Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS cung cấp đến các bạn bài tập đa thức, chứng minh biểu thức có điều kiện, giá trị biểu thức có điều kiện... giúp các em học sinh ôn luyện và nâng cao kiến thức môn Toán cấp THCS. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung.
Trang 1Chủ đề 1a BỔ SUNG BÀI TẬP ĐA THỨC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
(Phần chứng minh biểu thức có điều kiện)
Bài tập tính giá trị của một biểu thức đại số có hai loại chính là :
Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện ràng buộc giữa các biến số
Tính giá trị của biểu thức trong đó giá trị của các biến số lại bị dàng buộc bởi một hoặc nhiều điều kiện nào đó
1 Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện
VD1
1) Tính f(2) biết f(x) = 5x5+ 4x4+ 3x3+ 2x2+ x + 1
2) Cho biểu thức
A =
2
:
Tính giá trị của A biết x = 2007
2 Tính giá trị của biểu thức có điều kiện
VD 2
1) Cho a3+ b3+ c3 = 3abc với abc 0
Tính giá trị của biểu thức B = 1 a 1 b 1 c
2) Cho a + b + c = 0 với a2+ b2+ c2 = 14
Tính giá trị của biểu thức: C = a4+b4+ c4
3 Bài tập:
Bài 1 Cho x+y = 3 Tính giá trị của biểu thức
A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + 1
Bài 2 Cho a3+b3+c3= 3abc 0 Tính giá trị của biểu thức
Bài 3 Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=1
Tính giá trị của biểu thức
𝐴 = 𝑥 √(1+𝑦2)(1+𝑧2)
1+𝑥2 + 𝑦 √(1+𝑧2)(1+𝑥2)
1+𝑦2 + 𝑧 √(1+𝑥2)(1+𝑦2)
1+𝑧2
Trang 2Bài 4 Tính giá trị của biểu thức
M =
5
x x
biết 𝑥2 + 9𝑦2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3|
Bài 5
Cho x, y, z thỏa mãn
1 1 1
x y z
1/ Tính giá trị của biểu thức Q = x4 y5 z6
2/ Tính giá trị của biểu thức A = a + b2 + c3
Bài 6 Cho
𝑥 = √20 + 14√23 + √20 − 14√23 Tính giá trị của biểu thức 𝑃 = 𝑥3− 6𝑥 + 2020
Bài 7 Cho a+b=ab
Tính giá trị của biểu thức A = ( a3+ b3− a3b3 ) + 27a6b6
Bài 8 Tính giá trị của biểu thức
A =
Bài 9 Cho a, b thỏa mãn
{𝑎3− 3𝑎𝑏2 = 19
𝑏3− 3𝑎2𝑏 = 98 Tính giá trị của biểu thức B = ( a
2 + b2 )3
Bài 10 Cho
{3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧 với xy 0
Tính giá trị của biểu thức
2
2 2
2
x xy C
x y
Trang 3Bài 11 Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a + b + c 0
Tính giá trị của biểu thức 𝐷 = 𝑎2+𝑏2+𝑐2
(𝑎+𝑏+𝑐) 2
Bài 12 Cho
2 2
2
x
bc
y
, Tính giá trị của biểu thức Q = x + y +xy
Bài 13 Cho
0 14
a b c
Tính giá trị của biểu thức E = a
4 + b4 + c4
Bài 14 Cho
x y a
x y b
Tính giá trị của biểu thức M = x
3 + y3 theo a , b
Bài 15 Cho
2
13
2
a
x z
Tính giá trị của biểu thức
2
E
a
Bài 16
Cho
0 2
x y z
a b c
a b c
x y z
Tính giá trị của biểu thức N =
x y z
Bài 17
1/ Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = 4 Tính giá trị của biểu thức
Trang 4𝐻 = √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) + √𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) + √𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) − √𝑥𝑦𝑧
2/ Cho (𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟒) (𝒚 + √𝒚𝟐 + 𝟏𝟒𝟒) = 𝟏𝟗𝟔𝟐
Tính giá trị của biểu thức K = x + y
Bài 18 Cho
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎
𝑥2+ 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑏2
1
𝑥+1
𝑦+1
𝑧 = 𝑐
Tính giá trị của biểu thức M = x3+ y3+ z3 theo a , b , c
Bài 19 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn
{
𝑥2 + 𝑥𝑦 +𝑦
2
3 = 25
𝑦2
3 + 𝑧
2 = 9
𝑧2 + 𝑥𝑧 + 𝑥2 = 16 Tính giá trị của biểu thức N = xy + 2yz + 3zx
Bài 20 Cho các số dương a, b, c phân biệt sao cho các phương trình
x2 + a.x + 1 = 0 và x2 + bx + c = 0 có nghiệm chung Đồng thời các phương trình
x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung Tính giá trị của biểu thức
P = a + b + c
3 Hướng dẫn giải:
Bài 1 Cho x+y = 3 Tính giá trị của biểu thức
A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + 1
Giải:
Bài này không tính được trực tiếp x, y nên cần biến đổi A về dạng có x+y rồi thay
x+y=3 vào
A = 𝑥2 + 𝑦2+ 2𝑥𝑦 – 4𝑥 – 4𝑦 + 1 = (𝑥 + 𝑦)2− 4(𝑥 + 𝑦) + 1 = 9 − 12 + 1 =
−2
Bài 2 Cho a3+b3+c3= 3abc 0 Tính giá trị của biểu thức
Giải
Trang 5Ta có B = a bb ca c
abc
Từ giả thiết ( a + b )3+ c3- 3ab( a + b ) – 3abc = 0
( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0
( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0
Vậy ta được a + b + c = 0 hoặc a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0
* Với a + b + c = 0 , ta được: a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b
Khi đó, B =
abc abc
= - 1
* Với a2+ b2+ c2- ab – bc – ca = 0
2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab – 2bc – 2ca = 0
( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0 Vậy a = b = c
Khi đó B = 2 2 2 b c a
bca = 8
Bài 3 Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=1
Tính giá trị của biểu thức
𝐴 = 𝑥 √(1+𝑦2)(1+𝑧2)
1+𝑥 2 + 𝑦 √(1+𝑧2)(1+𝑥2)
1+𝑦 2 + 𝑧 √(1+𝑥2)(1+𝑦2)
1+𝑧 2
Ta thấy xy+yz+zx=1 nên thay 1 vào các biểu thức sau, ta được
1 + x2 = xy + yz + zx + x2 = y( x + z ) + x( x + z ) = ( x + y )( x + z )
1 + y2 = xy + yz + zx + y2 = y( x + y) + z( x + y) = ( x + y )( y + z )
1 + z2 = xy + yz + zx + z2 = y( x + z ) + z( x + z) = ( x + z )( y + z )
Thay vào A và rút gọn, ta được
𝐴 = 𝑥 √(1+𝑦2)(1+𝑧2)
1+𝑥 2 + 𝑦 √(1+𝑧2)(1+𝑥2)
1+𝑦 2 + 𝑧 √(1+𝑥2)(1+𝑦2)
1+𝑧 2
Ta có :
𝑥 √(1+𝑦2)(1+𝑧2)
1+𝑥 2 = 𝑥 √(𝑥+𝑦)(𝑦+𝑧)(𝑥+𝑧)(𝑦+𝑧)
(𝑥+𝑦)(𝑥+𝑧) = 𝑥 √(𝑦 + 𝑧)2 = 𝑥 |𝑦 + 𝑧| = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 (vì y>0 ; z>0 nên y+z>0)
Tương tự các biểu thức còn lại được yz+yx ; zx+yz
Trang 6Do đó A=𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) = 2.1 = 2
Bài 4 Tính giá trị của biểu thức
M =
5
x x
biết 𝑥2 + 9𝑦2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3|
Ta chỉ cần giải phương trình 𝑥2+ 9𝑦2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| để tìm ra nghiệm x, y
𝑥2+ 9𝑦2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| => 𝑥2+ 9𝑦2− 6𝑥𝑦 + |𝑥 − 3| = 0
(𝑥 − 3𝑦)2+ |𝑥 − 3| = 0=> x=3y và x=3=>y=1
Thay x=3, y=1 vào M ta được M=−8
3
Bài 5
Cho x, y, z thỏa mãn
1 1 1
x y z
1/ Tính giá trị của biểu thức Q = x4 y5 z6
Ta chỉ cần giải hệ phương trình đã cho để tìm x, y, z
Ta có 13 = ( x + y + z )3 = x3+ y3+ z3+ 3( x + y)( y + z)( z + x) mà x3+ y3+ z3 = 1
Vì vậy ( x + y)( y + z)( z + x) = 0 Nên x = - y , hoặc y = - z , hoặc z = - x
Nếu x = - y thì x+ y = 0 và từ x + y + z = 1 ta có z = 1 nên z2 = 1 và x2+ y2 = 0 suy
ra x = y = 0 khi đó Q = 04+ 05 + 16 = 1
Hoàn toàn tương tự với các trường hợp còn lại ta được Q = 1 Tóm lại Q=1 2/ Tính giá trị của biểu thức A = a + b2 + c3
Giải:
13 = ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b)( b + c)( c + a) Mà a3 + b3 + c3 = 1 nên ta
có
( a + b)( b + c)( c + a) = 0 Vậy a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0
Nếu a + b = 0 thay vào (1) ta có c = 1 c2 = 1 thay vào (2) ta được a = b = 0 A
= 1
Nếu b + c = 0 thay vào (1) ta có a = 1 a2 = 1 thay vào (2) ta được b = c = 0 A
= 1
Nếu a + c = 0 thay vào (1) ta có b = 1 b2 = 1 thay vào (2) ta được a = c = 0 A =
1
Trang 7Vậy A=1
Bài 6 Cho
𝑥 = √20 + 14√23 + √20 − 14√23 Tính giá trị của biểu thức 𝑃 = 𝑥3− 6𝑥 + 2020
Ta có: Lập phương hai vế của x, ta được
𝑥3 = ( √20 + 14√23 + √20 − 14√23 )
3
= 20 + 14√2 + 20 − 14√2 + 3𝑥 √203 2− 2 142 = 6𝑥 + 40 Vậy 𝑥3 = 6𝑥 + 40 => 𝑥3− 6𝑥 = 40 Thay vào P ta được:
𝑃 = 𝑥3 − 6𝑥 + 2020 = 40 + 2020 = 2060
Bài 7 Cho a+b=ab
Tính giá trị của biểu thức A = ( a3+ b3- a3b3 ) + 27a6b6
Giải:
Ta có: a + b = ab ( a + b)3 = a3b3 a3 + b3 + 3ab( a + b) = a3b3
a3 + b3 – a3b3 = – 3ab( a + b) = – 3ab.ab (a3 + b3 – a3b3)3 = – 27a6b6
(a3 + b3 – a3b3)3 + 27a6b6 = 0 Vậy D = 0
Bài 8 Tính giá trị của biểu thức
A =
Giải: Đặt 2 2
3
a ta có
2
2
A
Sau đó, thay 2 2
3
a ta được A = 2
Trang 8Bài 9 Cho a, b thỏa mãn
{𝑎3− 3𝑎𝑏2 = 19
𝑏3− 3𝑎2𝑏 = 98 Tính giá trị của biểu thức B = ( a
2 + b2 )3
Giải:
Ta có : 192 = a6 – 6a4b2 + 9a2b4 vµ 982 = b6 – 6a2b4 + 9a4b2
192 + 982 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = ( a2 + b2)3 Vậy B = 192 + 982 = 9965
Bài 10 Cho
{3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧
2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧 với xy 0
Tính giá trị của biểu thức
2
2 2
2
x xy C
x y
Giải
Từ {3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧 2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧 cộng hai vế lại, ta được 5𝑥 = 10𝑧 => 𝑥 = 2𝑧
Thay x=2z vào, ta tìm được y=3z
Thay x=2z; y=3z vào C, ta được C=− 8
13
Bài 11 Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a + b + c 0
Tính giá trị của biểu thức 𝐷 = 𝑎2+𝑏2+𝑐2
(𝑎+𝑏+𝑐) 2
Giải:
( a + b )3+ c3−3ab( a + b ) – 3abc = 0
( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0
( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0
Do a + b + c 0 (gt) => a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0
Ta có: a2+ b2+ c2−ab – bc – ca = 0
2a2+ 2b2+ 2c2− 2ab – 2bc – 2ca = 0
( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0 Vậy a = b = c
𝐷 = 𝑎2+𝑏2+𝑐2
(𝑎+𝑏+𝑐) 2 =𝑎2+𝑎2+𝑎2
(𝑎+𝑎+𝑎) 2 = 3𝑎2
9𝑎 2 =1
3
Trang 9Bài 12 Cho
2 2
2
x
bc
y
, Tính giá trị của biểu thức Q = x + y +xy theo a, b, c
Giải:
Ta có: Q=𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦(𝑥 + 1)
Ta có 𝑥 + 1 = 𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐 + 1 = 𝑎2−(𝑏−𝑐)2
2𝑏𝑐 Thay vào Q, ta được 𝑄 = 𝑏−𝑐
𝑏
Bài 13 Cho
0 14
a b c
Tính giá trị của biểu thức E = a
4 + b4 + c4 Giải
Ta có 142 = ( a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
=> a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
Ta lại có: 02 = a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc + ca ) = 14 + 2( ab + bc + ca)
=> ab + bc + ca = – 7 49 = ( ab + bc + ca )2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2 ( ab2c + a2bc
+ abc2)
49 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc( a + b + c) Vậy: a2b2 + b2c2 + c2a2 = 49
Do đó, a4 + b4 + c4 = 196 – 2.49 = 196 – 98 = 98
Bài 14 Cho
x y a
x y b
Tính giá trị của biểu thức M = x
3 + y3 theo a , b Giải :
Ta có a3 = ( x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y) = M + 3axy Vậy: M = a3 – 3axy
Ta lại có a2 = ( x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = b + 2xy xy = 𝑎
2 −𝑏
2 Thay vào M ta có
𝑀 =3𝑎𝑏 − 𝑎
3 2
Bài 15 Cho
2
13
2
a
x z
Trang 10
Tính giá trị của biểu thức
2
E
a
Ta có
2
E
a
= 2a2 – 8a + 1
2
2
a
2
a
x z x y x z x y
2
a
x y x z x z x y x y
Thay vào biểu thức, tính được P
Bài 16
Cho
0 2
x y z
a b c
a b c
x y z
Tính giá trị của biểu thức N =
x y z
Giải: Từ giả thiết, ta có 02 =
= 0
Lại có
22 =
a b c a b c ab bc ca a b c abz bcx acy
do bcx + acy + abz = 0 nên N = 4
Bài 17
1/ Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = 4
Tính giá trị của biểu thức
𝐻 = √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) + √𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) + √𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) − √𝑥𝑦𝑧 Giải:
Trang 11Ta có √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) = √𝑥(16 − 4𝑧 − 4𝑦 + 𝑦𝑧) = √𝑥[𝑦𝑧 − 4(𝑦 + 𝑧 − 4)] (1)
mà theo giả thiết 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = 4 => 𝑦 + 𝑧 = 4 − 𝑥 − √𝑥𝑦𝑧 (2) Thay (2) vào (1), ta được:
√𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) = √𝑥(𝑦𝑧 + 4√𝑥𝑦𝑧 + 4𝑥)=√𝑥(√𝑦𝑧 + 2√𝑥)2 = √𝑥 (√𝑥𝑦 + 2√𝑥) = 2𝑥 + √𝑥𝑦𝑧
Tương tự:
√𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) = 2𝑦 + √𝑥𝑦𝑧
√𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) = 2𝑧 + √𝑥𝑦𝑧
Do đó:
𝐻 = 2𝑥 + √𝑥𝑦𝑧 + 2𝑦 + √𝑥𝑦𝑧 + 2𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 − √𝑥𝑦𝑧 = 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧) = 4.2 = 8
2/ Cho (𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟒) (𝒚 + √𝒚𝟐 + 𝟏𝟒𝟒) = 𝟏𝟗𝟔𝟐
Tính giá trị của biểu thức K = x + y
Bài 18 Cho
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 (1)
𝑥2 + 𝑦2+ 𝑧2 = 𝑏2 (2)
1
𝑥+1
𝑦+1
𝑧 = 𝑐 (3)
Tính giá trị của biểu thức M = x3+ y3+ z3 theo a , b , c
Giải:
Bình phương hai vế của (1), ta được (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 = 𝑎2
=> 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2+ 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) = 𝑎2, thay (2) vào ta được:
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 𝑎2−𝑏2
2 (4)
Từ (3) cho ta: 1
𝑥+1
𝑦+1
𝑧 = 𝑐 => 𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥
𝑥𝑦𝑧 = 𝑐 => 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 𝑐 𝑥𝑦𝑧 (5)
Từ (4) và (5) suy ra 𝑎
2 −𝑏2
2 = 𝑐𝑥𝑦𝑧 => 𝑥𝑦𝑧 = 𝑎2−𝑏2
2𝑐
Như vậy ta có:
Trang 12𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 𝑎2−𝑏2
2 𝑥𝑦𝑧 = 𝑎2−𝑏2
2𝑐
Ta có: 𝑥3+ 𝑦3+ 𝑧3 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3(𝑥2𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧2 + 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦2 +
𝑦2𝑥 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧2) + 3𝑥
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3
− 3[(𝑥2𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧2) + (𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦2) + (𝑦2𝑥 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧2)] + 3𝑥𝑦𝑧
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3[𝑥𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑦𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)] + 3𝑥𝑦𝑧
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3− 3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧) + 3𝑥𝑦𝑧
𝑎3 − 3.𝑎2−𝑏2
𝑐 𝑎 +3(𝑎2−𝑏2)
2𝑐 Từ đó tìm ra kết quả
Bài 19 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn
{
𝑥2 + 𝑥𝑦 +𝑦
2
3 = 25
𝑦2
3 + 𝑧
2 = 9
𝑧2 + 𝑥𝑧 + 𝑥2 = 16 Tính giá trị của biểu thức N = xy + 2yz + 3zx
Bài 20 Cho các số dương a, b, c phân biệt sao cho các phương trình
x2 + a.x + 1 = 0 và x2 + bx + c = 0 có nghiệm chung Đồng thời các phương trình
x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung Tính giá trị của biểu thức
P = a + b + c