Quy hoạch tuyến tính - Phương pháp đơn hình

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Lecture PHƯƠNG ƯƠ G PHÁP Á ĐƠN Ơ HÌNH Ì Phương ươ g p pháp áp đơn hình „ Review „ Phương pháp đơn hình „ Giải tốn Q QHTT g máyy tính 10/9/2009 QHTT-Nguyen Van Thuy 2-2 Review e e „ Ví dụ Giải tốn sau max z = x1 + x2 x1 + x2 ≤ x1 + x2 ≤ − x1 + x2 ≤ x2 ≤ x1 ≥ 0, x2 ≥ 10/9/2009 QHTT-Nguyen Van Thuy 2-3 Phương ươ g p pháp áp đơn hình „ Dạng tắc „ Tìm phương án xuất phát „ Kiểm tra tính tối ưu p phương g án „ Tìm phương án tốt 10/9/2009 QHTT-Nguyen Van Thuy 2-4 2.1 Dạng g cchính tắc Dạng tắc dạng thỏa điều kiện „ Tất ràng buộc có dấu „ Tất ấ ả biến b ế đề khô không âm ⠄ Hàm mục tiêu dạng max hay 10/9/2009 QHTT-Nguyen Van Thuy 2-5 A Ràng g buộc „ x1 + x2 ≤ thêm vào biến bù s1 ≥ x1 + x2 + s1 = 6, „ s1 ≥ x1 + x2 − x3 ≥ trừ biến thừa s2 ≥ x1 + x2 − x3 − s2 = 5, s2 ≥ 10/9/2009 QHTT-Nguyen Van Thuy 2-6 B Các b biến ế „ yi ≤ : đặt yi = − y , y ≥ '' i „ yi '' i có dấu tùy ý: đặt yi = y − y , '' i 10/9/2009 '''' i y,y ≥0 '' i QHTT-Nguyen Van Thuy '''' i 2-7 B Các b biến ế „ Chú ý: Trong phương án tối ưu, có '' '''' hai biến yi , yi nhận giá trị dương, không „ Vậy, y > 0, y = ngược lại „ Ví dụ Tìm y’, y’’ y nhận giá trị -6, 10, '' i 10/9/2009 '''' i QHTT-Nguyen Van Thuy 2-8 2.1 Dạng g cchính tắc „ Ví dụ Viết tốn sau dạng tắc z = x1 + x2 x1 + x2 = 10 −2 x1 + x2 ≤ −5 x1 − x2 ≤ x1 ∈ R x2 ≥ 10/9/2009 QHTT-Nguyen Van Thuy 2-9 2.1 Dạng g cchính tắc „ „ „ Cộng biến bù s2 ≥ vào vế trái ràng buộc thứ hai Cộng ộ biến ế bù ù s3 ≥ vào vế ế trái ủ ràng buộc ộ thứ ba Thay x1 = x − x , x , x ≥ vào hàm mục tiêu ràng buộc b ộ '' 10/9/2009 '''' '' '''' QHTT-Nguyen Van Thuy 2-10 2.1 Dạng g cchính tắc „ Dạng tắc tốn cho z = x − x + x2 '' '''' x − x + x2 = 10 '' '''' −2 x + x + x2 + s2 = −5 '' '''' x − x − x2 + s3 = '' '''' x , x , x2 , s2 , s3 ≥ '' 10/9/2009 ''''

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Lecture 2

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

Phương pháp đơn hình ươ g p áp đơ

Review

„ Review

„ Phương pháp đơn hình

„ Phương pháp đơn hình

„ Giải bài toán QHTT bằng máy tínhQ g y

Review e e

„ Ví dụ Giải bài toán sau

„ Ví dụ Giải bài toán sau

max z = 3x + 2x

1 2 2 6

x + x ≤

+ ≤

1 2

1 2

1

x x

x x

+ ≤

− +1 2 ≤

2 2

0 0

x ≤

≥ 0, ≥ 0

x ≥ x ≥

2 Phương pháp đơn hình ươ g p áp đơ

Dạng chính tắc

„ Dạng chính tắc

„ Tìm phương án xuất phát

„ Tìm phương án xuất phát

„ Kiểm tra tính tối ưu của một phương án p g

„ Tìm phương án mới tốt hơn

2.1 Dạng chính tắc ạ g c tắc

Dạng chính tắc là dạng thỏa cả 3 điều kiện

„ Tất cả các ràng buộc đều có dấu bằng

ấ ả á b ế đề khô â

„ Tất cả các biến đều không âm

„ Hàm mục tiêu ở dạng max hay min

„ Hàm mục tiêu ở dạng max hay min

A Ràng buộc à g buộc

„ x + 2x ≤ 6

„

thêm vào biến bù s1 ≥ 0

x + x ≤

1 2 2 1 6, 1 0

x + x + = s s ≥

„

trừ đi biến thừa s ≥ 0

3 x + 2 x − 3 x ≥ 5

trừ đi biến thừa s2 ≥ 0

3 x1 + 2 x2 − 3 x3 − = s2 5, s2 ≥ 0

B Các biến Các b ế

„ yi ≤ 0 : đặt

0

i

, 0

„ yi có dấu tùy ý: đặt

B Các biến Các b ế

trong hai biến nhận giá trị dương, chứ không bao giờ cả 2

', ''

y y

không bao giờ cả 2

„ Vậy, yi' > 0, yi'' = 0 hoặc ngược lại

„ Ví dụ Tìm y’, y’’ nếu y nhận các giá trị -6, 10, 0

i i

y > y

2.1 Dạng chính tắc ạ g c tắc

„ Ví dụ Viết bài toán sau ở dạng chính tắc

„ Ví dụ Viết bài toán sau ở dạng chính tắc

min z = 2 x + 3 x

1 2 10

≤

x

∈ R

1

2.1 Dạng chính tắc ạ g c tắc

„ Cộng biến bù s2 ≥ 0 vào vế trái của ràng buộc

„ Cộng biến bù s2 ≥ 0 vào vế trái của ràng buộc thứ hai

„ Cộng biến bù s3 ≥ 0 vào vế trái của ràng buộc thứ ba

x = − x x x x ≥

các ràng buộc

2.1 Dạng chính tắc ạ g c tắc

„ Dạng chính tắc của bài toán đã cho là

„ Dạng chính tắc của bài toán đã cho là

' ''

min z = 2 x1 − 2 x1 + 3 x2

' ''

10

' ''

10

+

' ''

7 x1 − 7 x1 − 4 x2 + = s3 6

2.1 Dạng chính tắc ạ g c tắc

„ Ví dụ Viết bài toán sau ở dạng chính tắc

„ Ví dụ Viết bài toán sau ở dạng chính tắc

max z = 3 x + 2 x

( à á ( ))

x + x ≤

(Bài toán (P))

1

x x

x x

− +1 2 ≤

2

1 2

x x

x

≤

2.1 Dạng chính tắc ạ g c tắc

„ Bài toán đã cho có dạng chính tắc là

„ Bài toán đã cho có dạng chính tắc là

1

1 2

+ +

+ =

≥

2.2 Tìm phương án xuất phát p ươ g á uất p át

„ Viết bài toán ở dạng chính tắc

„ Cho n – k biến bằng 0, suy ra k biến còn lại

„ Có 2 trường hợp

„ Có 2 trường hợp

„ Ví dụ: xét bài toán (P) ở trên

„ Ví dụ: xét bài toán (P) ở trên

„ n=6, k=4 nên n-k=2 Vậy từ 6 biến, ta chọn 2

biến và cho bằng 0

„ Ví dụ cho x =0 và x =0 thì s =6 s =8 s =1

„ Ví dụ cho x1=0 và x2=0, thì s1=6, s2=8, s3=1,

s4=2, đây là một phương án xuất phát

2.3 Kiểm tra tính tối ưu 3 ể t a t tố ưu

„ Biểu diễn hàm mục tiêu z và các biến khác 0

theo các biến bằng 0

„ Tiêu chuẩn tối ưu

„ Tiêu chuẩn tối ưu

trong z đều ≤ 0

2.3 Kiểm tra tính tối ưu 3 ể t a t tố ưu

„ Ví dụ ụ Xét tiếp bài toán (P) p ( )

x =0 s =6 s =8 s =1 s =2

x2=0, s1=6, s2=8, s3=1, s4=2

„ Biểu diễn z, s1, s2, s3, s4 theo x1, x2

1 2

3 2

= +

8 2

= − −

= − −

số dương nên phương án trên chưa tối ưu

= + − trên chưa tối ưu

2.4 Tìm phương án mới tốt hơn p ươ g á ớ tốt ơ

„ Trong các biến bằng 0, chọn đúng một biến, giả

„ Trong các biến bằng 0, chọn đúng một biến, giả

sử là xi, cho tăng lên một số dương

á

„ Cách chọn:

„ Thay các biến bằng 0 còn lại vào các ràng buộc

và đánh giá xi ≤ M

và đánh giá xi ≤ M

2.4 Tìm phương án mới tốt hơn p ươ g á ớ tốt ơ

1 6 1 0

s = − ≥x

⎧ 1 1

8 2 0

4

x

≥

⎧

⎪ = − ≥

4

2 0

x

s

⇒ ≤

⎨ = + ≥

⎪

⎪ = ≥

⎩s4 2 0

⎪ = ≥

⎩