Bài tập ôn tập HSG Dạng I: Chứng minh đẳng thức Bài tập: 1.. Chứng minh rằng nếu: 5.. Dạng II: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác: B
Trang 1Bài tập ôn tập HSG Dạng I: Chứng minh đẳng thức
Bài tập:
1 Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14
Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4
2 Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức :
B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009
3 Cho a2 – b2 = 4c2 Chứng minh rằng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2
4 Chứng minh rằng nếu:
5 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2
thì x = y = z
6 a) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì
x= y
b) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2
và x, y, z khác 0 thì a b c
x= = y z
7 Cho x + y + z = 0 Chứng minh rằng :
a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;
b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;
c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5)
8 Chứng minh các hằng đằng thức sau :
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;
b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2
9 Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2
Chứng minh rằng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4
10 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1
Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945
11 Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :
a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 và b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0 Hãy tính : D = a + b
12 Cho a3 – 3ab2 = 19 và b3 – 3a2b = 98 Hãy tính : E = a2 + b2
13 Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;
e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008
Dạng II: Phân tích đa thức thành nhân tử
I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Trang 22 2
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của
hai bình phơng: A 2 – B 2 = (A – B)(A + B)
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
III- Phơng pháp đổi biến
Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
3, 5 8 4 4, 7 6
11, 3 2 12, 5 3 9
15, 2 4 16, 2
17, 4 18, 3 3 2
2
3, 4 4, 64
5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,
Trang 3Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
IV- Phơng pháp xét giá trị riêng
Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại
B i ài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2 2
) ( 2 ) (2 )
a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a
e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b
g G a b a b
b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b
V-Phong pháp hệ số bất định
B i 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:ài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
4 3 2
4 3 2
4
a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
Bài tập:
Ví dụ Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)
Lời giải Đặt S = a + b và P = ab, thì a2 + b2 = 2
S - 2P ; a3 + b3 = 3
S - 3SP Vì vậy : A
= x3 – 3( 2
S - 2P)x + 2( 3
S - 3SP) = 3 3 2 3
(x - S )- (3S x- 3S )+(6Px- 6SP)
(x- S)(x +Sx+S )- 3S (x- S)+6P(x- S)
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11
3 8, ( ) 3( ) 2
11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16
Trang 4= 2 2
(x- S)(x +Sx- 2S +6P)
= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]
= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö :
a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ;
b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ;
c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;
d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ;
e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1
f) x8 + x4 + 1;
g) x10 + x5 + 1 ;
h) x12 + 1 ;
i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;
k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5
D¹ng III: Gi¶i ph ¬ng tr×nh
Bµi 1:
g)4 5 1
9 x 3x
n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q) 3 6 1 2
x x
x x
s)7 5( 9) 20 1,5
x x x
Bµi 2:
a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2) 2( 3) 4 3 0
x x
c)(3,3-11x) 7 2 2(1 3 ) 0
x x
d)( 3 x 5)(2x 2 1) 0
e)(2x 7)(x 10 3) 0 f)(2 3 x 5)(2,5x 2) 0
Trang 5g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x)
i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0
l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0
n)x3+1=x(x+1) 0)x2+(x=2) (11x-7)=4
p)x3+x2+x+1=0 q)x2-3x+2=0
r)4x2-12x+5=0 s)-x2+5x-6=0
t)2x2+5x+3=0 y) 2
2 3( 2) 0
x x
Bổ trợ kiến thức lớp 9
41 Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa :
2
x
2
44 Tìm giá trị của x để biểu thức sau co nghĩa :
2
2
2
b) 5 13 4 3 và 3 1
M
.
54 Giải các phơng trình sau
56 Rút gọn biểu thức :
Trang 6a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1
58 Rút gọn biểu thức :
59 So sánh:
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa :
b) Rút gọn A.
c)
67 Cho biểu thức :
A
.
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa :
b) Rút gọn A c) Tìm x để A < 2.
76 So sánh 4 7 4 7 2 v sài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: ố 0.
111 Cho a, b, c > 0 Chứng minh :
112 Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1 Chứng minh :
a b b a
với a, b > 0.
2
với a, b, c > 0.
Trang 7144 Ch ng minh rằng, ứng minh n Z + , ta luôn có : 1 1 1 1 2 n 1 1
a) Rút gọn P b) P có phải là số hữu tỉ không ?
2
(x > 0)
a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A với a = 9.
c) Với giá trị nào của A thì | A | = A.
B
a) Rút gọn B b) Tình giá trị của B với a 6 2 5 .
c) So sánh B với -1.
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A khi a 5 4 2 ; b 2 6 2
a) Rút gọn A.
b) Tính A nếu 6
a
.
A
.
a) Rút gọn A b) Tìm a để A = - 4
Trang 8196 Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 2 3 2 3
B
197 Rót gän biÓu thøc:
b)
B
2(x y)
víi x > y > 0
c)
2 2
2a 1 x
C
víi 1 1 a a x
; 0 < a < 1
2
D (a b)
v i a, b, c > 0 v ab + bc + ca = 1 ới ài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
198 Chøng minh :
264 Chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc v o x, y :ài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
x y4
C
4xy
2 x y
v i x > 0 ; y > 0 ới
265 Chøng minh biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc v o a:ài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
D
a 1
v i a > 0 ; a 1 ới ≠ 1
266 Cho biÓu thøc
.
a) Rót gän B.
b) TÝnh B khi c = 54 ; a = 24
v i m 0 ; n 1 ới ≥ 0 ; n ≥ 1 ≥ 0 ; n ≥ 1
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Trang 9
269 Cho 1 2 x 2 x
x 1
víi x > 0 ; x > 1.