Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động: Chương 4 - Khảo sát tính ổn định của hệ thống

Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động: Chương 4 - Khảo sát tính ổn định của hệ thống trình bày về khái niệm về ổn định, tiêu chuẩn ổn định đại số, phương pháp quỹ đạo nghiệm số, tiêu chuẩn ổn định tần số.

ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Thạc sĩ VÕ VĂN ĐỊNH

NĂM 2009

4.1 Khái niệm về ổn định

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

4.3 Phương pháp quỷ đạo nghiệm số

4.4 Tiêu chuẩn ổn định tần số

Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định, nếu với tín hiệu vào

bị chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO)

Yêu cầu đầu tiên của hệ thống ĐKTĐ là hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống

Hệ phi tuyến có thể ổn định trng phạm vi hẹp khi độ lệch ban đầu nhỏ và không ổn định trong phạm vi rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn

4.1.1 Định nghĩa

Đối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng

Phân biệt ba trạng thái cân bằng:

- Biên giới ổn định

- ổn định

- và không ổn định

Trên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳn hạn cho nó một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới vị trí a, hoặc sẽdao động quanh vị trí cân bằng vị trí b và vị trí d, hoặc sẽkhông về trạng thái ban đầu vị trí c Trong trường hợp đầu, ta

có vị trí cân bằng ở biên giới ổn định, trường hợp sau là ổn định trường hợp thứ ba là không ổn định

4.1.1 Định nghĩa

Cũng ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn thì cũng sẽ không trở vể trạng thái ban đầu được - hai trạng thái b và d chỉ ổn định trong phạm vi hẹp mà không ổn địnhtrong phạm vi rộng

và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng

phân dạng tổng quát:

(4.1)

) (

)

(

) ( )

(

) (

)

(

) ( )

(

11

11

0

11

11

0

t r

b dt

t

dr b

dt

t r

d b dt

t r

d b

t c

a dt

t

dc a

dt

t c

d a dt

t c

d

a

m m

m

m m

m

n n

n

n n

) (

) (

)

( )

(

1

1 1

0

1

1 1

0

s A

s B a

s a

s a s

a

b s

b s

b s

b s

R

s

C s

G

n n

n n

m m

m m

Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống là r(t) và tính

hiệu ra c(t) Hàm truyền đạt của hệ thống được mô tả bằng

(4.1) có dạng:

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

Nghiệm của (4.1) gồm hai thành phần:

(4.3)

) ( )

( )

- c qđ (t) : là nghiệm tổng quát của (4.1) không có vế phải, đặc

trưng cho quá trình quá độ

Dạng nghiệm đặc trưng cho quá trình quá độ trong hệ thống:

(4.4)

t p i qđ

i

e t

Trong đó p i là nghiệm của phương trình đặc tính:

(4.5)

0

) ( s  a0sn  a1sn1   an1s  an 

A

p i có thể là nghiệm thực cũng có thể là nghiệm phức liên hợp

và được gọi là nghiệm cực của hệ thống Đa thức mẫu số hàm

truyền đạt là A(s) bậc n do đó hệ thống có n nghiệm cực p i (Pole), i = 1, 2, …, n

0 )

) (



t

Trong phương trình (4.4) hệ số i là hằng số phụ thuộc vàothông số của hệ và trạng thái ban đầu.

Nghiệm cực p i được viết dưới dạng:

(4.8)

i i

t t

p i

t

t

Me e

i i

2

0 lim

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

Phân biệt ba trường hợp phân bố cực trên mặt phẳng phức số:

1 Phần thực của nghiệm cực dương i > 0

2 Phần thực của nghiệm cực dương bằng 0

3 Phần thực của nghiệm cực âm i < 0

Mặt phẳng S

Re Im

0

Phân bố cực trên mặt phẳng S

phụ thuộc vào nhiệm zero, do đó mẫu số hàm truyền đạt là

A(s) = 0 được gọi là phương trình đặc tính hay phương trình

đặc trưng của hệ thống

1 – Hệ thống ổn định nếu tất cả các nghiệm của phương trình

đặc tính đều có phần thực âm: Re[p i] < 0, i < 0 các nghiệm nằm bê trái mặt phẳng phức:

2 – Hệ thống không ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệmphương trình đặc tính (4.9) có phần thực dương (một nghiệm phải) còn lại là các nghiệm đều có phần thực âm (nghiệm trái)

Kết luận:

(4.9)

0

) ( s  a0sn  a1sn1   an1s  an 

A

4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính

3 – Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm

có phần thực bằng không còn lại là các nghiệm có phần thực

âm (một nghiệm hoặc một cặp nghiệm phức liên hợp nằm trên trục ảo)

Vùng ổn định của hệ thống là nửa trái mặt phẳng phức số S Đáp ứng quá độ có thể do động hoặc không dao động tương ứng với nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm phức hay nghiệm thực

Tất cả các phương pháp khảo sát ổn định đều xét đến phương trình đặc tính (4.9) theo một các nào đó Tổng quát, ba cách đánh giá sau đây thường được dùng để xét ổn định:

1- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz

2- Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikailov - Nyquist - Bode

3- Phương pháp chia miền ổn định và phương pháp quỷ đạo nghiệm số

2 5

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

0

) ( s  a0sn  a1sn1   an1s  an 

1 , 2

c

c



Với

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Phát biểu tiêu chuẩn Routh

Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải mặc phẳng phức.

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Ví dụ 1: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình

đặc trưng là:

0 1

2 5

4

8 9

5

81 20

Vì tất cả các phần tử cột 1 bảng Routh đều dương nên tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định.

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Ví dụ 2: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối như

sau:

G(s) R(s)

H(s)

C(s)

) 5 )(

3 (

50 )

s s

s

G

2

1 )

(





s s

H

Giải : Phương trình đặc trưng của hệ thống là:

0 )

( ) (

1  G s H s 

0 )

2 (

1

) 5 )(

3 (

s s

s

0 50

) 2 )(

5 )(

3

0 50

30 31

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

30 31

Ví dụ 3: Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình vẽ Hãy xác

định điều kiện của K để hệ thống ổn định.

G(s)

) 2 )(

1 (

s s

K s

G

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Giải : Phương trình đặc trưng của hệ thống là:

0 )

(

1  G s 

0 )

2 )(

1 (

s s

K

0 )

2 )(

1

0 2

9 7

7 K



K s

s s

s

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Điều kiện để hệ thống ổn định:

9

0 7

9 0

K

K K

Trường hợp 1: nếu có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0

thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số dương, nhỏ tùy ý, sau

đó quá trình tính toán được tiếp tục

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định.

Trường hợp 2: nếu tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:

- Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàm trước hàng có tất

cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A p (s).

-Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các hệ số của Sau đó quá trình tính toán tiếp tục

Chú ý: nghiệm của đa thức Ap(s) cũng chính là nghiệm củaphương trình đặc trưng

( )

p

ds

Ví dụ 5: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình

đặc trưng là:

0 4

7 8

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

4

4 6

1

8 8 6 4

5

4 8

4

8 6 4 6

 

1

7 4 6 4

 

4

3 0 3 8

 

0 4

7 8

Đa thức phụ: ( )  4  4   8 s  0

ds

s s

Ap

Nghiệm của đa thức phụ cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng:

j s

s s

Ap( )  4 2  4  0   

Kết luận:

- Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức

- Phương trình đặc trưng có hai nghiệm nằm trên trục ảo

- Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 - 2 = 3

 Hệ thống ở biên giới ổn định

4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

0

) ( s  a0sn  a1sn1   an1s  an 

A

Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz,

trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo quy tắc:

- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n n

- Đường chéo ma trận Hurwitz là các hệ số từ a 1 đến a n

- Hàng lẽ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số lẽ theo

thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ởbên trái đường chéo

a a

a

a a

a a

a a

a a

0 0

0 0

4 2

0

5 3

1

6 4

2 0

7 5

3 1

- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số chẵn

theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo

4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz

Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương.

Ví dụ 6: Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng là

0 2

0

0 3

1

0 2

4

0

0 0

3 1

2 0

3 1

a a

a a

a a

2 4

2 0

3 1

a a

20 10

2 3

1

2

4 2

0

0

0

2 0

3 1

3 3

1

2 0

3 1

a

a a

a a

a a

a a

Vì tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trậnHurwitz đều dương nên hệ thống ổn định

4.3.1 Khái niệm

Xét hệ thống có phương trình đặc tính

(4.10)

0 4

K = 5: s1 = - 2 + j s2 = - 2 - j

K = 6: s1 = - 2 + j1,414 s2 = - 2 - j1,414

K = 7: s1 = - 2 + j1,732 s2 = - 2 - j1,732

K = 8: s1 = - 2 + j2 s2 = - 2 - j2

Vẽ các nhiệm của phương trình (4.10) tương ứng với các giá

trị của K lên mặt phẳng phức Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0

đến +, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (4.10) tạo thành đường đậm nét như trên hình vẽ Đường đậm nét trên hình vẽ được gọi là quỷ đạo nghiệm số

4.3.1 Khái niệm

Định nghĩa:

Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi khi có một thông số nào đótrong hệ thống thay đổi từ 0 đến 

- 1j

- 2j

Re

Im s

G(s) R(s)

H(s)

C(s)

Phương trình đặc tính của hệ:

(4.11)

0 )

( ).

0 )

s

N K

trong đó K là thông số thay đổi.

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

Đặt:

Gọi n là số cực của G 0 (s), m là số zero của G 0 (s), phương trình

(4.12) trở thành:

) (

)

(

0

s D

s

N K

G 

0 )

( )

(

1 )

(

0

0

l s

G

s

G Điều kiện biên độ

Điều kiện pha

Sau đây là 11 quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số của hệ thống cóphương trình đặc tính có dạng (4.12);

Quy tắc 1: Số nhánh của quỷ đạo nghiệm số = bậc của phương

trình đặc tính = số cực của G0(s) = n.

Quy tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỷ đạo nghiệm số xuất

phát từ các cực của G0(s).

Quy tắc 3: Quỷ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.

Quy tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỷ đạo nghiệm

số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẽ.

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

Quy tắc 5: Góc tạo bởi đường tiệm cận của quỷ đạo nghiệm

số với trục thực xác định bởi:

Quy tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm

A xác định bởi:

(4.13)

) 2 , 1 , 0 (

) 1 2

l 



(4.14)

zero

m n

z p

m n

m i

i n

Quy tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỷ đạo nghiệm số

nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình:

0



ds dK

thể xác định bằng một trong hai cáh sau đây:

- Áp dụng tiêu chuẩn Routh - Hurwitz

- Thay s = j vào phương trình đặc tính (4.12), cân bằng phần

thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trị K.

Quy tắc 9: Góc xuất phát của quỷ đạo nghiệm số tại cực phức

p j được xác định bởi:

(4.15)

) arg(

) arg(

180

1 1

i j

m i

i j



Dạng hình học của công thức trên là: j = 1800 + ( góc từ các

zero đến cực p j ) - ( góc từ các cực còn lại đến cực p j).

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

Quy tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0

đến +

Quy tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỷ đạo nghiệm số có

thể xác định từ điều kiện biên độ

(4.16)

1 )

s N K

Ví dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

Ví dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +

(1)

0 )

3 )(

2 (

1 0

) (

s

K s

G

G(s)

) 3 )(

2 (

s

K s

G

Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:

 QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.

Các zero: không có

Khi K  +, ba nhánh của quỷ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô

cùng theo các tiệm cận xác định bởi:

) 1

( 3

) 0

( 3

0 3

) 1 2

( )

1 2

(

3 2 1

l l

l l

m n

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:

3

5 0

3

-0 )

3 ( ) 2 ( 0 [

cùc

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình  0

ds dK

Ta có (1)  k   s ( s  2 )( s  3 )   ( s3  5 s2  6 s )

) 6 10

Do đó

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình  0

ds dK

0

549 ,

2 0

) 6 10

trong hai cách sau đây:

5 K



4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

Điều kiện để hệ thống ổn định:

30

0 0

0 5

1 6

K

Vậy, hệ số khuếch đại giới hạn là K gh = 30.

Thay giá trị K gh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình

ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo

5 0

30 6

5

3 2

1 2

3

j s

j s

s s

s s

0 )

( 6 )

( 5 )

( j  3  j  2  j   K 

Cách 2:

Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo phải có dạng s = j

Thay s = j vào phương trình (1) ta được:

0 6

0

62

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

Ví dụ 8: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền

hở là:

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +

(1)

0 )

20 8

(

1 0

) (

s

K s

G

) 20 8

s

K s

G

Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

Các cực: p1 = 0 , p2 = - 4 + j2 ; p3 = - 4 – j2

 QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.

Các zero: không có

Khi K  +, ba nhánh của quỷ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô

cùng theo các tiệm cận xác định bởi:

) 1

( 3

) 0

( 3

0 3

) 1 2

( )

1 2

(

3 2 1

l l

l l

m n

8 0

3

-0 )

2 _ 4 ( ) 2 4

( 0 [

33 ,

3 0

) 20 16

s

) 20 8

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

Vậy, quỷ đạo nghiệm có hai nghiệm tách nhập

0 20

8 )

1 (  s3  s2  s  K 

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách

thay s = j vào phương trình đặc tính

Thay s = j ta được:

0 )

( 20 )

( 8 )

( j  3  j  2  j   K 

0 20

0 0









Vậy, giao điểm của QĐNS và trục ảo là: s   j 20

- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p 2 là:

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

+j2

- j2

Ví dụ 9: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền

hở là:

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +

(1)

0 )

20 8

)(

3 (

) 1

( 1

0 )

s s

s

K s

G

) 20 8

)(

3 (

) 1

( )

s s

s

K s

G

Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

Các cực: p1 = 0 , p2 = - 3 ; p3,4 = - 4  j2

 QĐNS gồm có bốn nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.

Các zero: z1 =1

Khi K  +, một nhánh tiến đến zero, ba nhánh còn lại tiến

đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:

) 1

( 3

) 0

( 3

1 4

) 1 2

( )

1 2

(

321

l l

l l

m n

10 1

4

-) 1 ( )]

2 4

( ) 2 4

( ) 3 ( 0

[

zero OA

m n

) 20 8

s s K

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

2

2 3

4

) 1 (

60 88

77 26

s s

ds dK

ds

dK

0 60

88 77

, 0

05 , 1 67

,

3

2 , 1

j

j s

3,4

s

Vậy, quỷ đạo nghiệm số không có điểm tách nhập

0 )

1 (

) 20 8

)(

3 (

) 1

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách

thay s = j vào phương trình đặc tính

Thay s = j ta được:

0 )

60 ( 44

)(

60 ( )

( 44 )

( 11 0

0 )

60 ( 44

4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số

314 ,

1 322

893 ,

5 0 0

K

j K

K







Vậy, giao điểm cần tìm là:

Hệ số khuếch đại giới hạn là: K gh = 322

893 ,

5

j

s  

) (

) 90 6

, 116 4

, 153 (

3 , 146



o

7 ,

893 , 5

j



o

7 , 33

4.4.1 Nguyên lý góc quay

Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng:

Đa thức A(s) được viết dưới dạng:

(4.17)

0

) ( s  a0sn  a1sn1   an1s  an 

A

) ) (

)(

( )

)(

( )

A        

Giả sử phương trình (4.17) có m nghiệm phải (có phần thực dương), còn (n – m) nghiệm trái có phần thực âm.

Góc quay của véctơ đa thức đặc tính tần số G(j)

i

p j

j

A

1

) arg(

) (

P m

P n - m