mô hình Galerkin-mờ ở nghĩa  luôn cho ra được nhiệt độ vật nung T y  tại mọi vị trí  Y y Y( )     bất kỳ, trong khi các 

mô  hình  thực  nghiệm  khác  chỉ  có  thể  xác  định  được  tại  hữu  hạn  vị  trí x i T y( )i ,  cũng  như bậc của mô hình Galerkin-mờ không thay đổi, trong khi bậc các mô hình thực nghiệm  luôn tăng theo số lớp đẳng nhiệt được chia, thì kết quả mô phỏng còn cho thấy thêm, một  cách  định  tính,  rằng  mô  hình  Galerkin-mờ  cho  ra  giá  trị  dự  báo  nhiệt  độ  trong  vật  nung  hợp lý hơn cả. 

Những kết quả của bài báo cũng là định hướng cho việc nâng cao chất lượng điều khiển  bằng cách sử dụng mô hình Galerkin-mờ để thiết kế bộ điều khiển, thay vì mô hình thực  nghiệm. Tuy nhiên, việc sử dụng mô hình Galerkin-mờ còn kéo theo là phải xác định được 

ba biến  trạng  thái “ảo”  không  mang ý  nghĩa  vật  lý.  Và đó  cũng  là nhiệm vụ  nghiên  cứu  tiếp theo của chúng tôi. 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Steinboeck,A. (2011): “Model based Control and Optimization of A Continuous Slab Rehaeting Furnaces”. Shecker Verlag, Aachen. 

[2] Lars Malcolm Pedersen and Bjrn Wittenmark (1998): “On the reheat furnace control problem”.  Proceedings  of  the  American  Control  Conference,  Philadelphia, 

Pennsylvania, pp. 3811-3815. 

[3] Incopera,F.D.; DeWitz,D.P.; Bergman,T.L. and Lavine,A.S. (2007): “Fundamental of heat and mass transfer”. Hoboken, NJ. John Wieley&Sons. 

[4] A. Steinboeck, D. Wild, T. Kiefer, and A. Kugi (2013): “A mathematical model of a slab reheating furnace with radiative heat transfer and non-participating gaseous media”. Int. Journal of Heat and Mass Transfer. 53 (2010), pp. 5933-5946 

[5] Nguyễn Việt Dũng (2016): “Kết hợp mô hình mờ và công thức tách biến Galerkin để

mô hình hóa quá trình truyền nhiệt trong vật nung dày”. Tạp  chí  Nghiên  cứu  khoa 

học và Công nghệ quân sự, Số 44, tháng 08. 

[6] Zhang  Xuedong, Li  Yunhai  and  Li  Xiaohua  (2014): “Review on Control Model of Reheating Furnace in Hot Rolling Line”.  Proceedings  of  the  33rd  Chinese  Control 

Conference, pp.2929-2934. 

[7] Hoàng Kim Cơ, Đỗ Ngân Thanh, Nguyễn Mạnh Tường (2007): “Cẩm nang tính toán thiết kế lò công nghiệp” Nhà xuất bản Giáo dục. 

[8] Sohlberg,B.  (2003):  “Grey box modelling for model predictive control of a heating process”. Journal of Process Control 13(2003), pp.225-238. 

[9] S.  Brenner  and  R.L.  Scott  (2005):  “The Mathematical Theory of Finite Element Methods”. 2nd edition, Springer. 

[10] Nguyen Viet Dung, Do Thi Tu Anh, Nguyen Doan Phuoc (2016): “Receding Horizon Controller Design for Continuous-Time Bilinear Systems and an Application to Constrained Control of Slab Reheating Furnace”.  Proceedings  of  the  9th  Regional 

Conference on Electrical and Electronics Engineering, RCEEE2016, pp. 98-103 

ABSTRACT

EVALUATION OF GALERKIN-FUZZY MODEL FOR TEMPERATURE FIELD IN  THICK SLAB REHEATING FURNACE BY COMPARING WITH SOME 

EXPERIMENTAL MODEL 

For temperature control or temperature estimation inside of a thick slab in furnace it is needed obligatory a mathematical model of heat flow to describe the temperature field in heating block Such a model obtained by using energy balance principle is a PDE one However, since a particular method for determining precisely the solution of PDE in form of a multivariable function is still not available, this PDE model has to be often replaced approximately with an ODE system, which is obtained by splitting spatially non-homogeneous thick heating slab into many temperature homogeneous thin billets Hence, by changing the number of homogeneous billets a new ODE model has to be established This paper presents

an approach to obtain precisely the nonlinear state equations in ODE structure for thick reheating slab from its appropriate PDE by using the Galerkin technique combining with a fuzzy adjustor, without having to split it spatially This makes therefore an opportunity to determine the temperature at any position inside of reheating thick slab Simulation results of the paper for comparison with a few experimental models have shown this performance as expecting

Keywword: Thick heating slab, PDE, ODE, Temperature control. 

Nhận bài ngày 09 tháng 5 năm 2017 Hoàn thiện ngày 20 tháng 7 năm 2017 Chấp nhận đăng ngày 18 tháng 8 năm 2017

Địa chỉ: Đại học Bách khoa Hà Nội; 

*

Email: dung.nguyenviet2@hust.edu.vn.