luận văn thạc sĩ đồ thị luồng các khái niệm và tính chất

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung trình bày chi tiết về mô hình đồthị luồng, luồng liên kết và chỉ rõ mối quan hệ với đồ thị.. Ở phần này, chúng tôi trình bày chi tiết mô hình đ

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-

Nguyễn Thị Thu Hằng

ĐỒ THỊ LUỒNG: CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TSKH Phan Thị Hà Dương

Hà Nội - 2019

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏicủa bản thân và sự hướng dẫn tận tình của cô Phan Thị Hà Dương Mọi kết quảnghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể.

Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo

vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì một phươngtiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan

Hà Nội, tháng 10 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thị Thu Hằng

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới PGS.TSKHPhan Thị Hà Dương, người trực tiếp hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu.Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô trong một thờigian dài Cô đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các anh chị thuộc phòng Cơ sởToán - Tin, Viện Toán học vì sự giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luậnvăn Ngoài ra, trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn tôi cònnhận được nhiều sự quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu của quý thầy cô, anh chị vàbạn bè trong Viện Toán học Việt Nam

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ

sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn

Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh,động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 10 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thị Thu Hằng

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các hình vẽ và đồ thị

1.1 Đồ thị, đồ thị con, bậc của đỉnh 3

1.2 Đường, chu trình 6

1.3 Liên thông và thành phần liên thông 7

1.4 Mật độ, hệ số phân cụm và tỷ lệ bắc cầu 9

2 CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ LUỒNG VÀ MỐI QUAN HỆ VỚI ĐỒ THỊ 12 2.1 Định nghĩa đồ thị luồng và luồng liên kết 13

2.2 Mở rộng khái niệm đỉnh và cạnh 17

2.3 Đồ thị luồng con 19

2.4 Hàng xóm và bậc 20

2.5 Đường, chu trình trong đồ thị luồng 21

2.6 Liên thông và thành phần liên thông 24

2.7 Mật độ, hệ số phân cụm và tỷ lệ bắc cầu 29

3 MỘT SỐ TÍNH TOÁN TRÊN ĐỒ THỊ LUỒNG VÀ LUỒNG

3.1 Tìm các clique cực đại trong luồng liên kết 33

3.1.1 Clique và thuật toán tìm clique cực đại trên đồ thị 34

3.1.2 Clique và thuật toán tìm∆-clique cực đại trên luồng liên kết 363.2 Tìm đường đi ngắn nhất và đường đi nhanh nhất trong đồ thị luồng 42

3.2.1 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất 42

3.2.2 Thuật toán tìm đường đi nhanh nhất 46

Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang

1.1 Ví dụ về đơn đồ thị vô hướng 4

trong đồ thị ở ví dụ 3.1.1

36

3.3 Ví dụ các clique cực đại trong đồ thị

3.6 Mô phỏng thuật toán 3 liệt kê 4-clique

trong luồng liên kết ở ví dụ 3.1.5

MỞ ĐẦU

Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, lý thuyết

đồ thị đang được áp dụng rộng rãi để giải quyết nhiều bài toán thực tế Việc sửdụng đồ thị, nhất là các đồ thị cực lớn lại càng được phát triển sâu rộng, đặcbiệt trong việc biểu diễn các mạng xã hội, các mạng liên kết Tiếp theo cácnghiên cứu đó, việc nghiên cứu các mạng liên kết có thay đổi theo thời gian đặt

ra những thách thức mới Cấu trúc đồ thị không còn hoàn toàn phù hợp nữa, vìchưa biểu hiện được yếu tố thời gian Nhiều nhà khoa học đã cố gắng tìm ra môhình đồ thị phù hợp để thỏa mãn hai yếu tố đó Luận văn này tìm hiểu về môhình đồ thị luồng thỏa mãn hai yếu tố đó là liên kết và thời gian, được đề xuấtbởi nhóm nghiên cứu Matthieu Latapy, Tiphaine Viard, Clémence Magnien [2]của đại học Paris 6

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung trình bày chi tiết về mô hình đồthị luồng, luồng liên kết và chỉ rõ mối quan hệ với đồ thị Sau đó, chúng tôi tìmhiểu về thuật toán liệt kê clique cực đại trong luồng liên kết và đề xuất thuậttoán tìm đường đi ngắn nhất, đường đi nhanh nhất trong đồ thị luồng Luận vănđược chia làm ba chương như sau:

Chương 1: Các định nghĩa cơ bản về đồ thị Trong chương này, chúng tôitrình bày lại một số khái niệm cơ bản trong đồ thị

Chương 2: Các định nghĩa cơ bản về đồ thị luồng và mối quan hệ với đồ thị

Ở phần này, chúng tôi trình bày chi tiết mô hình đồ thị luồng và luồng liên kết,

tự xây dựng các ví dụ và giải thích cụ thể cho từng khái niệm, chỉ ra mối quan

hệ giữa ba khái niệm: đồ thị luồng, luồng liên kết và đồ thị

Chương 3: Một số tính toán trên đồ thị luồng và luồng liên kết Trong chươngnày, chúng tôi trình bày lại thuật toán tìm clique cực đại trong luồng liên kết,sau đó đề xuất một cải tiến nhỏ cho thuật toán Cuối cùng chúng tôi đề xuấtthuật toán tìm đường đi nhanh nhất và đường đi ngắn nhất trong đồ thị luồng

và là hàng xóm của nhau Ta nói "ukề vớiv".

Một cạnh của đồ thị có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau được gọi là khuyên.Các cạnh trùng nhau điểm đầu và điểm cuối được gọi là các cạnh bội

3

Định nghĩa 1.1.2 Đồ thị đơn vô hướng là một đồ thị không có khuyên và không

có các cạnh bội.

Hình 1.1: Đồ thị đơn vô hướng.

Trong luận văn này, chúng tôi dùng một số kí hiệu sau đây:

• "G = (V, E)" hoặc đồ thị G(nếu không nói gì thêm) nghĩa là đồ thị đơn

vô hướngG = (V, E)

• V (G)hayV là tập đỉnh của đồ thịG

• E(G) hayE là tập cạnh của đồ thịG

• n = |V | là số đỉnh củaG, m = |E|là số cạnh củaG

Định nghĩa 1.1.3 Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị đầy đủ nếu mọi cặp đỉnh phân biệt trong V đều được nối với nhau bởi một cạnh Với số nguyên dươngn, đồ thị đầy đủ nđỉnh được kí hiệu làKn.

Hình 1.2: Đồ thị đầy đủ K 4

Định nghĩa 1.1.4 Một đồ thịG0 = (V0, E0)là đồ thị con củaG = (V, E) nếu

V0 ⊆ V và E0 ⊆ E Hơn nữa, nếu V = V0 thì đồ thị con là đồ thị con bao trùm củaG Kí hiệu: G0 ⊆ G.

Định nghĩa 1.1.5 Một clusterC củaGlà một tập con củaV Tập các liên kết giữa các đỉnh trong C là E (C) = {uv ∈ E |u ∈ C, v ∈ C } Khi đó, đồ thị

G(C) = (C, E(C)) được gọi là đồ thị con cảm sinh bởi tập đỉnh C, nghĩa là

đồ thị G(C)chứa tập đỉnhC và tất cả các các cạnh củaE mà có hai đầu mút

là những đỉnh thuộc C, có thể gọi G(C)là đồ thị con cảm sinh bởi G trên tập đỉnhC.

Hình 1.3: Đồ thị con G(C) cảm sinh bởi tập đỉnh {a, b, d, f }.

Định nghĩa 1.1.6 Trong đồ thị G = (V, E), hàng xóm N (u)của đỉnh u ∈ V

là tập các đỉnh liên kết vớiu. N (u) = {v ∈ V, ∃(u, v) ∈ E}.

Định nghĩa 1.1.7 Bậc d(u)(dG(u))của đỉnh u trong đồ thịG là số các hàng xóm củau. d (u) = |N (u)|.

Hình 1.4: N (a) = {b, f, d} Bậc của a: d(a) = 3.

Định nghĩa 1.2.1 Cho một đồ thị G = (V, E), một đường đi từ u ∈ V đến

v ∈ V trong G là một dãy (u0, v0) , (u1, v1) , , (uk−1, vk−1) , (uk, vk) thuộc

V × V sao chou0 = u, vk = v, và với mọii,ui = vi−1 vàuivi ∈ E.

Khi đó u0 được gọi là đỉnh đầu,vk được gọi là đỉnh cuối.

Độ dài của đường là số cạnh của đường và chính bằng k.

Nếu tồn tại một đườngP từuđến v trongGthì ta có thể nói v có thể với tới

u, kí hiệu:u − v Và đườngP có tính đối xứng:u − v cũng như làv − u

Định nghĩa 1.2.2 Một đường conQcủaP là một dãy con(ui, vi) , (ui+1, vi+1) , , (uj, vj) của dãy định nghĩa đườngP vớij ≥ i Khi đó Qlà một đường từ

Đồ thịGlà acyclic nếu nó không có chu trình con nào.

Hình 1.5: Đường P đi từ d đến f là:(d, a) , (a, b) , (b, e) , (e, f ).

Có hai chu trình: (a, b) , (b, f ) , (f, a) và (b, e), (e, f ), (f, b).

Định nghĩa 1.2.3 Khoảng cách giữa u và v trongG là độ dài đường đi ngắn nhất từuđếnv, kí hiệu:∂ (u, v) Nếu không có đường đi từuđếnv thì khoảng cách đó là vô cùng.

Định nghĩa 1.3.1 Một đồ thị G = (V, E)được gọi là liên thông nếu với mọi cặp đỉnhu, vthuộc V đều tồn tại một đường đi từuđến v.

Định nghĩa 1.3.2 Một cluster C được gọi là liên thông nếu đồ thị G(C)liên thông Cluster C là một cluster liên thông cực đại nếu C không nằm trong cluster liên thông khác Mỗi cluster liên thông cực đại là một thành phần liên thông của đồ thịG.

Nhận xét 1.3.1 Trong đồ thịG = (V, E), một thành phần liên thông là một đồ thị con liên thông Khi đó tập đỉnh V chia thành k cluster liên thông cực đại

Hình 1.6: Đồ thị trên có 4 thành phần liên thông.

Trong đồ thị có hướng, cạnh(u, v)là cạnh có hướng đi từutớiv, khác với cạnh

(v, u) là cạnh có hướng đi từ v tới u Vì thế khác với đồ thị vô hướng, sự liênthông trong đồ thị có hướng được phân chia thành hai khái niệm là liên thôngyếu và liên thông mạnh

Định nghĩa 1.3.4 Đồ thị có hướng G = (V, E)gọi là liên thông yếu nếu với hai đỉnh uvà v khác nhau bất kì luôn tồn tại một đường đi vô hướng từ u tớiv

trongG.

Định nghĩa 1.3.5 Đồ thị có hướngG = (V, E)gọi là liên thông mạnh nếu với hai đỉnh u và v khác nhau bất kì luôn tồn tại cả đường đi có hướng từ u tới v

và đường đi có hướng từv tớiu.

Hình 1.7: Ví dụ liên thông trong đồ thị có hướng.

Nhận xét 1.4.1 Mật độ của một đồ thị là xác suất để một phần tử uv thuộc

V ⊗ V là một liên kết giữa uvà v trongE.

Chú ý rằng, nếu đồ thị G có δ(G) = 1 thì G là một đồ thị đầy đủ, nếu có

δ(G) = 0 thì đồ thị không có sự kết nối giữa các đỉnh Quy ước, một đồ thị có

1hoặc 0đỉnh thì mật độ của đồ thị đó bằng0 Mật độ của một đồ thị cho chúng

ta biết sự dày hay thưa các kết nối của đồ thị đó

Ví dụ 1.4.1 Trên Hình 1.6, đồ thị G1 = ({a, b, c} , {ab, ac, bc}) có mật độ

đo số lượng tam giác có trong một mạng lưới quan hệ

Định nghĩa 1.4.2 Trong đồ thị G = (V, E), hệ số phân cụm của một đỉnh u

thuộc V là mật độ của đồ thị tạo nên bởi các hàng xóm của đỉnh đó Kí hiệu:

cc (u).

Hệ số phân cụm của đồ thị là xác suất để một đỉnhu thuộc tập đỉnh có hơnmột hàng xóm và hai hàng xóm được chọn ngẫu nhiên của đỉnh này liên kết vớinhau

Định nghĩa 1.4.4 Trong đồ thị G, bộ ba (u, v, w) thuộc V × V × V có các đỉnh đôi một phân biệt là bộ ba liên thông nếu có liên kết uv và vw thuộc E Tập tất cả bộ ba liên thông của đồ thịGđược kí hiệu là ∨.

Nếu bộ ba liên thông có liên kết giữa u và w thì được gọi là tam giác Tập tất cả các tam giác có trong đồ thịGđược kí hiệu là O.

Định nghĩa 1.4.5 Tỷ lệ bắc cầu của đồ thị G là xác suất để một bộ ba liên thông là một tam giác Kí hiệu:

tr (G) = |O|

|∨|.

Mặc dù hệ số phân cụm và tỷ lệ bắc cầu đều là thước đo mức độ các đỉnhliên kết với nhau thành một nhóm, nhưng kết quả thu được của hai số liệu nàylại khác nhau Vì hệ số phân cụm của đồ thị là trung bình hệ số phân cụm củatất cả các đỉnh, khi đó các đỉnh đều đóng vai trò như nhau trong khi các đỉnh cómức độ gắn kết của các hàng xóm khác nhau Còn tỷ lệ bắc cầu chỉ tính nhữngmối quan hệ có khả năng kết nối thành quan hệ tam giác Vậy nên tỷ lệ bắc cầucho chúng ta số liệu chính xác hơn hệ số phân cụm Ví dụ sau cho chúng ta thấyđược điều này

Ví dụ 1.4.2 Trong đồ thị G2 tại ví dụ 1.4.1 có hệ số phân cụm là: cc (G2) =

1

5 (cc (q) + cc (m) + cc (n) + cc (p) + cc (o))= 15.0 + 0 + 3(3−1)2.1 + 1 + 1 =0.467 Và tỷ lệ bắc cầu:tr (G2) = 106 = 0.6

Chúng ta nhận thấy rằng việc tính hệ số phân cụm dễ hơn việc tính tỷ lệ bắccầu Mặc dù độ chính xác của hệ số phân cụm thấp hơn tỷ lệ bắc cầu nhưngngười ta thường tính hệ số phân cụm hơn.

Kết luận: Ở chương 2, chúng tôi sẽ trình bày một mô hình mới là mở rộngcủa đồ thị khi xét thêm yếu tố thời gian Khi trình bày một mô hình mới - đồ thịluồng, chúng ta cần làm rõ những khái niệm cơ bản để thể hiện được hết ý nghĩacủa nó Vì vậy trong chương 1, chúng tôi chú trọng trình bày các định nghĩa vàcác ví dụ minh họa về các khái niệm cơ bản của đồ thị như: đỉnh, cạnh, bậc củađỉnh, đường đi, mật độ và sự liên thông

xã hội, bản đồ lưu lượng xe tại các địa điểm trong một thành phố,v.v Để biểudiễn được qua đồ thị chúng ta phải xét các đồ thị khác nhau cho mỗi một thờiđiểm khác nhau Vậy nên, nhiều nhà khoa học đã cố gắng xây dựng các mô hìnhthể hiện quan hệ tương tác phụ thuộc thời gian, điều quan trọng là nó phải làmột mở rộng của đồ thị (khi xét trường hợp riêng, nếu các đỉnh và các liên kếtkhông thay đổi theo thời gian thì mô hình trở thành đồ thị và các tính chất của

mô hình cũng đúng cho đồ thị)

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày mô hình do nhóm tác giả Matthieu

12

Latapy, Tiphaine Viard, Clémence Magnien đã xây dựng, mô hình gồm hai loại

là đồ thị luồng và luồng liên kết Dựa vào mô hình đồ thịGgồm tập đỉnh làV

và tập cạnh làE, nhóm tác giả đã gắn thêm thời gian vào tập đỉnh, tập cạnh của

đồ thị để xây dựng một mô hình thỏa mãn hai yếu tố đó là thời gian và liên kết.Với mô hình đồ thị luồng, nhóm tác giả hệ thống các khái niệm cơ bản mở rộngcủa đồ thị như cạnh, liên kết, số bậc, đường đi, sự liên thông,v.v , việc mở rộngcác khái niệm cần phải đúng khi chúng ta giới hạn lên đồ thị Sự đóng góp củayếu tố thời gian đã làm thay đổi các khái niệm, đặc biệt số cạnh và số liên kếtkhông còn là số nguyên Các liên kết thay đổi theo thời gian nên liên thông phânbiệt thành hai khái niệm là liên thông yếu và liên thông mạnh Ngoài ra, một sốtính chất trên đồ thị có thể mở rộng được nhưng một số tính chất lại không mởrộng được

Trong chương này chúng tôi cố gắng trình bày các khái niệm cơ bản, tự xâydựng các ví dụ và giải thích chi tiết cho từng khái niệm một cách rõ ràng Chúngtôi phân tích sự giống nhau và khác nhau của đồ thị và đồ thị luồng qua các hình

vẽ cụ thể, từ đó chúng ta thấy được mối quan hệ giữa hai khái niệm đồ thị và đồthị luồng

2.1 Định nghĩa đồ thị luồng và luồng liên kết

Trước hết, chúng tôi viết tường minh định nghĩa kèm theo các ví dụ, hình vẽchi tiết về đồ thị luồng và luồng liên kết Sau đó chúng tôi chỉ rõ mối quan hệgiữa ba khái niệm: đồ thị luồng, luồng liên kết và đồ thị

Định nghĩa 2.1.1 [2] Đồ thị luồng là bộS = (T, V, W, E), trong đó:

• T là khoảng thời gian.

• V là tập hữu hạn các đỉnh.

• W ⊆ T × V là tập các phần tử (t, u), mỗi phần tử bao gồm thời điểmt

và đỉnhuxuất hiện (online) tại thời điểmt.

• E ⊆ T × V ⊗ V là tập các phần tử (t, uv), mỗi phần tử bao gồm thời điểm t và liên kết uv sao cho u, v xuất hiện và kết nối với nhau tại thời điểmt.

Ta kí hiệu: Liên kết l = ([b, e] , uv) ⊆ E thỏa mãn e ≥ b, ([b, e] , u) ⊆ W

và ([b, e] , v) ∈ W, nghĩa là hai đỉnh u, v liên lạc với nhau từ thời gian b đếnthời gianekhi hai đỉnh xuất hiện trong thời gian này Ta gọie − blà lượng thờigian màuvà v kết nối với nhau

• Tu là tập các khoảng thời gian màu hiện diện Khi đó

Liên kếtl vô hướng nếu không có sự khác nhau giữa([b, e] , uv)và([b, e] , vu)

Đồ thị luồng đơn nếu với mọi liên kết l = ([b, e] , uv) và l0 = ([b0, e0] , uv)

trong E thỏa mãn[b, e] ∩ [b0, e0] = ∅ Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xét đồthị luồng đơn vô hướng và luồng liên kết đơn vô hướng

Trong lý thuyết đồ thịG = (V, E), chúng ta có hình vẽ mô tả để có cái nhìnbao quát hơn Cụ thể: đỉnh của đồ thị biểu diễn bằng dấu chấm và cạnh đượcbiểu diễn bằng một đoạn thẳng liên kết hai đỉnh ở hai đầu mút Đối với đồ thịluồngS = (T, V, W, E) cũng cần hình vẽ mô tả được thời gian và sự liên kết,

ta biểu diễn đồ thị luồng và luồng liên kết như sau:

Biểu diễn trên góc phần tư thứ nhất của mặt phẳngOxy với:

• Các đỉnh được biểu diễn trên trục tung

• Thời gian được biểu diễn bởi trục hoành

• Khi các đỉnh xuất hiện hay online thì biểu hiện bằng các chấm nhỏ trướcđỉnh đó trên hình

• Khi hai đỉnh bắt đầu liên kết với nhau bằng một đường thẳng dọc nối haichấm tại thời điểm liên kết và một đường thẳng song song với trục hoành

để cho biết liên kết với nhau trong thời gian bao lâu

Ta = [1, 8]: Nhân vậta hiện diện từ giây thứ1đến giây thứ8,

Ta,b = [2, 8]: Giây thứ2,a kết nối với nhân vậtb đến giây thứ6thì kết thúc.

Nếu tất cả các đỉnh đều xuất hiện trên toàn bộ thời gian, nghĩa làTu = T vớimọiu thì khái niệm đồ thị luồng không còn tậpW nữa và trở thành khái niệmluồng liên kết Luồng liên kết là trường hợp đặc biệt của đồ thị luồng

Định nghĩa 2.1.2 Luồng liên kết là bộ L = (T, V, E), trong đó:

• T là tập các khoảng thời gian.

• V là tập hữu hạn các đỉnh.

• E ⊆ T × V ⊗ V là tập các phần tử (t, uv), mỗi phần tử bao gồm thời điểm t và liên kết uv sao cho u, v xuất hiện và kết nối với nhau tại thời điểmt.

Hình 2.2: Luồng liên kết L = (T, V, E).

Ví dụ 2.1.2 Luồng liên kết L trên Hình 2.2 với T = [0, 10], V = {a, b, c, d}

thấy rằng đồ thị chính là một trường hợp đặc biệt của đồ thị luồng, qua hình vẽ 2.1 chúng ta có thể thấy rõ được điều đó.

Hình 2.3: Luồng liên kết (T, V, E) là đồ thị G = (V, E) nếu Tuv ∈ {∅, T }.

Việc mở rộng đồ thị thành đồ thị luồng cần phải giữ được các định nghĩa vàtính chất cơ bản của đồ thị như số đỉnh, số cạnh, mật độ, đường đi và sự liênthông

Trong đồ thị luồng, các đỉnh và liên kết có thể xuất hiện tại các thời điểmkhác nhau Vì thế số đỉnh và liên kết của S như là lượng thời gian mà đỉnh vàliên kết đó góp mặt Ta định nghĩa:

Định nghĩa 2.2.1 [2] Cho đồ thị luồngS = (T, V, W, E)

Nhận xét 2.2.1 Khi đồ thị luồng là luồng liên kết (các đỉnh online trên toàn

thời gian), Tu = T (∀u ∈ V ), thìnu = 1và số đỉnh sẽ bằng số phần tử của V

trong đồ thịG,n = |V |.

Khi luồng liên kết là đồ thị (các liên kết hoặc kết nối toàn thời gian hoặc không kết nối), Tuv = {∅, T }, thì muv = {0, 1}và số liên kết sẽ bằng số phần

tử củaE trong đồ thị G, m = |E|.

Nhận thấy rõ yếu tố thời gian ảnh hưởng đến số cạnh và số đỉnh rất lớn, sốcạnh và số đỉnh không còn là số nguyên nữa Số đỉnh phụ thuộc vào lượng thờigian đỉnh đó xuất hiện Nên khi chúng ta tính số đỉnh chính là tính số lần thờigian mà đỉnh đó chiếm trong tổng số thời gian Tương tự như vậy đối với sốcạnh Khi đồ thị luồng có các đỉnh và các liên kết không thay đổi theo thời gianthì số đỉnh và số liên kết vẫn được giữ nguyên như trong đồ thị Đối với kháiniệm luồng con, bậc, đường hay thành phần liên thông có giữ được tính chấtcủa đồ thị hay không sẽ được thể hiện qua các mục dưới đây

2.3 Đồ thị luồng con

Khái niệm luồng con của đồ thị luồng S = (T, V, W, E) được định nghĩanhư sau:

Định nghĩa 2.3.1 [2]Cho hai đồ thị luồngS = (T, V, W, E)và

S0 = (T0, V0, W0, E0) Ta nói S0 là đồ thị luồng con của S nếu V0 ⊆ V,

T0 ⊆ T,W0 ⊆ W vàE0 ⊆ E Kí hiệu:S0 ⊆ S.

Định nghĩa 2.3.2 [2] Một clusterC củaS là một tập con củaW Tập các liên kết giữa các đỉnh trongC là

E (C) = {([b, e], uv) ⊆ E |([b, e], u) ⊆ C, ([b, e], v) ⊆ C }

Khi đó, đồ thị luồngS(C) = (T, V, C, E(C))được gọi là đồ thị luồng con của

t là tập các đỉnh u, EtC là tập các liên kếtuv có trongC tại thời giant

Hình 2.4: Đồ thị luồng con của đồ thị luồng S (hình 1.6) sinh bởi cluster

C = {([2, 5] , a) ∪ ([6, 8] , b) ∪ ([3, 4] , c) ∪ ([6, 10] , d)}.

Định nghĩa 2.3.3 Cho đồ thị luồngS = (T, V, W, E) và thời gian t ∈ T, đồ thịGt = (Vt, Et) là đồ thị sinh bởi S tại thời gian t Đồ thị Gt bao gồm tất cả các đỉnh và liên kết xuất hiện tại thời điểmt.

Ví dụ 2.3.1 Trên đồ thị luồng Hình 2.1, tại giây thứ3có các đỉnha, b, conline

và các kết nốiab, bc, ac Như vậy đồ thịG3 = ({a, b, c} , {ab, ac, bc}).

Định nghĩa 2.4.1 [2] Trong đồ thị luồng S = (T, V, W, E), hàng xóm N (u)

của đỉnhulà tập thời gian và đỉnh liên kết vớiu.

N (u) = {([b, e], v) ⊆ W, ∃([b, e], uv) ⊆ E}

Số bậc của một đỉnh phụ thuộc vào số liên kết mà đỉnh đó tham gia Với sựgóp mặt về thời gian, chúng ta nhận thấy có sự thay đổi về số đỉnh, số cạnh trong

đồ thị luồng nên số bậc cũng thay đổi Theo định nghĩa về số đỉnh của đồ thịluồngS, các đỉnh v kết nối với đỉnh u mất một lượng thời gian, từ đó bậc củađỉnhulà sự đóng góp về mặt thời gian của mỗi liên kết với mỗi đỉnhv trongS

Định nghĩa 2.4.2 Bậcd(u)(dS(u))của đỉnhutrong đồ thị luồng S là số thời gian và đỉnh liên kết vớiu

d (u) = |N (u)|

|T | =

Xv∈V

|Tuv|

|T | =

Xv∈V

Cũng như trong đồ thị, đồ thị luồng đơn vô hướngS = (T, V, W, E)có tổng

số bậc của tất cả các đỉnh bằng hai lần số liên kết:

Xu∈V d (u) = X

u∈V

Xv∈V

|Tuv|

|T | = 2.m.

Khác với đồ thị G = (V, E), mỗi đỉnh của đồ thị luồng gắn với thời gianxuất hiện nên trong việc tính trung bình bậc ta cần tính thêm sự đóng góp vềmặt thời gian của mỗi đỉnh đó trong S

Định nghĩa 2.4.3 Trung bình bậc của đồ thị luồngS là:d (S) = n1 P

u∈V

nu.d (u)

Nhận xét 2.4.1 Trong luồng liên kết L = (T, V, E), các đỉnh xuất hiện trên toàn thời gian nên nv = 1 với mọi v, khi đó trung bình bậc của luồng liên kết là: d (L) = 1n P

u∈V

d (u) = 2.mn Khi các cạnh liên kết trên toàn thời gian hoặc không xuất hiện thì trung bình bậc của luồng liên kết sẽ bằng trung bình bậc của đồ thị G Vậy giá trị bậc của đỉnh và tính chất tổng bậc đỉnh bằng hai lần

số cạnh vẫn được bảo toàn trong lý thuyết đồ thị.

Trong thực tế, chúng ta xét các vấn đề: tại thời điểm α, một người muốntruyền thông tin đến người khác sao cho đúng thời điểm ω là người đó nhậnđược, hay một người nắm giữ thông tin, làm sao mọi người đều biết được trongmột khoảng thời gian ngắn Để giải quyết vấn đề này, người ta đã đưa ra địnhnghĩa đường trong đồ thị luồng để có thể bao quát và xử lí dễ dàng hơn

Định nghĩa 2.5.1 [2] Cho một đồ thị luồng S = (T, V, W, E), một đường từ

(α, u)đến(ω, v)trongSlà một dãy(t0, u0, v0) , (t1, u1, v1) , , (tk−1, uk−1, vk−1) ,(tk, uk, vk)thuộcT × V × V sao chou0 = u, vk = v, t0 ≥ α, tk ≤ ω, với mọi

i, ui = vi−1, ti ≤ ti+1 và(ti, uivi) ∈ E, ([α, t0] , u) ⊆ W, ([tk, ω] , v) ⊆ W vàvới mọii, ([ti, ti+1] , vi) ⊆ W

Khi đó đường P gồm (t0, u), (tk, v) và (t, vi) với mọi i ∈ [0, k − 1] và

t ∈ [ti, ti+1]bắt đầu tạit0, kết thúc tạitk, có độ dài bằngk + 1 và khoảng thờigian làtk − t0

Nếu tồn tại một đườngP từ(α, u)đến(ω, v)trongS thì ta có thể nói(ω, v)

có thể với tới (α, u), kí hiệu: (α, u) 99K (ω, v) Và đường P trong S không

có tính đối xứng:(α, u) 99K (ω, v) không có nghĩa là (ω, v) 99K (α, u) trongtrường hợpα 6= ω

Nếu tồn tạiα vàω sao cho có đường(α, u) 99K (ω, v)thì ta có thể nóiv cóthể với tới được từu, kí hiệu:u 99K v, trừ trường hợp α 6= β

Hình 2.5: Đường (1, a) 99K (10, c) là P 1 : (3, a, b), (9, b, c) (màu xanh) hoặc

P 2 : (4, a, b), (5, b, d), (8, d, c) (màu cam) hoặc P 3 = (2, a, b), (6, b, d), (9, d, c).

Định nghĩa 2.5.2 [2] Một đường conQcủaP là một dãy con(ti, ui, vi) ,(ti+1, ui+1, vi+1) , , (tj, uj, vj) của dãy định nghĩa đường P với j ≥ i Khi

đóQlà một đường từ(ti, ui)đến (tj, uj) trongS.

Một đường P là một chu trình nếu k > 0, u = v và ([α, ω] , v) ⊆ W Nói cách khác, đây là một đường từ đỉnhv tại thời gianαđến chính nó tại thời gian

ω sao chov hiện diện trên toàn thời gian từα đếnω.

Trong thực tế, chu trình trongS là một ngườiacó thông tin và báo cho người