Bài tập hình học xạ ảnh (NXB giáo dục 2000) nguyễn hữu quang, 78 trang

Cliứniĩ minh rằng ý là ánh xạ xạ ảnh.. Ánh xạ nlur the dược gọi là phỨỊi chiến xuyên tám lừa lỏn h; o clirợc gọi là lãm chiêu.... Trong PM cho phép xạ ánh/'... ĩiiyéiì cùa s qua Lì trùn

C u ố n s á c h g ô m hai p h á n : P h á n ( h ú I i l i i t d à n h c h o v i ệ c l ú m c;ic kiêu

i h ũ c t r o n g c á c m ụ c v à c ạ c - d ề t o á n ờ l ừ n g m ụ c : P h à n I l i ứ lini l à viỌc t r ì n h bày

» ì •»

(lời loại I trong R* nhạn I làm cliỏni kép O i ứ n e min!) mím I ' = f'|

ỉ / ỉ G i o p ì Ti lộp hợp c á c d ư ừ i m lining cỉniịỊ ( l i <|ii;i mội diem c ò (.lịnh 0

Cùi ỉ i i A ĩ p„ vỹ ro li lĩ ánh p (lặt lưổng line A vói khỏnc gian veclổ

!- c h i ê u V ị K l i i dó la c h ọ n ã 6 V Ị , s í 0 him v c c l ổ i l ỵ i (liệu cho điểm A VÌ!

la viết A <-»• ã

M ộ i l i ỏ k đ i ể m li ong ('„ khổiiẸ (lộc lạp (lirực coi ĩĩi hệ (tiêm (lộc kịp nếu và

đ ù Ilòn h ệ v c c t ơ tlỵi <J:ỘI1 l ư ơ n g line í n I S í t } d ộ c lạp Inyiiii l í n h

M ộ i hè đ i ế m trong p„ k l i ủ n c '.lục lạp cluợc nại là hè -.nếm ịìiiụ thuộc

Hộ ( l i +2) iliòtu (Ai Ì , , , ; IU trmiụ l'„ 'lược gụi l;i /mi/ /;«/(' //rỉ/ t r o i i E

!'., nêu và chi lieu lie ( A i V,M ỉ (lộc lap và ẽ = > ã; (if cỉilv C tiỵi (iiện

T r i

t h o í: và ã í dại ti lộn cho A )

Các đ i ể m / \ ; d ư ợ c sụt là (//'«/( c ú n m ụ c l i ê n và d i ê m lí đ ư ợ c g ẹ i lít f/;c)» /li// 17 Hộ ị ã ; Ị cltrực g ẹ i lii (7/.trì ú n g v ó i m ụ c lieu ị i \ ; I'.J

iMẽnli (le Hệ (n +2) (Hem Ị / l | 'í.,+2í //»«/!« '.'He ' l ã / Í / Y i m ; p „

Ả/// và á i / A7í/ /;<// Ai' lệ con (lì + i ) ttVcw «<w r /Ít/ / / ẹ íiv (;7/),(> </<}<• lụp

G i ả sú { A j ; (ĩ) í;i m ọ i mục liêu ú n g vói CCT W { ã | Ị và X là mội đ i ế m l ũ y ý

v ó i ( l ạ i d i ê n In X K h i d ó ta c ó sự h i ể u d i ễ n X = X I ã I + + x„ n ă „ t| nẹ s ố

(Xi X., ị) d ư ợ c g ọ i là mạ (lộ c ủ a X và viết X ( X | x„ f |)

Cho c á c mục liên { A i : l ĩ ) , Ị Ui ; l;) tưổng ú n g vc'ti các cu sứ í i i ị Ị Ị bị},

khi d ó HUI hội) c h u vén A : {ã;} - > { b i } , d ư ợ c g ọ i Lì »71« Í Í W / chuyền lit { A , ;

ĨĨỊ { B ị ; F } Ta c ỏ c ù n g t h ú c d ổ i mục Itôn n h ư sau:

A.|x| = A * h ' l A * u

2.4 ơ i ứ i i Ị Ị minh rằng (lịnh nsliĩa hè d i ê m dộc lộp trotm p„ k h ô n g phụ

l l i u ộ c VÍU) viỏc chọn c á c v e c i ơ d ạ i (liên

2.5 "ĨVtiim Pi V(ji m ụ c l i ề u d ã c h ọ n , cho ba đ i ể m A ( a | , : ụ , a-ị), I3(b,, b i , b i ) ,

G ' C | , Zt, C-Ị) G H Í I I C ri Ì Ì li Ì Ì Ị A , B c.'ị (iộc híp khi và chỉ khi

2.7 T i n n y P Ị vái mục tiêu d ã c h ọ n , cho 4 đ i ể m :

AO, 1 , 0 ) ; BO,0.7); ao,"TvnyDDr^TTr""

2.9 Trong Pj d ù i m ụ c liêu { A | , A Ị , A , ; lĩ} và chu 'I ĩliểm A ( 2 I 0),

IJ( 1,0, 2 ) C ( Õ , 2 I ) 1 3 ( 5 4 3 )

1

a) Chứng minh ( A , 13 C: D Ị là mực IÍCH

b) ' I n n ma í rạn chuyên lừ Ị Ají E} sang { A , B, C; D ị

2.10 Trong P| vói Énục liOu liii c h ọ n , cho hai họ đ i ể m :

A ( l 2 ) í A ' ( 0 I )

• í ! ) : > Hít) I ) (2): > I3'(2 i)

I C ( l , 4 ) • í C ( 4 5 )

a) Chúng tui li ti rằue ( I ) V Ì I (2) (lén l à mục I ÍCH

b) Viết còng Ihúc d õ i m ụ c / Í C H lù ( I ) sai.ỊỊ (2)

c) Cho X(3, 8) T i m lựii d ỏ cùn X (ÍCH vin mục liêu Ị A I Ị (."Ị

§ 3 C Á C ni - r u À N t ; X Ạ Ả N H

Già si" p„ là kliOiié gian xa ãnỉi l i - chiều với nén V n v à song null p p là

mội t ạ p con Iroue 1',,'VÌI Vn l J , là k h ô n g , ai ỈU Ì CHU I I O I I Ẹ V , k l Nếu p lim h ẹ p (rén p cũne là mội song ánh p—* V ,„ ,1 thì In coi p là ni - phang cùn p,

• l'| dảục gụi là (lường lining tron l i ! ' ,

• I'Ị cluực gọi In /dí// I>ÌI(III<! I I I I I I Ị Ị l'„

• p „ | (lảợc cụi là siêu phỏng Ironc ì',,

• Các diêm M ị , Mk cũ ne (liuùc mội dùi me lliáne cluực gói In í •(((• (/ÍCH/

///(Ĩ/I.Q /;<;/!(;, các ilicni l i ê n c ú m : mỏi mại Ịilinnp dảợc »ọi lít cóc I lì a li ÕỒIIÍỊ

plìcìnạ

-• Bílv 2 Ì ừ cho hai pliiina I',,, và ị\, mỏi piiẩne Q cú chiều lie Itli.1l chua cà

hat pliiiiig Pn l và ỉ\ tlirực gọi là phổng itỉiiỊỊ và ký hiên là ụ = p,„ + l 'k iVlột

plume R có chiêu l á u Iih.1l n ằ m Irong p,;, và Pk clirực gọi lải pỉiiỉntỊ ạiat) và

ilirảc k ý biêu l i = p„, n l 'k

Hai phang Pm và Pit" có đ i ể m cluing (lảợc gọi là hai phỏng cát nhau

Hai phang Pm và P-< k l i ò n e có điểm chu ne (lảợc coi là hai phần? chéo

nhan

T r o n e p,j với mục tiêu tin c h ọ n phang p,„ có phảơng trình dạng:

í - : ? | | X | + + ; t | „ (.|X„ - 0

A B - m I X I + • • - + n » - • I * ! ! * ! = "

Trong l i a i ; u i k | ; i j j | = l i - m

R õ r ã i ! " P n c ó p h i K T i i g (rình lang : i | X | -r + a„ _ | X „ + | = 0 Ta g ọ i bộ số

Ú I , , a „ , , ) là l ọ n ( l ộ C:'IÍI p „ | d ố i vói mục liên d ã cho

• Q u i ý num n o n g ' Ị vói mục liêu (lã c h ọ n , l ọ n ( l ộ cúi! (lường liiiing 1|IUI

(„) = A C X í i l ) , l i = A D X ne Ì ' , Ọ , l i c ó Iluing liỉiiig khòiiịỊ? "lại s ; H ) ?

3.4 ( D i n h lý P n p p u ý l ) Già sạ a, I) lí) hai d ư ờ n g thẳng phan biệt trong p j

C í c đ i ế m A , l ỉ , c lluiộc n và c.ic (liêm A ' , B ' , c thuộc l) K h i l i ỏ các siao

đ i ể m c ù a A B ' và AM), A C và A ' C , n e và B"C lining h à n g

3.5 (Định lý Dờclác) Trong Pi cho liai laní g i á c A D C , A ' l V C (lum g i á c

'là một tạp h ạ p g ồ m 3 d i ể i n dộc lạp) N ế u c á c d ư ờ n g ihắng A A " , n B ' c c ilồne (|1!Ỵ, i111 c á c a i i K i đ i ế m cùa An và A ' D \ ne và B ' C ; C A và C A ' Ilíẵna

h à n g '

6

.Ui Trong P:,.cho ỊIHIC liêu { A , l ỉ , C; D Ị T r ê n M ĩ , ne.ri). D A làn l i r ợ l

láy c á c d i ê m M N p, Q G i á n g minh rằng uốn các tlưòue llmitc ĩVliN, A C ,

PQ d ò n g qui Hù c á c dường thẳng M Ọ , [3D N I ' cũng đổng q u i

,-3.7 Trong PỊ với mục tiêu dã chọn { A | , A T , / V I , À*; n), d i u mãi phảng Ì'

có p i m ư n e trình ax Ị + r.,| = í) ' I n n a đ ổ ì' ciíl lĩ lụt phang ( A | A2A i ) llicd m ộ '

(.luông ll'.ang *

.: 8 Già s ù k h ô n g giun liền cún phíiiic I ' và phảng ọ Imne 1», l ư a IU im" là

V i , v 'f J

Clhữiic minh rằne nền cũn p + Q là V,r4-V,j và nềncim-m^vQ-là Virr"^

v,y.-' 2.9 Trong p„ cho hai cãi phang l v,y.-'r VÌ! Q, G i à s ù tlim(Pr + Q,) = |), clim(P,

Hãy láp p h ư ậ n g Hình mật ịiliằnc p qua A và p chưn n

3 1 4 Tro li Ị; P| V('ii mục (idii tin chọn, cho c:íc iliổin A ( l , 0 -2 0)

DU) 1 3 0 ) C ( 2 1 , r I ) , Dụi.ú Í - I )

Xét vị (rí liíậnc d ồ i cùn hni dtrừim i h ẳ n e A U v à CD

3 1 5 Cho Ị A ị , , A | A „ * i ; EỊ là một mục liêu trong p„

lì) L i p piiuoiig Irìnii cùa phang !' (li qiiii A , Ạm, ÍZ

li) I.iỊp pluruim H i n t cùa p lắng ọ (li qua A,„ , ì, A „ , , , A „ , ị

c) T ì m (lim(P + Q)

3 Ì (í T i (inn p,, cliti lam giác À ne và m ộ i dường thắng a k h à n g di qua

(linh nào cùa lam giác (ló d ứ n g m i n h n i n g luồn l ì m clirọc một đ i ể m E, sao cho (lối với mục lieu { A , n, C; É) ilirờnq lliầng a có plurmig trình

.í.17 T I O H Ị I P2, cho Im11 uiác A B C và s là m ộ i đ i ể m k l i õ i m nằm tròn A U ,

ne CA K ý hiện A " n\ c lẳn lirọl là giao điểm cùa A S , BS, c s vói ne, C A ,

AU Chứng minh rằng ÌKI !ỉiao (.nần cùa IỈC và C ' C , C A và C A ' , An và

A'S!'ihiiiitỉ Ilium

-3.18 T r o n g !»>, cho lini tam giác AI3C và AMVC sao cho A A \ m ì ' , c c ilồitu (Ịtii và A U ' , I3C\ C A ' cũng đẳng Í Ị U Ì Q i ứ n g m i n h rang cúc ciirờng Ihẳng A C , I3A', C ũ ' đẳng q u i

3.19 T r o n g P Ị , cho 6 đ i ể m A | , A i , A i , A4, A5, AF I thoa mãn hai diều kiên

S i m :

- A ị A i , AjA.ị, AjAft ciông q u i *

- A n \ j , A|A<, A,,A| dòng q u i

Cliiinc minh inne các tlirờnn liiáiiii À | A j , A-.AS, A , AA (lẳng c 111 í

ĩ.21) Troll" p, V(ii mục lieu tin c h ọ n , j i i o hai dưỡng iliAng a, li có piurnnc

T u n điểu kiện y\i a, I) chéo nhau

3.21 T r o n g veil mục tiêu cliĩ chọn, I.lio (lường tháng ii có plurcmc trình:

Vù chi) dường tháng I) có I'lufoni: h ì n h ị '

; " I X , =0

a) Oiứii<: minh riu Ì ù a, ì) chéo nhau

b) G i o điểm A ( i , 0, Ì , 0 ) Viết phưoim trình (.tuông Iliiing c (|Uii A và

Nêu l i sỏ kép ( A D C D ) = - I !;i Ile 1Ì A !ỉ c Đ là Iiiing diêm (liêu hôn

IVOIIB P - , m ù i liìnl) c ố m 4 dưỡng iliiinii mà kliôiia có Un (liiồiiẹ NÍU) ilứiiG

CỊUÌ íiọi là hình 4 ((/;;/; toàn phần M ồ i (.liíúne lliẳnc cluực gọi là m ộ i canh

(4 canh) Giao (litim cùn hai cạnh (lược n ạ i là dinh \(i ilínii) I l i i i đ i n h không

llmOc m ò i canh (lược g ó i Hi cặp (linh (lài (Hèn (3 cặp) Dnờim (háng (li <|ii;i

mọi cộp t l i n l i (lôi (liệu (lược ỊỊOI là lim)/!?, chéo iĩ (Itíònt: chéo). CiiiU) (liêm cún

liai ỊIKÌ»I!1Ỉ chéo iluợc liọi lù ái ấn chét/ iỉ diêm d i ê m

Ta coi mót chùm siêu piiiiiiỊỊ Irone Ì'.,, (ló là mõi IÍỊ|) hạn g ồ m Ifll cá các

siêu phang C Ì I H Ị Ị di qua m ộ i cái (li -2) - piiMUỊi. Giá sú l \ ọ R, s IM 4 siêu

pliiiMCTÙn m ò i c l i i m i In c f i n c ctí sự hicn (Hôn:

M ệ n h (lề: Niúi lồi l iiínn p, 0 R, s hòi một (liiòiHỊ IIHUIỊỊ c ới cúc "tao

(liềm iướntỊ Ú/Iii Á lì, c ũ thì la vó:

a ì* Tun ^ ĩ tíciìVihang.diém N, SAO cho ( M N U V ) = - I n o n g dó l i V lì

ý a o diêm cửa MK^-tìi li, b

* J L Trong Vi c i ' » n a i < I u ( « i p thẳng a h ( t a n M ạ vi, điểm M kl«M.ji t l ư ộ c

a K Hai òuCii diảrtí W B1- biến lhiồ:i qua M cải a lại A A ' và cái b lại 13

B' lương ung T i m VJJI ifciv jrao điểm N cùa A B ' và A ' B

4 9 (Định lý MCnôÚuýl) Tronn P,, cho lam giác Ạ Ị A Ị A , VĨ! mủi dường

lluiivj d k l i ỏ n c (.li q u a c á c clìiiìv c ù a l a m GIÁC dó

Ký hiụn K Ị = d X A | A : , K : = li X A 2 A , , K , = ó X ,v,.\,

Giã sư L | L Ị L ( l ã i '-116111 lẳn luọt tr'ili A 2 A u A , A | , A | A j

Chúng tiiinli rằng L , , ụ , L i lìiảim IiìiiiỊỊ khi và c:ii khi

( A V K , L i V A - À j K J ^ J ( \ , \ , K , L o - I

-Ì l o (Định lý X C v a ì , Vùi c á c già thiết niur 4.9 Chúng li.inh rằng các duừng (hảng A ị L ị , A : L ; ,

A Ị L Ị A Ị L I d ò n c ụity khi V Ĩ ! chỉ khi

( A 2 A , K | - L 4 ) ( A t / \ ( K Ị ! ->).( A | A - I K Ị L I ) — -1

4.11 Trong P-, c h ò lun dường lliiiiie ít b c a i nhau lại A Trôn i i la !ílỵ

3 iitim B. c. D Trôn b l a lay 3 điểm tỉ', c. ! ) ' G i ữ i i ẹ I 1 1 I I 1 Ì Ì r í i i i ụ rúc cltrtme

l i n i n g BO*, cc\ DD" đổng quy khi vã chi khi ( A U C D ) = (AH'C"l.n

§ 5 Á N H XẠ X A Ả N H VÀ B I Ê N D O I X A Ả N H

MỌI ánh xạ í: P„(V, 1 ( ,) -> P , l V i w l) (lược cụi là ánh xạ xạ tinh nêu lúm ta

'.im liuuc m ỏ i ti Ang c ầ u l u y ế n lính <p: v„ *„, - > - V a M s a o c h o â i à (.lại d i ệ n c ù a

V ĩ p t h i <I)( ã ) IÌI d ù i i l i O n c h o ƯA)

- Anh xạ tp nói trên d ư c c gọi tò ánh sạ nén cua í"

- Khi p s P" la nòi r (ù mội biên dổi xạ n u l l , hay phép xạ mũi

Mụnh d ể : Già sứ {Á ; É) hì mục nâu trong r„ và [A ; lĩ) là mitt -.lén

HOI ĩ p „ Khi dó lổn lọi lim- nhũ) mọt ( M i / , V Ị ; / r„ - » /' , ĩ<w <7ir;

/ l i i = / » j , ỉ = i 2 / r + l và HE) =

Nhận xét: • / c ó nén 111 hì À O cĩiim a i nen cùa /'(V/ = 0)

• Già sù r.„ l à m ủ i | ì l i ; i u g I m n c p., t h ì / ? p , „ ) cìiii£> lít t u - p h a n g

!!

5 1 Cllững minh rạng iíi»l> xạ xụ ánh / : p„ -*• p„biè'n hệ điểm dộc iủp

llìàuh h ê đ i ể m (lộc lập, biến hộ đ i ế m phụ thuộc thành hộ điểm phụ thuộc

5.2 Ký hiệu j i , l;\ lạp họp tất cà các phép xa ánh p., Giứng minh j Jn !h

m ộ i n h ó m (đổi vãi các phép [oán tích các xạ ánh)

5.3 Trong l\ cho hai dường thẳng a, b phợn biệt và 0 là một điểm không

thuộc :i, b M ỗ i (luông ihẳnR in (lua 0 cắt a ờ A vò CÁI b ờ R

Xét ánh x ạ / : a ->• I), / ( A ) = B

Cliứniĩ minh rằng ý là ánh xạ xạ ảnh (Ánh xạ nlur the dược gọi là phỨỊi

chiến xuyên tám lừa lỏn h; o clirợc gọi là lãm chiêu)

SA T r o i r t j 1\ cho hai (.lường lliầiiỊị ii, l i cùi I)li;iu ờ ì và cho ánh \» xạ Anh

Ị: n - b

í.liứng m i n l n m i g / l i i phép chiếu xuyên Kim kin và chì khiy(l) = I

5.5 O m a n ininh phép xạ ảnh hào lổn lý sổ kép c ù a 4 didui Ihnng hang 5.6 Già SỪ {/V,, A Ị , À.,; lĩ) Ì Ti mục lieu trong Py Viết p l n K T U Ệ trinh phép lliấu xạ có nền l;YA,A->

5.7 V ớ i gìn lliiết như ù (Bài 5.6 v à / không phiu Ih phép dợng nhít Chứng

minh rằng / c ó I điểm kép s và nêu in là ilưtoig tháng qua s liu Xin) = in

5 8 Cho { A , , A , ; lì} là mục liêu nong p, Cho phép xạ á n h / , b u i A |

h * A Ị ( Ì , Ì ) , A j 1-» A 2 (2, ỉ ) ; C H Í I Ĩ ' I 4 , Ì), l l i i y viết phương trìiilt c ù a /

5.9 Trong l'j vói mực tiêu tin chọn, c!i(> các đ i ể m A | ( I , 0 , 0 ) , A i ( l , l , 0 ) ,

A,(0 Ì Ì ) , Ă4( 3 3, l ) ; D , ( l 2 0 ) mo, ì 2), B,(2, 0 , I ) D4(4 5 3 ) '

a) d ứ n g minh { Ạ , , A i , A-I, là m ụ c liêu

b) Viết phương trình phép xạ n u l l / biết A i —> Bj, i = I , 2 3 , 4

5.10 Tì in đ i ể m kép cùa phép xạ ảnh / có phươnc (rình như sau:

r

kx Ị = 2.17 +• Hy

k X j - = I x , - í - X ,

• 5.11 Với giiì Iliiíl nhu bài 5.10

n) Cho điểm M ( 0 , 1 2) Hãy l ì m M * = A M ) ,

bì a i o i l ư ờ n e thang li = ( I 1 ì ) T ì m d* =J\ứ)

.5.12 Troi!!! pỊ vói mục tiOu Ỉ A , , A i , A i ; E Ị , cho hai ckùmc thane

ai.1.1.1) a"(5, 0, 2) và cho các điểm A ( 0 ! , l ) , 13(2.-1,2), C ( U U ) A ' ( 0 , 4 , 3 ) , B'í-1,1.7), C ' ( 4 , ! , - 4 ) Hãy láp phươiic Irìtih phép xạ i ì i i l i / b i ế u a, À , B c

IIKTIIE ỏnc thành à", À * B \ c

5.13 T i m piurơnc trình phép xạ ánh / trong p „ , biết các dinh m ụ c l i ô u A i cùa mục liêu { A;; E Ị dược biến thành chính nó

3.14 Trong PM cho phép xạ ánh/' iiiếl Ị hiến m ụ c liêu ( I ) thành m ụ c liêu

'2) Cliúne minh rằim liến (Hem có lọn d ỏ ( X j ) d ố i với ( I ) dù / ( X ) CŨIIC c ó lọn liu ù j ) d ố i v ó i ( 2 ) - -

' 5.15.'Trong P2 vói mục liên { A j ; t i } cho 4 dỏưiIE thang ĩ i | ( ( ) , l l ) ,

a-( 1,0,1), 1.1,0), (,,(1,1,1) Lạp p i t u u i i g I r ì n h p h é p xạ ải l í t / c ủ a l ' 2 biêt:

M A , ) = a| AA.,A,) = i N / ( A , A j ) = = a<

S6 NGUYÊN TÁC DOI N Í Ỉ Ầ U

Trong P2 In cỏ' (lịnh mục liêu ( A , À , , * , ; l ĩ } K ý hiệu p * I í Ì tạp h ọ p l.ni

en các siôu pliẳng (rung p„ V Ì ! cho null xạ q: l'„ -* p„

X(xj) M q(X)(*i)

13

Hay g i ò la xót ánh xạ ( Í : M - > M ( ờ (lily M là lộp lất cà c;íc in-plinnc p„

c ù a p„ v ó i n i < l i , a (P,„) = Q q ( X ) KI lĩ iló ánh xạ a dược g ọ i là phép dối

X e | ' „

vực c ủ a p„

M ệ n h d ể

+ a hiển p,„ mành p„.,„.,

+ a háo lổn quan hệ liên thuộc

NnjivJn lắc dối ngẫu: G i à s ù A là m ộ i định lý cùn h ì n h học x ạ lình t r ẽ n

p„, nói vẻ c á c m - p i i ẳ n g và c á c quan hộ liên ihuộc giữa c h ú n g N ế u none A la

thay c á c ììí "u>-niii:mg" hằng l ừ " n - m - l phang", còn lát cà các lù k h á c d ể

I i c i i y è n , 11 lì líi (iược mót (lịnh lý m ờ i Á ' Định lý A ! dược soi là Định lý dối

(i.3 P h á i b i ể u (iịnli ỉý d ổ i n e ẫ u củi! định lý sau:

" (v) i i i i hai t i i c n i A , 13 piiAn biệt ti0111* ỉ ' , luôn c ó m ộ i và chì m ộ i (lườnc

t h ầ n e "

6.4 Phát b i ể u (lịnli lý d ố i ngẫu của định lý Đ ờ d á c

6.5 P h á t h i ể u khái n i ệ m d ố i ngẫu c ù a khái n i ệ m " h ì n h 4 cạnh loàn p h á n "

6.6 Phác b i ế u khái n i ê m ( l ố i ngíìu cùa khái n i ê m " l ý số k é p của 4 đ i ể m

t h ẳ n g h à n g "

6.7 Phát b i ể u khái n i ệ m d ố i li p tì li cún khái niệm 'lùme iliiìm cỉiéu h ò n "

5 trong Pi dược gọi là dường hác 2 '

s Irciig P_1 dược eọi là mội bậc 2

Nêu ỊAỊ * 0 s d ư ợ c coi là siêu mật hác hai khùng SKV hiến, còn nếu

ỊAỊ = 0 thì s d ư ợ c gợi là JHV biên

Trong PỊ n ế u d ư ờ n g bơc hai s k h ù n g suy biến vá s * 'Ị) li lì s d ư ợ c gọi là

:òniv Đ ỏ i với m ỗ i s i ê u m ã i b á c i i a i la l u ô n tim d ư ụ c m ộ t m ụ c n ê u m ị i ! sao

cho d õ i với m ụ c l i ê u n à y , p i i ư o n e trình s có dang:

x í + + XÌ x ì , , \[„ = 0 : k + r < n + l ^ Pliuơng trình dơng trên g ọ i ìn piu(i/iĩĩ> ninh chinh lắc n i a 5

-Giả sử s c ó p h ư ớ n g trình [ x | * A r x l = 0 IJ(U| ơ, ^ | ) là m ộ t đ i ể m cùa p.,

Nếu c ó si i u piiiiim ị u I * A Ị X Ị = 0 ĩ 11 ì In nói siêu phang :iàv là siêu phồng dôi

í lit: cùa LI Ta ký ì Ì ĩ ệ LI s i ê u phiine '.iỏi cục cua điển) V là H i , K h i đ ó diem lì

; ũ n ẹ dược zọ\ là cúc diêm c ù a í!,:

Trong i r u ờ n g hợp [ u j * A | x j = u k h ô n J x á c dinii uiciiĩa là c á c iiệ s ù biínơ 0

:;lt c r ) thì lu n ó i LI là (.nịm k ỳ dị c ù a 5

N6u l thuộc s u khỏne phin là đ i ể m kỳ dị thì d ư ợ c g ọ i là siêu

piwii" tie;.' xúc v ớ i s l ạ i u , M ò i ( l u ù i m ihằiig a Irtĩĩic í 1(1 ciĩ qua u ( l ư u c s o i là

í/é/7 Í t í v é / I cún s D i ê m u d ư ợ c gọi la ích ,iie)n

Định lí' G/í/ sù (luông ihẵiìỊỊ í li qua Ư CHI r i , , 'ợ/ '•'/ cỡ/ a tyi :,„ị , / / / „ ;

l /? Khi dó (AỈỈUV] = - I

Hai đ i ế m l í V n ú i t r o n e d ĩ ni t lý n à y đư ợ c ơ ọ i là vi;; ứ / c H ! / i ẽ / / / | « J đ ô i

với s

Đ ị n h l ý ĐtíOTiq r/irí/i? í là tiếp tuyến của s khi và chi khi l Cắí -S tại hai điếm trùỉKỊ nhau

ĩiiyéiì cùa s qua Lì trùnq vùi các ti ườn q thẳng nối u với các điểm cùa

nvns

Hài ( ộ p

7 1 Hãy l i ệ t kè c á c d ạ n g c h í n h lắc c ù a d ư ơ n g bậc hai s trong P-

„ 7 2 Đ u a c á c d ư ờ n g bộc hai Irong PT sau day về (lạng c h í n h tắc:

7.6 Chứng minh'rằng: l í s I ly till V e I

7.7 Chứng minh rằng khái niệm "siôu phung doi cực" là một bất biến xa

7.S G i à sù A là đ i ể m kỳ dị củ;vS và 13 là diêm bất kỳ c ù a s G ú í n g minli rằng dường thẳng A B nằm trẽn s

7.9 Trong P2 cho s c ó phương Irìtih x ,:- x ỉ -í- 2\ 2 \x = 0 Hãy tìm điểm u

dong c á c trường họp sau dAv:

7.11 Trong P2 pho d u ù n g bác hai s và lam giác A B C tự d ợ i cực M ộ t

tlưùng thằng m cắt Be, C A A B lổn lượt lại p, ọ , R ( k h ô n g trùng vói các d ì n h r

cùa tam giác') Già sù P' Ọ ' R ' là c á c diêm íữaue, ứng Hầm trẽn BC CA A B

và theo i l i ứ tự l i ề u hợp v ó i p Q, l i d ợ i vói 5 O i l i n g minh rẳtm c á c duờne

thẳng Á P ' , D Ọ ' , C R ' d ô n g q u i

7.12 Trone p2 tam g i á c A B C dược soi in (lôi cực của tam g i á c A ' B ' C " d ợ i vói cỏnic s nếu D ' C , C A ' A ' B ' làn Itrựt có cực điểm là A B, c

Chứng minh l ẳ n g nếu tain aiác A B C là d ợ i cục cùa tam giííc A ' B ' C thì

lam g i á c A ' B ' C cung là dôi cực cùa lam £Ì;ic A B C

§s CÁC ẢNH XẠ XẠ ẢNH GIŨA CÁC HÀNG ĐIỂM VÀ CÁC CHÚM

DUỜNU THẢNG TRONG MÁT PHANG XA ẢNH

Tập h ạ p líu en c á c đ i ể m c ù n g thuộc một duờne thằng in dược gọi là m ó t

liủn% di ếm vù ký h i ệ u bởi { m } , dường lliiing in dược gọi là cùn hàng d i ê m

ủy

Á n h xạ từ m ộ t h à n g d i ê m lên một hàng điểm (lược g ọ i lã áiiiì xạ xọ ánh nếu n ó b à o l ổ n lý sợ kép cửa bái kỳ 4 diem tửu Anh xạ xạ ảnh l ừ m ỏ i h ù n g điểm lân mội h à n g đ i ể m dirợc g ọ i là phép phổi cảnh nếu c á c dường thằng n ợ i

các cập đ i ể m lương ứng đ ổ n g quỵ tại một diêm (lức là n õ là m ọ t phép c h i ê u

x u y ê n tam) Đ i ể m c h u n g d ó dược g ọ i là lãm phối rành H à n ? đ i ể m { m } ứng

M ệ n h d ể Liên hệ xạ lình ị ỹưa hai liànạ (liềm 'tà phối cành khi '.'à chi khi

ỳao điềm cùa hai qiá lự ŨIÌỊỊ (tức là điềm ẹiao này là một điểm kép của ánh

và Itíc n à y (a g ó i hai c h ù m (S) và Ị S ' } liên hệ xạ ánh vãi nhau, trong trường

h ạ p / l à p h é p p h ô i d i n h thì nói ịS) và { S ' Ị Hãn hệ piiổi cành vói nhau và

v i ế t :

{ S } = {S'}

I

M ệ n h ( l ể Liên hệ xạ ảnh f ỳữa hai chùm (lirờnq thàniỊ là phoi cành khi

và chì khi (lườiKỊ lltầiHỊ nôi 'nai lâm ;ự úiiq (túc ciườnq thẩiHỊ này lá dướn? ỉhciiHỊ kép cùa ánh xạ f )

Đ ị n h lý S l e i n e

Thuận: Tronq mật phđiUỊ xạ ánh cho hai chùm dườnq tỉiãn<> {/4ị}, {A 2 )

18

có các tám AỊ, Aỵ tà hai diêm phàn hiệt Nến Ị: { / t | } { / l2} là ánh xạ xạ ảnh mà không phải pltép phôi cành thì quỹ tích giao điếm cùa các cặp dườniị

lining {Hơn? ứnz troiu> ánh xạ đó là mọt tlườnẹ cúnic đi qua / t | và Ai Cònic

nàv tiếp xút: vói dưới!? thànẹ J{AỊA-,) tại / 12 và tiếp xúc vái dưởnạ í/i«;i? f'\i\ 2 A{) tại Aị

diêm biến thiên trên s thi ánh xạ f; ( / l ị ) —> ịA 2 } lử chùm { / l ị } tiến chùm

[Ai},

phép phổi cành)

Hài t ậ p

• 8 1 G i à sử 0 , 0 ' là hai đ i ể m d ã cho: { 0 } Ã Í O ' } ià m ộ t l i ố n h ệ x ạ ảnh

giữa hai c h ù m d ư ờ n g l l i ẩ i i c ; à là m ộ t d ư ò n c thẳng khửim đi qua o A ' là m ó t

đ ư ờ n g thẳne không d i q u a 0 ' X é t á n h x ạ :

ỳ": h à n g đ i ể m { A } —> !iài:c d i ể ĩ n ( A ' ì

:;ac dịnii n h ư sau: vói M 6 ủ ta lítv M ' = / í M ) = y r< / ( O M )

a) Clu'rim niiiili rồng / t à m ớ i liên xạ mill d ũ a hai h à n e d i ê m í ỏ !

v ớ i dU'tug thẳng cìe ( 0 | , M = c l n i n M ' =J{M), ta iíty 7(d) = O ' M '

a) Chung m i n h r ằ n g / ià m ớ t lính xạ x ạ ànii

b ) V ớ i đ i ể u k i i ì n n à o Li lĩ / là p h ô i c à n h ?

8 J Trong mật phung ,xạ anil Pi cho p h é p t h â u xa F vái Min In o và n é n là A; á là mớt dường Clang t r o n g Vi và l i " = F(dv, / lã thu hẹp c ú n F tròn d,

!9

M i , M , llieo thư l ự Hẳm I r ẻ n c á c d ư ờ n g i h ả i i g E 1 E 3 , E3E | , E|E-> Chứng m i n h

rang n ế u c á c đ ư ờ n g t h ằ n g E.Mj dỏng q u y (lù c á c dường thảng Ả j M j

(i = Ì , 2, 3) c ũ n g d á n g q u y

8.5 T r o n g mái p h ả n g x ạ á n h cho c ò n i c s và hai đường thẳng A và À ' p h à n

biệt, k h ọ n í ĩ c ó đ i ể m c l u i n g với s T r ê n s cho hai đ i ể m A , B phan biẻt, c ố

d i n h T a x â y dựng á n h x ạ / : A - > á' n h ư sau: vói M e A ta gọi giao đ i ể m t h ứ

hai c ù a (lường lliang A M v ớ i s là X (nếu A M là t i ế p luyến c i i a s t h ì l ấ y

X = A ) ; d ạ i M " = UM) = R X n i ' (nếu X 3 M thì l ấ y BX: là t i ế p tuyến c ù a S lai B)

8.7 T r ồ n g m ặ t phang x ạ Anh cho c ò n i c s, hai d i ê m À , B cố dinh trên s v à

m ộ i đ i ể m cỏ" (lịnh ì ' k h ô n g mun ircii s Qua ì ' v ẽ d ư ờ n g lltẳiig tlhav d ọ i ) cất s

l ạ i M VÌ1 N ' l ì m quỹ lích c á c đ i ể m Ì = A M r\ B N , K = A N P i B M

8.8 T r o n g m ậ l phang x ạ Anh cho crtilic s và m ồ i dường thăng cl k h ô n g c ó

đ i ể m c h u n g v ớ i S; A v à B là hai d i ê m cá (lịnh trên S; X là m ộ t đ i ể m b i ế n

thiên trôn ti K ý h i ệ u M là giao ilicin li lữ liíiĩ cĩia s với A X (nếu A X là t i ế p

l u y ế n c ù a s thì lấy M = A ) K ý h i ệ u N là giao đ i ể m thứ hai c ù a s v ớ i BX ( n ế u I3X là t i ế p l u y ế n c ù a s l i u l á y N = B) T i m q u ỹ tích giao đ i ể n ì c ù a A N v à

13M ,

20

§ 9 Đ Ị N H L Ý P A X C A N VÀ BỊNH LÝ B R l A i N d S Ò N C

Trong m ậ t phảng xa ả n h m ộ i tạp hợp 6 dường thẳng kể theo l ! i ứ l ự a, b c,

d e f, trong d ó k h ô n g c ó 11 ri ĩ đường n à o (rùng nhnu dược g ọ i là một hình (ì

l ạnh Sáu dường lining d ó dược gọi In c á c cạnh M ỗ i cặp ít và t i , b và e, c và

í dược g ọ i tò một cặp cạnh đỏi diện C á c giao đ i ể m f na = Á a n b = 13,

ú n c = c, c n ti = D,' d n e = E, c n f = r dược g ọ i là c á c dinh cùa- lùnii 6

cạnii d ó

Trong mãi phang xa á n h m ỏ i tạp h ơ n 6 đ i ể m k ể theo lint lư A R c D E

F 'rong d ó kliòng c ó hai đ i ể m nào t r ù n g nhau dược g ọ i ià m ọ i 'ninh (ì (linh

~Sáu dỉểriniS"<.Tũộcgộriẵ~cãcT/í;i/i."MẹỈ cập A vn D 13 và rỉ, c và F dược gọi

là mọt cập dinh đổi diện C á c dường thẳng FA; AO; DC; C D : DE: EF dược

Đ ị n h lý Paxcan

•- Thuận: Nến mật hình 6 cạnh nội tiếp dược mội cứnic {lức là các dinh cùa nó củng thuộc một cỏnic) thi 3- ịìao điểm của 3 cập cạnh dổi diện nằm tri lì mật ciuòití' lỉiắinỊÌốợi là dướnt; iltẳntỊ Pa.xc.au cùa hình ri cạnh đủ)

• Dáo: Nêu 3 vào diêm cùa 3 cập cạnh dối diện cùa một hình 6 cạnh cun? Hầm trên một dườnố ĩliẩng thì hình (ì cạnh dó nội tiếp một cônic

Định lý H r i ã i i g s ò n g

- Thuận: Nêu một hình 6 dinh ngoại liếp dược một cônic (tức lờ các cạnh cùa nó c ù / i ẹ tiếp rúc vói mật cônic) thì 3 dưừnố thang nùi 3 cập đinh đôi diện cùa nó dóng, quý tại một điềm (%ọi tà diêm Brỉăngsỏnạ của hình 6 íỊỉiĩh

íiv)

- Dào: Nếu im dường tliảnạ nối ì tạ'/' C''V" í l a mội hình 6 dinh

ÓCIIĨỊ quv tại một điếm thi hình ỗ àinlràrHỊỊvại liếp mọi củiiic

Hài t ạ p

9 1 Sừ dụng c á c ký h i ệ u n h ư trong phán tóm l ắ t lý thuyết ủ trên, h ã y d ù n g

hình vẽ dể minh họa H ỏ i đ u n g dinh lý Paxcnn trong c á c trường họp sau day:

1) C á c đ i ể m A B C D E F dôi m ô i phan b i ệ t

2) Trong số 6 đ i ề m A , B, c D, E F c ó \ 3 ũ v à khôn g c ò n sự Irimg nhau

n à o k h á c

3) Trong sổ 6 điểm A, B, c D, E, F có A 5 B, c 3 Đ và k h ô n g còn sự

!rùiig nhau nào khác

4) Trong số 6 điểm A, B, c, D, E, F có A s B, D s E và không còn sự

ỉ rùng nhan nào khác

5) Trong số 6 điểm A, B, c, D E F có A = B, c 2 D, E = F và không còn

sự trùng nhau nào khác

9.2 Sừ dụng các ký hiệu như li ong phin lòm tắt lý (huyết ờ irèn, liãv dùng

hình vẽ i\é minh họa nội dung định lý Driăngsòng trong các trưạng hop sau

ì) Cắc giường ihẳng AO, BC CD, DE, EF FA (lôi một phán biệt

2) Trong số 6 dường thẳng A B , BC, CD, DE, EF, FA có A B = BC và không còn sự trùng nhau nào khúc

3) Trong sổ 6 dường thẳng AB BC, CD, ĐE, EF, FA có A B a B C

C D = DE và không còn sự trùng Iilinu nào kliác

4) Trong số 6 (luông '.hàng AO, ne, CD, DE, EF, VA có A n B BC,

DC 3 EF và kliônc còn sự irùnc nhau tù.o khác

5) T r a i l " sổ ó dường thẳng AB, oe, CD, DE EF, PA cỏ AB 3 DC

CD = DE EF = FA và không còn sự trùng nhau nào khác

'5)3 Cho hình 6 cạnh A Ị A2A A4A5As nội liếp cònic s Gọi Bj là giao điểm cún 2 tiếp tuyến vại s tại Ai vá A j t l (xem A7 a A | ) Nhu vây ta dược một

hình 6 (linh B|B->D.n4B5Ofi ncoại liếp CÒIIÍC S, Chứng minh rằng dirờng thẳng

Piixcan cun hình (ì cạnh A|AiAiAjA«A/, là dối cực cùa (liêm Briiìnẹsỏiig cùa

hình 6 tliiiii B , B , B , 04B , nv

r—i

HIM Các cạnh ne, CA, Aĩì cùa mm giiíc A n e tiếp xúc vại cónic s llieo.thú

lự lại các (iiỏtn K, L, M Chứng ininli rằng các ciuờng ihàng A K 3L, CM (lổng (|tiv lại mội điếm

(5)5 G i á n g minh rằng nếu hai tam giác A13C và K I M cùng nội tiếp một eônic thì duing cũng ngoại liếp một cònic

Q l í L C h o Him giiíc ABC và cồnic s liếp xúc vại DC, CA, AB lãn lượt tại À",

\ \ \ c\ Ky hiệu p = A Q n A'ĩì', Q = A C n A ' C , R = PQ n BC Chứng minh

ráng 13', c R thảng hàng

(917 Cho tam giác A R C và crtnic s liếp xúc với Be, C A A U theo ihứ tư lại

ị 919 Trong mặt phăng xạ anh cho cỏnic s và 3 diêm A B, c c ố đừnh trôn s

K là một điểm c ố dinh không năm (rén s Các đườnc tliằnc K A K D !<c tương ứng cắt s tại các điểm thứ liai !à A " , B', c* p là mội điểm biến thiên trên s Các đường thắng PA PD P C tương ứng cất B ' C \ C A ' , A'B* lại A", D" C " G u i n ẹ mirh r ằ M í ; 3 điểm A " B" C " cùng nam trẽn một dường thẳng

và dirừne tilling này luồn di qua mọi (.Hỏm c ó đừnh

9.10 Trong mặt piiíine xạ null cho cỏnic s và 6 liếp luyến khác nhau c ủ a nó là a a \ b b' c c* K ỹ hiệu A = a " I c 13 = b o c, A ' = an c" B' = b ' o c ' Oiữne minh rằng 3 đ i ể m p = n r i a' ọ = I) o I)', R = AO' r i DA' ilwne hìine

§ 1 0 M ủ HÌNH XẠ ẢNH CỦA M Ậ T IMlẢiNt; A FIN

Trone mật phảng xạ ánh I \ cho dirò.ig à Ta sẽ làm ciio tạp p,\ Á trò

iliànii mót mật phảng a f i n M u ố n v â v , Irona p^ c l i ọ n iiiột I r ụ c t i ê u x ạ á n h

?ỉ = ( A i , A I , À , ; E Ị sao cho A | , A2 € ủ khi dó A , 2 ả do dó các điểm

Xí.Xừ, Xj, Xi) 6 l'->\ủalềa c ó loa d ọ (hú ha X, và (lo dó doi với c á c

d i e m A n à y c ó the d ũ i i c t ọ a d ò k l i ỏ n ẹ lluiíiti nliííl X = ( X | , X i ) Irotiụ (lí)

X | = — , A , = — Đ ể hun c h o P Ạ <-\ trờ lliànii mãi phảng n í i n In x é t mọt

k i i ò n e g i n n v c c l ơ 2 c l i i ề u V , ( t r ê n Iriròĩie s ò iliựcJ và một cu s ò s = { ẽ | , ẽ , Ì

trong n ó ròi lạp luông ứng sau (.lay Doi v ó i bai kỳ liiii diêm c ó kô l l i ứ (ự X ,

Y s P A A mà lụa dọ không (huân I i l i i l l của ciiúng là X = ( X , X j ) Y = ( Y „ Y 2 )

la c h o ứ n g v ó i v c c l ơ Iroim V i , k ý li tâu X V , m à t ọ a d ọ c ú n n ó Irone CƯ SỪ E là

( Y | - X ừ j , ( Y 2 - X 2 ) Tạp P 2\ A CÙI1E vói mung ÚUE này l õ lìiiig llioà mãn 2-tiồn

dè cùa đừnh nghĩa không gian níin 2 ciiiểu Vạy với lương ứng Iiàv thì tập

P : \ ủ trờ tliànli mội mò hình cùa không gian-afin 2 clii4n c ó nén là khủng

gian vccto V , Ta t h ư ờ n g v i ế i crịi - i \ \ i\

Dirới (li\y là b à n g l i ệ l kè c á c l l i ể h i ệ n c ù a m ộ t sổ d ố i lượng và quan hệ

trong P2 lén aĩt = PA A

D T i ờ l ạ i với mục liêu 9? = Ị A i , A:, A-ỊÍ E } n ó i trẽn trong P Ị và CƠ SỜ

s = í ẽ ị , ẽ , } trong V Ị N g ư ờ i ta g ọ i mục liêu a i m 91 = [Ai, ẽ | , ẽ , } trong mặt phang iifin GỈ1 = P i \ A là mục liêu a fin sinh b ờ i m ụ c tiên xạ án!) ĩ l Kiềm tra

!h;Vy rang l ọ n đ ộ k h ô n g lliuíin nha', cùn m ỗ i -.liêm X é PA A ì rũ ti g vói loa đồ

C A = k C 3 (lù lay Í C A B ) = k ị

• N ế u D = ( l n A và ( A B C D ) = - i !liì Ircn mật phang níln oi Ị = P Ạ A diêm

c !à Irtmg đ i ể m c ù a đ o ạ n thang A B

6) d ư ò n e cồnic trong Ì' sẽ c ó t h ể hiện là:

- M ộ t e!íp sủa mặt phảng a f i n c r / j = p2\ A n ế u c ò n i c k h ô n g c ó đ i ế m chung

24

vjri à;

- M ọ t parabol c ù a m ạ i phang af*m <=•'-, = P2\ A nếu cònic tiếp x ú c vãi A;

- Một hvpcrbol của m ộ i plum" iifin crU = P2\ A iiCu eônie cứ chung vói A

l u i đ i ể m pliíln b i ệ t •

• l ú ý ráng trong c á c vấn d ẻ về m ỏ hình S 7 Ĩ 2 = P2\ i i [mười la thường gọi

là (.lưừiig thằng vò lùn vfi c á c ditĩm Ị ren A lí! c á c điểm vò l ạ n

Bài t ậ p

10.1 C h ú n g la d ã d ư a ra hài toán xạ anh sau uíTv:"*n7õĩĩg~iHặll'hjỊmc xạ" ánh Pi d i o tam g i á c A B C và cOnic 5 l i ế p xúc vối B C C A AI3 theo thứ tự tại

Á', ũ', c K ý h i ệ u 0 = B B ' r\ CC" G i ứ n g minh rằng A, 0 , À', nằm trốn một

liuờng thẳng" (bài toan 9.7)

a) K h i xét m ù h ì n h erh = P-.\ ( C O i l l ! bài lonn xa ánh nói irôn ứng vối

bài toán afin n à o ?

b) Già sử A ĩàr m ộ t d ư ờ n g Ihảne trong P Ị , di qua diem A n h ư n g kỊiOne có

điểm chune n à o v ó r c O u i c s K h i xét mò liìnii <=-?2 = PỳS iliì bài toán xạ ánh

nói (rền ứnc vói bài t o á n n f i n n à o ?

10.2 G ù n g m i n h d i n h lý Páptiỵi ilirứi iliìy bằng cách d ù n g m ỏ hình xa ảnh cùa mát phang a f i n : " T i o n e m ã i piiaiiE xạ ánh cho hai dường tluuie phan

A ' B ' , C" = ủ ' K h i (ló ba diem a = ŨCr\ B'C p = C A ' n C A

7 = A B ' n A ' B thang h à n e "

íl)_3 Q i ứ n g m i n i i đ ị n h lv Đòtiiíc dưối ilílv bầue cách '.lùng mò hình xa

ảnh của mạt p h ả n g a i ì n : "Troue m ã i piiiiiig xạ «itih,J?2 ciio ba (.luông \hầ[\£

piiiln biệt a, b, c đ ổ n g quv l ạ i m ộ t (liêm s ABC và A ' B ' C là hai tam

2Ìác kliác nhau sao cho A A ' s n ; 13, G'e b; C C ỉ c K h i d ó 3 đ i ể m a

= DCr> B ' i ị ) = C A rì C A ' , Ỵ = ÁUr\ A ' B * nằm trốn m ộ i dường thẳng"

10.4 c.iúne m i n h đ ị n h lý MCnêlnuvt clưối cl.1v cùa Ì lì Ì li Ì học afin: "Trone

mại phẳnc n f i n c h ó tam g i á c A | A2A i và 3 đ i ể m L | L i tương ú n g mun

•rén 3 đường thang A i A i , A , A | , A | A ; sao cha m ỏ i điếm Lị (i = 1.2, 3) không trimg vói clịnli n à o c ù a tam g i á c d ó Điêu k i ệ u càn và dù d ế L ị , L Ị , L I thảng

hà»)g là:

-( LlAi A 3 ) ( L2X j A , ) ( L v \ , A2) = I "

1 0 5 Chứng mini) đ ị n h lý X ẽ v a chrcíi (lay c ù a h ì n h h ọ c a f i n : " T r ọ n e m ộ i

phang aUn cho lam " l á c A | A - A3 và 3 đ i ể m L ị , L i , LỊ t ư ơ n g ú n g n ằ m trẽn 3

d ư ờ n g thang A-.A-,, A j A | , A | A Ị sao cho m ỗ i đ i ể m L j ( i = 1 , 2 , 3) k l i ồ n g t r ù n g với đ ỉ n h n à o cùa í am s i á c t l ó Điêu k i ệ n cán và dù d ể 3 d ư ờ n g '.hắng A Ị L I ,

A->Li, A J L J dồng lịiiy là:

( L1A , A , ) ( l :A , Al) l k i A , A , ) = - ! "

' 1 0 6 O i ứ n g minh r ằ n g Iron lị mát phang a í ì n đ o ạ n t i ế n t u v ế n íĩỏm giữa

.hai d ư ờ n g t i ệ m cùa n h ụ n t i ế p đ i ể m làm i n i h g đ i ể m

1 0 7 T r o n g mụt p h ả n g a l ì n cho liim giác A B C c ố d i n h và m ộ t parabol

biên t h i ê n liếp x ú c vời c á c d ư ờ i i c thằng oe, C A , A B t ư ơ n g ứng lại c á c đ i ể m

À ' , 3", c \ ơ ụ r n g minh r ằ n g d ư ờ n g iliẳng Q ' C l u ỏ n l u ồ n đi qua m ộ t đ i ể m c ố

dinh ( t ư ơ n g tự, m ỗ i d ư ờ n g -hằng C A ' , A ' B ' c ũ n g l u ô n d i qua m ộ t đ i ể m c ố

d i n h )

10.8 T r o n g mại phang ; i f i n cho hình b ì n h h à n h A BCD Í A B / / C D

A D / / I J C ) l i là m ộ i ( l i ế m n à o đ ó tren dường thang A B , F là m ộ i điỏtn n à o d ó liên '.iưòng l l i ắ n g C D K ý i i i ệ u G là giao đ i ể m c ù a A F và Đ E , H là giao đ i ể m

cùa IBF và C E Chững m i n h rả ne i l ư à n g thẳng G H di qua l â m c ù a h ì n h b ì n h

1 1 2 Trong mụt phang x ạ ánii cho tam giác Anc và (lường chẳng A khổng

di qua c á c d i n h c ù a n ó G ọ i giao đ i ể m cùa A v ớ i c á c òirờng thang BC, C A ,

AÍ3 t ư ơ n g ứng là A , , n,, c t K ý l i i ệ u p = 13B, n C ( \ , Q = c c , n A A | ,

R = A A , n l ỉ l ỉ ,

a) ơ u m g m i n h rằng 3 diròiig thẳng Á P , BQ, CR d ồ n g quy t ạ i m ộ t đ i ể m b) T í n h tỳ số k é p ( Q R A A | )

lồ

11-3 Trong m ặ t p h à n g x ạ á n h cho lam g i á c Ạ B C vồ hai d ư ờ n g thẳng t i ,

ú ' Đường lining d cắt các d ư ờ n g tha l g BC, C A , AJ3 lương ú n g tai c á c đ i ể m

M N , p Đường thẳng-d' cắt c á c d ư ò I g lining Be, CA, A B t ư ơ n g ứng tại các

đ i ể m M \ N \ P' C h ú n g m i n l i rằng ba đ i ể m R = MN' n A B s = P ' N n BC

Q = M ' P n A C nằm trên m ộ t d ư ờ n g (hằng

11.4 T r o n g m ặ t phang x ạ ảnh ciio 5 đ i ể m A, B, c p, ọ cố (lịnh c ù n g nám trên m ộ t c ô n i c s và M là m ộ t đ i ể m b i ế n thiên (rên s K ý hiệu

E = A B r i P M F = A C r\ QiM O i ứ n g m i n h r ằ n g dường (hững EF l u ô n di qua

một đ i ể m cỏ dinh

"11.5 T r o n g m ạ i plume x ạ ảnh ch •> 4 đ i ể m A | , A i , A i , A i crt' (lịnh và mội

l i i - M c j i t f i t (liiòii Ký li l ộ t ' M ị = O A , n A 2 A i Mị - O A , r> A , / S4

M Ị = O A - Ị r i A2A ị , N Ị = O A , r\ A | A , , ọ = M | N 2 r\ N Ị M I Chững m i n h rầm; điểm Q l u ô n nằm trên m ộ i clườniĩ l l i ầ i i Ị c ô d i n h

11.6 T r o n g mật p l i ẳ n c x ạ á n h cho m ụ c l i ề u { A | , A i , A , ; EJ Ký liiộu E | ,

É , , E , líin lượt Iít cát? G i a o đ i ể m c ù a A | E A , E A i E iưưne ỨI1C vói Ả2A j ,

A i A | , À, A i Ký liièu P là giao đ i ể m của A i A , v à £ ? E v M ọ t clưừng thẳng A di

'.lua p cắt A Ị E và A , E tirơne ÚI12 l ạ i c á c diem c và D

a) Q i ứ n e minh rằng c á c dường t h á n g A Ị I Ĩ I , C E:, D U d ò n g quy l ọ i mội diem

b) M Ị là đ i ể m biên Ihiòn trẽn A 2 A , , M - ) là đ i ể m biến tliiôn l i ề u A 3 A 1 sao clio ( A2A , E | M | ) = ( A Ị A Ị E Ị M Ị ) L ộ p p h ư ơ n g Irìnli a u ỹ tích của điểm

M = A! M , o A ;M 2 ::

11.7 n) O i ứ n c ininli m ê n h d ẻ sau (.lily: "TroiiE tnặl phiiiic xạ Anh p , cho

ba dường thằng p, tị, r đổng ( | U V l ạ i đ i ể m 0 : M i ộ t diêm c ò tlịnli A e p; mọt

điếm cứ (tịiiii B ẽ (|; m ộ t (Hổm biến t h i ê n C s r (trong d ó A =± 0 D ạt 0) M l ì

aiao đ i ể m c ù a A C vói q N là giao đ i ể m cùa BC với p K h i d ó d ư ờ n g thẳng NIN luỏn di qua m ọ t đ i ể m cố đ i n h "

b) Phát biêu m ặ i l i d è dúi ngẫu vói mệnh d ề d ã cho (rong cí\u l i

11.8 T r o n g m ạ i phảng x ạ cho cOmc s và 3 đ i ể m AT, A 2 , A T trôn s E là

một đ i ể m k h ô n g t h u ộ c v à o c á c cạnh cua tam g i á c A ị A ị A , - Đường t h ả n g A;E

cắt s tại đ i ể m thứ hai là A , (i = 1.2 3) nếp l u y ế n với s l ạ i Á p A2 A3 theo lim l ự cắt A J A J , A Ị A | , A , A 2 iươni; ú n g với c á c đ i ể m a, p , y O i l i n g minii

27

rằng 3 điểm (ì, ị \ , •( c ù n g nằm Ircn mội dường thắng

11.9 Trong mặt phang xạ ảnh cho CỒHÍC s và 6 điểm A, ó, c, D, E, Fs s

Chứng minh răng 3 đường Iliằng Paxcan cùa 3 hình 6 cạnh ABCDEF, ADCFEB, AFCHED đổng quy l ạ i mỏi điểm

11.10 Trong mặt phang aim cho liyperbol s có lam M và hai dường tiệm

cạn a, b. Trẽn s cho hai điểm c và D Các liếp luyến cùa s tại c và D cắt

nhau tại điểm N Đường thẳng qua c và song song với b cốt dường lliầng qua

D và song song vói a l ạ i điểm p Đường thắng qua c và song song với a cắt

dường thẳng qua D và song song với b l ạ i điểm Q Chứng minh rằng 4 diêm

M , N , p, Q thảng hàng

11.11 Trong mặt phảng ĩ!fin cho hyperbol s có tam 0 và hai dường liệm cạn (X p G ự i M và N là hai điểm bát kỳ trẽn s Tiếp luyến với s lại M lán lượt cắt a và p tại A và l i 'nếp tu ven với s lại N lần hrợt cát a và p lại c và

D Chứng minh rằng hai dường thẳng A D , BC song song với nhau

11.12 Trong mặt phảng xạ ánh cho hai dường thảng (ị, ii cắt nhau tai điểm P; A và B là hai đ i ể m llicp t h ứ tự thuộc (ị và ỉ-,; c là một điểm kliỏniỊ

:!uiộc lị và <?Ị sao cho ba điếm A Í3, c khống thẳng hàng Q là một điểm biến thiên trẽn dường thẳng AC, R ià giao.điểm cùa hai dường thảng PQ và

BC

:t) Chứng mũm rằng quỹ tích giao điểm D của AR và BQ là một cỏnic qua

c và tiếp x ú c với (ị, í2 tuông úng tại A , 8

li) Dựa V Ì I O C Í Ì I I a, hãy đựng mội iliồni lũy ý của iivperbol khi biết hai liệm

càn và m ộ i clicni cho ( m ó c cùa nó nong mải phảng íiíìn chỉ bẵng cách dựng

C l i o dường (hẩng

í 1.13 Trong mãi phánu xạ ánh cho mục tiêu { A | , A i , A5; E} và hai điểm

M ( n i ị , nịt, 0), M ' ( m , , i n , , 0) biến thiêu trẽn (lường lliằiíg AịA- sao ciio

( A , A , M M ' ) = - I

a) Qitrng minh rằng phép xạ ảnh /"biên M thành M' là một phép biến dổi

xạ ảnh dối hợp trên dường thắng A | A2 1 - Ị p phương ưìnii c ù a / d ố ' i với mục

lidu xài ảnh trên A | A2 mà (rong mục tiêu này tựa dô cùa A | và A2 là

A , = ( U ) ) A i » 1 0 , n

b) T i m quỹ lích cùa đ i ể m p = A7 -M r\ E M ' Lạp phương trình cùa quỹ tích

2S

11.14. Trong mật p i i á n s xạ ìuili d i u cOiiit- s và ba d i ê m A , li. c phân biệt

trôn s C á c l i ế p l u y ế n với s l ạ i B VÌ! c cắt nhau l ạ i D M ộ t d ư ờ n g thắng ầ

biến tliiẻn n h ư n g l u ô n l u ồ n d i qua D K ý hiệu p = A o A B Q = ' i r ì A C

M = PCr\ BQ Cliứng m i n h r á n g q u ỹ tích cùa |VJ c h í n h là c ỏ n i c s

11.15 T r o n g luật phung xạ s ì n h Pi c h o i l u ù n g thểng A và 2 đ ư ờ n g l i n i n g | I

q 'khác ă nliirng cát nhau l ạ i m ọ t d i ê m Se ủ T r ê n p cho.2 đ i ể m A | và A T

T i ê n (Ị cho 2 đ i ể m D Ị và B- G ó i ; i ị I>,, Ỉ U b i l i \ c á c (luông thmttĩ bidti lliiôn

lương ứng d i qua c á c d i ê m A | , B | , A-J, 13, s a o cho H| I~> b | s ủ , a- n b2 6 l i ,

nhưng giao đ i ể m c ù a ĨÌỊ v à n2 k h ô n g H ầ m trôn à. Ký liitỊu M = ;i( r> ; i2 ,

N — b ị o b- C h t ỉ t i E Ị m i n h ritir d i i i m j T I h n r s M M l u ô n li nir. H ộ t đ i ể n c ố

dinh * 11.16 Tronc mặt phảng x ạ SI 1111 cito 2 d ư ờ n g thảng p và C| giao n h a u tại

n.18 Trong m ạ i phang xạ linh ỉ\;di<> còiiic 5 và Hi d i e m A 13.c phan

-bièt írén s C á c tiếp l u y ế n vói s ừ B và c ạino nhau tai đ i ể m M G ọ i D l à giao

đ i ể m thứ hai cùa s vói' d i r à n e t i i ẵ i i Ị : A M C í c l i ế p tuyên vói s ở D , B c theo

thứ tự cắt c á c (luông l l i ằ i i g BC C A /Mì lai c á c d i ê n a (3, Ỵ G i á n g m i n h

ràng a p Ỵ thằng h à n g

Xét m ò hình OỈ2 = Pi\ DC của m ạ i phảng a f i n Trong m ỏ hìiih n à y hãy

phái biếu bài loàn íiíin ứng với bài l o à n xạ ánh vùn né'-

Í Ĩ 1 9 T r o n g mặt phang x ạ á n h cho cởnic s và ba Mâm A , B c phan biệt

t r ẽ n s d e l i ế p l u y ế n vói s ờ B và C! cai nhau lụi M L á p phirone t r i n h c ù ạ s

d ổ i v ơ T m ụ c tiêu { B , c, M ; A }

11.20 T r o n g nạt p h à n g xạ á n h cho mục liêu 9Ỉ = { A , , A2, A , ; E}

(5) L ạ p p h ư ơ n g trìnli của p h é p xạ á n h / , biết rằng

/ T A , ) = A J Ì A J ) = A „ ỹ ĩ A , ) = M E ) = A j

4)) T ì m c á c đ i ể m kép của /

c) T r o n g m ậ t nhàng i i f i n <=??2 = PA A | A: p h é p xạ ảnh / n ó i (rèn c ó sinh ra

p h é p a f i n hay k h ô n g ? N ế u c ó , liiiv viết p h ư ơ n g trình c ù a p h é p a í ì n d ó d ố i v ớ i

mục iièu a f i n sinh b ả i mục tlâu xa ánh nói t r ẽ n

_(' l l j l l T r o n g 'nái phang n f i i i cho hvperboi s c ó c á c d ư ờ n g t i ệ m cận a v à

h G i o đ i ể m A6 li và i l i ể i i i S i l i Tfr A và 13 vẽ c á c đ ư ờ n g thang íiieo t h ứ l ự

l i ế p x ú c v ớ i s l ạ i c và D Đ ư ờ n g thằng qua c và song song vói b cat d ư ờ n g

l l i ợ n g BD l ạ i đ i ể m o Đ ư ờ n g (hằng qua 0 và song song vói a cắt d ư ờ n g t h ằ n g

A C l ạ i ciiểm p Chứng m i n h r à n g A13//PQ

11122 T r o n g mặt phang a fin cho h ì n h hình h à n h A B C D c ó hai dinh d ố i

(Hôn A , c n ằ m trẽn hypcrhol s cho trước và c ó c á c cạnh song s o n g với c á c

(luông t i ệ m cận cùa h y p e i h o l T i ê n l u y ế n c ù a s l ạ i A cat c á c (lường l i ệ m c ậ n

t h ứ nhái và t h ứ hai i:in lirợl l ạ i Ai va A i T i ế p t u y ế n c ù a s l ạ i c cắt c á c dườne

l i ệ m cắn I h ú nhài và t h ú hai lAn lượt l ạ i C| và ọ Hai t i ế p l u y ế n d ó cắt nhau

liii li c.urng m i n h rằng:

• a) M ồ i liuòtig (hang AỊCỊ, A:C Ị dấu di min m ộ t trong hai d i n h ( l ố i điên B

D c ò n l ạ i c ù a h ì n h bình h à n h A G C D

li) Ba eitrờim (hổng A C , A j C i , A-.C song song với nhau

Ì I J 2 J Trong mại p h à n g xạ á n h cho mục liêu {) \ = { A | , A i , A-,; E ị Ký

h i ệ u lì, = A , c i n A j A , , pọ = A 2 E A , A „ l ĩ , = A ^ E Q Ạ Ị Ạ Ị

a) L á p p h ư ơ n g ninh cùa p h é p h i ế n đ ổ i xạ á n h / b i ế n A) t h à n h ' E [ ú = 1,2.3)

và g i ữ bát d ỏ n g đ i ể m li •

b) T ì m c á c đ i ể m k é p c ù a /

c) l i m tọa ( l ộ cùa c á c (liêm A | , A:, A-Ị d ố i với c á c mục tiêu { E | , EỊ.EV, E }

Ĩu24. T r o n g mãi phồng x ạ ánh cho c ô n i c s và d ư ờ n g l l i ẩ n g A cai s lại hai

đ i ể m A va 13 C á c l i ế p l u y ế n c ù a s l ạ i À và B cắt nhau tại đ i ể m p M ộ t đường

t h á n g qua p cái s l ạ i hai đ i ể m M và M \ dồng thời cắt A tại đ i ể m E Cho m ộ t

30

P H Ầ N 2

H Ư Ớ N G D Ẫ N V À G I Ả I C Á C B À I T Ậ P

§ 1

1.1 Ta 'lây không gian veclơ V0 và trong Vn, chọn một cơ sò {ẽị )

Ký hiệu V 7 là không gian I- chiểu sinh bời X và V = { V j f I i e Vn }

- Xét ánh xọ I>: p -*• V

X H V ụ ,

(ờ (.Uy x(x , x„) ihì X (x,, x„) dối với cơ sờ { ĩ , }

- Rõ ràng ị) là một song ánh Do đó p là không gian xạ ánh (n - I ) - chiêu

1.2 (Hình I) - Xét mội phổng E2 trong khổng gian thống thường E3 Khi

Vạy p là khàn" gian xạ ánh 2- chiêu ninh I

Ị ì - Ivý hiệu VA là không gian vectơ I- chiêu (rong li" sinh bời AA'

Xệt H i l l x:.i />_: - + / ; ,

l> clirọc xác đ ị n h như sau:

Ị / ' ( A ) Ị V ,

Ì /7(X) = X ' , với X ' = A X X 0 „ ; X * A

/) lì> '".ong ánh v ạ y 'ỊT\Ỉ[ không gian xạ ảnh I - chiêu

1.5 XÓI hẹ loa (jộ trực cluiiiii { I; A , A j } trong EJ

M õ i I nép d à i loại I với diểin kép I hoàn

loàn úưự- xác định nâu biết null A ' , cún

:iiém A Vi Hull ?)

A ' ,

N h u ' " H ' 7 1ÍÌ|J hợp các t>hén (.lòi lon ỉ I vái

liióm kép I cô sự lương ứng l - Ị VÍT! tạp họp

' ú : r ố M i A', M ạ i khúc, I.Ị|) hạ,) các điểm

•V, ciiínli iâ lộp họp các điếm trêu dưòiiẹ

Từ b r i lộp 1.4 ta có lộp các phép dời loại I vói diêm kép I rone mỏt I'li.iiia E" là k h ù n g gian xạ ánh I- chiêu

Ịiisn' I - chiên trong /: " sinh bời ã

hụp liny, la giá thiết Á n ằ m vẻ phin chiều d ư ơ n g c ù a t r ụ c O z ) Ta gọi A là

hình chiỏti cũii A Irẻn O x y R õ l à n g À c D

Ta xái á n h xạ /ì : [ C ] —> s , ( ờ day s là t ậ p h ợ p c á c c ạ p đ i ể m ìuyèrv

lâm (Irti cùn Si

Giá sử c ẽ I C ] , khi d ó c ó 2 trường hợp sau:

Tỉ hệ í />, Ị là cơ sử trong Vn, , , nên la có:

Xi = k v<iri ị = I , /í + Ì vạy ã, = / t ồ , vái i = I , n + Ì

2.2 Ta xét hẻ (n + 2 ) đ i ể m (10112 p,,: { A , , A ,l f ỉ } và g ọ i ã, là các vectơ ti;ii d i ệ n cùa A j i = l , / J + 2 ; K h i đ ó ịãị) là h ả p l i ụ t h u ố c t u y ế n lính (reng

V , , , , v ạ y Ilieci (lịnli nghĩa của hệ diêm phụ l l u i ộ c t r o n g p„ thì [ A j } " * ' là hẻ

}.2 - Ra ciưòng thẳng a b, c c ó đ i ế m cluing khi và chi khi h ệ

I" a,X( + a,x 2 + a,x, = 0 (*) \ b,x, + b,x, + b,x, = 0

Ciiiii i'ỉii lo:in I i à v bans

milium pháp tọa dô vói việc