ĐỀ CƯƠNG ôn tập GIỮA kỳ II toán 9

Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt ở hai phía của trục tung... b Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt ở bê

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KỲ II –TOÁN 9

Bài 1:

Cho biểu thức 3 x 1

A





B

x





0;

9

x x 1) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 4

2) Rút gọn biểu thức P  A B

3) Tìm x nguyên sao cho biểu thức 1

P đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất

Bài 2:

a) Cho các biểu thức 2

2

x A x





 Tính giá trị của A khi x  3 2 2

2

x B



c) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức 3

2

P  A B  là số nguyên

Bài 3: Cho hai biểu thức 7 x 2

A

2 x 1





B

x 9



a Tính giá trị biểu thức A khi x 36.

b Rút gọn biểu thức B

c Tìm x để hiệu A B  có giá trị là số tự nhiên

Bài 4: Cho A = 3

3

x x





1) Tính giá trị của A khi x = 16

2) Rút gọn biểu thức B

3) Cho P A

B

 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 5:Cho 2 biểu thức A = x 2

x



x

x   x   x  với x > 0, x ≠ 4

a) Tính giá trị của A tại x = 6 2 5 ;

b) Rút gọn biểu thức B và tính P A

B

 ;

c) Tìm x thỏa mãn xP10 x  29 x 25

A

x 1



a) Rút gọn A

b) Tìm các giá trị của x để A 1 

c) Tìm các giá trị của m để phương trình A m  có nghiệm

x  x và B = 1

2

 với x ≥ 0; x ≠ 1

a Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4

b Rút gọn biểu thức P = A B

c Tìm m để phương trình ( x  1) P m x   có nghiệm x.

Bài 8: Cho hai biểu thức: A = 5 9

1

x x







   với x ≥ 0; x ≠ 1

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1

9

b) Chứng minh rằng: 5 9

1







c) Với điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1, tìm tất cả các giá trị m để phương trình A

B = m có nghiệm x

Bài 7: Cho hai biểu thức A = 1

2

x x



1

x x  x với x > 0; x ≠ 1

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25

b) Rút gọn biểu thức P = B

A . c) Tìm x   thỏa mãn 81x2 – 18x = P – 9 x + 4

Bài 8: Cho hai biểu thức A = 2 3

1

x



x





  với x ≥ 0; x ≠ 1 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4

2) Chứng minh B =

1

x

x  x  3) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức P 4B

A

 có giá trị là số nguyên dương

1

x





x

 với x > 0; x ≠ 1 a) Tính giá trị của biểu thức B với x = 16

b) Rút gọn biểu thức P = A.B

c) Tìm x để |P + 1| > P + 1

Bài 10: Cho hai biểu thức x 2

A

x



B

4 x



x 0, x 4  

a) Tính giá trị A biết 9x2 4x

b) Rút gọn B

c) Tìm các giá trị x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên

Bài 11: Cho biểu thức 2 5 x

A

x 1







với

x 0, x 9  

a) Tính giá trị của A khi x  19 8 3   19 8 3 

b) Rút gọn B

c) Gọi M A.B. So sánh M và M

Bài 12: Cho 2biểu thức x 2 x 1 x 4 x 9

P

9 x



Q





 với x 0,x 9   a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x sao cho P 3

c) Đặt M P : Q  Tìm giá trị của x để 1

2



Bài 13:

1) Tính giá trị của biểu thức A = 3

3

x x



 với x = 4



   với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9 a) Rút gọn P b) So sánh P và P2

Bài 14: Cho hai biểu thức: A = 1

3

x x



x   x   x  x  , với x ≥ 0, x ≠ 1

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16

9 . b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm x để 1 1

2

A B

Bài 15:Cho 2 biểu thức: 3

1

a P

a





Q

0; 1.

1) Tính giá trị của biểu thức P khi a  16.

2) Rút gọn biểu thức Q

3) Tìm a để biểu thức S P Q. có giá trị lớn nhất

Bài 16: Cho biểu thức P x x 1 x x 1 4

1

x Q x





 với x 0;x 1

a Tính giá trị của Q khi x 25

b Rút gọn biểu thức A P Q

c Tìm các giá trị của x để A x 8

II Dạng 1: Hệ phương trình Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

1)

































1 1

3 1

3 1 1

2

y

y x

x

y

y x

x

2) x y

x y

1 8 18

5 4 51



 





  



3) x y









4) x y x y







15 2

15 1







8)

9) 10)





Bài 2: Cho hệ phơng trình x my 1 (1)

mx y 1 (2)





 



a Giải hệ phơng trình với m = 3

b Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà x - 2y = 3

Bài 3: Cho hệ phơng trình x y 1 (1)

mx y 2m (2)

 





 



a Giải hệ phơng trình với m = 2

b Tìm các giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) mà x,y là các số nguyên

Bài 4: Cho hệ phương trỡnh

a Giải hệ phơng trình với m = 2

b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x, y trỏi dấu

Bài 5: Cho hệ phương trỡnh

a Giải hệ phơng trình với m = 2

b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho tớch x.y cú giỏ trị nhỏ nhất

III Dạng 3: Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh, hệ phương trỡnh

Bài 1: Hai ngời cùng làm chung một công việc trong 12 giờ thì xong Nếu họ cùng làm trong 2

giờ sau đó ngời thứ nhất nghỉ thì ngời thứ hai phải làm tiếp 4 giờ nữa mới xong Hỏi mỗi ngời làm một mình trong bao lâu thì xong công việc?

Bài 2: Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất phải làm được 700 sản phẩm trong một thỏng Nhưng do

tổ I làm vượt mức kế hoạch 15%, tổ II làm vượt mức kế hoạch 20% nờn cả hai tổ làm được

820 sản phẩm Tớnh số sản phẩm mà mỗi tổ phải làm trong một thỏng

Bài 3: Một ụ tụ đi từ A đến B với vận tốc xỏc định và trong một thời gian đó định Nếu vận

tốc ụ tụ giảm 10km/h thỡ thời gian tăng 45 phỳt Nếu vận tốc ụ tụ tăng 10km/h thỡ thời gian giảm 30 phỳt Tớnh vận tốc và thời gian dự định đi của ụ tụ

Bài 4: Trờn quóng đường AB dài 200km cú hai ụ tụ chuyển động ngược chiều Xe thứ nhất đi

từ A, xe thứ hai đi từ B Nếu cựng khởi hành thỡ sau 2 giờ chỳng gặpnhau Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 2 giờ thỡ hai xe gặp nhau sau khi xe thứ hai đi được 1 giờ Tớnh vận tốc của mỗi xe

Bài 5: Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng thêm 2m thì diện

tích tăng thêm 60m2 Nếu giảm chiều rộng đi 3m và chiều dài đi 5m thì diện tích giảm đi 85m2 Tính diện tích thửa ruộng đó

Bài 6: Cho một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số bàng 10 Nếu đổi chỗ hai chữ số

của số đó cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho 36 đơn vị Tìm số đã cho

Bài 7: Một ca nô xuôi dòng khúc sông dài 60km rồi ngược dòng khúc sông ấy 48 km hết 6 giờ.

Một lần khác, ca nô chạy xuôi dòng 40km và ngược dòng 80km trên khúc sông đó thì hết 7giờ Tính vận tốc ca nô và vận tốc tốc dòng nước?

Bài 8: Một tàu hỏa phải vận chuyển một lượng hàng Nếu một toa chở 15 tấn hàng thì còn thừa

3tấn Nếu mỗi toa chở 16 tấn hàng thì có thể chở thêm được 5 tấn nữa Hỏi tàu hỏa đó có mấy toa va phải chở baonhiêu tấn hàng?

Bài 9: Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc nếu người thứ 1

làm trong 4h người thứ 2 làm trong 3h thì được 50% công việc Hỏi mỗi người làm một mình trong mấy giờ thì xong ?

Bài 10: Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84% Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90% Tính xem mỗi trường có bao

nhiêu học sinh lớp 9 dự thi?

Bài 11: Hai người dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong Họ làm với nhau được 8

giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai vẫn tiếp tục làm Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 3giờ 20phút Hỏi nếu mỗi người thợ làm một mình với năng suất như dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên?

Bài 12: Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường, sau 3 giờ thì hai

xe gặp nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28

km Tính vận tốc xe đạp và ô tô biết quãng đường dài 156 km

Bài 13: Hai máy ủi trong 12h thì san lấp được 1/10 khu đất Nếu máy ủi thứ 1 làm một mình

trong 42h rồi nghỉ, sau đó máy ủi thứ 2 làm một mình trong 22h thì cả 2 máy ủi san lấp được 25% khu đất đó Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu đất trong bao nhiêu lâu?

Bài 14 : Một chiếc thuyền di chuyển xuôi và ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết tất

cả 4h 30 phút Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km Tính vận tốc dòng nước ?

Bài 15 : Một dung dịch chứa 30% a xít nitơríc (tính theo thể tích) vào một dung dịch khác

chứa 55% a xít nitơríc Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 vào loại 2 để được

100 lít dung dịch 50% a xít nitơríc

Bài 16: Ga xe lửa Sài Gòn cách ga Dầu Giây 65 km Xe khách ở Sài Gòn, xe tải ở Dầu Giây đi

ngược chiều nhau và xe khách khởi hành sau xe tải 36 phút, sau khi xe khách khởi hành 24 phút thì gặp xe tải Nếu hai xe khởi hành đồng thời và cùng đi Hà Nội (cùng chiều) thì sau 1 giờ hai xe gặp nhau Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng xe khách đi nhanh hơi xe tải?

Bài 17: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian qui định Nếu giảm 3

người thì thời gian kéo dài 6 ngày, nếu tăng thêm 2 người thì thời gian sớm hơn 2 ngày Hỏi theo qui đinh thì cần bao nhiêu thợ làm việc và làm trong bao nhiêu ngày (Biết rằng khả năng lao động của mỗi công nhân đều như nhau)

Bài 18: Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số

đã cho là 63 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 Tìm số đã cho

IV DẠNG 4: Phương trình bậc hai một ẩn Bài 1: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x - m = 0 (1)

a Giải phơng trình với m = 5

b.Tìm m để phơng trình (1) có một nghiệm x = 5

c.Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 2x1 - x2 = - 5

Bài 2: Cho phương trỡnh x2 – 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0

a) Giải phương trỡnh khi m = 1

b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món x12 + x22 = 3

Bài 3: Cho phơng trình: x2 - 5x - m = 0

a) Giải phơng trình với m = - 4

b)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho 5x1 - x2 = 7

Bài 4: Cho phương trỡnh x2  2(m 1)x   m  2  0, với x là ẩn số

a) Giải phương trỡnh khi m  – 2

b) Tỡm m để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt x1 và x2 Tỡm hệ thức liờn hệ giữa

1

x và x2 mà khụng phụ thuộc vào m

Bài 5: Cho phương trỡnh : x2 – mx – 2 = 0

a Giải phương trỡnh với m = 1

b Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 sao cho biểu thức:

x  x  x  x cú giỏ trị nhỏ nhất

V DẠNG 5: Tương giao giữa đường thẳng và parabol Bài 1:Cho hàm số y = x2 có đồ thị là Parabol (P) và đờng thẳng (d): y = x + m - 1

a Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số khi m = 3

b Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt ở bên phải trục tung

Bài 2: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là Parabol (P) và đờng thẳng (d): y = x + m - 1

a Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số khi m = 7

b Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt ở hai phía của trục tung

Bài 3: Cho Parabol (P): y = và đờng thẳng (d): y = 2x - m + 1

a) Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 2

b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phõn bi t cú t a đ (ệt cú tọa độ ( ọa độ ( ộ ( x1; y1

Bài 4: Cho parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d): y=2(m + 1)x - 2m - 1

a) Với m = 2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).

b) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 là hai c nh gúc ạnh gúc vuụng c a m t tam giỏc vuụng cú c nh huy n b ng ủa một tam giỏc vuụng cú cạnh huyền bằng ộ ( ạnh gúc ền bằng ằng

Bài 5: Cho Parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d): y = 4x - m + 1

a) Xác định tọa độ giao điểm (d) và (P) khi m = 4

b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt ở bên phải trục tung

Bài 6: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2mx – m2 + 4

a) Tỡm toạ độ giao điểm của hai đồ thị đú khi m = 1

b) Tỡm giỏ trị của m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ x1,

x2 thỏa mãn 3x1 +2 x2 = 7

VI DẠNG 6: Hỡnh học Bài 1: Cho đư ng tròn (O) cú đư ng kình AB = 2R và đi m C thu c đờ̉m C thuụ̣c đường tròn đó (C ộ ( ư ng tròn đú (C A, B) L y đi m D thu c dõy BC (D ṍy điờ̉m D thuụ̣c dõy BC (D ờ̉m C thuụ̣c đường tròn đó (C ộ ( B, C) Tia AD c t cung nh BC t i đi m M, tia AC c t tia ắt cung nhỏ BC tại điờ̉m M, tia AC cắt tia ỏ BC tại điờ̉m M, tia AC cắt tia ạnh gúc ờ̉m C thuụ̣c đường tròn đó (C ắt cung nhỏ BC tại điờ̉m M, tia AC cắt tia

BM t i đi m N.ạnh gúc ờ̉m C thuụ̣c đường tròn đó (C

a) Ch ng minh t giỏc CDMN n i ti pứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p ộ ( ờ́p

b) Ch ng minh DA.DM = DB.DC.ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p

c) Ch ng minh ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p = G i I là tõm đọa độ ( ư ng tròn ngo i ti p t giỏc CDMN, ạnh gúc ờ́p ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p

ch ng minh IC là ti p tuy n c a đứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p ờ́p ờ́p ủa một tam giỏc vuụng cú cạnh huyền bằng ư ng tròn (O)

d) Cho bi t DF = R, ch ng minh tan ờ́p ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p = 2

Bài 2: Cho đường trũn (O; R), đường thẳng d khụng qua O và cắt đường trũn tại hai điểm A,

B C d ( C nằm ngoài đường trũn (O)), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với (O) (M, N (O)), Gọi

H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K

a) Ch ng minh t giỏc COHN n i ti p.ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p ộ ( ờ́p

b) Ch ng minh KN.KC = KH.KOứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p

c) Đo n CO c t đạnh gúc ắt cung nhỏ BC tại điờ̉m M, tia AC cắt tia ư ng tròn (O) t i I, ch ng minh I cỏch đ u CM, CN, MN.ạnh gúc ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p ền bằng

d) M t độ ( ư ng th ng đi qua O và song song v i MN c t cỏc tia CM, CN l n lới MN cắt các tia CM, CN lõ̀n lượt tại E ắt cung nhỏ BC tại điờ̉m M, tia AC cắt tia õ̀n lượt tại E ượt tại E ạnh gúc t t i E

và F Xỏc đ nh v trí c a C trờn d sao cho di n tích tam giỏc CEF là nh nh t.ủa một tam giỏc vuụng cú cạnh huyền bằng ệt cú tọa độ ( ỏ BC tại điờ̉m M, tia AC cắt tia ṍy điờ̉m D thuụ̣c dõy BC (D

Bài 3: Cho đư ng tròn (O;R) đư ng kính AB Bỏn kính CO vuụng gúc v i AB E là đi m ới MN cắt các tia CM, CN lõ̀n lượt tại E ờ̉m C thuụ̣c đường tròn đó (C

b t kỳ trờn cung nh AC ( E ṍy điờ̉m D thuụ̣c dõy BC (D ỏ BC tại điờ̉m M, tia AC cắt tia A, C) BE c t AC t i K G i I là hình chi u c a K trờn AB.ắt cung nhỏ BC tại điờ̉m M, tia AC cắt tia ạnh gúc ọa độ ( ờ́p ủa một tam giỏc vuụng cú cạnh huyền bằng a) Ch ng minh t giỏc CBIK n i ti p.ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p ộ ( ờ́p

b) Ch ng minh ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p =

c) Trờn đo n BE l y đi m H sao cho BH = AE Ch ng minh tam giỏc HCE là tam giỏc ạnh gúc ṍy điờ̉m D thuụ̣c dõy BC (D ờ̉m C thuụ̣c đường tròn đó (C ứng minh tứ giác CDMN nụ̣i tiờ́p vuụng cõn

d) G i d là ti p tuy n c a đọa độ ( ếp ếp ủa một tam giác vuông có cạnh huyền bằng ư ng tròn (O) t i A P là m t đi m n m trên d sao cho ạnh góc ộ ( ểm C thuộc đường tròn đó (C ằng hai đi m P, C n m trên cùng m t n a m t ph ng b Ab và ểm C thuộc đường tròn đó (C ằng ộ ( ửa mặt phẳng bờ Ab và ặt phẳng bờ Ab và = R Ch ng ứng minh tứ giác CDMN nội tiếp mính đư ng th ng PB đi qua trung đi m c a đo n IK.ểm C thuộc đường tròn đó (C ủa một tam giác vuông có cạnh huyền bằng ạnh góc

Bài 4: Cho đường tròn (O) Đường thẳng d qua đi qua O và cắt đường tròn (O) tại hai điểm

A,B C d ở ngoài đường tròn (O) Vẽ đường kính PQ vuông góc với AB tại D (P cung lớn AB) Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I, AB cắt IQ tại K

a) Ch ng minh t giác PDKI n i ti p.ứng minh tứ giác CDMN nội tiếp ứng minh tứ giác CDMN nội tiếp ộ ( ếp

b) Ch ng minh CI.CP = CK CDứng minh tứ giác CDMN nội tiếp

c) Ch ng minh IC là phân giác c a góc ngoài đ nh I c a tam giác AIB.ứng minh tứ giác CDMN nội tiếp ủa một tam giác vuông có cạnh huyền bằng ở đỉnh I của tam giác AIB ỉnh I của tam giác AIB ủa một tam giác vuông có cạnh huyền bằng

d) Cho ba đi m A, B, C c đ nh Đểm C thuộc đường tròn đó (C ố định Đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A và B ư ng tròn (O) thay đ i nh ng v n đi qua A và B.ổi nhưng vẫn đi qua A và B ư ẫn đi qua A và B

Ch ng minh IQ luôn đi qua m t đi m c đ nh.ứng minh tứ giác CDMN nội tiếp ộ ( ểm C thuộc đường tròn đó (C ố định Đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A và B

Bài 5: Cho đường tròn (O) , dây BC cố định Trên cung lớn BC của (O), lấy điểm A ( A khác

B,A khác C) Hai tiếp tuyến qua B và C của (O) cắt nhau tại E

1 CHứng minh tứ giác BOCE nội tiếp

2 AE cắt (O) tại điểm thứ hai là D (D#A) Chứng minh EB2 = ED.EA

3 Gọi F là trung điểm của AD Đường thẳng qua D và song song với EC cắt BC tại G Chứng minh FG song song với AC

4 Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH=AC Chứng minh khi điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì điểm H di động trên một đường tròn cố định

Bài 6: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) từ điểm A vẽ các tiếp tuyến AB,AC với B,C

là tiếp điểm, và cát tuyến AMN với đường tròn (O) ( với MN không đi qua tâm và AM<AN)

1 CHứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

2 Chứng minh AM.AN=AB2

3 Tiêp tuyến tại N của (O) cắt đường thẳng BC tại điểm F chứng minh đường thẳng FM

là tiếp tuyến của (O;R)

4 Gọi P là giao điểm của dây BC và dây MN, E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNO và đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC ( E khác O)

Chứng minh P,E,O thẳng hàng

Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến tại A của (O)

cắt BC tại S Gọi I là trung điểm của BC

a) Chứng minh tứ giác SAOI nội tiếp

b) Vẽ dây cung AD vuông góc với SO tại H Chứng minh SD = SA

c) Gọi giao điểm của AD và BC là K Chứng minh SK.SI = SB.SC

d) Vẽ đường kính PQ qua điểm I (Q thuộc cung CD), SP cắt đường tròn (O) tại M Chứng minh 3 điểm M, K, Q thẳng hàng

Bài 8:Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một

điểm P sao cho AP > R Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M

a) Chứng minh rằng 4 điểm A, P, M, O cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh BM // OP

c) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành

d) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J Chứng minh 3 điểm I, J, K thẳng hàng

Bài 9: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AC > R).

Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA Lấy điểm M trên đường tròn (O) sao cho AM =

2

R

Tia BM cắt đường thẳng d tại điểm P Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N, tia

PA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q

a) Chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh NQ // PC

c) Tính thể tích của hình tạo thành khi quay tam giác MAB một vòng quanh AM theo R d) Gọi H là giao điểm của QN và AB Gọi E là giao điểm của MB và QN, tia AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K Chứng minh AE.AK + BE.BM = 4R2

e) Chứng minh rằng ba điểm B, N và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NEK thẳng hàng

Bài 10: Cho đường tròn (O; R), vẽ dây AB cố định không đi qua tâm O Lấy điểm S bất kỳ

thuộc tia đối của tia AB Kẻ hai tiếp tuyến SM, SN với (O) (M, N là các tiếp điểm, NN thuộc cung nhỏ AB) Gọi H là trung điểm AB

a) Chứng minh tứ giác MNHO nội tiếp

b) Phân giác của góc AMB cắt AB tại K Chứng minh SMK cân và NA MA

NB MB c) Chứng minh: ·NMK 1NOH·

2

d) Gọi I là trung điểm của NB Kẻ IFAN (F AN) Giả sử ·AOB 120 o Chứng minh rằng khi điểm S di động trên tia đối của tia AB thì F luôn thuộc một đường tròn cố định

và tính bán kính của đường tròn này theo R

Bài 11: Cho đường tròn (O ; R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), qua M kẻ tiếp

tuyến MA, MB với đường tròn (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD sao cho MC

< MD Đoạn thẳng MO cắt AB tại H

a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh MB2  MC.MD

c) Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp và HA là tia phân giác của ·CHD

d) Giả sử M cố định, chứng minh khi cát tuyến MCD thay đổi, trọng tâm G của tam giác BCD thuộc một đường tròn cố định

Bài 12: Cho nửa đường tròn O R đường kính ;  AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa

đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax của  O , C là điểm bất kì thuộc  O , C A C, B. Tia BC cắt Ax tại D

a) Chứng minh rằng ACBD và BC BD 4 R2

b) Tiếp tuyến tại C của  O cắt đoạn AD tại , M OM cắt AC tại K Chứng minh rằng

/ /

OM BC và M là trung điểm của AD

c) Gọi N là trung điểm của BC I là hình chiếu của C trên AB Chứng minh rằng IN là, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACI

d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để chu vi của COI là lớn nhất

Bài 13: Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định không đi qua O A là một điểm di động

trên cung lớn BC (AB < AC) sao cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt nhau tại

H Gọi H là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng BC

1) CHứng minh tứ giác BCEF nội tiếp

2) Chứng minh KB.KC = KE KF

3) Gọi M là gia điểm của AK với đường tròn (O) (M khác A) Chứng minh MH vuông góc với AK

4) Chứng minh đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên cung lớn BC

Bài 14: Cho đường tròn (O ; R) và một điểm A sao cho OA = 3R Qua A kẻ hai tiếp tuyến AP

và AQ của đường tròn (O) với P và Q là hai tiếp điểm Từ P kẻ PM song song với AQ với M thuộc đường tròn (O) Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và đường tròn (O) (N thuộc AM) Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K

1) Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh ·NAK APN· và KA2 KN.KP

3) Kẻ đường kính QS của đường tròn (O) Chứng minh NS là tia phân giác của ·PNM và

PAN AMP 2MNS 

4) Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng AO và PK Tính tan AGK theo bán kính R ·

Bài 15: Cho đường trònO, R và dây AB cố định, khác đường kính Gọi K là điểm chính

giữa cung nhỏ AB Kẻ đường kính IK của đường tròn  O cắt AB tại N Lấy điểm M bất

kỳ trên cung lớn ABM A, M B   MK cắt AB tại D Hai đường thẳng IM và AB cắt nhau tại C

1 Chứng minh bốn điểm M, N, K và C cùng thuộc một đường tròn

2 Chứng minh IB2 IM.IC IN.IK

3 Hai đường thẳng ID và CK cắt nhau tại E Chứng minh điểm E thuộc đường tròn

 O và NC là tia phân giác của góc ·MNE

4 Chứng minh khi điểm M thay đổi trên cung lớn ABM A, M B  , đường thẳng

ME luôn đi qua một điểm cố định

Bài 16: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên

Ax lấy điểm K ( Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường tròn (O) Đường thẳng d vuông góc với AB tại O, d cắt MB tại E.

a) Chứng minh bốn điểm K, A, O, M thuộc một đường tròn.

b) OK cắt AM tại I Chứng minh OI.OK = R2.

c) Chứng minh KAOE là hình chữ nhật.