Về một phương pháp nhân đa thức dựa trên định lý phần dư Trung Hoa và phép biến đổi Fourier nhanh

Bài viết trình bày một phương pháp hiệu quả nhân nhanh các đa thức và chuỗi lũy thừa có các hệ số nguyên ứng dụng trong việc tạo các tham số cho các hệ thống mật mã khóa công khai, mà hiệu quả của chúng làm tăng tốc độ thực hiện các thuật toán trong các ứng dụng thực tế.

Trang 1

Nghiên cứu khoa học công nghệ

Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 59, 02 - 2019 187

VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP NHÂN ĐA THỨC DỰA TRÊN ĐỊNH LÝ PHẦN DƯ TRUNG HOA VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH

Nguyễn Thị Thu Nga*

Tóm tắt: Bài báo trình bày một phương pháp hiệu quả nhân nhanh các đa thức

và chuỗi lũy thừa có các hệ số nguyên ứng dụng trong việc tạo các tham số cho các

hệ thống mật mã khóa công khai, mà hiệu quả của chúng làm tăng tốc độ thực hiện các thuật toán trong các ứng dụng thực tế Phương pháp này là thích ứng chúng với tính toán song song cho phép khai thác tối đa khả năng tính toán của các bộ vi xử lý hiện đại Nhờ kết hợp định lý phần dư Trung Hoa và phép biến đổi Fourier nhanh cho phép phát triển một phương pháp nhân nhanh hiệu quả

Từ khóa: Phép nhân song song đa thức; FFT - Biến đổi Fourier nhanh; CRT - (Định lý phần dư Trung Hoa)

Chinese Remainder Theorem

1 MỞ ĐẦU

Năm 1971, Schönhage và Strassen đã đưa ra một thuật toán mới cho phép nhân các số nguyên lớn Kể từ đó các thuật toán nhân nhanh dựa trên biến đổi Fourier nhanh FFT (Fast Fourier Transform) đã được cải tiến liên tục Ngày nay, chúng ta có nhiều thuật toán nhân nhanh các số nguyên lớn [1] và nhân nhanh đa thức [7] Một số thuật toán không phụ thuộc vào kiến trúc bộ xử lý và một số khác được thiết kế giành cho một hệ thống tính toán cụ thể Mặc dù FFT có một lợi thế so với các thuật toán nhân cổ điển, nhưng phiên bản giành cho các máy tính đa nhân không dễ thực hiện Ngoài ra, khi nhân các số nguyên lớn bằng phương pháp FFT chỉ hiệu quả khi các số có trên 100.000 bit [4] Để khắc phục điều này cần tạo một thuật toán cùng một lúc sử dụng FFT và định lý phần dư Trung Hoa CRT (Chinese Remainder Theorem) Định lý phần dư Trung Hoa thường được sử dụng để tăng tốc độ tính toán trong thuật toán mật mã RSA Việc sử dụng CRT cho phép tách và thực hiện song song các phép toán ký hoặc giải mã Bài báo trình bày một thuật toán hiệu quả nhân nhanh các đa thức có các hệ số nguyên

2 BIỂU DIỄN CÁC PHẦN TỬ TRƯỜNG VÀ PHÉP NHÂN NHANH

TRONG VÀNH ĐA THỨC

Trong phần này sẽ trình bày ngắn gọn về phương pháp tối giản Montgomery Bổ đề sau đây là cơ sở cho phương pháp tối giản Montgomery [7]:

Bổ đề 1 Cho a, b, M, R là các số nguyên sao cho (M, R) = 1, a, b <M <R, q = -M-1

mod R, và

t 1 = a • b

t 2 = t 1 mod R

t 3 = t 2 • q

t 4 = t 3 mod R

t 5 = t 4 •M

t = (t 1 + t 5 )/R

Khi đó, một trong những phương trình sau đây là đúng:

abR -1 mod M = t hoặc abR -1 mod M = t - M

Trong thực tế, số M thường là số lẻ, và R là lũy thừa của số 2 Điều này có nghĩa là việc giảm và phân chia theo modulo R dẫn đến giảm thích hợp một số lượng bit cao và bit

thấp Thực tế rút gọn Montgomery cho phép thực hiện tính toán hiệu quả trên vành ℤ/Mℤ

Định lý 1 Cho M và R là các số nguyên dương Nếu (M, R) = 1,M < R và vành

R 1 = <{0,1 , M - 1}, 0, 1, + , − , • >,

R 2 = <{0,1, , M-1}, 0, R mod M, + , - , ⊙ >

Trang 2

và được định nghĩa như sau:

a ± b = a ± b mod M

a • b = ab mod M

a ⊙ b = abR -1

mod M, thì R 1 và R 2 đẳng cấu cùng nhau

Chứng minh: Chúng ta định nghĩa biến đổi h: R 1 → R 2 như sau:

h (x) = xR mod M

Vì M và R nguyên tố cùng nhau, thì R là một modulo M có thể đảo ngược Điều này

có nghĩa là h trong thực tế là một song ánh Để hoàn thành chứng minh chúng ta phải chỉ

ra rằng biến đổi h là một đồng cấu:

1 h(0) = 0, h(1) = R mod M,

2 h(a ± b) = (a ± b)R mod M = (aR ± bR) mod M = h(a) + h(b),

3 h(a • b) = abR mod M = (aRbR)R -1 mod M = h(a) ⊙ h(b)

Điều này đã được chứng minh

Giả thiết rằng: n là một số lũy thừa của 2 và lớn hơn bậc tối đa của đa thức đa thức muốn nhân Giả định rằng giá trị tuyệt đối các hệ số của đa thức nhỏ hơn B

Định nghĩa 1: cho f(X) = f n-1 X n-1 + • • • + f 1 X + f 0∈ ℤ[X] và M ∈ℤ

Chúng ta định nghĩa f(X) mod M như sau:

f(X) mod M = (f n-1 mod M)X n−1 + • • • + (f 0 mod M),

i

f M                  

với i từ 0 đến n-1 Nếu lựa chọn được một số hợp lý M thì nhân hai đa thức trong vành (ℤ/Mℤ)[X] cho

cùng kết quả như nhân chính các đa thức đó cùng trong vành ℤ[X] Bổ đề sau chỉ ra cách chọn số M để đạt được kết quả này

Bổ đề 2 Cho f(X) = f n-1 X n-1 + … + f 1 X + f 0 , g(X) = g n-1 X n-1 + • • •+ g 1 X+g 0 là các

đa thức có hệ số nguyên, sao cho |f i | <B và |g i | <B với i = 0, 1 , , n - 1 Nếu số nguyên

M thỏa mãn điều kiện:

2nB 2 <M Thì f (X)g(X) mod M = f(X)g(X)

Chứng minh: Nếu f(X)g(X) = h(X) = h 2n-2 X 2n-2 + • • • + h 1 X + h 0 thì

 

h X f X g X

1 1

 

    

1

 

      Bởi vì | f i | < B và | g i | < B nên chúng ta có

       với i từ 0 đến n-1

        với i từ

0 đến n-1

Điều đó có nghĩa là |h i |<nB2 với mọi i từ 0 đến 2n - 2 Nếu M>2nB 2 thì tất cả các hệ số

(được mô tả trong định nghĩa 1) của các đa thức f(X), g(X) và h(X) được biểu diễn trong

Trang 3

vành là phần dư theo modulo M mà không cần rút gọn Điều đó suy ra phương trình f(X) g(X) mod M = f(X) g(X)

Định lý 2 Cho f(X) = f n-1 X n-1 + … + f 1 X + f 0 , g(X) = g n-1 X n-1 +• • •+ g 1 X+g 0 là các

đa thức có hệ số nguyên, sao cho |f i | <B và |g i | <B| Nếu số nguyên tố p thỏa mãn các điều

kiện sau:

(1) 2nB 2 <p,

(2) p = 2 m+1 r + 1 với 2 m+1 ≥ 2n và r ∈ℤ, thì

f(X)g(X) = f(X)g(X) mod p = (f(X) mod p)(g(X) mod p) mod p

và trường p có thể sử dụng để nhân đa thức f và g bằng cách sử dụng thuật toán FFT

Chứng minh: Bởi vì toán tử mod p đồng cấu tự nhiên của vành ℤ, nên

(f(X) mod p)(g(X) mod p) mod p = f(X)g(X) mod p

Trên cơ sở của Bổ đề 2 chúng ta có được đẳng thức:

f(X)g(X) mod p = f(X)g(X)

Như vậy, việc nhân các đa thức f (X), g (X) ∈ ℤ[X] cho cùng kết quả như phép nhân

đa thức f(X) mod p, g(X) mod p ∈ p [X] với điều kiện các phần tử của trường p [X] được

biểu diễn bằng các số 1 1

, , 1, 0,1, ,

Số nguyên tố có dạng p = 2 m+1r + 1 được chọn khi sử dụng thuật toán FFT, do thực tế

là với một số p xác định, trường p có nghiệm nguyên thủy với phần tử đơn vị bậc 2 m+1

Áp dụng biến đổi Fourier nhanh trên trường hữu hạn thay vì trên trường số phức cho phép loại bỏ các phép toán dài, phức tạp trên số dấu phẩy động và thay bằng các phép tính nhanh trên số nguyên Điều này cho phép xây dựng một thuật toán nhanh hơn, bởi vì trên

bộ vi xử lý Intel Core 2 thì thực hiện phép nhân các số nguyên khoảng 30 lần nhanh hơn

so với thực hiện phép nhân trên số dấu phẩy động Trường hữu hạn được đề xuất sử dụng

vì hai lý do:

1 Tối đa hóa tốc độ của thuật toán,

2 Loại bỏ lỗi làm tròn, được đặc trưng bởi các phép toán trên các số dấu phẩy động Tất nhiên, ở dây phát sinh câu hỏi về các điều kiện cần phải thỏa mãn sao cho việc thực hiện các thuật toán nhân đa thức nhanh nhất Để trả lời câu hỏi này, cần lưu ý rằng phép toán chính được thực hiện khi nhân đa thức là phép nhân trong trường hữu hạn p Gồm phép nhân các số nguyên và quy về theo modulo Tối ưu hóa việc quy về theo modulo cho kết quả tốt nhất về tốc độ thuật toán nhân đa thức Thông thường, bài toán quy

về theo modulo được giải quyết bằng một trong ba cách:

(a) Tìm một số nguyên tố p, sao cho phép toán rút gọn theo modulo dẫn đến thực hiện một số phép cộng và phép trừ Thực tế là có rất nhiều số nguyên tố như vậy Ví dụ: 2224 –

296 + 1 = 296 (2128 - 1) + 1 hoặc 2512 – 232 + 1 = 232 (2480 - 1) + 1

(b) Một phương pháp tối ưu hóa khác phép rút gọn theo modulo là sử dụng thuật toán rút gọn Montgomery [7] Phương pháp này tổng quát hơn và có thể áp dụng cho bất kỳ số nguyên tố nào khác 2

(c) Cuối cùng, có thể sử dụng thuật toán cổ điển để tính toán tỉ số và phần dư của phép chia, nhược điểm của phương pháp này là rất khó thực hiện một cách hiệu quả [7] Phương pháp đề xuất trong (a) cho phép tính tích các phần tử phần tử trường hữu hạn chỉ sử dụng một phép nhân số nguyên và chắc chắn là nhanh nhất trong số các phép tính được đề xuất Các số nguyên tố dạng đặc biệt này có vai trò quan trọng trong mật mã và thường được sử dụng trong các thuật toán dựa trên đường cong elliptic (FIPS 186-3 và ANSI X509.62)

Trang 4

các vectơ thu đư

toán này t

của thuật toán dựa tr

hệ số nhỏ h

đa th

trong trư

trư

n(

vành các chu

ch

cho các vành (padded ring) cho phép chúng ta nhanh chóng xác đ

chu

cộng v

lặp Nếu chuỗi lũy thừa có tính nghịch đảo có dạng:

thì giao th

Thu

Trung Hoa Cách ti

bằ

kh

trư

Vi

toán này t

ủa thuật toán dựa tr

Đ

ệ số nhỏ h

đa thức tr

trong trư

Ch

1 Bi

trường

2 Nhân các t

3 Bi

Đi

(2+3

Các thu

vành các chu

chỉ khi hệ số của nó có số mũ thấp nhất bằng 1 hoặc

chuỗi Ph

ộng v

ặp Nếu chuỗi lũy thừa có tính nghịch đảo có dạng:

thì giao th

Thu

Đ

Trung Hoa Cách ti

ằng nhi

khả năng phân chia tính toán trong trư

trước hết phải t

Việc nhân các

toán này t

Định lý 2

ệ số nhỏ h

ức tr

trong trư

Chứng minh:

1 Bi

ng

2 Nhân các t

3 Bi

Điề

2+3 log (

Các thu

vành các chu

ỉ khi hệ số của nó có số mũ thấp nhất bằng 1 hoặc

ỗi Ph

ộng và tr

thì giao th

Thuật toán 1.

Để gi

Trung Hoa Cách ti

ng nhi

năng phân chia tính toán trong trư

ớc hết phải t

ệc nhân các

toán này tốn kém nh

ịnh lý 2

ệ số nhỏ h

ức trên b

trong trường h

ứng minh:

1 Biến đổi Fourier của hai đa thức có bậc bé h

p (chúng ta bi

2 Nhân các t

3 Biến đổi Fourier ng

ều này có ngh

log (

Các thu

vành các chu

ỗi Phương pháp

à trừ chuỗi Để biến đổi ng

thì giao thức sau cho

ật toán 1.

giảm đ

Trung Hoa Cách ti

ng nhiều phép nhân nh

ớc hết phải t

ệc nhân các

n kém nh

ịnh lý 2

ệ số nhỏ hơn B N

ên bằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

ng h

ứng minh:

ến đổi Fourier của hai đa thức có bậc bé h

(chúng ta bi

2 Nhân các t

ến đổi Fourier ng

u này có ngh

log (n)) phép nhân trong trư

Các thuật toán nhân đ

vành các chuỗi lũy

ương pháp

ừ chuỗi Để biến đổi ng

ức sau cho

ật toán 1.

m đ

Trung Hoa Cách ti

u phép nhân nh

ớc hết phải t

ệc nhân các

các vectơ thu đượ

n kém nh

ịnh lý 2 Cho trư

ơn B N

ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

ng hữu h

ứng minh:

(chúng ta bi

2 Nhân các t

u này có ngh

)) phép nhân trong trư

ật toán nhân đ

ỗi lũy

ương pháp

ức sau cho

ật toán 1 Đ

3 S PHÂN CHIA TÍNH TOÁN GI

m độ ph

Trung Hoa Cách ti

u phép nhân nh

ớc hết phải tìm ra các s

ệc nhân các đa th

ợc và th

n kém nh

Cho trư

ơn B Nếu số nguy

u hạn

ứng minh: M

(chúng ta bi

2 Nhân các tọa đ

u này có ngh

ật toán nhân đ

ỗi lũy th

ương pháp

ức sau cho

Đảo ng

3 S PHÂN CHIA TÍNH TOÁN GI

phứ Trung Hoa Cách tiếp c

u phép nhân nh

ìm ra các s

đa th

c và th

n kém nhất là phép nhân trong trư

ủa thuật toán dựa trên s

Cho trư

ếu số nguy ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

n p

Một phép nhân FFT (đ

(chúng ta biến đổi mỗi một đa thức th

a độ

u này có nghĩa l

ật toán nhân đ

thừa với các hệ số nguy

ương pháp Newton tính toán ngh

ức sau cho phép tìm ngh

ảo ng

3 SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ PHẦN D PHÂN CHIA TÍNH TOÁN GI

ức tạ

p cậ

u phép nhân nh

ìm ra các s

đa thức bao g

c và thự

t là phép nhân trong trư

ên số phép nhân cần thiết theo modulo Cho trước hai đa thức có bậc nhỏ h

p

ột phép nhân FFT (đ

ến đổi mỗi một đa thức th

ộ củ

ến đổi Fourier ngư

ĩa là m )) phép nhân trong trư

ật toán nhân đ

ừa với các hệ số nguy

Newton tính toán ngh

phép tìm ngh

ảo ngược chuỗi lũy thừa bằng cách sử dụng ph

Ử DỤNG ĐỊNH LÝ PHẦN D PHÂN CHIA TÍNH TOÁN GI

ạp tính toán c

ận này s

u phép nhân nhỏ

ìm ra các số nguy

c bao g

ực hi

ố phép nhân cần thiết theo modulo

ớc hai đa thức có bậc nhỏ h

ủa hai vectơ v

ến đổi Fourier ngược của vector với

à mộ )) phép nhân trong trư

ật toán nhân được đề xuất có thể sử dụng để tính toán biến đổi ng

phép tìm ngh

ợc chuỗi lũy thừa bằng cách sử dụng ph

p tính toán c

n này s hơn trong trư năng phân chia tính toán trong trư

ố nguy

c bao g

c hiện phép bi

ếu số nguyên t ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

a hai vectơ v

ợc của vector với

ột phép nhân đơn hai đa th )) phép nhân trong trư

ợc đề xuất có thể sử dụng để tính toán biến đổi ng

phép tìm ngh

p tính toán c

n này sẽ hơn trong trư năng phân chia tính toán trong trư

ố nguyên t

c bao gồm các phép toán sau: Th

n phép bi

ên tố ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

a hai vectơ v

t phép nhân đơn hai đa th )) phép nhân trong trườ

ừ chuỗi Để biến đổi ngược chuỗi có

phép tìm nghịch đảo của nó với n hệ số:

p tính toán c

cho phép chúng ta thay th hơn trong trư

ên t

m các phép toán sau: Th

n phép bi

ố p th

a hai vectơ v

t phép nhân đơn hai đa th ờng

ợc chuỗi có

ịch đảo của nó với n hệ số:

p tính toán của thu

cho phép chúng ta thay th hơn trong trư

năng phân chia tính toán trong trườ

ên tố p

n phép biế

thỏa m ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

a hai vectơ với 2

t phép nhân đơn hai đa th

ng p, Đi

ợc chuỗi có

a thu cho phép chúng ta thay th hơn trong trường

năng phân chia tính toán trong trường

p i cho phép th

ến đ

ỏa m ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

ột phép nhân FFT (đơn) riêng bi

i 2n

, Đi

ừa với các hệ số nguyên M

Newton tính toán nghịch đảo nhanh v

ợc chuỗi có

a thuật toán trên, chúng ta s cho phép chúng ta thay th

ng

ng p cho phép th

n đổi Fourier ngh

t là phép nhân trong trường

ỏa mãn các ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

ơn) riêng bi

hệ

ợc của vector với 2n

, Điều cần CM

ên M

ịch đảo nhanh v

ợc chuỗi có

n

j

t toán trên, chúng ta s cho phép chúng ta thay th

p M

p gi

cho phép th

i Fourier ngh

ng

ãn các ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

ơn) riêng bi

ến đổi mỗi một đa thức thành m

số yêu c

2n hệ số đ

ều cần CM

ên Một chuỗi nh

ợc chuỗi có n h

1

0

n

j







Ử DỤNG ĐỊNH LÝ PHẦN D PHÂN CHIA TÍNH TOÁN GIỮA CÁC BỘ VI XỬ LÝ

Một giữa các bộ vi xử lý Để đạt đ cho phép th

i Fourier ngh

p Do đó, chúng ta đánh giá đ

ớc hai đa thức có bậc nhỏ hơn n, trong đó giá tr

ãn các đi ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

ơn) riêng bi

ến đổi Fourier của hai đa thức có bậc bé hơn

ành m yêu c

ệ số đ

ều cần CM

ột chuỗi nh

-cho các vành (padded ring) -cho phép chúng ta nhanh chóng xác đ

hệ số chúng ta phải thực hiện

1

0

j







Ử DỤNG ĐỊNH LÝ PHẦN DƯ TRUNG HOA Đ

ỮA CÁC BỘ VI XỬ LÝ

ột ưu đi

ữa các bộ vi xử lý Để đạt đ cho phép thực hiện ý t

i Fourier ngh

Do đó, chúng ta đánh giá đ

ơn n, trong đó giá tr điều kiện của Định l ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

ơn) riêng biệt gồm ba b

ơn n

ành một vector có 2 yêu cầ

ệ số đòi h

t phép nhân đơn hai đa thứ

ều cần CM

ột chuỗi nh -1 S cho các vành (padded ring) cho phép chúng ta nhanh chóng xác đ

ệ số chúng ta phải thực hiện

,

j

Ư TRUNG HOA Đ

ưu đi

ữa các bộ vi xử lý Để đạt đ

ực hiện ý t

i Fourier ngh

ố phép nhân cần thiết theo modulo p

ơn n, trong đó giá tr

ều kiện của Định l ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

ệt gồm ba b đòi h

ột vector có 2

ầu 2

òi hỏi

ức s

ột chuỗi nh

1 Sử dụng ph cho các vành (padded ring) cho phép chúng ta nhanh chóng xác đ

ịch đảo nhanh vì ch

,

Ư TRUNG HOA Đ

t toán trên, chúng ta s cho phép chúng ta thay thế

ưu điểm khác của cách tiếp cận

ực hiện ý t

m các phép toán sau: Thực hi

i Fourier nghịch đ

p

ều kiện của Định l ằng cách sử dụng thuật toán FFT cần thực hiện

ệt gồm ba b

òi hỏ

ột vector có 2

u 2n phép nhân trong

ỏi n log (n)

c sử d

ột chuỗi như v

ử dụng ph cho các vành (padded ring) cho phép chúng ta nhanh chóng xác đ

ì ch

,

Ư TRUNG HOA Đ

t toán trên, chúng ta s

phép nhân đơn trong trư

ểm khác của cách tiếp cận

ực hiện ý tưởng đề xuất trong thực tế

c hiệ

ch đả

ều kiện của Định l

n(2 + 3

ệt gồm ba bư

ỏi 2n

ột vector có 2

phép nhân trong

n log (n)

dụng thu

ư vậy có thể đảo ng

ử dụng ph cho các vành (padded ring) cho phép chúng ta nhanh chóng xác đ

ì chỉ sử dụng phép nhân, phép

ợc chuỗi lũy thừa bằng cách sử dụng phương pháp l

Ư TRUNG HOA Đ

t toán trên, chúng ta s

ởng đề xuất trong thực tế

ện bi

ảo Trong t

2 + 3

ước sau:

2nlog(

ột vector có 2n

phép nhân trong

n log (n)

ng thu

ậy có thể đảo ng

ử dụng phương pháp l cho các vành (padded ring) cho phép chúng ta nhanh chóng xác đ

ỉ sử dụng phép nhân, phép

ương pháp l

Ư TRUNG HOA Đ

t toán trên, chúng ta sử d

n biến đ

o Trong t

ơn n, trong đó giá trị tuyệt đối của từng

2 + 3 log(

ớc sau:

log(n

hệ số)

phép nhân trong

n log (n) phép nhân trong

ng thuậ

ậy có thể đảo ng ương pháp l cho các vành (padded ring) cho phép chúng ta nhanh chóng xác định nghịch đảo của

ương pháp l

Ư TRUNG HOA Đ

dụng đ phép nhân đơn trong trư

n đổ

o Trong t

ị tuyệt đối của từng

ều kiện của Định lý 1, vi

log(

ớc sau:

n) phép nhân trong

ệ số)

phép nhân trong

hép nhân trong

ật toán FFT c

ậy có thể đảo ng ương pháp l ịnh nghịch đảo của

ương pháp l

Ư TRUNG HOA ĐỂ

ng đ phép nhân đơn trong trư

ổi Fourier, nhân

o Trong tất c

ý 1, vi

log(n)) phép nhân

) phép nhân trong

ệ số)

phép nhân trong

hép nhân trong

t toán FFT c

ậy có thể đảo ng ương pháp l ịnh nghịch đảo của

ương pháp lặp Newton

ng định lý ph phép nhân đơn trong trư

ữa các bộ vi xử lý Để đạt được mục đích,

i Fourier, nhân

t cả

Do đó, chúng ta đánh giá độ phức tạp

ý 1, việc nhân các )) phép nhân

) phép nhân trong

phép nhân trong p

hép nhân trong

t toán FFT c

ậy có thể đảo ngư ương pháp lặp Newton ịnh nghịch đảo của

ệ số chúng ta phải thực hiện log n

ặp Newton

nh lý ph phép nhân đơn trong trư

ợc mục đích, ởng đề xuất trong thực tế

i Fourier, nhân các phép

ộ phức tạp

ệc nhân các )) phép nhân

) phép nhân trong

p hép nhân trong

t toán FFT c

ợc đề xuất có thể sử dụng để tính toán biến đổi ngược tr

ược khi v

ặp Newton ịnh nghịch đảo của

log n

ặp Newton

nh lý ph phép nhân đơn trong trườ

ộ phức tạp

) phép nhân trong

hép nhân trong

t toán FFT cần có

ợc tr

ợc khi v

log n phép

ặp Newton

nh lý phần dư ờng

ểm khác của cách tiếp cận này là

ộ phức tạp

) phép nhân trong

p

n có

ợc trên

ợc khi và

phép

ặp Newton

n dư

ng p này là

ộ phức tạp

) phép nhân trong

n có

ên

à

phép

n dư

p

này là

ợc mục đích,

Trang 5

Định lý 3 Cho f(X) = f n-1 X n-1 + … + f 1 X + f 0 , g(X) = g n-1 X n-1 +• • •+ g 1 X+g 0 là các

đa thức với hệ số nguyên, sao cho |f i |<B và |g i |<B Nếu các số nguyên tố p i thỏa mãn các điều kiện sau:

 

1 2

,

k i i

i









1

4 pi  2m ri khi 2m1  2 n và r  i

Thì:

        mod    mod     mod  mod

và trường pi có thể sử dụng để nhân song song các đa thức f và g bằng sử dụng biến

đổi nhanh Fourier (Fast Fourier Transform - FFT)

Chứng minh: Chứng minh định lý này sẽ rất giống với chứng minh Định lý 1 vì toán

tử mod M đồng cấu tự nhiên trên vành ℤ thì:

(f(X) mod M) (g(X) mod M) mod M = f(X)g(X) mod M

Sử dụng Bổ đề 1 chúng ta có được đẳng thức sau:

f(X) g(X) mod M = f(X) g(X)

Điều này có nghĩa là phép nhân các đa thức g(X), f(X) ∈ Z [X] cho cùng kết quả như nhân các đa thức g(X) mod M, f(X) mod M ∈ (ℤ/Mℤ) [X] miễn là các phần tử của vành

ℤ/Mℤ được biễu diễn bằng các số từ tập hợp:

, , 1, 0,1, ,

Giả định rằng M là tích của các số nguyên tố khác nhau p i, khi đó có thể áp dụng định

lý phần dư Trung Hoa và ta có được đẳng cấu sau:

ℤ/Mℤ ≃ p1 × • • • × pk

Các đẳng cấu trên có thể mở rộng thành đồng cấu vành đa thức:

(ℤ/Mℤ )[X] ≃ p1 [X] × • • • × pk [X]

Điều này có nghĩa là phép nhân trong vành (ℤ/Mℤ )[X] có thể được thay thế bởi k

phép nhân trong các vành pi [X], và mỗi phép nhân trong chúng có thể được thực hiện một cách độc lập Điều này cho phép chia tách các phép tính giữa k bộ xử lý (procesor) và thực hiện chúng một cách song song Ngoài ra, tất cả các số nguyên tố p i = 2 m + 1 r i + 1 được

chọn, sao cho phép nhân có thể được thực hiện bằng thuật toán FFT Thực tế là mỗi trường

pi chứa nghiệm nguyên thủy với phần tử đơn vị bậc 2 m + 1

Cách giải quyết được đề xuất trong định lý trên hiệu quả hơn rất nhiều so với phương pháp tiêu chuẩn được trình bày trong phần trước Để đảm bảo hiệu suất tối đa tính toán cần

chọn các số nguyên tố p i có thể chứa trong một thanh ghi của bộ xử lý Điều này dễ dàng thực hiện với các bộ xử lý 32 và 64 bit

Giả sử bây giờ chúng ta đã tìm được k số nguyên tố p i có cùng số bit và thỏa mãn giả thuyết của Định lý 3 Đối với các số như vậy thì định lý sau là đúng:

Định lý 4 Cho trước hai đa thức hệ số nguyên bậc nhỏ hơn n, với giá trị tuyệt đối

từng hệ số nhỏ hơn B Nếu các số nguyên tố p i thõa mãn điều kiện định lý 3 và ⌊log2 (p i)⌋ =

⌊log2 (p j)⌋, khi đó khi nhân các đa thức như vậy sử dụng thuật toán FFT đòi hỏi thực hiện

 

c k n kn   n  c k n phép nhân trong trường pi Trong đó, c 1 , c 2 là các hằng số xác định

Trang 6

Chứng minh: Vì ⌊log2 (p i)⌋ = ⌊log2 (p j)⌋ cho tất cả i,j; nên chúng ta có thể giả định

rằng chi phí để thực hiện phép nhân trong mỗi phần tử trường F pi là như nhau Phép nhân các đa thức sử dụng biến đổi Fourier nhanh FFT gồm ba bước sau:

1 Sự giảm các hệ số modulo đòi hỏi phải thực hiện c 1 k 2 n phép nhân trong trường pi

Mỗi hệ số đa thức có độ chính xác k liên quan đến số đo của số p i Do đó, một hệ số duy

nhất có thể được giảm bằng cách sử dụng (1∕2)c 1 k phép nhân trong trường pi (Thuật toán 2) Bởi vì chúng ta có hai đa thức như vậy, mỗi một trong số chúng đều có n hệ số, và số các số nguyên tố là k, thì tổng số phép nhân cần thiết bằng (1/2) c 1 k.2.n.k = c 1 k 2 n

2 Chúng ta sử dụng thuật toán nhân nhanh FFT trong các trường pi với i ∈ {1 , , k}: (a) Biến đổi Fourier của hai đa thức bậc nhỏ hơn n đòi hỏi phải thực hiện 2nlog(n)

phép nhân trong trường pi (các đa thức được biến đổi thành các vectơ với 2n hệ số), (b) Việc nhân hai vectơ mà mỗi vectơ có 2n hệ số đòi hỏi thực hiện 2n phép nhân

trong trường pi,

(c) Biến đổi Fourier ngược đối với vector có 2n hệ số cần nlog (n) phép nhân trong

trường pi

3 Sử dụng định lý phần dư Trung Hoa cho phép tạo ra các hệ số của tích nhờ c 2 k 2 n

phép nhân trong trường pi Kết quả trên là do mỗi một lời giải của hệ phương trình x ≡ a i

mod p i có thể được tạo nên nhờ sử dụng (1/2)c 2 k 2 phép nhân trong trường pi Bởi vậy,

chúng ta phải tạo ra 2n hệ số, thì tổng số phép nhân cần thiết bằng (1/ 2)c 2 k 2 • 2n = c 2 k 2 n

Do đó, thuật toán mô tả trong Định lý 3 đòi hỏi thực hiện:

c 1 k 2 n + kn (2+3 log (n)) + c 2 k 2 n

phép nhân trong trường pi

Bây giờ chúng ta so sánh độ phức tạp tính toán của các thuật toán được mô tả trong các định lý 2 và 3 Để làm điều này, trước tiên chúng ta phải đưa vào một thước đo thống nhất về độ phức tạp tính toán của cả hai thuật toán Trong trường hợp này là số phép nhân trong trường p Chúng ta có thể đưa ra kết luận sau:

- So sánh thuật toán mới với phương pháp áp dụng phép biến đổi Fourier nhanh cả để

nhân các đa thức và nhân các số Nếu chúng ta giả định rằng số p i chứa trong một thanh ghi bộ xử lý, thì độ phức tạp tính toán của thuật toán nhân đa thức và các hệ số của nó nhờ

sử dụng phép biến đổi Fourier nhanh FFT khoảng:

O((n log n)(k log k))

Còn thuật toán của chúng ta có độ sự phức tạp tính toán:

O(kn log n + k 2 n)

Giả sử rằng k = O(n), thì chúng ta thấy rằng thuật toán dựa hoàn toàn trên phép biến đổi Fourier FFT nhanh hơn nhiều Độ phức tạp tính toán của nó là O(n 2 log 2 n) trong khi thuật toán đề xuất hoạt động trong khoảng thời gian O(n 3 ) Giả sử rằng các hệ số đa thức nhỏ hơn và k= O(log n) Khi đó, thuật toán dựa hoàn toàn trên phép biến đổi Fourier FFT nhanh có sự phức tạp tính toán O(n log 2 n log log n) trong khi phương pháp đề xuất có phức tạp tiệm cận O(n log 2 n) Vì vậy, thuật toán hiệu quả nhân nhanh đa thức đã được

phát triển

Hệ quả 1 Nếu k = O(log n), thì độ phức tạp tính toán của thuật toán đề xuất nhỏ hơn

độ phức tạp tính toán của thuật toán nhân chỉ dựa trên việc sử dụng phép biến đổi Fourier

FFT và bằng: O(n log 2 n),

Trong khi độ phức tạp tính toán của thuật toán dựa trên phép biến đổi FFT khoảng:

O(n log 2 n log log n)

Trang 7

Nghiên c

Tạp chí Nghi

trong trư

hiệu quả đối với các giá trị bé của

64

hợp biến đổi Fourier nhanh với định lý phần d

tốc độ tính toán Để so sánh kết quả các phép đo, ta cũng xác định t

toán nhân đa th

thu

đổi Fourier v

2 trình bày gi

trên hoành đ

Nghiên c

ạp chí Nghi

Như đ

trong trư

ệu quả đối với các giá trị bé của

Chúng tôi đ

64-bit s

ợp biến đổi Fourier nhanh với định lý phần d

ốc độ tính toán Để so sánh kết quả các phép đo, ta cũng xác định t

toán nhân đa th

thuật toán cổ điển với thời gian thực hiện tr

ổi Fourier v

2 trình bày gi

trên hoành đ

Hình 1

Nghiên c

ạp chí Nghi

Như đ

trong trư

Chúng tôi đ

bit sử dụng th

toán nhân đa th

ật toán cổ điển với thời gian thực hiện tr

ổi Fourier v

2 trình bày gi

trên hoành đ

Hình 1

ạp chí Nghi

Như đã minh ch

trong trường hợp hệ số của các đa thức có giá trị cỡ v

Chúng tôi đ

ử dụng th

toán nhân đa th

ổi Fourier v

2 trình bày gi

trên hoành đ

Hình 1

ứu khoa học công nghệ

ạp chí Nghiên c

ã minh ch

ờng hợp hệ số của các đa thức có giá trị cỡ v

Chúng tôi đ

ử dụng th

toán nhân đa th

ổi Fourier và đ

2 trình bày giải thích bằng đồ họa của các kết quả thu đ

trên hoành độ v

Hình 1 So sánh t

ên cứu KH&CN

ã minh ch

4 K

Chúng tôi đã th

ử dụng thư vi

toán nhân đa thức bằng ph

à định lý phần d

ải thích bằng đồ họa của các kết quả thu đ

ộ và tung đ

So sánh t

ứu KH&CN

ã minh ch

4 KẾT QUẢ THỰC HIỆN TR

ã th

ư vi

ức bằng ph

ịnh lý phần d

à tung đ

So sánh t

ứu KH&CN

ã minh chứng trong các thực nghiệm, thuật toán đề xuất có

ẾT QUẢ THỰC HIỆN TR

ã thực hiện thuật toán nhân nhanh đa thức tr

ư viện OpenMP Các kết quả thời gian thu đ

ức bằng ph

ịnh lý phần d

à tung đ

So sánh tốc độ thực hiện các thuật toán nhân các đa thức với hệ số 256 bit

ứu KH&CN

ứng trong các thực nghiệm, thuật toán đề xuất có ờng hợp hệ số của các đa thức có giá trị cỡ v

ực hiện thuật toán nhân nhanh đa thức tr

ện OpenMP Các kết quả thời gian thu đ

ức bằng ph

ịnh lý phần d

à tung độ đ

Bảng 1.

ốc độ thực hiện các thuật toán nhân các đa thức với hệ số 256 bit

ứu KH&CN quân s

ức bằng phương pháp c

ịnh lý phần dư Trung Hoa đư

ộ được biểu diễn trong thang lôgarít

ảng 1.

uân s

ương pháp c

ư Trung Hoa đư

ợc biểu diễn trong thang lôgarít

ảng 1.

uân sự, Số

ệu quả đối với các giá trị bé của k

ương pháp c

ư Trung Hoa đư

ảng 1 So sánh phương pháp nhân c

ự, Số

và

ương pháp c

ư Trung Hoa đư

So sánh phương pháp nhân c

ự, Số 59

và n

ương pháp cổ điển Các kết quả so sánh thời gian tính bằng

ư Trung Hoa đư

9, 02

ổ điển Các kết quả so sánh thời gian tính bằng

ật toán cổ điển với thời gian thực hiện trên các b

ư Trung Hoa đư

2 - 20

ợp biến đổi Fourier nhanh với định lý phần dư Trung Hoa đ

ên các b

ư Trung Hoa được tr

nhân hai đa th

2019

ẾT QUẢ THỰC HIỆN TRÊN B

ư Trung Hoa đ

ên các b

ợc trình b

nhân hai đa th

9

ÊN B

ư Trung Hoa đ

ên các bộ vi xử lý đa l ình b

nhân hai đa th

ứng trong các thực nghiệm, thuật toán đề xuất có ờng hợp hệ số của các đa thức có giá trị cỡ vài trăm bit Có ngh

ÊN BỘ VI XỬ LÝ 64 BIT

ư Trung Hoa đ

ộ vi xử lý đa l ình bày trong các

ải thích bằng đồ họa của các kết quả thu đư

nhân hai đa th

ứng trong các thực nghiệm, thuật toán đề xuất có

ài trăm bit Có ngh

Ộ VI XỬ LÝ 64 BIT

ư Trung Hoa đ

ộ vi xử lý đa l

ày trong các ược Cần l

nhân hai đa thức bậc n/2

ực hiện thuật toán nhân nhanh đa thức trên b

ện OpenMP Các kết quả thời gian thu được chứng minh rằng nhờ kết

ư Trung Hoa đã làm t

ộ vi xử lý đa l

ày trong các

ợc Cần l

So sánh phương pháp nhân cổ điển với thuật toán đề xuất

ức bậc n/2

ên b

ợc chứng minh rằng nhờ kết

ã làm t

ộ vi xử lý đa lõi (4 nhân) d

ày trong các

ợc Cần l

ổ điển với thuật toán đề xuất

ức bậc n/2

ên bộ vi xử lý

ã làm tăng m

ốc độ tính toán Để so sánh kết quả các phép đo, ta cũng xác định thời gian thực hiện thuật

õi (4 nhân) d

ày trong các b

ợc Cần lưu

ức bậc n/2

ộ vi xử lý

ợc chứng minh rằng nhờ kết ăng m

ời gian thực hiện thuật

õi (4 nhân) d bảng 1 v

ưu ý r

ức bậc n/2 - 1 v

ứng trong các thực nghiệm, thuật toán đề xuất có ưu đi

ài trăm bit Có nghĩa l

ộ vi xử lý

ợc chứng minh rằng nhờ kết ăng một cách đáng kể

õi (4 nhân) d ảng 1 v

ý rằng cả hai tọa độ

1 với hệ số 256 bit

ưu đi

ĩa là

ộ vi xử lý v

ột cách đáng kể

õi (4 nhân) d ảng 1 và 2 Hình 1 và ằng cả hai tọa độ

ới hệ số 256 bit

ưu điểm r

à ứng dụng có

với kiến trúc

õi (4 nhân) dựa tr

à 2 Hình 1 và ằng cả hai tọa độ

ểm r ứng dụng có

ới kiến trúc

ựa trên bi

193

ểm rõ ràng ứng dụng có

ới kiến trúc

ên bi

193

ràng ứng dụng có

ới kiến trúc

ên biến

ới hệ số 256 bit.

193

ràng ứng dụng có

ới kiến trúc

ến

Trang 8

Hình 2.

xu

và s

chu

(FFT) nên s

độ chính xác của chúng, khi đó tính toán đ

thừa với sự rút gọn modulo các hệ số đa thức

thự

nhân các h

trên đ

Hình 2.

Bài báo đ

xuất dựa tr

và sử dụng định lý phần d

chuẩn lập tr

Thu

(FFT) nên s

ộ chính xác của chúng, khi đó tính toán đ

ừa với sự rút gọn modulo các hệ số đa thức

Các k

ực ti

nhân các h

trên đ

Hình 2.

Bài báo đ

ất dựa tr

ử dụng định lý phần d

ẩn lập tr

Thu

(FFT) nên s

Các k

c tiễn cao Thu

nhân các h

trên định lý phần d

Hình 2 So sánh t

Bài báo đ

ất dựa trên ý t

ẩn lập tr

Thuật toán dựa tr

(FFT) nên s

Các kết quả kiểm định,

n cao Thu

nhân các hệ

ịnh lý phần d

So sánh t

Bài báo đ

ên ý t

ẩn lập trình song song m

ật toán dựa tr

(FFT) nên sử dụng trong tr

ết quả kiểm định,

n cao Thu

ệ số

So sánh t

Bài báo đã phân tích chi ti

ên ý tư

ình song song m

ật toán dựa tr

ử dụng trong tr

n cao Thu

ố trong các trư

So sánh tốc độ thực hiện của các thuật toán nhân đa thức với các hệ số 512 bit

ã phân tích chi ti

ưởng t

ình song song m

ật toán dựa tr

ử dụng trong tr

n cao Thuật toán đ

trong các trư

ịnh lý phần dư T

ốc độ thực hiện của các thuật toán nhân đa thức với các hệ số 512 bit

ng tận dụng tối đa khả năng tính toán của bộ vi xử lý đa nhân hiện đại

ình song song m

ật toán dựa trên đ

ử dụng trong tr

t toán đ trong các trư

ư T

ận dụng tối đa khả năng tính toán của bộ vi xử lý đa nhân hiện đại

ình song song m

ên đ

ử dụng trong tr

t toán đ trong các trư

ư Trung Hoa (CRT) và bi

ử dụng định lý phần dư Trung Hoa Thu

ình song song mở OpenMP

ên định lý phần d

ử dụng trong trường hợp số l

ết quả kiểm định, đánh giá thu đư

t toán đề trong các trườ

rung Hoa (CRT) và bi

Bảng 2.

ã phân tích chi tiết về ph

ư Trung Hoa Thu

ở OpenMP

ịnh lý phần d ờng hợp số l

đánh giá thu đư xuấ

ờng

ảng 2.

ết về ph

ư Trung Hoa Thu

ở OpenMP

đánh giá thu đư

ất đ

ng p

ảng 2

5 K

ết về ph

ư Trung Hoa Thu

ở OpenMP

t đã đư

p lớn Kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng

So sánh phương pháp c nhâ

5 K

ết về phương pháp nhân đa th

ư Trung Hoa Thu

ở OpenMP

ịnh lý phần d ờng hợp số lư

đượ

ớn Kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng

So sánh phương pháp c nhân hai đa th

5 KẾT LUẬN

ương pháp nhân đa th

ư Trung Hoa Thu ịnh lý phần dư Trung Hoa (CRT) và bi

ượng các hệ số của đa thức lớn h

ộ chính xác của chúng, khi đó tính toán đư

ợc so sánh v

So sánh phương pháp c

n hai đa th

ẾT LUẬN

ư Trung Hoa Thuật toán tr

ư Trung Hoa (CRT) và bi ợng các hệ số của đa thức lớn h ược thực hiện tr

đánh giá thu được cho th

c so sánh v

rung Hoa (CRT) và biến đổi Fourier nhanh (FFT)

n hai đa th

ẾT LUẬN

ật toán tr

ư Trung Hoa (CRT) và bi ợng các hệ số của đa thức lớn h

ợc thực hiện tr

c cho th

c so sánh v

ến đổi Fourier nhanh (FFT)

n hai đa th

ẾT LUẬN

ật toán tr

c cho th

c so sánh v

n hai đa thức bậc n/2

ật toán trên đư

c cho thấy phương pháp đ

c so sánh với vi

ức bậc n/2

ên đư

y phương pháp đ

i việ

So sánh phương pháp cổ điển với thuật toán đề xuất

ức bậc n/2

ương pháp nhân đa thức v

ên được thực hiện bằng sử dụng

ợc thực hiện trên các đa th

y phương pháp đ

c th

ức bậc n/2

ức và chu

ợc thực hiện bằng sử dụng

ên các đa th

y phương pháp đ

c thực hi

ức bậc n/2 - 1 v

à chu

ư Trung Hoa (CRT) và biến đổi Fo ợng các hệ số của đa thức lớn h

ên các đa th

y phương pháp đ

c hi

1 với các hệ số 512 bit

à chuỗi lũy thừa đ

ến đổi Fo ợng các hệ số của đa thức lớn h

ên các đa th

y phương pháp đ

c hiện thu

ới các hệ số 512 bit

ỗi lũy thừa đ

ến đổi Fo ợng các hệ số của đa thức lớn hơn nhi

ên các đa thức hoặc chuỗi lũy

y phương pháp đề xu

n thu

ỗi lũy thừa đ

ến đổi Fo

ơn nhi

ức hoặc chuỗi lũy xuấ

n thuật toán c

ớn Kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng thu

ến đổi Fourier nhanh (FFT) đề xuất nhanh

ỗi lũy thừa đ

ến đổi Fourier nhanh

ơn nhi

ức hoặc chuỗi lũy

ất có ý ngh

t toán c

thuật toán dựa

ề xuất nhanh

ỗi lũy thừa đư

urier nhanh

ơn nhiều so với

t có ý ngh

t toán c

ật toán dựa

ề xuất nhanh

ược đề

urier nhanh

ều so với

t có ý ngh

t toán cổ đi

ật toán dựa

ề xuất nhanh

ới các hệ số 512 bit.

ợc đề

urier nhanh

ều so với

t có ý nghĩa

điển

ật toán dựa

ề xuất nhanh

ợc đề

urier nhanh

ều so với

ĩa

n

ật toán dựa

ề xuất nhanh

Trang 9

hơn nhiều lần, ngay cả khi không thực hiện nhân song song So sánh với thuật toán nhân

đa thức bằng phương pháp cổ điển với độ phức tạp O (n 2 ) (Bảng 1 và 2) cũng chỉ rõ ưu

điểm tuyệt đối của thuật toán đề xuất Có thể kết luận rằng các thuật toán đề xuất đã tạo ra một phương pháp mới hiệu quả nhân nhanh các đa thức ứng dụng trong thực tiễn; đặc biệt

là trong các ứng dụng mật mã

Bài báo này được hỗ trợ một phần bởi đề tài PTNTĐ17.01 từ Phòng thí nghiệm

Trọng điểm về Công nghệ Mạng và Đa phương tiện, Viện Hàn lâm KH&CN Việt Nam

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] K Lauter, “Computing modular polynomials”, Journal of Computational

Mathematics, pp 195–204, 2005

[2] A Chmielowiec, “Szybka transformata Fouriera w kryptografii klucza publicznego”

Centrum Modelowania Matematycznego Sigma, 3 września 2008

[3] A Enge, “Computing modular polynomials in quasi-linear time”, Math Comp., vol

78, pp 1809–1824, 2009

[4] L Garcia, “Can Schönhage multiplication speed up the RSA encryption or decryption?”, University of Technology, Darmstadt, 2005

[5] A Grama, A Gupta, G Karypis, V Kumar, “Introduction to Parallel Computing”,

Addison Wesley, 2003

[6] D Harvey, “A cache-friendly truncated FFT”, Theoretical Computer Science, vol

410, pp 2649–2658, 2014

[7] P Montgomery, “Modular Multiplication Without Trial Division”, Mathematics of

Computation, vol 44, str 519–521, 1985

[8] J van der Hoeven, “The truncated Fourier transform and applications”, in: ISSAC

2014, ACM, pp 290–296, 2014

ABSTRACT

A METHOD OF MULTIPLYING POLYNOMIALS BASED ON CHINESE REMAINDER THEOREM AND FAST FOURIER TRANSFORM

This paper presents an efficient method of multiplying the polynomials and power series with the integer coefficients in the generation of parameters for public key cryptographic systems, which effectively speed up the implementation of algorithms in real applications This approach adapts them to parallel computing to maximize the computing power of modern microprocessors The combination of the Chinese Remainder Theorem and the Fast Fourier Transform made it possible develop a high effective multiplication method

Keywords: Multiply polynomial in parallel; FFT- Fast Fourier Transform; CRT- Chinese Remainder Theorem

Nhận bài ngày 25 tháng 10 năm 2018 Hoàn thiện ngày 21 tháng 11 năm 2018 Chấp nhận đăng ngày 19 tháng 02 năm 2019

Địa chỉ: Viện Công nghệ thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

* Email: ngant1983@hotmail.com.

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	787,91 KB