Trong bài viết này trình bày hai phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song là phương pháp sử dụng nhân tử Lagrange và phương pháp thu gọn về các tọa độ suy rộng độc lập. Sau khi trình bày lý thuyết, đã tiến hành tính toán mô phỏng một số ví dụ về giải bài toán động lực học ngược robot song song phẳng 3RPR.
Trang 1VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC NGƯỢC
ROBOT SONG SONG
Nguyễn Văn Khang1, Nguyễn Văn Quyền1, Nguyễn Ngọc Hà2*
Tóm tắt: Trong báo cáo này trình bày hai phương pháp giải bài toán động lực
học ngược robot song song là phương pháp sử dụng nhân tử Lagrange và phương pháp thu gọn về các tọa độ suy rộng độc lập Sau khi trình bày lý thuyết, đã tiến hành tính toán mô phỏng một số ví dụ về giải bài toán động lực học ngược robot song song phẳng 3RPR
Từ khóa: Động học ngược, Động lực học ngược, Robot song song
1 MỞ ĐẦU
Các robot song song là các hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng [1-3] Như đã biết, phương trình vi phân - đại số mô tả chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng
có dạng [1]
, T
s
f s 0 (2) Gọi n a
a
q là véc tơ các tọa độ khớp chủ động, n z
z là véc tơ tọa độ các khớp suy rộng dư (bao gồm các tọa độ khớp bị động và có thể cả tọa độ thao tác) Ký hiệu:
s q z s (3)
Trong các phương trình (1) và (2) ta có:
s
s
f
g s b s,s
s
Bài toán động lực học ngược được phát biểu dưới dạng: Cho biết quy luật chuyển động của khâu thao tác x x t , x m và phương trình liên kết f x q , 0,
,
q f Xác định mô men (hoặc lực) dẫn động của khâu dẫn τ n a cần thiết
để tạo ra chuyển động mong muốn của khâu thao tác
Trong các tài liệu [3-9] đã trình bày việc áp dụng các phương pháp nguyên lý công ảo, phương trình Lagrange dạng nhân tử để giải bài toán động lực học robot song song Trong bài báo này áp dụng phương pháp tách câú trúc để thiết lập phương trình vi phân đại số của các robot song song [10-11] Sau đó, trình bày việc tính toán so sánh hai phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song
2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC NGƯỢC ROBOT SONG SONG 2.1 Động lực học ngược dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử
Theo phương pháp này, phương trình liên kết (2) được sử dụng để giải bài toán động
học ngược Khi giải xong bài toán này ta được
Trang 2s tk , s tk , s tk , k 0,1, , N (4) Phương trình (1) dùng để tính các nhân tử Lagrange, các lực và mô men cần thiết của
các khâu dẫn Trước hết, ta viết lại phương trình (1) dưới dạng
1 , , T
s t
Ta tách ns phương trình (5) thành hai nhóm, nhóm thứ nhất gồm na phương trình có
chứa mô men (hay là lực) của khâu phát động, nhóm thứ hai gồm nz phương trình còn lại
1 1 1
2 2 2
1 , , T
M s q M s z p s s Φ s λ (7)
Trong đó
M s
,
T a T
T
z
s s
s
Φ
Trường hợp r n z,Φz là ma trận chính quy Từ phương trình (7) ta được
2 2 2
1 , ,
T
z s Ma s q a Mz s z p t s s
1 2 2 2
1 , ,
T
Thế (11) vào phương trình (6) ta được phương trình xác định τa
1 1 1
1 , , T
a Ma s q a Mz s z p t s s a s
Các bước giải bài toán động lực học ngược theo phương pháp thứ nhất
Bước 1: Giải bài toán động học ngược Cho biết x t và f x,q = 0 Tính
t , t , t
s s s
Bước 2: Từ phương trình vi phân đại số mô tả chuyển động của robot song song, tính các ma trận M s ,b s ,s Φ , s s g s ,
Bước 3: Tính các nhân tử Lagrange từ phương trình (11)
Bước 4: Tính các mô men phát động từ phương trình (12)
2.2 Động lực học ngược dựa trên các phương trình vi phân thu gọn về các tọa độ tối thiểu
Ý tưởng của phương pháp này là: Khử các tọa độ suy rộng dư z và các nhân tử Lagrange λ, biến đổi hệ phương trình vi phân đại số (1) và (2) về hệ phương trình vi phân thường với các tọa độ là các thành phần của véc tơ qa, số lượng phương trình bằng số bậc
tự do của hệ
Trang 3Xét các phương trình liên kết (2)
, , r, n z, n a
Giả sử số lượng các tọa độ dư bằng số các phương trình liên kết bổ sung r=n a Từ
phương trình (13) ta suy ra:
s
f
Gọi s là nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính (14), ta có:
Φs s s Φa s q a Φz s z 0 (15) Viết lại phương trình (1), ta có:
T ,
s s M s s b s s g s
Chuyển vị hai vế của phương trình (16) ta được:
T , T
M s s b s s g s
Nhân hai vế của phương trình (17) với s ta được:
T , T
s M s s b s s g s s
Chú ý đến công thức (15), Φs s s 0, từ (18) ta suy ra
, T T
M s s b s s g s τ s 0 (19)
Mặt khác từ phương trình (15) ta có:
1
z Φ s Φ s q (20)
Chú ý rằng véc tơ qa có thể viết lại dạng
a
Kết hợp hai phương trình (20) và (21) ta có:
1
a
n a
a
E q
Nếu ta đưa vào ký hiệu 1
a
n
E
R s
Thì phương trình (22) có dạng sR s q a (24)
Từ (24) ta suy ra: s R s q a (25)
Thế biểu thức (24) vào phương trình (19) ta có
, T T
a
M s s b s s g s τ R s q 0 (26)
Do
1, 2, ,
na
là các biến phân độc lập, nên từ phương trình (26) ta suy ra:
,
R s M s s b s s g s τ 0 (27)
Trang 4Phương trình (27) có thể viết lại dưới dạng
T T ,
R s τ R s M s s b s s g s (28)
Từ phương trình (23) ta có:
1
[ , ( ( ) ( )) ] ( ( ) ( ))
a
z T
τ
τ
(29)
Thế (29) vào phương trình (28) ta được:
1
, +( ( ) ( ))
T a
T
R s M s s b s s g s
s s
τ
(30)
Các bước giải bài toán động lực học ngược theo phương pháp thứ hai :
Bước 1: Giải bài toán động học ngược Cho biết x t và f x,q = 0 tính
t , t , t
s s s
Bước 2: Tính các ma trận Φz s , Φa s , Φz1 s , R s ,M s b s s g s , ( , ), ( )
Bước 3: Tính các mô men (hay lực) của các khâu dẫn động theo công thức (30)
3 ĐỘNG LỰC HỌC NGƯỢC ROBOT SONG SONG 3RPR
Trong mục này, ta xét chuyển động của robot song phẳng 3RPR (Hình 1) Robot song
phẳng 3RPR có 3 bậc tự do (k=3) Ta sẽ giải bài toán động lực học ngược robot song
phẳng 3RPR trong hai trường hợp như sau:
* Khâu chủ động là P A P A P A1 1, 2 2, 3 3 * Khâu chủ động là A B A B A B1 1, 2 2, 3 3
P
u
P
u
3.1 Thiết lập phương trình vi phân – đại số mô tả chuyển động của robot
Sáu phương trình liên kết của robot:
x u l h y u l h
c
Trang 5Hình 1 Robot song song phẳng 3RPR
Sử dụng phương pháp tách cấu trúc, tách robot thành các cấu trúc con như Hình 2, 5
Từ đó, với mỗi chân của robot, sử dụng phương trình Lagrange loại 2 và sử dụng phương trình Newton-Euler cho bàn máy động, ta thu được 9 phương trình vi phân
1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1
1 1 1 2 1 1 1 2 1 2
2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 sin 2 2 2cos 2 2sin 2
1 1 2 3 1 2 3 2 3 3 3 1 1 2 3 3
2
2 3 2 3 3 2 sin 3 3 3cos 3 3sin 3
Trang 61 2 3, 1 2 3
3
Hình 2 Chân thứ nhất Hình 3 Chân thứ hai
Hình 4 Chân thứ ba Hình 5 Bàn máy động.
3.2 Mô phỏng số động lực học ngược
Các tham số của robot song song phẳng 3RPR [7] được cho trong bảng 1 Quy luật chuyển động của bàn máy:
0.15 3 0.025 1 sin , 0.15 0.025 cos , 1 cos
Bảng 1 Các tham số của robot
i
P
i
P
Các kết quả tính toán trên phần mềm MATLAB cho trên các hình từ hình 6 đến hình
13 Trong đó, đưa ra hai phương án: Phương án 1 mômen dẫn động đặt vào các khâu quay
Trang 7nối giá, phương án 2 lực dẫn động đặt tại các khâu chuyển động tịnh tiến tương đối Ta thấy, các công suất của từng động cơ trong hai trường hợp khác nhau nhưng tổng công suất trong hai trường hợp là như nhau
Về hiệu quả của hai phương pháp tính, nếu chọn số bước tính toán N=150, ta có thể so sánh thời gian tính toán theo hai phương pháp như bảng 2
Bảng 2 Thời gian tính toán của hai phương pháp
Phương pháp dựa trên phương trình
Lagrange dạng nhân tử
Truyền động bằn mô men 0.235(s) Truyền động bằng lực 0.234(s) Phương pháp dựa trên các phương trình
vi phân thu gọn về tọa độ tối thiểu
Truyền động bằng mô men 0.218(s) Truyền động bằng lực 0.212(s)
3.2.1 Kết quả động lực học ngược dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử
a) Trường hợp dẫn động mô men
-30
-20
-10
0
10
20
30
t(s)
torque1 torque2 torque3
Hình 6 Đồ thị mô men các động cơ
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
t(s)
Hình 7 Đồ thị tổng công suất
b) Trường hợp dẫn động bởi lực
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
t(s)
force1 force2 force3
Hình 8 Đồ thị lực dẫn động
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
t(s)
Hình 9 Đồ thị tổng công suất 3.2.2 Động lực học ngược dựa trên phương pháp thu gọn về tọa độ tối thiểu
a) Trường hợp dẫn động mô men
Trang 80 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-30
-20
-10
0
10
20
30
t(s)
torque1 torque2 torque3
Hình 10 Đồ thị mômen các động cơ
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
t(s)
Hình 11 Đồ thị tổng công suất b) Trường hợp dẫn động bởi lực
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
t(s)
force1 force2 force3
Hình 12 Đồ thị lực dẫn động
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
t(s)
Hình 13 Đồ thị tổng công suất
4 KẾT LUẬN
Tính toán động lực học ngược robot song song là một bài toán quan trọng trong việc điều khiển robot song song Có nhiều phương pháp giải bài toán động lực học ngược, trong bài báo này, chúng tôi sử dụng 2 phương pháp đó là: phương pháp dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử và phương pháp dựa trên phương trình vi phân thu gọn về tọa
độ khớp chủ động
Dựa vào kết quả mô phỏng số ta thấy rằng, sử dụng cả hai phương pháp đều đạt độ chính xác cao hay sai số nhỏ (khoảng 10-13 mm) Tuy nhiên, sử dụng phương pháp dựa trên phương trình vi phân thu gọn về tọa độ khớp chủ động thì thời gian tính toán nhỏ hơn
sử dụng phương pháp dựa trên phương trình Lagrange dạng nhân tử Các kết quả trùng khớp với phương pháp truy hồi truyền thống trước đây [6-7]
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật , NXB KHKT, Hà Nội 2007
[2] J.P Merlet, “ Parallel robots” Springer-Verlag, 2006
[3] L-W Tsai, “Robot analysis”, The mechanics of serial and parallel manipulator John Wiley & Sons, Inc, 1999
Trang 9[4] Th Geike.; J McPhee, “Inverse dynamic analysis of parallel manipulators with full
mobility”, Mechanism and Machine Theory 38 (2003) 549 – 562
[5] W A Khan.; V.N Krori.; S.K Saha.; J Angeles, “ Recursive kinematics and inverse
dynamics for a planar 3 R parallel manipulator”, Journal of Dynamic Systems,
Measuremwnt, and Control 127 (2005), pp 529-536
[6] S Staicu, D Zhang, R Rugescu, “ Dynamic modeling of a 3-DOF parallel
manipulator using recursive matrix relations”, Robotica 24 (2006), pp.125-130
[7] S Staicu, “Power requirement comparision in the 3-RPR planar parallel robot
dynamics”, Mechanism and Machine Theory 44 (2009) 1045 – 1057
[8] S Staicu, “Inverse dynamics of the 3-PRR planar parallel robot”, Robotics and
Autonomous Systems 57 (2009), pp 556-563
[9] Do Thanh Trung, Jens Kotlarski, Bodo Heimann and Tobias Ortmainer, “ A new
program to automatically generate the kinematic and dynamic equations of general robots in symbolic form”, Proc of the ISRM 2009, Bach Khoa Publishing House
2009, pp 122-128
[10] Nguyen Van Khang, “Inverse dynamics of constrained multibody systems using the
projection matrix”, Vietnam Journal of Mechanics, 35 (2013)
[11] Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ Cơ sở robot công nghiệp ,NXB Giáo dục, Hà Nội
2011
ABSTRACT
ON THE METHODS FOR INVERSE DYNAMICS ANALYSIS
OF PARALLEL ROBOTS
In this paper, two methods using Lagrange multiplier and using coordinate reduction are proposed for calculating inverse dynamics of parallel manipulator After addressing the principles of two methods, an example – a 3 RPR planar parallel manipulator – is demonstrated for the efficiency of the proposed methods in the analysis of inverse dynamic problem
Keywords: Inverse Kinematics, Inverse Dynamics, Parallel Robots
Nhận bài ngày 20 tháng 5 năm 2017 Hoàn thiện ngày 10 tháng 07 năm 2017 Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 07 năm 2017
Địa chỉ: 1 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội;
2 Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên
* Email: nguyenngocha.osc@gmail.com