VMO 1962 2020 Đề thi học sinh giỏi toán quốc gia 1962 2020

Tuyển tập tất cả các đề thi toán quốc gia từ trước đến giờ của Việt Nam. Đề thi toán tất cả các năm từ 1962 đến 2020 trừ năm 1973 nước ta không tổ chức kì thi này. Tài liệu soạn word, trên dưới trăm trang, tùy ý sữa chữa. Các bạn có thể trích làm tài liệu tham khảo, tài liệu ôn thi. Lời giải cụ thể sẽ được trình bày ở một tài liệu khác. Xin cảm ơn

3. Cho m t t di n ộ ứ ệ ABCD và A’, B’ là nh ng hình chi u c a các đ nh ữ ế ủ ỉ A, B lên

các m t đ i di n Ch ng minh ặ ố ệ ứ AA’ và BB’ c t nhau khi và ch khi hai đắ ỉ ường

th ng ẳ AB và CD vuông góc v i nhau N u ớ ế AC=AD BC BD= =

thì hai đường

th ng ẳ AA’ và BB’ có c t nhau không?ắ

4. Đường cao c a m t hình chóp t giác đ u b ng ủ ộ ứ ề ằ h M t bên t o v i đáyặ ạ ớ

Năm 1963

1. Ba h c sinh l p X tên D n, Mão, Thìn đi ch i nhìn th y m t ngọ ớ ầ ơ ấ ộ ười lái m tộchi c xe ô tô vi ph m lu t l giao thông, không ai nh s xe là bao nhiêu,ế ạ ậ ệ ớ ố

nh ng m i ngư ỗ ườ ềi đ u nh m t đ c đi m c a s xe D n nh r ng hai chớ ộ ặ ể ủ ố ầ ớ ằ ữ

s đ u gi ng nhau, Mão nh r ng hai ch s cu i cùng gi ng nhau Thìnố ầ ố ớ ằ ữ ố ố ố

qu quy t r ng s xe có b n ch s là m t s chính phả ế ằ ố ố ữ ố ộ ố ương Chúng ta hãy

8 1

6 5 1 x a x

cos x+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4x= 2.

4. Cho hình h p ộ ABCD.A’B’C’D’ Người ta c t hình h p này b ng m t m tắ ộ ằ ộ ặ

ph ng qua ba đ nh ẳ ỉ A, B’, D’ Ch ng minh r ng đứ ằ ường chéo A’C c a hình h pủ ộ

c t thi t di n tam giác t o thành t o tr ng tâm c a tam giác đó.ắ ế ệ ạ ạ ọ ủ

5. Đáy c a m t hình lăng tr đ ng là m t hình thoi ủ ộ ụ ứ ộ ABCD c nh ạ a và góc nh nọ

0

60

Ta n i đ nh ố ỉ B’ v i đi m gi a ớ ể ữ M c a ủ AD, đ nh ỉ D’ v i đi m gi a ớ ể ữ N c aủ

AB Hai đường th ng ẳ B’M và D’N c t nhau theo góc ắ B’OD’ b ng ằ α.

Tìm thểtích c a hình lăng tr đó.ủ ụ

6. H i ngh đ i bi u thanh niên bàn v công tác ch ng h n m t huy nộ ị ạ ể ề ố ạ ở ộ ệ

g m 47 nam n thanh niên Cô Lê nh n ra mình quen 16 nam, cô Đàoồ ữ ậ

nh n ra mình quen 17 nam, cô M n quen 18 nam, , cô Cam ngậ ậ ườ ữi n cu iốcùng quen t t c nam có m t H i r ng h i ngh có bao nhiêu nam và baoấ ả ặ ỏ ằ ộ ịnhiêu n thanh niên?ữ

7. (a) Hãy xác đ nh giá tr c a ị ị ủ m sao cho phương trình

10. Tính c nh ạ a và di n tích ệ S c a m t tam giác bi t hai góc ủ ộ ế A và B và n a chuử

tùy theo giá tr c a tham s ị ủ ố m.

3. T m t đi m ừ ộ ể O n m ngoài m t m t ph ng (ằ ộ ặ ẳ P), ta h các đạ ường vuông góc

OH xu ng các đố ường th ng c a (ẳ ủ P), đi qua m t đi m c đ nh ộ ể ố ị A Hãy xác

đ nh quỹ tích (ị c) c a đi m ủ ể H

G i (ọ C) là m t nón nghiên có đ nh t i ặ ỉ ạ O và đáy là (c) Ch ng minh r ng cácứ ằ

m t ph ng song song v i (ặ ẳ ớ P) hay vuông góc v i ớ OA c t ( ắ C) theo nh ngữ

4. M t cây đâm nhánh nh sau: cây m c lên m t năm thì b t đ u đâmộ ư ọ ộ ắ ầnhánh, sau đó c hai năm cây l i đâm ra m t nhánh Quy lu t y c a thânứ ạ ộ ậ ấ ủchính cũng được áp d ng cho các nhánh cây m c ra, t c là m i nhánh sauụ ọ ứ ỗkhi m c ra m t năm thì đâm ra m t nhánh con và nhánh chính đó c haiọ ộ ộ ứnăm l i đâm ra m t nhánh Coi thân chính là m t nhánh đ c bi t, tính sạ ộ ộ ặ ệ ốnhánh c a cây trong năm th năm.ủ ứ

t u c a ta là ầ ủ OA a=

và đang ch y v i v n t c v không đ i trên đạ ớ ậ ố ổ ường

th ng vuông góc v i OA Đ đu i b n quân đ ch ta m máy ch y v i v nẳ ớ ể ổ ắ ị ở ạ ớ ậ

t c là u không đ i trên m t đố ổ ộ ường th ng làm m t góc nh n ẳ ộ ọ ϕ

v i OA.ớ(a) Khi ϕ

đã được ch n trọ ước, h i kho ng cách c c ti u đ t đỏ ả ự ể ạ ược gi a t uữ ầ

ta và t u đ ch là bao nhiêu? Các v n t c u và v ph i th a mãn đi u ki nầ ị ậ ố ả ỏ ề ệ

gì thì c c ti u y tri t tiêu?ự ể ấ ệ

(b) N u đi u ki n y không đế ề ệ ấ ược th a mãn thì ph i ch n góc ỏ ả ọ ϕ

nh thư ếnào đ kho ng cách trên bé nh t có th ? Khi đ t kho ng cách béể ả ở ấ ể ạ ả

nh t y thì hấ ấ ướng ta ph i b n vào t u đ ch m t góc là bao nhiêu vàoả ắ ầ ị ộ

2. Cho m t vòng tròn l n v i hai dây cung AB và CD song song v i nhau G iộ ớ ớ ớ ọ

M là m t đi m ch y trên vòng tròn y Độ ể ạ ấ ường th ng MD c t đẳ ắ ường th ngẳ

AB t i Q.ạ

(a) Khi M ti n t i D hay t i C thì tâm vòng tròn tam giác MCQ ti n t i đâu?ế ớ ớ ế ớHãy xác đ nh quỹ tích c a tâm vòng tròn (MCQ).ị ủ

(b) Người ta l y m t đi m E c đ nh ngoài m t ph ng c a hình vẽ Ta ph iấ ộ ể ố ị ặ ẳ ủ ả

ch n đi m E nh th nào đ cho quỹ tích c a tâm m t c u (MCQE)ọ ể ư ế ể ủ ặ ầtrùng v i quỹ tích tâm vòng tròn (MCQ).ớ

là bé nh t, trong đó m là s t nhiên cho trấ ố ự ước Cho

n s không âm có t ng không đ i, mu n cho t ng ố ổ ổ ố ổ 1 2

(b) Người ta mu n ch a 1 mét kh i b t hóa ch t vào 8 thùng g hình l pố ứ ố ộ ấ ỗ ậ

phương mà m i m t ph ng t m g có b dày nh t đ nh không đángỗ ặ ẳ ấ ỗ ề ấ ị

k Giá ti n m i t m g vuông v i b dày y t l v i bình phể ề ỗ ấ ỗ ớ ề ấ ỉ ệ ớ ương

di n tích c a nó H i ph i ch n các c nh ệ ủ ỏ ả ọ ạ 1 2 8

, , ,

nh th nào c a 8ư ế ủthùng g đó mà đ t n ti n g nh t?ỗ ỡ ố ề ỗ ấ

Năm 1966

1. Người ta tính r ng n u không k s c c n c a không khí thì m i viên đ nằ ế ể ứ ả ủ ỗ ạ

được b n ra t nòng c a m i kh u súng v ch ra trong không gian m tắ ừ ủ ỗ ẩ ạ ộ

đường parabol n m trong m t ph ng đ ng qua tr c c a nòng súng N uằ ặ ẳ ứ ụ ủ ế

l y v trí c a kh u súng trên m t đ t làm g c ấ ị ủ ẩ ặ ấ ố O, l y đấ ường th ng n mẳ ằngang làm tr c hoành ụ Ox và l y đấ ường th ng đ ng làm tr c tung ẳ ứ ụ Oy thì

phương trình c a đủ ường parabol y là ấ

2

2 2 0

Nh ng đi m b n t i đữ ể ắ ớ ược trong ph m vi không gian nào?ạ

2. Trong m t m t ph ng (ộ ặ ẳ P) người ta cho hai đường th ng c đ nh ẳ ố ị a và b và

hai đường th ng bi n thiên ẳ ế x và y; trong khi bi n thiên ế x và y luôn song

song v i nhau và theo th t đi qua hai đi m ớ ứ ự ể A và B n m trên đằ ường

th ng ẳ a; x c t ắ b đi m ở ể C; y c t ắ b đi m ở ể D Qua giao đi m ể M c a ủ AB và CD

người ta d ng đự ường th ng song song v i ẳ ớ x, nó c t ắ a ở L và b ở N

(a) Có nh n xét gì v ba đi m ậ ề ể L, M, N? Ch ng minh nh n xét đó Hãy xácứ ậ

đ nh quỹ tích c a đi m ị ủ ể M.

(b) Cho m t ph ng th hai (ặ ẳ ứ P’) không song song v i ( ớ P) và m t đi m ộ ể O

n m ngoài (ằ P) và (P’) Các đường th ng ẳ Oa, Ob, Ox, Oy có th ho c c tể ặ ắ

(P’) ho c song song v i (ặ ớ P’), trong trường h p chúng c t (ợ ắ P’) thì các

giao đi m v i (ể ớ P’) sẽ theo th t g i là ứ ự ọ a’, b’, x’, y’ Nh v y trong m tư ậ ặ

ph ng (ẳ P’) sẽ có m t bài toán quỹ tích đ i v i giao đi m ộ ố ớ ể M’ c a đủ ường

th ng ẳ M v i m t ph ng (ớ ặ ẳ P’) Hãy phát bi u bài toán quỹ tích đó.ể

(c) Tìm xem x và y ph i v trí nào thì ả ở ị x’ và y’ song song v i nhau, v tríớ ở ị

nào thì A’D’ và B’C’ song song v i nhau?ớ

3. Cho ba s ố x, y, z không th a mãn các đ ng th c ỏ ẳ ứ x by+ ≤36;2x+3z≤72trong

đó b là m t s dộ ố ương cho trước Ch ng minh r ng t ng ứ ằ ổ

x y z+ +

l n nh tớ ấ

là b ng ằ

36 max 36; 24

(a) Chuy n b ng xe h i theo để ằ ơ ường ACM.

(b) Chuy n b ng để ằ ường thuy n theo ề ADM.

(c) Chuy n b ng xe h i t ể ằ ơ ừ A đ n ế B r i chuy n ti p b ng thuy n t ồ ể ế ằ ề ừ B đ nế

M.

T ng s xe h i dùng đ v n chuy n là 9 chi c, t ng s thuy n là 45 chi c.ổ ố ơ ể ậ ể ế ổ ố ề ế

M i chi c xe h i n u ch y trên đỗ ế ơ ế ạ ường AB thì đ m b o trung bình m iả ả ỗngày chuy n để ược b n t n hàng t ố ấ ừ A đ n ế B và n u ch y trên đế ạ ường ACM

thì m i ngày hai t n hàng t ỗ ấ ừ A đ n ế M M i chi c thuy n n u đi đỗ ế ề ế ường BM

thì đ m b o m i ngày v n chuy n đả ả ỗ ậ ể ược

8 15

t n hàng t ấ ừ B đ n ế M H i r ngỏ ằ

n u t ch c v n chuy n nh th nào (bao nhiêu t n m i ngày theo cáchế ổ ứ ậ ể ư ế ấ ỗ

1, theo cách 2 và theo cách 3) đ cho t ng s t n v n chuy n để ổ ố ấ ậ ể ược lànhi u nh t? N u m i chi c xe h i ch y trên đề ấ ế ỗ ế ơ ạ ường ACM đ m b o khôngả ả

2. Cho hai b sông là hai đờ ường th ng song song n m ngang Dòng nẳ ằ ước

ch y song song v i b t trái sang ph i v i v n t c là ả ớ ờ ừ ả ớ ậ ố u M t chi c phà cóộ ế

v n t c riêng không đ i là ậ ố ổ v, xu t phát t đi m ấ ừ ể O c a b dủ ờ ướ ấi l y làm

là bao nhiêu đ th i gian đi là ít nh t?ể ờ ấ

3. Cho m t độ ường tròn (L) có tâm là O n i ti p trong m t hình thoi ộ ế ộ ABCD.

M t ti p tuy n bi n thiên c a độ ế ế ế ủ ường tròn (L) c t đắ ường th ng ẳ AB, AD, BC,

CD theo th t các đi m ứ ự ở ể M, N, P, Q.

(a) Hãy đoán nh n h th c gi a hai đo n th ng ậ ệ ứ ữ ạ ẳ BM và DN; ch ng minh hứ ệ

th c đó Trên hình vẽ còn có h th c nào đáng chú ý (phát hi n đứ ệ ứ ệ ượccàng nhi u càng t t).ề ố

(b) B n đố ường tròn cùng đi qua đi m ể O và theo th t có tâm là ứ ự A, B, C, D

c t b n đo n th ng ắ ố ạ ẳ AB, BC, CD, DA tám đi m Hãy xét xem hình támở ể

c nh l i nh n tám đi m đó làm đ nh có tính ch t gì đ c bi t, ch ngạ ồ ậ ể ỉ ấ ặ ệ ứminh tính ch t đó S d ng vào vi c d ng hình tám c nh đ u.ấ ử ụ ệ ự ạ ề

(c) Hãy phát bi u m t bài toán trong không gian b ng cách cho hình vẽể ộ ằ

c a bài toán trên đây quay quanh tr c ủ ụ AC.

theo góc A, bán kính r và kho ng cách ả h

gi a hai đữ ường th ng ẳ x, y Bi n lu n.ệ ậ

(c) Có nh n xét gì v m i quan h gi a hai đo n th ng ậ ề ố ệ ữ ạ ẳ IB và IC (I là ti p đi mế ể

c a đủ ường tròn O v i đớ ường th ng ẳ y)? Có cách gì đ đoán nh n ra m iể ậ ốquan h đó mà ch a c n ch ng minh gì c ? Ch ng minh đi u đoán nh nệ ư ầ ứ ả ứ ề ậđó

T h th c gi a ừ ệ ứ ữ IB và IC hãy c g ng phát hi n ra nh ng h th c đáng chúố ắ ệ ữ ệ ứ

ý khác (phát hi n đệ ược càng nhi u càng t t).ề ố

Phát bi u s ki n trên dể ự ệ ướ ại d ng m t m nh đ trong hình h c ph ng.ộ ệ ề ọ ẳ

4. Cho hai vòng tròn O, O’ bán kính R, R’ tương ng c t nhau hai đi m ứ ắ ở ể P, Q

Hãy dùng suy lu n logic mà đoán nh n quỹ tích c a cácậ ậ ủ

đi m ể H và H’ (càng đoán nh n đậ ược chính xác càng t t).ố

(b) Ch ng minh nh ng đi u đoán nh n v quỹ tích c a hai đi m ứ ữ ề ậ ề ủ ể H và H’và xác

đ nh gi i h n c a các quỹ tích đó Trong trị ớ ạ ủ ường h p nào thì quỹ tích điợqua hai đi m ể O và O’.

minh r ng đằ ường đi ng n nh t đó là không đ i khi ắ ấ ổ ( )∆

4. Cho m t vòng tròn c đ nh tâm ộ ố ị O bán kính R v i hai đớ ường kính vuông góc

c đ nh ố ị AB và CD và ti p tuy n ế ế At t i đi m ạ ể A M t đi m ộ ể M ch y trênạ

đường tròn đó, các đường th ng ẳ BM, DM c t ắ At theo th t ứ ự ở P và Q

(a) Khi đi m ể M ch y trên đạ ường tròn thì P, Q luôn có m i liên h sau đây:ố ệkho ng cách gi a hai đi m ả ữ ể P và Q là t l th t c a ba đo n th ng ỉ ệ ứ ư ủ ạ ẳ AP, AQ

và đường kính Sau đó tìm cách bi u di n m i liên h này b ng m t côngể ễ ố ệ ằ ộ

th c đ n gi n nh t.ứ ơ ả ấ

(b) Dùng thước và compa d ng đi m ự ể M sao cho BQ và DP song song v i nhau.ớ(c) Hai đường th ng ẳ OP và BQ c t nhau ắ ở N D đoán quỹ tích c a ự ủ N r i ch ngồ ứminh nó

(d) BP và BQ c t ti p tuy n đi m ắ ế ế ở ể D theo th t ứ ự ở P’ và Q’ Có nh n xét gì vậ ề

m i liên h gi a ố ệ ữ P’ và Q’ Ch ng minh nh n xét đó ứ ậ DP và DQ c t đắ ường

th ng ẳ BC ở P” và Q” Có nh n xét gì v m i liên h gi a ậ ề ố ệ ữ P” và Q” Ch ngứminh nh n xét đó.ậ

5. Cho kh i l p phố ậ ương ABCD.EFGH và m t m t ph ng ộ ặ ẳ P đi qua đ nh ỉ A và

làm v i ba c nh ớ ạ AB, AD, AE ba góc b ng nhauằ

(a) Tính cosin chung c a ba góc b ng nhau đó và d ng hình chi u vuông gócủ ằ ự ế

c a kh i l p phủ ố ậ ương xu ng m t ph ng ố ặ ẳ P.

(b) Căn c vào hình chi u này đ phát hi n ra nh ng quan h đáng chú ýứ ế ể ệ ữ ệ(càng phát hi n càng nhi u càng t t) gi a m t ph ng ệ ề ố ữ ặ ẳ P v i các đớ ường

th ng n i các c p đi m l y trong tám đi m ẳ ố ặ ể ấ ể A, B, C, D, E, F, G, H và các m tặ

ph ng ch a t ng b ba đi m cũng l y trong 8 đi m đó ẳ ứ ừ ộ ể ấ ể

(a) Cho m và n hãy xác đ nh ị p và q Khi nào thì có l i gi i?ờ ả

(b) Cho n và q hãy xác đ nh ị m và p Khi nào thì có l i gi i?ờ ả

(c) Cho m và q hãy xác đ nh ị n và p Khi nào thì có m t l i gi i? Khi nào thì cóộ ờ ảhai l i gi i?ờ ả

2. Cho m t hình l p phộ ậ ương ABCD.EFGH có c nh ạ AB=2a

và xét các đường

th ng ẳ d c t ba đắ ường th ng vô h n ẳ ạ AE, BC và DF (trường h p đ c bi t ợ ặ ệ d

có th song song v i m t trong ba để ớ ộ ường th ng đó) G i ẳ ọ M là giao đi mể

c a đủ ường th ng ẳ d v i đớ ường th ng ẳ BC và m là kho ng cách t ả ừ M đ n ế B.

(a) Hãy ch ng minh r ng m t ph ng ứ ằ ặ ẳ MAE c t ắ FG t i m t đi m ạ ộ ể E’ cách m tộkho ng b ng ả ằ m và m t ph ng ặ ẳ MDF c t ắ EH t i m t đi m ạ ộ ể F’cách H m tộkho ng cũng b ng ả ằ m T đó suy ra cách d ng giao đi m ừ ự ể P c a đủ ường

th ng ẳ d v i m t ph ng ớ ặ ẳ EFGH.

(b) Tính kho ng cách t ả ừ P đ n các đế ường th ng ẳ EF và EH theo m Hãy tìm m tộ

h th c gi a hai kho ng cách y không ph thu c vào ệ ứ ữ ả ấ ụ ộ m T đó suy ra quỹừtích c a đi m ủ ể P Ph n nào c a quỹ tích thì ng v i các đi m ầ ủ ứ ớ ể M trên c nhạ

có n nghi m phân bi t trong đo n ệ ệ ạ [−1;1 ]

2. Cho m t s nguyên dộ ố ương N, ta xét t t c các ấ ả ước s l ố ẻ n c a ủ N và l yấ

Nêu qui lu t chung đ tính ậ ể f N( )

3. Cho m t tam giác ộ ABC và m t độ ường th ng ẳ d đi qua đ nh ỉ A và không song

song v i ớ BC

(a) Người ta d ng hình bình hành ự CEFG sao cho các đ nh ỉ E, F, G theo th tứ ự

n m trên các đằ ường th ng ẳ d, AB, BC và sao cho CE song song v i trungớtuy n ế AI c a tam giác ủ ABC, sau đó d ng hình bình hành ự EAKH sao cho các

đ nh ỉ K, H theo th t n m trên các đứ ự ằ ường th ng ẳ AB và BC Hai đường

th ng ẳ BC và d c t nhau đi m ắ ở ể U Người ta l y đi m ấ ể V trên đường th ng ẳ d

đ i x ng v i ố ứ ớ U qua đi m ể A Ch ng minh r ng đi m ứ ằ ể V, đi m ể I, giao đi mể

c a ủ FG và KH là ba đi m th ng hàng v i nhau và th ng hàng v i hai đ nhể ẳ ớ ẳ ớ ỉ

B’, C’ c a hình bình hành ủ BB’CC’ nh n ậ B, C làm hai đ nh đ i di n và có cácỉ ố ệ

c nh theo th t song song v i ạ ứ ự ớ d và AI.

(b) Xét c p đặ ường th ng ẳ FG và KH c t ba đắ ường th ng ẳ BC, CA, AB ba c pở ặ

đi m để ượ ắc s p x p nh th nào đó T đó có th phát bi u nên m t đ nhế ư ế ừ ể ể ộ ị

lí t ng quát nh th nào? N u trong m t ph ng ổ ư ế ế ặ ẳ ABC có cho trước m tộ

đi m ể O thì qua O có th d ng để ự ược hai đường th ng ẳ FG và KH hay không?

4. Cho m t kh i t di n đ u ộ ố ứ ệ ề ABCD c nh ạ a, trên đo n th ng ạ ẳ AB người ta l yấ

hai đi m ể E và E’ sao cho

trên đo n th ng ạ ẳ AC người ta l yấ

hai đi m ể F và F’ sao cho

(b) Tính th tích c a kh i ể ủ ố EFGE’F’G’ theo a và tính góc mà m t ph ng EFG làmặ ẳ

v i các đớ ường th ng ẳ AB, AC, AD.

Năm 1973 Vi t Nam không t ch c kì thiệ ổ ứ

2. a Có bao nhiêu c p s nguyên liên ti p ặ ố ế

c Hãy xác đ nh các b ba s nguyên liên ti p ị ộ ố ế (x x, +1,x+2)

th a mãn ỏ x là

b i c a 9, ộ ủ x+1

là b i c a 25 và ộ ủ x+2

là b i c a 4.ộ ủ

3 Cho m t tam giác ộ ABC c đ nh vuông ố ị ở A và đường cao AH T chân ừ H c aủ

đường cao ta h các đạ ường vuông góc HP và HQ theo th t xu ng các c nh ứ ự ố ạ AB

và AC Cho m t đi m ộ ể M ch y tùy ý trên đạ ường th ng ẳ PQ; đường th ng vuông gócẳ

v i ớ MH đi m ở ể M c t đắ ường th ng ẳ AB ở R và c t đắ ường th ng ẳ AC ở S

(a) Có nh ng nh n xét gì v đữ ậ ề ường tròn qua ba đi m ể A, R, S và ch ng minhứ

R R

S S

không đ i.ổ

Tam giác ABC ph i th a mãn đi u ki n gì đ ả ỏ ề ệ ể R và S ch y v i nh ng v n t c nhạ ớ ữ ậ ố ư

nhau (khi M ch y trên đạ ường th ng ẳ PQ).

(c) Ta l y đi m ấ ể K đ i x ng v i đi m ố ứ ớ ể H qua tâm đ i x ng ố ứ M Đường th ng điẳ

qua A và vuông góc v i đớ ường th ng ẳ PQ c t đắ ường th ng ẳ RS đi m ở ể D Ch ngứ

minh r ng ằ

Hãy phát hi n thêm nh ng đ ng th c tệ ữ ẳ ứ ương t ự

4 Trong không gian cho 12 đường th ng ch a 12 c nh c a m t kh i l pẳ ứ ạ ủ ộ ố ậ

phương có c nh b ng đ n v Ngạ ằ ơ ị ười ta c t 12 đắ ường th ng đó b ng m t m tẳ ằ ộ ặ

ph ng ẳ P Hãy xét s tự ương giao c a m t ph ng ủ ặ ẳ P v i 12 đớ ường th ng nói trên.ẳ

3. Cho t di n ứ ệ ABCD có BA vuông góc v i ớ AC và BD vuông góc v i m t ph ngớ ặ ẳ

BAC G i ọ O là đi m gi a c a ể ữ ủ AB, ta hãy h ạ OK vuông góc v i ớ DC Ch ngứ

minh đi u ki n c n và đ đ t s các th tích ề ệ ầ ủ ể ỉ ố ể

KOAC KOBD

M t độ ường th ng ẳ d bi n thiên quay xung quanh ế A G i ọ MN là

đường th ng vuông góc chung c a ẳ ủ d và ∆ (M trên d và N trên ∆) Hãy tìmquỹ tích c a đi m ủ ể M và quỹ tích c a trung đi m c a đo n ủ ể ủ ạ MN.

trong đó a, b, c là đ dài ba c nh ộ ạ BC, CA,

AB và R là bán kính đường tròn ngo i ti p tam giác ạ ế ABC.

3. Ch ng minh r ng v i m i đi m ứ ằ ớ ọ ể M trong tam giác ABC ta đ u có b t đ ngề ấ ẳ

th c ứ

3

827

5. Cho m t ph ng ặ ẳ P và hai đường th ng chéo nhau ẳ d, d’ c t ắ P l n l ầ ượ ở A, A’.t

G i ọ d” là nh ng đữ ường th ng chuy n đ ng song song v i ẳ ể ộ ớ P và t a lên ự d, d’

ở M và M’.

(a) Hãy xác đ nh v trí c a đị ị ủ ường d” sao cho MM’ ng n nh t.ắ ấ

(b) Cho trước m t độ ường th ng ẳ 0

à sin sin sin

3. H i r ng n đỏ ằ ường tròn chia m t ph ng ra làm bao nhiêu ph n n u b t cặ ẳ ầ ế ấ ứ

c p hai đặ ường tròn nào cũng c t nhau t i hai đi m phân bi t và không cóắ ạ ể ệ

ba đường tròn nào có giao đi m chung.ể

6. Cho đa giác (P) có m c nh và đa giác (ạ P’) có n c nh l n lạ ầ ượ ằt n m trong hai

m t ph ng song song v i nhau Xét h nh ng đo n th ng ặ ẳ ớ ọ ữ ạ ẳ AA’ v i ớ A và A’

tương ng n m trên các c nh c a hai đa giác (ứ ằ ạ ủ P) và (P’) Hãy nói rõ cách

tìm

(a) Đo n ạ AA’ ng n nh t.ắ ấ

(b) Đo n ạ AA’ dài nh t.ấ

thường xuyên cung c p mì s i cho nhân dân trongấ ợ

vùng l n lầ ượt theo t l ỉ ệ 5 : 4 : 3. Ph i đ t đ a đi m c n mì s ả ặ ị ể ầ ợ M đâu đở ể

ti t ki m chi phí chuyên ch bi t r ng chi phí đó t l v i s lế ệ ở ế ằ ỉ ệ ớ ố ượng và

5. M t con sông đào khúc đ u b r ng ộ ầ ề ộ a mét đ n ch rẽ theo góc vuông bế ỗ ề

r ng khúc sau là ộ b mét Tìm chi u dài l n nh t c a m t bè g hình chề ớ ấ ủ ộ ỗ ữ

nh t mà b ngang là ậ ề c mét đ khi bè trôi t khúc đ u sang khúc sau đ nể ừ ầ ế

ch rẽ không b t c.ỗ ị ắ

6. Cho hình h p ch nh t ộ ữ ậ ABCD.A’B’C’D’ Ch ng minh r ng có th d ng đứ ằ ể ự ược

m t tam giác có các c nh b ng các kho ng cách t ộ ạ ằ ả ừ A, A’, D đ n đế ường chéo

có ba nghi m th c (không nh t thi tệ ự ấ ế

phân bi t) là ệ t, u, v V i nh ng giá tr nào c a ớ ữ ị ủ a, b, c thì các s ố

3. Hãy chia m t m nh vộ ả ườn hình tam giác ABC có ba c nh không b ng nhauạ ằ

b ng đo n ằ ạ AM sao cho hai tam giác ABM và ACM có t s di n tích b ng tỉ ố ệ ằ ỉ

6. Trong không gian cho hai hình ch nh t b ng nhau ữ ậ ằ ABCD và ABEF có

AB m BC BE m= = =

Hãy xác đ nh v trí tị ị ương đ i c a hai m t ph ngố ủ ặ ẳ

ch a hai hình ch nh t nói trên đ sao cho ứ ữ ậ ể CE vuông góc v i ớ BF Trong

trường h p y hãy xác đ nh v trí và kích thợ ấ ị ị ướ ứ ệc t di n đ u c a hai đ nhề ủ ỉ

n m trên ằ CA và hai đ nh còn l i n m trên ỉ ạ ằ BF.

3. Cho P là m t đi m n m trong tam giác ộ ể ằ 1 2 3

6. Cho s nguyên ố n>1

và s th c ố ự p>0. Hãy tìm giá tr c c đ i c a bi u th cị ự ạ ủ ể ứ

1

1 1

=

=

∑

3. Cho hai đi m ể M, N ngoài m t ph ng ở ặ ẳ R Hãy xác đ nh v trí c a đi m ị ị ủ ể A

trên R sao cho t s ỉ ố

AM AN

+ Hãy xác đ nh đi u ki n c n và đ đ có đ ngị ề ệ ầ ủ ể ẳ

v a d ng Ch ng minh r ng di n tích c a tam giác ABC b ng hi u c aừ ự ứ ằ ệ ủ ằ ệ ủ

di n tích hai tam giác ệ ∆ và ∆'

4. Tìm nghi m nguyên dệ ương c a phủ ương trình 2 2 2 2336

x+ y+ z =

v iớ.

6. Cho hình l p phậ ương ABCD.A’B’C’D’ Ch ng minh r ng không có m tứ ằ ộ

đường th ng nào c t c b n đẳ ắ ả ố ường th ng ẳ AA’, BC, D’C’ và đường n i trungố

Năm 1983

1. Cho a, b là hai s nguyên dố ương, b>2.

S ố 2 1

a+ chia h t cho s ế ố 2 1

b− haykhông?

2. (a) Ch ng minh r ng ứ ằ 2 sin( t+cost)≥2 sin 24 t

l n lầ ượt đ n các c nh ế ạ BC, CA, AB.

Hãy xác đ nh quỹ tích các đi m ị ể M sao cho s đo di n tích c a tam giácố ệ ủ

k S

n k k

m t t giác Hãy tìm v trí c a m t ph ng sao cho t giác thi t di n có chuộ ứ ị ủ ặ ẳ ứ ế ệ

vi bé nh t Trong đi u ki n nói trên hãy tìm quỹ tích c a nh ng tr ng tâmấ ề ệ ủ ữ ọ

3. Trong m t ph ng ặ ẳ P cho hình vuông ABCD c nh ạ a Trên n a đử ường th ngẳ

Ax vuông góc v i m t ph ng l y đi m S sao cho ớ ặ ẳ ấ ể SA=2 a

(a) M và N là hai đi m tể ương ng di đ ng trên ứ ộ BC và CD

i) Xác đ nh v trí c a hai đi m ị ị ủ ể M, N sao cho

3 2

a

BM +DN≥

đ ng th iồ ờhai m t ph ng ặ ẳ SAM và SMN vuông góc v i nhau và tích ớ BM DN. đ tạgiá tr nh nh t.ị ỏ ấ

ii) Xác đ nh v trí c a ị ị ủ M, N sao cho

· 450

và th tích c a t di nể ủ ứ ệ

SAMN l n nh t, nh nh t Tính các giá tr đó.ớ ấ ỏ ấ ị(b) Q là đi m di đ ng sao cho ể ộ Q luôn nhìn AB và AD dưới các góc vuông G i ọ π

là m t ph ng vuông góc v i ặ ẳ ớ P theo giao tuy n ế AB, DQ c t ắ π

là m t h ng s không ph thu c vào v trí c aộ ằ ố ụ ộ ị ủ

Q, trong đó R’ là giao đi m c a ể ủ DR v i m t ph ng ớ ặ ẳ π

6 Cho tam di n ệ Sxyz đ nh ỉ S trong đó

OSMN.

6. M t hình chóp ộ O.ABC có di n tích đáy ệ ABC b ng ằ S Tính th tích c a hìnhể ủchóp bi t r ng m i đế ằ ỗ ường cao theo th t h t các đi m ứ ự ạ ừ ể A, B, C không

th bé h n trung bình c ng c a hai c nh bên thu c b m t đ i di n v iể ơ ộ ủ ạ ộ ề ặ ố ệ ớcác đ nh đó.ỉ

4. Cho hình vuông ABCD c nh 2ạ a Trong m t ph ng vuông góc v i m tặ ẳ ớ ặ

ph ng ch a hình vuông đi qua ẳ ứ AB ta d ng tam giác đ u ự ề AMB M t đi m ộ ể S

ch y trên ạ AB cách B m t kho ng ộ ả SB x= .

G i ọ P là hình chi u c a đi m ế ủ ể M

lên đường th ng ẳ SC và E, O theo th t là các trung đi m c a ứ ự ể ủ AB, CM.

(a) Hãy xác đ nh quỹ tích c a ị ủ P khi S ch y trên ạ AB.

(b) Tính các giá tr c c đ i và c c ti u c a ị ự ạ ự ể ủ SO.

5. Tìm các giá tr t nhiên c a ị ự ủ n>1

đ cho b t đ ng th c ể ấ ẳ ứ

1 2

16; năm s h ng ti p theo là các s l 17, 19, 21, 23, 25; Hãy xác đ nh số ạ ế ố ẻ ị ố

h ng t ng quát c a dãy trên.ạ ổ ủ

2. Cho hai dãy { } { }x n n+∞=0 , y n n+∞=0

theo qui lu t sau đây:ậ

3. Trong m t ph ng cho ặ ẳ n đường th ng đôi m t c t nhau nh ng không cùngẳ ộ ắ ư

đi qua m t đi m Ch ng minh r ng t n t i ít nh t m t đi m là giao c aộ ể ứ ằ ồ ạ ấ ộ ể ủhai và ch hai trong s n đỉ ố ường th ng đó.ẳ

1. Có 1988 con gà nh t vào 994 chuông, m i chu ng hai con Sau m i ngàyố ỗ ồ ỗ

người ta l i thay đ i v trí c a gà sao cho không có hai con gà nào đã ạ ổ ị ủ ởchung trước đó l i n m trong cùng m t chu ng l n n a H i có bao nhiêuạ ằ ộ ồ ầ ữ ỏngày làm được nh v y.ư ậ

ho c chung nhau m t c nh Có hay không m t hình tròn ch a đúng 1988ặ ộ ạ ộ ứ

nh t thi t h i t hay không?ấ ế ộ ụ

5. Cho tam giác ABC nh n mà ọ

tan , tan , tanA B C

là ba nghi m c a phệ ủ ương trình( )

3. Cho hình vuông ABCD có c nh b ng 2, các ch ạ ằ ữ A, B, C, D x p theo th tế ứ ựnào đó trên hình vuông Đo n th ng ạ ẳ AB được d i ch liên t c đ đ nờ ỗ ụ ể ếtrùng v i đo n th ng ớ ạ ẳ CD sao cho A trùng v i ớ C và B trùng v i ớ D G i ọ S là

di n tích c a hình do đo n th ng ệ ủ ạ ẳ AB quét ra trong khi r i ch Ch ngờ ỗ ứ

minh r ng có th tìm đằ ể ược m t cách d i ch sao cho ộ ờ ỗ

5 6

S< π

(n u m tế ộ

di n tích nào đó đệ ược quét hai l n thì cũng ch đầ ỉ ược tính m t l n).ộ ầ

4. T n t i hay không các s nguyên ồ ạ ố x, y không t n cùng b ng 0 ho c 5 th aậ ằ ặ ỏmãn đi u ki n ề ệ

6. Cho hình h p ch nh t ộ ữ ậ ABCD.A’B’C’D’ Ch ng minh r ng n u m t đứ ằ ế ộ ường

th ng ẳ ∆ c t ba trong b n đắ ố ường th ng ẳ AB’, BC’, CD’, DA’ thì ph i c t ho cả ắ ặsong song v i đớ ường th t ứ ư

di n.ệ

a) Có th c t đ th tích hình h p b ng ể ắ ể ể ộ ằ

9 10

th tích hình t di n không? Gi iể ứ ệ ảthích

b) Hãy xác đ nh m t giao đi m nào đó c a ba m t ph ng c t đ th tích hìnhị ộ ể ủ ặ ẳ ắ ể ể

h p b ng ộ ằ

11 50

th tích c a hình t di n.ể ủ ứ ệ

4. Trong m t ph ng cho tam giác ặ ẳ ABC, hãy xác đ nh quỹ tích các đi m ị ể M

trong m t ph ng đó sao cho ặ ẳ MA MA. '=MB MB. '=MC MC. '

đó ở A’, B’, C’ l nầ

lượt là hình chi u c a ế ủ M lên các đường th ng ẳ BC, CA, AB.