Bài tập có lời giải quá trình ngẫu nhiên chương 1 và 2. Bài 7: Gọi A biến cố người khách mua hàng nội địa P(A) = 0,5 B biến cố người khách mua hàng ngoại địa P(B) = 0,2 C biến cố người khách không mua hàng P(C) = 0,3 Để khách hàng bước vào người mua hàng nội địa, người mua hàng nội địa người khơng mua có tất 30 khả (số chỉnh hợp lặp A5(2,2) = 5!/(2!2!) = 30): AABCC, AACBC, AACCB, …với xác suất bằng:
Trang 1BỘ MÔN:
QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Giảng viên: Th.S Nguyễn Hữu Thái Sinh viên: Nguyễn Thị Thanh Hoa
Thành phố Hồ Chí Minh ngày 12/03/2008
Trang 2CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN XÁC SUẤT - BIẾN CỐ
Bài 1:
Đặt Xi là biến cố xuất hiện mặt Head ở lần thử thứ i (i = 1,2,3…)
Không gian mẫu: { (X1,X2), (X1, X2 ,X3), (X1, X2, X3), (X1 ,X2, X3, X4) , …}
Đặt X là số lần thực hiện phép thử ta có:
ImX = {2, 3, 4, …}
Xác suất gieo đồng xu đúng 4 lần:
1875 , 0 5 , 0
3
) )P(X )P(X P(
) ( ) )P(X X )P(
P(
) ( ) )P(X X )P(
P(
) (
) X , X , X , X P(
) X , X , X , X P(
) X , X , , P(X
4}
{X
4
4 3 2 1 4
3 2 1 4
3 2 1
4 3 2 1 4
3 2 1 4
3 2 1
X X P X
X P X
X P
X P
Bài 2:
Đặt Xi là biến cố anh ta chơi thắng ở ván thứ i
Xác suất người này chơi thắng sau khi ngừng chơi:
7363 , 0 1369
1008 37
18 37
19 37
18
) ( ) ( ) (
) , ( ) (
2 1
1
2 1 1
X P X P X P
X X P X
P
P
Trò chơi này không được mọi người đón nhận vì xác suất để chơi thắng trong một ván nhỏ hơn xác suất chơi thua
37
19 ) ( 37
18
)
(X i P X i
P
Bài 3:
Gọi Xi là biến cố đứa con thứ i là con gái (i = 1,2)
Theo đề bài ta có: P(X i)P(X i)0,5
a Xác suất để cả hai đều là gái nếu đứa con đầu là gái:
( , / ( ) / () (/ )) (1.0,5/ 0),5
2 1 1
1 2 1 1 1
2 1
X P X X P
X X P X X P X X X
P
b Xác suất để cả hai đều là gái nếu đứa con đầu là trai:
0 5 , 0 0 ) ( ) / (
) / ( ) / ( ) / ,
(
2 1 1
1 2 1 1 1
2 1
X P X X P
X X P X X P X X X
P
Bài 4:
Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu, không gian mẫu sẽ là:
{(Đ, Đ),(Đ, V), (Đ,X), (V,Đ), (V,V), (V, X), (X, Đ), (X, V), (X,X)}
X là số quả cầu vàng lấy được:
ImX = {0, 1, 2}
Trang 3Tính: P{X = 0}
- Trường hợp lấy lần lượt không hoàn lại và lấy đồng thời cho kết quả giống nhau:
P{X = 0} =
15
7 9
6 10
7
E(X) = 0.7/15 +1.7/15 + 2.1/15 = 0,6
- Trường hợp lấy lần lượt có hoàn lại:
10
7 10
7
E(X) = 0.0,49 + 1.0,42 + 2.0,09 = 0,6
Bài 5:
P(X, Y) = P(X).P(Y) do X, Y độc lập
Vậy phân phối xác suất của X + Y là:
Bài 6:
1 1
1 0
2
1
0 0
)
(
x if
x if
x if x
F
Nên: P{X < 0} = 0
P{X < = 0} = 1/2
P{X < 1} = 1/2
P{X < = 1} = 1
Suy ra:
P{X = 1} = P{X < = 1} - P{X < 1} = 1- 1/2 = 1/2
P{X = 0} = P{X < = 0} - P{X < 0} = 1/2 - 0 = 1/2
Trang 4Vậy:
0 2
1
1 2
1
1 , 0 0
)
(
x if
x if
x x if x
f
E(X) = 1.1/2 + 0.1/2 = 1/2
Var(X) = (1 – 1/2)2.1/2 + (0 – 1/2)2.1/2 = ¼
Bài 7:
Để 5 khách hàng bước vào trong đó 2 người mua hàng nội địa, 1 người mua hàng nội địa và 2 người không mua gì có tất cả 30 khả năng (số chỉnh hợp lặp
A5(2,2) = 5!/(2!2!) = 30): AABCC, AACBC, AACCB, …với xác suất là như nhau và bằng: 0,52.0,2.0,32 = 0,0045
Vậy xác suất cần tính là:
P = 30.0,0045 = 0,135
Bài 8:
0
1 1
) 1
(
)
(
x c
x
f
Ta luôn có:
4
3
1 ) 3
2 2 ( 1 )
3 (
1 ) 1 ( 1
)
(
1 1 3
1 1
2
c
c
x x
c
dx x c dx
x
f
- Với x < = -1 thì F(x) = P(X < = x) = ( ) 0
x
dx x f
- Với -1 < x < 1:
2
1 ) 3
(
4
3
) 3
(
4
3
) 1 ( 4
3 )
( x}
{X
)
(
3 1 3
1
2
x x
x x
dx x dx
x f P
x
F
x
x x
- Với x > = 1, F(x) = P(X < = x) = ( ) ( ) 1
1
1
dx x f dx x f
x
Trang 5Vậy hàm phân phối F(x) là:
1 1
1 1
2
1 ) 3
( 4
3
1 0
)
x
x
x x
x x
F
Bài 9:
0 0
0 )
(
2
x
x ce
x
f
x
Ta luôn có:
2
1 ) 2
1 0 ( 1 2
lim
1 1
)
(
0 2 0 2
c
c
e c
dx ce dx
x
f
b x b
x
Tính P{X > 2}:
4 4
2 0 2
2
0
2x
-) 1 (
1 2
2 1
2e -1 2}
P{X
-1
2}
{X
e e
e
P
x
Bài 10:
Chứng minh E(X2) > = [E(X)]2
Ta có:
i X
E X
P X E X
X
dpcm X
i
i
) (
0 ) X ( )) ( (
0 ) var(
(E(X)) )
E(X
) ( (E(X))
) E(X
0 (E(X))
-E(X 0
var(X)
:
Do
(E(X))
-E(X ) var(
i 2
2 2
2 2
2 2
2 2
Vậy E(X2) = [E(X)]2 khi và chỉ khi X là một hằng số
Bài 11:
) ( 1
)
(
) ) ( : ( 1
) ( 1
) ( 1 ) (
1
)
(
0 0
0
dpcm ca
a
X
P
c x f do cx
cdx dx
x f
dx x f a
X P a
X
P
a a
a
a
Trang 6Bài 12:
Hàm sinh môment của X có dạng:
3
1 3
1 3
1 3
1 )
(t E e t.X e t 1 e t 2 e t 3 e t e2t e3t
12 ) 0 ( X
3
14 ) 0 ( '' X
2 ) 0 ( ' X
) 27 8
( 3
1 ) (
) 9 4
( 3
1 ) ( ''
) 3 2
( 3
1 ) (
'
) 3 ( 3 2
3 2
) 3
(
3 2
3 2
E
E
E
e e
e t
e e
e t
e e
e t
t t
t
t t
t
t t
t
Bài 13:
Theo đề bài ta có:
X, Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập,
X N(1, 12) và Y N(2, 22)
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
2 2
2 1
2 2
2
1
2 2 2 2
1 2
2 2
2 2
2 1
0 ) ) (
( 2 0
)
(
'
) ) (
( 2 ) 2 2 ( 2
)
(
'
) (
) 1 (
) var(
) 1 ( ) var(
) ) 1 ( var(
)
var(
)
var(
)
var(
f
f
f
Y X
Y X
Z
Y
X
2
2
2
2 1
2 2
biến ngẫu nhiên Z
Trang 7Bài 14:
a/
2 9 5 9
1 3 9 5 3
1 2 9 5 9
1
1
1
) 1 , ( )
/ ( 1
/ 1
X/Y
9
5 9
1 3
1 9
1 ) 1 , ( 1
/
Y P
x p x y
x xP Y
x X xP E
x p Y
P
y x
3 5 6 1 18
1 3 6 1
0 2 6
1
9
1
1
2
) 2 , ( )
/ ( 2
/ 2
X/Y
6
1 18
1 0 9
1 ) 2 , ( 2
/
Y P
x p x y
x xP Y
x X xP E
x p Y
P
y x
b/
Nếu X, Y độc lập thì P{X = 1}.P{Y = 1} = P{X = 1, Y = 1} x, y
Mà:
9
2 0 9
1 9
1 ) , 1 (
p y X
P
P{X = 1}.P{Y = 1} = (2/9)(5/9) = 10/81 ≠ P{X = 1, Y = 1} = 1/9 nên X, Y không độc lập
Bài 15:
Theo đề bài thì X, Y độc lập nên: P{X = x, Y = y} = P{X = x}.P{Y = y}
Hay f(x, y) = f(x).f(y)
- Nếu X, Y rời rạc:
X
) (
) (
) ( )
(
) (
) , (
} /
{X y
X/Y
1
1
1
1
E
x X P x
y Y P
y Y P x X P x
y Y P
y Y x X P x
y Y x P x E
n
x
n
x
n
x
n x
- Nếu X, Y liên tục:
Trang 8
X
) (
) (
) ( )
(
) (
) , (
) / ( y
E
dx x f x
dx y f
y f x f x
dx y f
y x f x
dx y x f x
Vậy, nếu X, Y độc lập thì E[X/Y = y] = E[X] y
Bài 16:
Ta có:
y
x
f
y
; 0
8 )
,
(
2 2
Suy ra:
) 3
2 2
(
8
) 3
(
8
8 )
,
(
)
(
3 3
3 2
2 2
y y
e
x x y
e
dx e x y dx y x
f
y
f
y
y y y
y y
y y
y
3
2 2
3
2 2
3 3
2 2
/
4 3 3
4 ) 3
2 2 ( 8
8 )
(
) , ( )
/
(
y
x y y
x y y
y e
e x y y
f
y x f y
x
y y
x
) ( 0
) 4 2
( 4
3
4
3 )
/ ( y
X/Y
4 2 2 3
3
2 2 /
dpcm x
x y y
dx y
x y x dx y x f x E
y y
y y
y y y x
Bài 17:
Ta có:
y x
e e
y
x
f
y y x
0
; 0
8
)
,
(
/
Suy ra:
Trang 9
) ( lim
8
8
)
,
(
)
(
0 / 0
/
0
y
b y x b
y
y y x
e
y
e y e
dx e e dx y x
f
y
f
y
e e
y
e e y f
y x f y
x
y y x
y
x
/ /
/
8 8 )
(
) , ( )
/
(
0
/
0
/
0 /
1
)
/ ( y
X/Y
dx e x y
dx y
e x dx y x f x E
y x
y x y
x
Đặt u = x du = dx
dv = e-x/y dx v = -y.e-x/y
Suy ra:
) (
1
) ) ( lim 0 (
1
)
( lim (
1
1 y
X/Y
2
0 / 2
0
/ 0
/ 0
/
dpcm y
y y
e y y
dx e y e
y x y
dx e x y E
b y x b
y x b
y x b
y x
Bài 18:
Theo đề bài ta có:
1
1
.
1
)
( 1 X/X
0 0
0
)
(
dx e x
dx e x dx x f x E
x
x e
x
f
x
x x
Đặt: u = x du = dx
dv = e- .xdx v = - e- .x/
Suy ra:
Trang 10
)
1 (
) (
) )
1 ( lim (
)
1 )
( lim (
1
X/X
2
1
2
1
1
1
.
e
e e
e e
dx e e
x
dx e x E
x b
x x
b x
Bài 19:
Theo đề bài ta có:
1
1
1 ) , ( )
, (
0
; 0
)
,
(
2
0 0
0 1 1
n
y y
x
X
P
x
X
P
dy y x f dy y
e dy y x f x
X
P
y x
y
e
y
x
f
Mà: P{X = x1} + P{X = x2} + … + P{X = xn} = 1
x1 = x2 = … =xn = c là hằng số
X và Y độc lập X2 và Y cũng độc lập
Theo kết quả đã chứng minh ở câu 15 thì:
X2/Y y E X2 c2
Bài 25:
X có trung bình là 10 và phương sai là 15, cần đánh giá P{5 < X < 15}
P{5 < X < 15} = P{- 5 < X – 10 < 5} = P{X – 10 <5}
= 1 - P{X – 10 5}
Theo bất đẳng thức Chebyshev ta có:
P{X - 10 5} 15/52 = 0,6
- P{X - 10 5} - 0,6
1 - P{X - 10 5} 0,4
Vậy:
P{5 < X < 15} 0,4
Trang 11Bài 26:
Đặt
n
X X
X
n
1 2
Do X1, X2, …, Xn độc lập cùng phân phối nên
n
n n n
n
X X
X S
n n
E n n
X X
X
E
E
n i
n n
n i
n n
2 2 2 1
i 2
2 1
2 1
1 X var 1
var
var
1 X 1
S
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev:
) ( 0
X
0
X
var
2 1
2
2
2
2
2 1
2
dpcm n
khi n
X X
P
n khi n
n n
X X
P
S S
P
n n
n n
Bài 27:
Do X1 P(1)
X2 P(1)
…
X10 P(1)
Nên: X = (X1 + X2 + … + X10) P(10)
N x x
e x X
!
10 )
a/
3
2 5
3 15 0
5
5 5
3 15
5
2 5 1
15 5
5 1
15
5
2 25
10 5
var 5 10 15
5
:
15 5
5 1
15 1
15 15
2
2
1
X P X
P
X P X
P
X P X
P X
P X
P
X X
P X
P
Do
X P X
P
X P X
P X
X
X
Vậy:
3
2 15
2
X
P n
Trang 12b/ Theo định lý giới hạn trung tâm:
0571 , 0 9429 , 0 1 2
1 1 10
5 1
10
5 10
10
1
10
5 10
10
15
) 1 , 0 ( 10
10
10 5 2
10 2
1
10 2
1 10
2 1
10 2
1
2
dx e S
P
X X
X P
X X
X P X
X
X
P
N X
X
X
S
x
Trang 13CHƯƠNG II: MARTIGALE
Bài 2:
) ( 0
0 ) (
) (
) , , / , ,
/ )(
(
, , / ) (
) (
, , / ) )(
( )
)(
(
2 1
1 1 2
1
1 1
1 1
1 2
1
1 1
1 2
1
1 1
2 1
1 2
1 1
dpcm
E Z
Z
Z Z E Z
Z
Z Z Z E Z Z Z E E Z
Z
Z Z Z
Z E E Z
Z
Z Z Z
Z Z Z E E Z
Z Z
Z
E
n n
n n n
n
n n
n n
n n
n n
n n
n
n n
n n n n
n n
n
Bài 3:
X 2 1 (1)
2
1 X
) (
1 )
( 1
) (
1 X
1 n
1 n
1
1 1
1
1
1 n
n k k
n k
k
n k
k k
n
k
k k
n k
k k
k Z
E E
Z E k E
Z E Z E k Z
Z E k
Z Z k E
E
) 2 (
) (
1 1
,
/ ,
/ 1
1 ) (
1
,
/ ) (
1
1 ,
/ ) (
1
,
/ ) (
1 , ,
/
X
1 1
1
1 1
1
1
1 1 1
1
n
n
n n n
n n
n n
n
n n
n n
n k
n k
k n
X
Z Z n
X
Z Z Z E Z Z Z E n Z
Z
k
Z Z Z Z n E Z Z Z Z k
E
Z Z Z Z k E X X
E
Từ (1) và (2) suy ra: {Xn, n >= 1} là một martigale
Trang 14Bài 4:
Ta có: Xk = Zk – Zk-1 Xk chỉ phụ thuộc vào Zk và Zk-1 chứ không phụ thuộc vào Zn nào hay nói cách khác X1, X2, …, Xn là độc lập
Theo đề bài:
n n
n
k
k
n k
k k n
k
k
k k
k
Z Z Z X
Z Z X
Z
Z
X
0 1
1
1 1
1
) (
Do đó: var[Zn] var[ n X ]
1 k k
Theo chứng minh ở trên thì X1, X2, …, Xn là độc lập nên
var ]
X var[
1 k
k n
1 k
Bài 5:
Do {Xn, n >= 1} và {Yn, n >= 1} là các martigale nên
n n
n n
n
n
Y
X
Y X
Y
X
E
E
E E
E
E
a/
) 2 (
,
/ ,
/
,
, ,
/ ) (
,
/
) 1 (
1 1 1
1 1 1
1
1 1
1 1 1
1
n n n
n n
n n
n n
n n n
n
n n
n n n
Z Y X
Y Y Y E X X X
E
Y Y X X Y X E Z Z
Z
E
Y E X E Y X
E
Z
E
Từ (1) và (2) suy ra: {Zn, n >=1} là một martigale
b/
) 2 (
,
/
,
/
,
, ,
/ ) ( ,
/
) 1 (
1 1 1
1 1 1
1
1 1
1 1 1
1
n n n
n n
n n
n n
n n n
n
n n n
n n
Z Y X
Y Y Y E X X X
E
Y Y X X Y X E Z Z
Z
E
Y E X E Y X
E
Z
E
Từ (1) và (2) suy ra: {Zn, n >= 1} là một martigale
Trang 15Bài 6:
Do X1, X2,…, Xn là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với kỳ vọng bằng 0 và phương sai 2 nên ta có:
)
,
cov(
X X
X
n
2 n
2 n
m n m
m n n
m
n
n
X X E X
E X X E X E X
X
E E
E
X
) 2 ( 0
0 2
2 ,
/
,
/
,
/ 2
,
/
,
/ ,
/
) 1 ( 2
2
1
1 2
1 1
1 1
1 1 2
1 1
2 2
1
1 2
2 1
1 1
1
2 2
2
2 1
2
2 2
1 2
2
1
n n
k k n
n n
n
k k n
n
n n
n n
n k k n
n k k
n n
k k n
n
j i
j i n
k
k
n k k n
k k n
Z X
Z
X E X
E X Z
Z Z
E
X X X E
X X X X E
X X n
X E
X X n
X E
Z Z
Z
E
n n
n
n X X E X
E
n X
E n
X E
Z
E
Từ (1) và (2) suy ra: {Zn, n >= 1} là một martigale
Bài 7:
Do {Xn, n >= 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối đều trên (0, 1) nên
12
1 X var
&
2
1
E
) 2 (
2 2
1
2
2
, , /
2
, , /
2 , ,
/
) 1 ( 1
2
1 2
2
) 0 ) 1 , 0 ( (
2
2
1 1
1
1 1
1
1 1 1
1
1 1 1
1 1
1
1
1 1
n n
n n
n
n n n
n n
n n
n n
n n
n
n
n n n
n n
n n
n n
Z X X X
X
X E X X
X X X E X X
X X X X E Z Z
Z
E
X E X E
X do X
X E X
X E
Z
E
Từ (1) và (2) suy ra: {Zn, n >= 1} là một martigale
Trang 16Bài 8:
Do {Xn, n >= 1} là dãy biến ngẫu nhiên phân phối mũ với kỳ vọng chung là 1 nên:
X 1
var
1
X
n
n
E
) 2 (
0
, , / , ,
/
, , /
, ,
/
) 1 (
1 1
1
1 1
1 1 1
1
1 1 1
1
1
1
1 1
n n n
n n
n n
n
k
n k
n n
n n
n
n n
n
Z X X
X X
X E X
X X X E X X X E
X X X X
E Z Z
Z
E
n X E
X E X
E X
X E
Z
E
Từ (1) và (2) suy ra: {Zn, n >= 1} là một martigale