SKKN: Hướng dẫn học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai.

Trong quá trình giảng dạy thực tế một số năm học, tôi đã phát hiện ra còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về că

MỤC LỤC

14 3 Phạm vi, đối tượng áp dục của sáng kiến 14

15 4 Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến 14

16 5 Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu 15

Phần 1: THÔNG TIN CÁ NHÂN

- Họ và tên tác giả: Trương Hồng Lịch

- Ngày, tháng, năm sinh: 02/ 01/ 1986

- Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Đại Phác

- Trình độ chuyên môn: Cao đẳng sư phạm Toán lý

- Đề nghị xét, công nhận sáng kiến: Cấp cơ sở

- Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy môn Toán lớp 9

Phần 2: NỘI DUNG

Chương I NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG

I Đặc điểm tình hình cơ quan, đơn vị:

- Tên đơn vị: Trường THCS Đại Phác

- Địa chỉ: Thôn Ba Luồng - xã Đại Phác - huyện Văn Yên - tỉnh Yên Bái

- Thành lập năm 1999, thuộc quản lí của UBND huyện Văn Yên

- Tổng số CB- GV- CNV: 16 đồng chí

- Tổng số Đảng viên: 12 đồng chí

- Chất lượng đội ngũ: Đại học: 7; Cao đẳng: 8; Trung cấp: 1

1 Thuận lợi:

- Trường THCS Đại Phác luôn nhận được sự quan tâm, chỉ đạo của Đảng bộ chính quyền địa phương, của phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Văn Yên

- Trường có bề dày thành tích, truyền thống về phong trào dạy tốt, học tốt

- Trường có đội ngũ cán bộ, giáo viên trẻ, khỏe, có trình độ năng lực chuyên môn vững vàng, luôn có tinh thần trách nhiệm cao, nhiệt tình trong công tác, năng động, sáng tạo trong công tác chuyên môn; đoàn kết, tương thân tương ái, luôn khắc phục mọi khó khăn để hoàn thành thành tốt nhiệm vụ được giao

- Các em học sinh ngoan, phần lớn nhận thức tốt, có ý thức phấn đấu vươn lên để đạt kết quả cao trong học tập

2 Khó khăn:

- Địa phương nơi trường đóng là xã nghèo, thuần nông nên việc đầu tư thời gian và vật chất cho học tập của con em mình còn hạn chế Một bộ phận học sinh còn chưa chăm học nên ít nhiều ảnh hưởng tới chất lượng giáo dục

- Đội ngũ cán bộ giáo viên chưa thực sự đồng đều về năng lực chuyên môn, chưa đủ về chuyên môn đào tạo, một số đồng chí giáo viên phải dạy trái ban

- Trường còn thiếu các phòng học chức năng, đồ dùng thiết bị chưa đảm bảo

về chất lượng và tính chính xác, tài liệu tham khảo các môn học còn ít

II Lý do chọn đề tài:

Là một môn học thuộc nhóm khoa học tự nhiên, môn Toán có tầm quan trong rất lớn và ngày càng khẳng định được vị trí đứng đầu của mình trong các ngành khoa học Học tốt môn Toán học sinh có thể học tốt tất cả các môn học khác, kể cả các môn học thuộc nhóm khoa học xã hội Chính vì quan trọng như vậy nên việc hình thành cho học sinh những kĩ năng cơ bản trong giải toán là vô cùng cần thiết

Trong quá trình giảng dạy thực tế một số năm học, tôi đã phát hiện ra còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích … Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn, giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết, giúp các em có mọi sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức căn bậc hai tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này

Bản thân tôi là một giáo viên dạy bộ môn Toán bậc trung học cơ sở, tôi luôn trăn trở và mong muốn có những đóng góp để từng bước nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán nói riêng cũng như các bộ môn khác nói chung Với suy nghĩ và mong muốn đó, trong quá trình giảng dạy tôi luôn chú ý tích lũy kinh nghiệm giảng dạy Và một trong những kinh nghiệm giảng dạy mà tôi có được

là: Hướng dẫn học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán

về căn bậc hai.

III Mục đích nghiên cứu:

Với kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai”, tôi mong muốn được cùng các đồng nghiệp trao đổi, chia sẻ những kinh nghiệm giảng dạy Qua đó, chúng ta cùng nhau tìm ra những phương pháp dạy học tích cực, hiệu quả Từ đó có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho học sinh

Trong kinh nghiệm này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong kiểm tra, thi cử; khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ, tư duy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con người học sinh

IV Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã sử dụng rất nhiều phương pháp nghiên cứu, trong đó có một số phương pháp cơ bản sau:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp quan sát, điều tra

- Phương pháp thực nghiệm giáo dục

- Phương pháp so sánh, đối chiếu

- Phương pháp trao đổi, thảo luận cùng đồng nghiệp qua các buổi sinh hoạt chuyên môn và bồi dưỡng thường xuyên của giáo viên

- Phương pháp phân tích, tổng hợp

V Cơ sở khoa học và cơ sở pháp lí của đề tài:

1 Cơ sở khoa học:

a Nội dung chủ yếu của chương “Căn bậc hai - Căn bậc ba” toán lớp 9 là: Phép khai phương (phép tìm căn bậc hai số học của một số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai Giới thiệu một số hiểu biết về căn bậc ba, căn thức bậc hai và bảng căn bậc hai

b Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9:

- Đưa ra kiến thức đã biết ở lớp 7:

+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2= a

+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là

a và số âm kí hiệu là  a

+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0= 0

- Đưa ra định nghĩa: Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

- Đưa ra chú ý: Với a ≥ 0, ta có:

Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a;

Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x = a

Ta viết:















.

, 0

2 a x

x a

x

- Đưa ra nội dung về phép khai phương: Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương

- Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai bậc hai của nó

2 Cơ sở pháp lí:

Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học để phát huy tính tích cực học tập của học sinh đã được đặt ra trong Ngành giáo dục nước ta từ những năm 1960 và được thể hiện rõ trong các nghị quyết TW, trong Luật giáo dục Cụ thể, Hội nghị lần thức tư Ban chấp hành TW Đảng Khóa VII đã chỉ rõ: “Đổi mới phương pháp dạy và học ở tất cả các cấp học, bậc học, kết hợp tốt học với hành, học tập với lao động sản xuất áp dụng những phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề ” Hội nghị lần thứ hai Ban chấp hành TW Đảng khóa VIII nhấn mạnh: “Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và các phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu chop học sinh” Luật giáo dục

2005 quy định: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho HS"

Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ

Tổ quốc"; Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 của Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu: "Phương pháp dạy học toán trong nhà trường các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực

tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho HS"

Chương II NỘI DUNG

I Thực trạng của sáng kiến:

Hiện nay một số giáo viên dạy bộ môn toán 9 ở trường THCS đang gặp khó khăn trong việc giảng dạy toán về căn bậc hai Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rất yếu

Bản thân tôi trước kia khi chưa áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy, tôi thấy học sinh có tinh thần uể oải, không hứng thú với giờ học, chất lượng bài kiểm tra 15 phút, 1 tiết rất thấp Số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải còn nhiều, học sinh chưa tích cực, chủ động làm bài tập Năm 2011 - 2012, sau khi học xong chương “Căn bậc hai - Căn bậc ba”, tôi đã thực hiện một bài khảo sát thực tế về thái độ của học sinh khi học về kiến thức căn bậc hai Tôi đã thu được kết quả như sau:

- Học sinh không thích học chiếm tỉ lệ 75%

- Học sinh thích học chiếm tỉ lệ 25%

Cũng trong năm học đó, tỉ lệ bài kiểm tra 1 tiết chương I toán 9 được xếp loại như sau: Loại giỏi: 5%, loại khá: 20%, loại trung bình: 60%, loại yếu: 15%

Đa số học sinh đều cho rằng kiến thức về căn bậc hai nhiều và khó, dễ nhầm lẫn, sai xót khi giải bài Đứng trước thực tế đó để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chương I đại số 9 thì người giáo viên phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương án

“Hướng dẫn học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai”

Và tôi đã áp dụng kinh nghiệm này vào giảng dạy cho học sinh từ năm học 2012

- 2013 đến nay

II Nội dung sáng kiến:

1 Giải quyết vấn đề:

Để áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy có hiệu quả, chúng ta phải thực hiện các nội dung và biện pháp sau:

1.1 Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai:

1.1.1 Kiến thức:

Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương, căn thức bậc hai

và một số phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai

a Nội dung của phép khai phương gồm:

- Giới thiệu phép khai phương thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm

- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự: SGK thể hiện bởi Định lý về

so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b  a  b”

- Liên hệ giữa phép khai phương với phép nhân và phép chia, thể hiện bởi: + Định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: ab  a b”

+ Định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có :

b

a b

a

 ”)

b Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 A:

+ Với A là một biểu thức đại số, A là căn thức bậc hai của A, A là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn

+ A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm (A  0)

+ Hằng đẳng thức: Với mọi số a, ta có a 2 |a|; với a ≥ 0, ta có  a 2 a Với A là một biểu thức, ta có: A2 A

c Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai:

- Ngoài việc sử dụng các công thức biến đổi như:

2

A = | A|

B A

AB  (với A ≥ 0, B ≥ 0)

B

A

B

A

 (với A ≥ 0, B > 0)

- Sách giáo khoa toán 9 còn đưa ra một số phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai:

* Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

B A B

A2 | |

 (với B ≥ 0)

* Đưa thừa số vào trong dấu căn:

A B A2B

 (với A  0, B  0)

B A B



 (với A < 0, B  0)

* Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

B

AB

B

A

 (với AB ≥ 0, B ≠ 0)

* Trục căn thức ở mẫu:

B

B A

B

A

 (với và B > 0)

2

) (

B A

B A C B

A

C







 (với A ≥ 0, A ≠ B2)

B A

B A C B

A

C







)

(với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B)

1.1.2 Kỹ năng:

Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức

a Kỹ năng tính toán: Có thể kể các kỹ năng về tính toán như:

- Phép khai phương của một số (số đó có thể là số chính phương trong khoảng từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thương của chúng, đặc biệt là tích hoặc thương của số đó với số 100)

- Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số (tính theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai phương)

b Kỹ năng về kiến đổi biểu thức: Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu

thức như:

- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần trên (với công thức dạng A = B, có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi

B thành A) Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn thức bậc hai có thể coi là vận dụng công thức AB  A B theo chiều từ phải qua trái

- Phối hợp các kỹ năng đó (và cả những kỹ năng có trong những lớp trước)

để có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai Chẳng hạn kỹ năng trục căn thức ở mẫu

Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục đích của các phép biến đổi Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng (để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện nào đó)

Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành

và củng cố trong phần này như:

- Giải toán so sánh số, một số lập luận trong giải toán so sánh số (củng cố tính chất bất đẳng thức nêu ở toán 8)

- Một số kỹ năng giải toán tìm x (kể cả việc giải phương trình tích)

- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho

- Kỹ năng sử dụng máy tính

Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này (ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các

kỹ năng tương ứng, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình thành kỹ năng)

1.2 Phân tích những điểm khó trong kiến thức về căn bậc hai:

Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh:

- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành

kỹ năng tính toán, biến đổi Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi

mà không giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn)

- Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức)

1.3 Tìm những sai lầm thường gặp khi giải toán về căn bậc hai:

1.3.1 Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học:

a Định nghĩa về căn bậc hai:

* Ở lớp 7:

- Đưa ra nhận xét: 32 = 9; (-3)2 = 9 Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9

- Định nghĩa: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là a và một số

âm ký hiệu là - a

* Ở lớp 9 chỉ nhắc lại kiến thức ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học:

b Định nghĩa căn bậc hai số học:

- Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a

- Sau đó đưa ra chú ý:

Với a ≥ 0, ta có: + Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a;

+ Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x = a

Ta viết: x = a x2 0





 





Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương (gọi tắt là khai phương)

* Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “căn bậc hai” và"căn bậc hai số học”

Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của 25.

Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 25 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là 5 và - 5

Ví dụ 2: Tính 25

Lời giải sai: 25 = 5 và - 5 có nghĩa là: 25= 5

Như vậy học sinh đã tính ra được số 25có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là: 25 = 5 và 25 = -5

Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau

Lời giải đúng: 25 = 5 (có thể giải thích thêm vì 5 > 0 và 52 = 25)

Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích

c So sánh các căn bậc hai số học:

Với hai số a và b không âm, ta có a < b  a  b

Ví dụ 3: So sánh 4 và 15

Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so

sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học

sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau: 4 < 15 (vì cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn 15) Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa

Lời giải đúng: 16 > 15 nên 16 > 15 hay 4 > 15 (vì 16 = 4)

Ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học

d Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học:

Với a ≥ 0, ta có: + Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a;

+ Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x = a

Ví dụ 4: Tìm số x không âm, biết: x = 11

Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau:

Nếu x = a thì x ≥ 0 và x2 = a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là x = a

và x = - a học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau: x = 11 <=> x2 = 112 => x = 121 hoặc x = - 121

Vậy tìm được hai nghiệm là x1 = 121 và x2 = -121

Lời giải đúng: Cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 112

Vậy x = 121

e Sai trong thuật ngữ khai phương:

Ví dụ 5: Tính - 36

Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - 36 là một căn bậc

hai âm của số dương 36, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai như sau:

- 36= 6 và - 6

Lời giải đúng là: - 36 = -6

g Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = | A|:

- Căn thức bậc hai: Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm

- Hằng đẳng thức: A2 = | A|

Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương

Ví dụ 6: Hãy bình phương số -9 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

Lời giải sai: (-9)2 = 81 nên khai phương số 81 lại bằng -9

Lời giải đúng: (-9)2 = 81 và 81= 9

Mối liên hệ a2 = | a| cho thấy “Bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”

Ví dụ 7: Với a2 = A thì A chưa chắc đã bằng a

Cụ thể ta có (-9)2 = 81 nhưng 81= 9; rất nhiều ví dụ tương tự đã khẳng định được kết quả như ở trên

1.3.2 Sai lầm trong các kỹ năng tính toán:

a Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn thức bậc hai:

Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x + 2 x

Lời giải sai: B = x + x = (x + 2 x+ 1) - 1 = ( x + 1)2 - 1 ≥ -1

Vậy min B = - 1

Phân tích sai lầm:

Sau khi chứng minh B ≥ -1, chưa chỉ ra trường hợp B = -1 xảy ra khi và chỉ khi x= -1 (vô lý)

Lời giải đúng: Để tồn tại x thì x ≥ 0 Do đó B = x + 2 x ≥ 0

hay min B = 0 khi và chỉ khi x = 0

Ví dụ 9: Tìm x, biết: 2

) 1 2 ( x = 3

Lời giải sai:

2 )

1

2

( x = 3  2x - 1 = 3  2x = 4  x = 2

Phân tích sai lầm: Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý: Một cách

tổng quát, với A là một biểu thức ta có A2 = | A|, có nghĩa là:

2

A = A nếu A ≥ 0 (tức là A lấy giá trị không âm);

A = -A nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm)

Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm

Lời giải đúng:

2 )

1

2

( x = 3  2x 1 = 3

Ta phải đi giải hai phương trình sau: 1) 2x - 1 = 3 2x = 4  x = 2

2) 2x - 1 = -3  2x = -2  x = -1 Vậy ta tìm được hai giá trị của x là: x1 = 2 và x2 = -1

Ví dụ 10: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

B = 16 x 16 - 9 x 9+ 4 x 4 + x 1 với x ≥ -1

Lời giải sai:

B = 4 x 1-3 x 1+ 2 x 1+ x 1 = 4 x 1

B = 16 4 x 1 = 16  x 1= 4 ( x 1)2 = 42  ( x 1 ) 2 = 16

 |x + 1| = 16

Nên ta phải đi giải hai phương trình sau:

1) x + 1 = 16  x = 15

2) x + 1 = -16  x = - 17

Vậy: x = 15 hoặc x = -17 thì B = 16

Phân tích sai lầm: Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x1 = 15 và

x2 = -17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2 = -17 không đúng Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán,

với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại tức là luôn có giá trị không âm nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa

Lời giải đúng:

B = 4 x 1 - 3 x 1 + 2 x 1 + x 1 = 4 x 1

B = 16 4 x 1 = 16  x 1= 4  x + 1 = 16  x = 15 (vì x  0)

b Sai lầm trong kỹ năng biến đổi:

Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của

số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai

Ví dụ 11: Tìm x, biết: (3 - 10 ) 3x  3 ( 3  10 )

Lời giải sai: (3 - 10 ) 3x 3 ( 3  10 )  3 x 3  x < 33 hay x < 3

(chia cả hai vế cho (3 - 10 )

Phân tích sai lầm: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề

gì Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức: “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”

Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 3 và 10 cho nên mới bỏ qua biểu thức 3 - 10 là số âm, dẫn tới lời giải sai

Lời giải đúng: Vì 3 = 9  10 nên 3 - 10 < 0, do đó ta có:

(3 - 10 ) 3x  3 ( 3  10 )  3 x 3  x > 33 hay x > 3

Ví dụ 12: Rút gọn biểu thức:

2

2

2





x x