phương pháp tính nguyễn quốc lân c1 giải gần đúng phương trình phi tuyến f(x)=0 sinhvienzone com

NGUYỄN QUỐC LÂN 02/2006 SinhVienZone.Com... CÔNG THỨC SAI SỐ NEWTON – RAPHSON.. SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn SinhVienZone.Com.

Trang 1

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK2 0506

CHƯƠNG 1

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI

TUYẾN f(x) = 0

• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (02/2006)

SinhVienZone.Com

Trang 2

NỘI DUNG

-

-1– KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC SAI SỐ

NEWTON – RAPHSON.

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Trang 3

1 KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT – CÔNG THỨC SAI SỐ

-

-Phương trình f(x) = 0 (1), f: hàm số liên tục, có đạo hàm Khoảng cách ly nghiệm: Đoạn [a, b] (hoặc khoảng (a, b) ), trên đó phương trình (1) có nghiệm  duy nhất

VD: Phương trình x – cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm:

ĐK đủ: [a, b] là KCLN của (1) khi

 Đạo hàm f’ không đổi dấu trên đoạn (hoặc khoảng) (a,b)

 f(a).f(b) < 0 (giá trị 2 đầu trái dấu) Tìm KCLN: Tính f’, lập bảng biến thiên; Cách 2: Đồ thị (máy!)

SinhVienZone.Com

Trang 4

CÔNG THỨC SAI SỐ

-

-Công thức sai số tổng quát: Phương trình f(x) = 0 (1) với nghiệm chính xác  trên khoảng cách ly nghiệm [a, b]

VD: P/trình f(x) = x – cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm [0,1]

 

1

m

x f

x  

 

   























x f m

b a x

m x

f

b a x

b a

' min

, 0

'

: ,

, 1

1

biết đã

đúng gần

Nghiệm

Nếu chọn nghiệm gần đúng













? 00015

0 /

? 00014

0 / :

739 0

b

a x

x

Giải:

Ghi nhớ: Sai số luôn làm tròn lên

SinhVienZone.Com

Trang 5

PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI

-

-Ý tưởng: Liên tục chia đôi khoảng cách ly nghiệm

f(x) = 0 trên KCL nghiệm [a, b] Ký hiệu: a 0 = a, b 0 = b 

f(a 0 ).f(b 0 ) < 0 Chia đôi: c 0 = (a 0 + b 0 )/2  KCL nghiệm mới?

Dừng với nghiệm xấp xỉ

n

c

x  (trung điểm ở hàng thứ n)

0

a

0

b

0

c

f(a 0 ).f(c 0 ) < 0: KCL mới [a 0 , c 0 ]

0

a

0

b

0

c

f(c 0 ).f(b 0 ) < 0  [c 0 , b 0 ]

Công thức sai số:

1







n

a

b

x 

1 2

log









 







a b

n

SinhVienZone.Com

Trang 6

VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI

-

-Xấp xỉ nghiệm của phương trình f(x) = x – cosx = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] với sai số 0.2

Giải: Lập bảng chứa mọi kết quả trung gian cần thiết

Tìm n để có thể xấp xỉ nghiệm f(x) = x – cosx = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] bằng phương pháp chia đôi, sai số 10 -8

SinhVienZone.Com

Trang 7

DÃY LẶP ĐƠN

-

-Dãy lặp đơn: -Dãyx n  xác định x n+1 = (x n ), (x): hàm lặp

VD: Kiểm tra những dãy sau có là lặp đơn? Nếu có, viết ra hàm lặp  Tính 5 số hạng đầu của dãy (x 0 bất kỳ) Từ đó, đoán tính hội tụ? Tìm liên hệ giữa giới hạn dãy và hàm lặp 

Dãy lặp đơn x n = (x n-1 ) hội tụ về    là nghiệm p/t x = (x)

1 15

/

10

cos /

1

3 1 1





















n n

z z

c

ny y

b

x x

a

2 1 0

xn n

2 1 0

zn n

SinhVienZone.Com

Trang 8

DÃY LẶP ĐƠN HỘI TỤ

-

-Minh hoạ sự hội tụ của dãy lặp đơn: x n+1 = (x n ) = ax n + b Dãy lặp hội tụ về nghiệm p/trình: x = (x)   = b/(1 – a)

SinhVienZone.Com

Trang 9

DÃY LẶP ĐƠN PHÂN KỲ

-

-Phân kỳ

0 1

1

SinhVienZone.Com

Trang 10

HÀM CO

-

-Hàm y = (x) co trên [a, b] với hệ số co q   q, 0 < q < 1:

y

|’(x)|  q < 1  x[a, b]  (x) co trên [a, b] với hệ số co q

VD: Hàm y = x 2 co trên [-1/4, 1/4]???

VD: Trong những hàm sau đây, hàm nào thoả điều kiện co? Xác định hằng số q với các hàm co đó

 

x

c

R x

x x

b

x x x

a

















0 , , ,

1

1 /

, arcsin

/

1 , 0 ,

cos /

2



SinhVienZone.Com

Trang 11

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

-

- Ph trình f(x) = 0 Xác định khoảng cách ly nghiệm [a, b]

 Đưa pt f(x) = 0 về dạng lặp đơn x = (x),  co trên [a, b] Lấy x 0 bất kỳ  [a,b]  Dãy lặp x n+1 = (x n )  

Chú ý: Nhiều cách chọn hàm   càng đơn giản càng tốt

Ước lượng sai số (q: hệ số co của hàm lặp đơn (x) )

0 1

1

x x

q

q x

n





 

Tiên nghiệm:

Hậu nghiệm:

1





q

x 

Số lần lặp tối thiểu:





  

n

x

q

x x

q n

log

1 log

0

1 



SinhVienZone.Com

Trang 12

VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

-

-Xấp xỉ nghiệm ptrình f(x) = x 3 + x – 1000 = 0 với sai số 10 -8

Giải: Khoảng cách ly nghiệm

Lặp đơn: x = 1000 – x 3 = (x): Kiểm tra điều kiện co?

 x x

x  3   

1000

 

 













0

1000

10 , 9

n n

x



Dãy lặp:

Sai số:

1





q

0

SinhVienZone.Com

Trang 13

CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

-

-Nhận xét: q = 0.0034 << 1  Hội tụ rất nhanh

Vấn đề: Xây dựng hàm  với q << 1?

Tìm số lần lặp để xấp xỉ nghiệm x – cosx = 0 trên [0,1] với phương pháp lặp đơn, x 0 = 0 với sai số 10 -8

Giải: Dạng lặp x = cosx = (x)  q =

Ước lượng sai số tiên nghiệm:

x 0 = 0  x 1 = (x 0 ) = 1

x

f x

x x

SinhVienZone.Com

Trang 14

PHƯƠNG PHÁP LẶP NEWTON (TIẾP TUYẾN)

-

•Minh hoạ hình học:

•Công thức lặp Newton :    

 n 

n n

x f

x

f x

x g x

'



: hội tụ nhanh

 x f

x

f x

x g x

'





SinhVienZone.Com

Trang 15

ĐIỀU KIỆN LẶP NEWTON – SAI SỐ

-

-Lặp Newton thất bại:

•

Điều kiện hội tụ: 1/ Đhàm f’, f” không đổi dấu trên [a, b] 2/ Giá trị lặp ban đầu thoả: f(x 0 ) f’’(x 0 ) > 0 (ĐK Fourier)

•Ước lượng sai số : Công thức tổng quát (chủ yếu) hoặc

  "

max ,

2 1

2

f M

x x

m

M x

b a n

n

SinhVienZone.Com

Trang 16

VÍ DỤ LẶP NEWTON – TIẾP TUYẾN

-

-Giải xấp xỉ f(x) = x – cosx = 0 trên [0, 1], sai số 10 –8

1/ Kiểm tra điều kiện hội tụ

1

2/ Xây dựng dãy lặp:

Sai số :

0

SinhVienZone.Com

Trang 17

HỆ PHI TUYẾN – PP NEWTON – RAPHSON

-

-Minh hoạ : Hệ 2 phương trình, 2 ẩn









0 )

, (

0 )

, (

2 1 2

2 1 1

x x f































2

1 2

2

1

, :

, 0

x

x x

R R

f

f f

x f

















2

2 1

2

1 1

1

) ( '

x

f x

f

x

f x

f

x f

Ký hiệu ma trận f’(x)

(ma trận Jacobi):

 Có thể tính “giá trị” f’(x (0) ) tại

“điểm” x (0) cho trước Ký hiệu:    , :

2 1

k k k

x x

x  Bộ nghiệm gần đúng ở bước thứ k Xem x (k) đã biết Tính x (k+1) : giải thuật Newton - Raphson

1/ Tính ma trận A = f’(x (k) ) (thay x (k) vào) & vectơ b = –f(x (k) ) 2/ Giải hệ p/tr (bằng máy bỏ túi) Ah = b Tính x (k+1) = x (k) + h

SinhVienZone.Com

Trang 18

VÍ DỤ LẶP NEWTON – RAPHSON VỚI HỆ PHI TUYẾN

-

-Tìm nghiệm gần đúng x (1) của hệ phi tuyến sau với 3 chữ số lẻ:

























0 1

5 2

) ,

(

0 ln

3 )

, (

1 2

1

2 1 2

1 2

2 2 1

1 2

1 1

x x

x x f

x x

x f

x 1 5 , 1 5

Giải: Ma trận A = f’(x)

5 1



b “nhỏ”: x (k) gần nghiệm

SinhVienZone.Com

Trang 19

ỨNG DỤNG THỰC TẾ: LÝ THUYẾT MẠCH

-

-Mạch điện: Nguồn (pin) V 0 , Điện trở R, Tụ C, Cảm ứng L

R

L

0

V

C

i

C

q U

dt

di L U

iR U

C L

C

q Ri

dt

di L

0

2









C

q dt

dq R dt

q

d L dt

dq i

L

R LC

e q t

Rt

0 0

2 2

2

1



























Tìm R (L, C đã biết) để năng lượng tiêu hao của mạch có vận tốc cho trước: q/q 0 = 0.01 với t = 0.05s, L = 5H, C = 10 –4 F

SinhVienZone.Com

Trang 20

LỜI GIẢI VÍ DỤ THỰC TẾ

-

-Biến đổi phương trình thu được (ẩn R)

2

1 cos

0

2



























 

q

q t

L

R LC

e R

Rt

Khoảng cách ly nghiệm: R  [0, 400 ] (2000 – 0.01R 2  0) Giải thực tế: Đồ thị

P/p chia đôi (n = 21)

P/p Newton

 R = 328.1515 

SinhVienZone.Com

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	239,58 KB