Bài giảng Kinh tế lượng - Chương II: Mô hình hồi quy hai biến

Bài giảng Kinh tế lượng - Chương II: Mô hình hồi quy hai biến. Nội dung chương này bao gồm: Hồi quy tuyền tính hai biến, phương pháp bình phương nhỏ nhất, kiểm định mô hình nội quy. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Trang 1

MÔ HÌNH

HỒI QUY HAI BIẾN

Chương II

1

I HỒI QUY TUYẾN TÍNH HAI BIẾN

1 Hàm hồi quy tuyến tính hai biến

Trong quan hệ hồi quy, một biến phụ thuộc có thể

được giải thích bởi nhiều biến độc lập

Nếu chỉ nghiên cứu một biến phụ thuộc bị ảnh hưởng bởi một biến độc lập=> mô hình hồi quy

hai biến

=> Hàm hồi quy tuyến tính được hiểu là tuyến tính theo tham số

Y   X U

2

Hàm hồi quy tổng thể (PRF) của mô hình hồi quy

hai biến

hay

Trong đó:

Y: biến phụ thuộc

Yi: giá trị cụ thể của Y

X: biến độc lập

Xi: Giá trị cụ thể của X

Ui: sai số ngẫu nhiên ứng với quan sát thứ i

PRF Y   X U

3

Hàm hồi quy tổng thể (PRF) của mô hình hồi quy hai biến

hay Trong đó:

β1: tung độ gốc của hàm hồi quy tổng thể,

là trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi biến độc lập X nhận giá trị bằng 0

β2: Độ dốc của hàm hồi quy tổng thể, là lượng thay đổi trung bình của Y khi X thay đổi 1 đơn vị

4

Y

X



  



 

   



 



PRF

Ui Ui

Đồ thị minh họa

5

𝑖 = 𝛽1+𝛽2𝑋𝑖

2 Hàm hồi quy mẫu hai biến

Trong thực tế rất khó nghiên cứu trên tổng thể nên thông thường ta nghiên cứu xây dựng hàm hồi quy trên một mẫu => Gọi là hàm hồi quy mẫu

6

Trang 2

2 Hàm hồi quy mẫu hai biến

SRF:

Trong đó:

: là tung độ gốc của hàm (SRF), ước lượng điểm của

: là độ dốc của hàm hồi qui, ước lượng điểm của

e i : là sai số ngẫu nhiên, ước lượng của U i

Nếu bỏ qua sai số e i thì giá trị thực tế Y i sẽ trở thành giá trị

ước lượng

1



2



7

𝑌𝑖= 𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑖+𝑒𝑖

𝛽1

𝛽2

𝑖

𝑆𝑅𝐹: 𝑌𝑖= 𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑖

2 Hàm hồi quy mẫu hai biến8

SRF:

Y

X



 

   



 



 SRF

ei ei

𝑌𝑖 = 𝛽1+𝛽2𝑋𝑖+ 𝑒𝑖

𝑖 = 𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑖

𝛽2

II PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT

1 Ước lượng tham số của mô hình

SRF thực tế:

SRF ước lượng:

Vậy =? để

-> min

9

𝑌𝑖= 𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑖+𝑒𝑖

𝑖= 𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑖

𝑒𝑖2 = 𝑌𝑖− 𝑖2= 𝑌𝑖− ( 𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑖) 2

𝛽1, 𝛽2

Giải bài toán cực trị hai biến ta xác định được:

Trong đó: _ _

;

10

𝛽2= 𝑋𝑖𝑌𝑖− 𝑛 𝑋 𝑌

𝑋𝑖2− 𝑛( 𝑋)2= 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑥𝑖2

𝛽1= 𝑌 − 𝛽2𝑋

VÍ DỤ: Cho số liệu về thu nhập (X – trđ/tháng) và chi

tiêu (Y – trđ/tháng) của 10 người như sau:

Hãy xây dựng hàm hồi qui

Y 4 4.2 5 7 3.5 4 6 4.6 7 8.5

11

𝑌𝑖 = 𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑖

12

STT X Y X i Y i X 2

1 5 4 20 25

2 6 4,2 25,2 36

3 10 5 50 100

4 15 7 105 225

5 4 3,5 14 16

6 7 4 28 49

7 9 6 54 81

8 8 4,6 36,8 64

9 11 7 77 121

10 16 8,5 136 256

Tổng 91 53,8 546 973

9,1

i X X n

Y n

 

56, 42

x y  X Yn X Y

^

( )

i i

x



 





2 2 ( ) 2 144, 9

0, 3893



Hàm hồi quy:

⇒ 𝛽1= 𝑌 − 𝛽2𝑋 = 1,8373

𝑌𝑖= 1,8373 + 0,3893𝑋𝑖

Trang 3

2 Các giả thuyết của OLS

a Giả thiết 1

- Quan hệ giữa Y và X là tuyến tính

phân tích hồi qui là phân tích hồi qui có điều kiện)

b Giả thiết 2

=> không ảnh hưởng hệ thống tới giá trị trung bình của Y

13

c Giả thiết 3

( i| i)

Var U X  const

14

d Giả thiết 4

Không có tương quan giữa các Ui (giá trị Ui là ngẫu

nhiên và không ảnh hưởng tới sai số của quan sát khác)

e Giả thiết 5

Không có tương quan giữa Xi với Ui

f Giả thiết 6

( i, j) 0,

Cov U U  i j

( i, i) 0

15

Định lý Guass- Markov:

Khi các giả thiết được đảm bảo thì ước lượng bằng phương pháp OLS là ước lượng tuyến tính, không chệch và hiệu quả nhất của hàm hồi quy tổng thể Hay gọi là BLUE ( B est

L inear U nbiased E stimators)

16

3 Hệ số xác định của mô hình

Tổng bình phương toàn phần (TSS: total sum of squares)

2

TSS=y =(Y -Y) =Y -n Y

Tổng bình phương hồi quy (ESS: Explained sum of squares)

Tổng bình phương phần dư (RSS: Residual sum of squares)

17

𝑅𝑆𝑆 = 𝑌𝑖− 𝑖

2

= 𝑒𝑖2

3 Hệ số xác định của mô hình

0

SRF

Y

X

ESS

TSS i

Y

X Y

i

X

RSS

i

Y

Ta có thể chứng minh được TSS = ESS+RSS (bài tập)

18

Trang 4

3 Hệ số xác định của mơ hình

Hệ số xác định:

+

+ Với: đường hồi qui phù hợp mức hồn hảo

+ Với: mơ hình khơng phù hợp với mẫu ngẫu

nhiên

2

1

R

  

2

1

R 

2

0

R 

2

R

19

Tính hệ số xác định của mơ hình

Thu nhập X 5 6 10 15 4 7 9 8 11 16 Chi tiêu Y 4 4.2 5 7 3.5 4 6 4.6 7 8.5

3 Hệ số xác định của mơ hình

20

𝑖= 𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑖

21

STT X Y X i Y i X 2

1 5 4 20 25

2 6 4,2 25,2 36

3 10 5 50 100

4 15 7 105 225

5 4 3,5 14 16

6 7 4 28 49

7 9 6 54 81

8 8 4,6 36,8 64

9 11 7 77 121

10 16 8,5 136 256

Tổng 91 53,8 546 973

9,1

i X X n

Y n

 

56, 42

x y X Yn X Y

( ) 144, 9

2

314, 3

i

Y 



2 2 2 ˆ

ESS  x i  21, 9602

 2 2 i

TSS Y -n Y  24,856

0,8834



4 Hệ số tương quan của mơ hình

Hệ số tương quan r dùng để đo mức độ chặt chẽ của quan hệ tuyến tính giữa X, Y.

Công thức của hệ số tương quan là:

i i

x y r

 

Có thể chứng minh được:

Trong trường hợp này dấu cuả r trùng với dấu của

2

r   R

22

𝛽2

Tính chất hệ số tương quan (r).

- r có thể dương hoặc âm, dấu của r phụ thuộc vào dấu

của số hạng trong tử số hoặc

- r nằm từ –1 đến +1 , nghĩa là:     1 r 1

- BaÛn chất của r là đối xứng ; nghĩa là hệ số tương quan

- Nếu X và Y là độc lập theo quan điểm thống kê, hệ

số tương quan giữa chúng bằng 0; nhưng nếu r = 0, điều

đó không có nghĩa là hai biến này độc lập.

2

ˆ



23

- r chỉ là đại lượng đo sự kết hợp tuyến tính hay là phụ thuộc tuyến tính; r không có ý nghĩa để mô tả quan hệ

hệ chính xác nhưng r = 0.

- Mặc dù r là đại lượng đo sự kết hợp tuyến tính giữa hai biến, r không ngụ ý là có bất kỳ mối liên quan

nhân quả nào.

24

Trang 5

r > 0 thì X ,Y có tương quan thuận (tương

quan dương) Tức X tăng thì giá trị trung bình

của Y tăng; X giảm thì giá trị trung bình của Y

giảm

r < 0 thì X ,Y có tương quan nghịch (tương

quan âm) Tức X tăng thì giá trị trung bình của

Y giảm; X giảm thì giá trị trung bình của Y

tăng

25

r = 1

0 5 10 15 20 25 30

26

r = -1

0

5

10

15

20

25

30

27

r > 0 và gần 1

0 5 10 15 20 25

28

r < 0 và gần 1

0

5

10

15

20

25

29

r > 0 và gần 0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

30

Trang 6

r < 0 và gần 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

31

r = 0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

32

X và Y có quan hệ phi tuyến r = 0

0

5

10

15

20

25

33

Tính hệ số tương quan của mơ hình

Y 4 4.2 5 7 3.5 4 6 4.6 7 8.5

34

R TSS

 0,8834 Do 𝛽2 > 0  r 0, 9398

Ta cĩ 𝑆𝑅𝐹: 𝑌𝑖= 1,8373 + 0,3893𝑋𝑖

𝑌𝑖 = 𝛽1+ 𝛽2𝑋𝑖

III KIỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY

1 Các đại lượng ngẫu nhiên

a Đại lượng ngẫu nhiên Ui

Theo giả thiết trong phương pháp OLS thì giá trị trung bình

lượng bằng phương sai mẫu

35

𝜎2= 𝑒𝑖

2

𝑛 − 2=

𝑅𝑆𝑆

𝑛 − 2

a Đại lượng ngẫu nhiên Ui

Ta cĩ

Y   X U

Vì Nên

36

𝑈𝑖~𝑁 0, 𝜎2

Trang 7

b Đại lượng ngẫu nhiên 𝛽1, 𝛽2

𝑇𝑎 𝑐ĩ

𝑉ớ𝑖

37

𝛽1~𝑁(𝛽1, 𝜎𝛽

1

2 ) 𝛽2~𝑁(𝛽2, 𝜎𝛽

2

2 )

𝜎𝛽

1

2 = 𝑋𝑖2

𝑛 𝑋𝑖2 − 𝑛 𝑋 2 𝜎 2 ≈ 𝑋𝑖2

𝑛 𝑋𝑖2 − 𝑛 𝑋 2 𝜎 2

𝜎𝛽

2

𝑋𝑖2 − 𝑛 𝑋 2 ≈ 𝜎

2

𝑋𝑖2 − 𝑛 𝑋 2

b Đại lượng ngẫu nhiên 𝛽1, 𝛽2

38

1

2 )

2

2 )

𝛽1− 𝛽1

𝜎𝛽1 ~𝑁(0,1)

𝛽2− 𝛽2

𝜎𝛽2 ~𝑁(0,1)

2 Khoảng tin cậy

a Khoảng tin cậy của 𝛽2

Với độ tin cậy 1- , KTC của  2 là:

Nên

lượng bằng𝜎2

với

39

𝛽 2 − 𝛽 2

𝜎𝛽2 ~𝑁(0,1)

𝛽2− 𝛽2

𝜎𝛽2 ~𝑇(𝑛 − 2)

𝑠𝑒(𝛽2)= 𝜎𝛽

2

2 sai số chuẩn của 𝛽2

( 𝛽2−𝑡𝛼

2

𝑛−2𝑠𝑒( 𝛽2); 𝛽2+ 𝑡𝛼

2

𝑛−2𝑠𝑒( 𝛽2)

T  T(n-2) thỏa ĐK:

P(|T|> t/2) = 

-t/2 0 t/2

Để xác định t/2ta có thể tra bảng hoặc dùng hàm TINV trong Excel

40

b Khoảng tin cậy của 𝛽1

Với độ tin cậy 1- , KTC của 1là:

Lập luận tương tự như phần trên ta cĩ

với

41

𝛽1− 𝛽1

𝑠𝑒( 𝛽1) ~𝑇(𝑛 − 2)

𝑠𝑒(𝛽1)= 𝜎𝛽

1

2 sai số chuẩn của 𝛽1

( 𝛽1−𝑡𝛼

2

𝑛−2𝑠𝑒( 𝛽1); 𝛽1+ 𝑡𝛼

2

c Khoảng tin cậy của 𝜎2

Vì 𝜎2là ước lượng của σ2nên ta cĩ thể chứng minh được rằng

𝜎2(𝑛 − 2)

σ2 ~𝜒2(𝑛 − 2)

Với độ tin cậy 1- , KT C của 𝜎 2 là:

(𝑛 − 2) 𝜎 2

𝜒𝛼/22 ≤ σ 2 ≤ (𝑛 − 2) 𝜎

2

𝜒1−𝛼/22

Để xác định 2

/2ta cĩ thể tra bảng 2với bậc tự do

n-2 mức ý nghĩa /2

42

Trang 8

Từ kết quả ví dụ trên, yêu cầu tính khoảng tin cậy của 𝛽 1,

𝛽 2 và σ 2 với độ tin cậy 95%.

Y 4 4.2 5 7 3.5 4 6 4.6 7 8.5

Với độ tin cậy 1-  = 95%, KTC của  2 là:

Ta cĩ

- Tính se( 𝛽 2 )

0, 3619

0, 0024

144, 9

a) Khoảng tin cậy cho  2 :

( 𝛽2−𝑡𝛼 2

𝑛−2𝑠𝑒( 𝛽2); 𝛽2+ 𝑡𝛼

2

45

Ta cĩ

- Tính 2

/ 2

n

t

/ 2 0,05/ 2 0,025

n

Tra bảng t-student hoặc sử dụng hàm TINNV(0,05;8)

2

n

t 

Vậy khoảng tin cậy của 𝛽 2 là

( 𝛽2−𝑡𝛼

2

𝑛−2

𝑠𝑒( 𝛽2); 𝛽2+ 𝑡𝛼

2

𝑛−2

𝑠𝑒( 𝛽2)

46

Ta cĩ

- Tính se( 𝛽 1 )

b) Khoảng tin cậy cho  1 :

Vậy khoảng tin cậy của 𝛽 1 là

𝜎𝛽

1

2 = 𝑋𝑖

2

𝑛 𝑋𝑖2 − 𝑛 𝑋 2 𝜎 2 =973 × 0,3619

10 × 144,9 = 0,2430

( 𝛽1−𝑡𝛼 2

𝑛−2𝑠𝑒( 𝛽1); 𝛽1+ 𝑡𝛼

2

47

Với độ tin cậy 1-  = 95%, KTC của σ 2 là:

2

0, 361

 

- Ta cĩ:

c) Khoảng tin cậy cho σ2:

Vậy khoảng tin cậy của σ 2 là

- Tra bảng tính  2

/2 và  2 1-/2

2 2

/2  0,05/2  17,5346



1 /2 0,975 2,17973

Ơn tập kiểm định giả thiết

Trong thống kê, giả thiết cần kiểm định (giả thiết

Thơng thường người ta cố tình đặt giả thiết sao cho khả năng mắc sai lầm loại I cao hơn sai lầm loại II

H0sai Đúng Sai lầm loại II

H0đúng Sai lầm loại I Đúng

48

Trang 9

Đặt  là khả năng mắc sai lầm loại I

Chú ý: - Chấp nhận H0khơng cĩ nghĩa là H0đúng

-  cĩ thể lựa chọn tùy ý thường ta chọn

mức 1%, 5%, 10%

49

III KIỂM ĐỊNH MƠ HÌNH HỒI QUY Các giả thiết cần kiểm định gồm cĩ:

Các loại giả thiết: giả thiết 2 phía, giả thiết trái , giả thiết

phải

Các cách kiểm định cơ bản:

50

3 Kiểm định giả thiết về hệ số hồi quy







0 2 0

1 2 0

:

H







0 2 0

1 2 0

: :

H H







0 2 0

1 2 0

: :

H H

 t

f(t)

Miền B.Bỏ

Miền chấp nhận α t



t

f(t)

Miền B.Bỏ

Miền chấp nhận

α

-t

f(t)

t

2



2

t

2



2

t

 1

Miền

bác

bỏ

Miền

bác

bỏ

Miền

chấp

nhận

51

Phương pháp khoảng tin cậy

- Bước 1: lập khoảng tin cậy cho β2

52

Phương pháp điểm tới hạn ( kiểm định t)

- Bước 1: tính giá trị tới hạn

- Bước 3:

 

 





2

t se

53

Phương pháp p-value

- Bước 1: tính giá trị tới hạn

- Bước 3:

54

Trang 10

III KIỂM ĐỊNH MÔ HÌNH HỒI QUY

 







0 1 0

1 1 0

:

H

55







2 2

: :

H

Bước 1: lập khoảng tin cậy cho σ2

Bước 2:

56

Từ số liệu ví dụ trước kiểm định các giả thiết sau

với độ tin cậy 95%:









0 2

1 2

1)

H









0 2

1 2

2)

H

57

4 Kiểm định sự phù hợp của mô hình

Trong thực tế hàm hồi qui được xác định dựa trên mẫu lấy ra từ tổng thể nên có thể bị ảnh hưởng bởi sai số trong lấy mẫu Vì thế chúng ta cần kiểm định xem dữ liệu đang khảo sát có phù hợp với mô hình hay không?

58

Kiểm định giả thiết







2

0

2

1

H R

Phương pháp kiểm định F:

Bước 1: tính

Bước 2: Tra bảng tìm F(1,n-2) với mức ý nghĩa 

Bước 3: + Nếu F> F(1,n-2) : bác bỏ H0

+ Nếu F≤ F(1,n-2) : chấp nhận H







2 2

( 2) (1 )

R n F

R

59









0 2

1 2

H H

Kiểm định sự phù hợp của mô hình với độ tin cậy 95%:

60

Thu nhập X 5 6 10 15 4 7 9 8 11 16 Chi tiêu Y 4 4.2 5 7 3.5 4 6 4.6 7 8.5

Ta có : 1,8373 0, 3893

Trang 11

Ta có

- Bước 1: tính

0,8834(10 2)

60,8106

1 0,8834



Ở phần trước ta tính được 2

0,8834

R 





2 0 2 1

H R







2 2

( 2) (1 )

R n F

R

-Bước 2: Tra bảng F(1,8) =5,32 với mức ý nghĩa =0,05

-Bước 3: + F> F(1,n-2) nên bác bỏ H0

Vậy mô hình phù hợp với mẫu ngẫu nhiên

hay thu nhập có sự tác động lên chi tiêu.

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	1,54 MB