Một lời giải đẹp phải không bạn.
Trang 1LỜI GIAI MỚI CHO BÀI TOÁN QUEN THUỘC
Bài toán 1: Chứng minh với mọi x ta có :
x8 - x5 + x2 - x +1 > 0 (*) Đây là btoán quen thuộc - bạn có thể bắt gặp trong nhiều sách tham khảo về nội dung bất đẳng thức , các tác giả chứng minh tính đúng đắn của bđt trên từng khoảng xác định x < 0 ,
0 ≤ x <1 , x ≥ 1 Thử đi tìm một cách cminh khác
Cái khó của btoán là bậc của vế trái (*) là lớn - thử hạ bậc nó
Vt = ( x6- x3 + 1) x2 - x + 1 là một tam thức bậc hai đối với x có hệ số a = x6- x3 + 1
Để ý : x6- x3 + 1= (x3 -
4
3 4
3 ) 2
1 2+ ≥ , khi đó
3
2 3
2 x 4
3 1 x
x
4
>
+
−
= +
−
Bất đẳng thức được chứng minh Một lời giải đẹp phải không bạn
Từ lời giải trên ta có phát biểu chặt hơn bđt cần cminh :
"Chứng minh với mọi x ta có : x8 - x5 + x2 - x +
3
2 > 0 "
Bài toán 2 :Chứng minh với mọi x ta có :
x6 + x4 - x3 - x + 3/4 > 0
Vt = ( x4 + x2 +1) x2 - ( x2 + x +1 ) x + 3/4 là một tam thức bậc hai có hệ số
a = x4 + x2 +1 , b = - ( x2 + x +1 ) , c = 3/4
Ta có a> 0 với mọi x và ∆ = ( x4 + x2 +1)2 - 3( x2 + x +1 ) ≥ 0 với mọi x ( theo bđt Bunhiacốp xki ) ⇒
Vt ≥ 0 với mọi x - Để ý ∆ = 0 ⇔ x =1 , khi đó Vt > 0
Vậy Vt > 0 với mọi x Bđt được cminh
@ Bài toán đề nghị :
"Chứng minh với mọi x ta có :
x6- x5 + x4 - x3+ x2 - x + 3/4 > 0 "
Bạn hoàn toàn có thể xác lập được các bài toán mới tương tự như vậy , chúc bạn thành công