Tìm hình chiếu của V xuống Oxy, mặt trên và mặt dưới của V.. Tìm hình chiếu của V xuống Oxy, mặt trên và mặt dưới của V.. Tìm hình chiếu của V xuống Oyz, mặt trên và mặt dưới của V.. Tìm
Trang 1Chương 1
Mặt bậc 2
1 Nhận dạng mặt bậc 2
(a) x2+ 2y2+ 4z2− 2xy + 4yz − 2x − 4z = 0
(b) x2+ 4y2+ 4z2− 4xy + 4y − 2z = 0
(c) x +p4 − y2+ 2z2− 1 = 0
(d) z +py2+ z2+ 1 = 0
(e) x2+ y2− z2= 2x + 2z
Ghi chú trong matlab: Lệnh vẽ mặt cầu sphere(n); lệnh vẽ mặt trụ tròn cylinder(r,n); lệnh vẽ mặt nón cylin-der([r1:delta:r2],n)
2 Cho vật thể V :
(
x2+ y2+ z2≤ 2z
z ≥px2+ y2 Tìm hình chiếu của V xuống Oxy, mặt trên và mặt dưới của V
3 Cho V giới hạn bởi z − 4 +px2+ y2= 0, z = 1, z = 2 Tìm hình chiếu của V xuống Oxy, mặt trên và mặt dưới của V
4 Cho V : x2+ z2≤ y ≤ 4 − x2− y2 Tìm hình chiếu của V xuống Oyz, mặt trên và mặt dưới của V
5 Cho V : x2+ y2+ z2≤ 2z, x2+ y2+ z2≤ 2y Tìm hình chiếu của V xuống Oxy, mặt trên và mặt dưới của V
6 Cho V giới hạn bởi y = x2; x = z; x = y; z = 0 Tìm hình chiếu của V xuống Oxy, mặt trên và mặt dưới của V
7 CHo V giới hạn bởi y = x2; z = 3x; z = 0; y = 5 Tìm hình chiếu của V xuống Oxy, mặt trên và mặt dưới của V
SinhVienZone.Com
Trang 2Chương 2
Đạo hàm riêng và ứng dụng
Bài 1: Cho z = euv, u = x3y, v = x2 Tìm df
Bài 2: Cho f (x, y) =p3
x3+ 2y2 Tìm miền xác định của fx0(x, y)
Bài 3: Cho f = arctanxy Tính df (1, 1), df2(1, 1), d2f (1, 1) Tính 4(x, y) = f”
xx+ f”
yy Bài 4: Cho f (x, y) = ex(cos y + sin y) Tính d2f (0, 0)
Bài 5: Cho z = earctanxy Tính d2z
Bài 6: Cho u = x + z
y + z, z = z(x, y) được xác định từ hàm ẩn ze
z= xex+ yey
Bài 7: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z = z(x, y) được xác định bởi hàm ẩn sau: ez= x2+ y2+ z2
Bài 8: Cho f (x, y, z) = x2+ y2+ z2 Tính đạo hàm theo hướng u = (1, 1, 1) Tìm hướng u mà đạo hàm của f theo hướng này lớn nhất, bé nhất, triệt tiêu
Bài 9: Cho f = f (u, v), u = x2− y2, v = exy Tính df
Bài 10: Cho f (u) = u3+ sin u, u = 2xy + ex Tính fxy”
Bài 11: Tính các đạo hàm cấp 2 tại (0, 0) của hàm số f (x, y) =
xy2
x2+ y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) 6= (0, 0)
Bài 12: Khai triển taylor của f (x, y) = x√
2 + y tại M (0, −1)
Bài 13: Khai triển taylor của f (x, y) =2x − y
x − y tại (1, 2) đến cấp 3.
Bài 14: Khai triển taylor của f (x, y) = (2x + y − 3) lnx
y tại (1, 1) đến cấp 3.
Bài 15: Cho f (x, y) = x cos y Tính ∂
32f
∂x∂31y(0, 0).
Câu 1: z = x3+ y3+ 3x2− 3xy + 3x − 3y
Câu 2: z = x3+ 3xy2− 15x − 12y
Câu 3: z = x4+ y4− 2(x − y)2
Câu 4: z = ex3+y2−6xy−39x+18y
Câu 5: z = x4+ 16y4+ 4x3+ 4x2− 8y2+ 8xy + 8y
Câu 6: z = x2+ y2+ xy − 12x − 3y
Câu 7: z = x3y + 12x2− 8y
Câu 8: z = x2y2(6 − x − y)
SinhVienZone.Com
Trang 3Câu 1: f (x, y) = 4x + 6y; x + y = 13
Câu 2: f (x, y) = x2y; x2+ 2y2= 6
Câu 3: f (x, y) = x2+ y2+ xy; x2+ y2= 2
Câu 4: f (x, y) = 2x2+ 12xy + y2; x2+ 4y2= 25
Câu 5: f (x, y) = 6 − 5x − 4y; x2− y2= 9
Câu 6: f (x, y) = x − y ; x + y = 1 Câu 7: f (x, y) = 5 − 3x − 4y; x2+ y2= 25
Câu 8: f (x, y) = 1 − 4x − 8y; x2− 8y2= 8 Câu 9: f (x, y) = 2x2+ 3y2+ 4z2; x + y + z = 13
Câu 1: f (x, y) = 3 + xy − x − 2y, D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 5}
Câu 2: f (x, y) = x2+ y2− xy + x + y, D : x ≤ 0; y ≤ 0; x + y ≥ −3
Câu 3: f (x, y) = 1 + 4x − 5y, D là miền tam giác với các đỉnh O(0, 0); A(2, 0); B(0, 3)
Câu 4: f (x, y) = x2− 2xy, D : x2+ y2≤ 4x; y ≥ 0
Câu 5: f (x, y) = 4x + 6y − x2− y2, D = {(x, y) : x2+ y2≤ 25}
Câu 6: f (x, y) = (x − 6)2+ (y + 8)2, D = {(x, y) : x2+ y2≤ 25}
Câu 7: f (x, y) = x2− y2, D = {(x, y) : x2+ y2≤ 25}
Câu 8: f (x, y) = (y2− x2)e1−x2+y2, D = {(x, y) : x2+ y2≤ 4}
Câu 9: f (x, y) = 1 + x + 2y,
(a) D : x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 1
(b) D : x ≥ 0; y ≤ 0; x − y ≤ 1
Câu 10: f (x, y) = x3+ y3− 3xy, D : 0 ≤ x ≤ 2; −1 ≤ y ≤ 2
Câu 11: f (x, y) = x2− y2, D : x2+ y2≤ 4
Câu 12: f (x, y) = x2+ y2− 12x + 16y, D : x2+ y2≤ 25
Câu 13: f (x, y) = x2y(4 − x − y), D : x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 6
Câu 14: f (x, y) = e−x2−y2(2x2+ 3y2), D : |x| ≤ π2; |y| ≤ π2
Câu 1: RR
D
(x2+ y)dxdy, D : x = y2, x + y = 2
Câu 2: RR
D
yexydxdy, D : y = 1, y = 2, x = 0, xy = 1
Câu 3: RR
D
x2ydxdy, D : y = x2, 4y = x2, y = 4
Câu 4: RR
D
(x + y)3(x − y)2dxdy, D : |x + y + 2| ≤ 1, |x − y| ≤ 1
Câu 5: RR
D
|2x − y2|dxdy, D : |x − 1| ≤ 1, |y| ≤ 2
Câu 6: RR
D
(2x − y)dxdy, D : |x + y| ≤ 1, |2x − y| ≤ 2
Câu 7: RR
4ABC
(x + y)dxdy, A = (1, 0), B(−1, −1), C(2, 3)
Câu 8: RR
D
(x2+ x)dxdy, D : x = y2, x + y = 2
Câu 9: RR
D
(x2+ x)dxdy, D : x = y2, x + y = 2
Câu 10: RR
D
|x + y|dxdy, D : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1
Câu 1:
1
R
0
2−y
R
√
y
f (x, y)dxdy Câu 2:
2
R
0
4−x 2
R
0
xe2y
4 − ydxdy. Câu 3:
1
R
0
√ y
R
y
f (x, y)dxdy Câu 4: R1
0 1+
√
1−y 2
R
2−y
f (x, y)dx
SinhVienZone.Com
Trang 4Câu 1:
D
ex+y dxdy, D : 1 ≤ x2+ y2≤ 4, x ≤ 0
Câu 2: RR
D
x(1 + x2y)dxdy, D : 1 ≤ x2+ y2≤ 4, x ≤ −|y|
Câu 3: RR
D
dxdy
p
x2+ y2
(a) D : x2+ y2≤ 2x, x ≥ |y|
(b) D : x2+ y2≤ 2x, x ≥ 1
(c) D : x2+ y2≤ 2x, x ≥ 1
2
Câu 4: RR
D
1
xdxdy.
(a) D : 1 ≤ x2+ y2≤ 2x
(b) D : x2+ y2≤ 2x, x2+ y2≤ 1
Câu 5: RR
D
dxdy
p
x2+ y2, D : x2+ y2≤ 1, x + y ≤ 1
Câu 6: RR
D
xdxdy, D : 2x ≤ x2+ y2≤ 4x, y ≤ x
Câu 7: RR
D
dxdy p
4 − x2− y2, D : x2+y2+2x ≤ 0, x2+y2+2y ≤ 0
Câu 8: RR
D
1 p
3 + 2x − x2− y2dxdy, D : x2+ y2≤ 1, x + y ≤ 1 Câu 9: RR
D
dxdy, D : x2+ (y − 1)2≤ 9, x2+ y2≥ 2y
Câu 10: RR
D
dxdy p
x2+ y2, D : x2+ y2≤ 4x, x ≥ 1
Câu 11: RR
D
xdxdy, D : x2+ (y − 1)2≤ 9, x2+ y2≥ 2y
Câu 12: RR
D
dxdy p
x2+ y2, D : y =√
3x, x =√
y, x + y = 1
Câu 13: RR
D
(x−y)dxdy, D : x
2
4 +
y2
9 ≤ 1, 2y ≤√3x, 2y +3x ≥ 0 Câu 14: RR
D
dxdy, D : x3+ y3≤ axy, a > 0
Câu 1: RRR
V
2xdxdydz, V : x2+ y2≤ z ≤ 4, x, y ≥ 0
Câu 2: RRR
V
(1 + x2y − z)dxdydz, V : x = y2+ z2, x = 4
Câu 3: RRR
V
(x2+ y2)dxdydz, V : z =px2+ y2, z = x2+ y2
Câu 4: RRR
V
(xz2+y−3z)dxdydz, V : y = x2+z2, y+x2+z2= 4
Câu 5: RRR
V
(x+y+z)2dxdydz, V : x2+y2≤ 2z, x2+y2+z2≤ 3
Câu 6: RRR
V
xdxdydz, V : x2+ y2+ z2≤ 4, y2+ z2≥ 3x
Câu 7: RRR
V
(x + y)dxdydz, V : y = x2, x = z, x = y, z = 0
Câu 8: RRR
V
ydxdydz, V : x = 0, y = 0, z = 0, z = x + y, x + y =
1
Câu 9: RRR
V
(x + z)dxdydz, V : z = 0, z = y, x2+ y2= 1(y ≤ 0)
Câu 10: RRR
V
(x + y + z)dxdydz, V : x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≤
p
x2+ y2
Câu 11: RRR
V
dxdydz p
x2+ y2+ z2, V : x2+ y2+ z2≤ 2x, z ≤ x
Câu 12: RRR
V
dxdydz p
x2+ y2+ z2, V : x2+y2+z2≤ 2x, x2+y2+z2≤ 2y
Câu 13: RRR
V
zdxdydz, V : x2+ y2+ z2≤ 4, z ≤√3
Câu 14: RRR
V
zdxdydz, V : x2+ y2+ z2≤ 1, x + y + z ≤ 1
Câu 15: RRR
V
zdxdydz, V : x2+ y2+ z2≤ 2x, z ≤ x
Câu 16: RRR
V
ydxdydz, V : y = x2, z + y = 1, z = 0
Câu 17: RRR
V
dxdydz (1 + x + y + z)3, V : x = y = z = 0, x + y + z = 1
Câu 18: RRR
V
xdxdydz, V : z = 1−x2−y2, y = x, y =√
3x, z = 0
Câu 19: RRR
V
ydxdydz, V : x2+ y2≤ 2y, x2+ y2+ z2≤ 4
Câu 20: RRR
V
(x + y)dxdydz, V : z = x2+ y2, z2= xy, (x ≥ 0, y ≥
0)
Câu 21: RRR
V
xdxdydz, V : z = 4 − x2− y2, 2z = 2 + x2+ y2
Câu 1: Tính diện tích phần mặt cầu x2+ y2+ z2≤ 2 nằm phía trên mặt phẳng z = 1
Câu 2: Tính diện tích phần mặt phẳng x + y + z = 1 bị cắt bởi mặt trụ x = y2 và mặt phẳng x = 1
Câu 3: Tính diện tích phần mặt paraboloid eliptic x = z2+ y2 nằm phía sau mặt phẳng x = 1
Câu 4: Tính diện tích phần mặt trụ x2= 2z bị cắt bởi các mặt phẳng x − 2y = 0, y = 2x, x = 2√
2
SinhVienZone.Com
Trang 5Câu 5: Tính diện tích phần mặt trụ x + y = 2y nằm trong mặt cầu x + y + z = 4.
Câu 6: Tính diện tích phần mặt nón z =px2+ y2 nằm trong mặt trụ x2+ y2= 2x
Câu 7: Tính diện tích phần mặt cầu nằm giữa 2 mặt phẳng z =
√ 3
3 y, z = y.
Câu 8: Tính diện tích phần xung quanh của vặt thể tạo bởi 3 mặt trụ x2+ y2= 1, y2+ z2= 1, z2+ x2= 1
Câu 1: R
C
(x + y)dl, với C là tam giác ∆OAB : A(2, 2), B(−2, 2)
Câu 2: R
C
x − y p
x2+ y2− 2xdl, C : (x − 1)
2+ y2= 4, x ≤ 1
Câu 3: R
C
xydl, C : (x − 1)
2
4 +
y2
9 = 1, x ≥ 1.
Câu 4: R
C
(√3
x4+p3 y4)dl, C :√3
x2+p3 y2= 1
Câu 5: R
C
(x − z)dl, với C là giao tuyến của 2 mặt z = x2+ y2, x2+ y2= x +z
2.
Câu 1: R
C
ydx − (x + y)2dy, C : y = 2x − x2nối từ điểm (2; 0) đến điểm O(0; 0)
Câu 2: R
C
(x − y)2dx + (x + y)2dy, C : x = t2, y = t + 2, t = 0 7→ 1
Câu 3: R
C
(x2y + yey 2
)dy − (xy2+ x cos(x2))dx, C là biên của miền giới hạn bởi y = x2, y = x + 2, cùng chiều kim đồng hồ
Câu 4: R
C
(yexy+ 2xy + 3y)dx + (xexy+ x2+ 4xy)dy, C : nửa trái đường tròn đơn vị từ dưới lên trên
Câu 5: R
C
((1 + xy)exy+ 2xy + 2) dx + (x2exy+ x2)dy, C : y = x2− 1 từ A(−2; 3) đến B(1; 0)
Câu 6: R
C
xdy − ydx
x2+ y2 ,
(a) C là chu tuyến không bao quanh O(0; 0)
(b) C là đường tròn B(O, r), ngược chiều kim đồng hồ
(c) C là đường tròn x2+ y2= 2x + 3, theo chiều kim đồng hồ
(d) C là đường cong không tự cắt, bao quanh O(0; 0), nối A(1; 0) đến B(2; 0)
(e) C là đường cong không tự cắt, bao quanh O(0; 0), nối A(−1; 0) đến B(2; 0)
Câu 7: R
C
xdx + ydy
p
x2+ y2, C : y = 4 − x2 nối A(−2; 0) đến B(2; 0)
Câu 8: R
C
(x2+ y cos xy)dx + (x
3
3 + xy
2− x + x cos xy)dy, C nửa trên đường tròn B(O, r) từ trái sang phải
Câu 9: R
C
x p
x2+ y2 + yexy
!
dx + p xy
x2+ y2 + xexy
!
dy, C nửa dưới đường tròn đơn vị từ phải sang trái
Câu 10: Cho P = x2+ y2+ 2x, Q = 2y, h = h(x), I = R
C
h(x)(P dx + Qdy) Hãy tìm hàm h(x) sao cho h(0) = 1 và tích phân
không phụ thuộc đường đi Với h(x) vừa tìm được, hãy Tính I với C là đường cong nối từ A(2; 1) đến B(−1, 3)
Câu 11:
(3;2)
H
(1;1)
(x + 2y)dy + ydx
(x − y)2 , Với C là đường cong không cắt đường thẳng y = x
SinhVienZone.Com
Trang 612 Tính tích phân mặt loại 1
Câu 1: RR
S
(x + y + z)ds, S là biên của vật thể giới hạn bởi mp x + y + z = 1 và các trục tọa độ
Câu 2: RR
S
xyzds, S là hình lập phương x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1
Câu 3: RR
S
xydydz + yzdxdz + xzdxdy, S là biên vật thể giới hạn bởi x ≥ 0, y ≥ 0, x2+ y2= 1, z = 0, z = 1
Câu 4: RR
S
(xy2+ 2yz + z2)ds, S là mặt cầu B(O, r)
Câu 5: RR
S
(x2+ z2)ds, S là phần mặt y = x2+ z2nằm trong mặt cầu x2+ y2+ z2= 2
Câu 6: RR
S
(xy + z)ds, S là biên vật thể giới hạn bởi z + 1 = x2+ y2, z = 2x − 1
Câu 7: RR
S
(xy + yz + zx)ds, S : x =py2+ z2 nằm phía trong mặt nón y2+ z2= 2z
Câu 1: RR
S
ydxdz, S là mặt bên trái của mặt y = x2+ z2, 0 ≤ y ≤ 4
Câu 2: RR
S
xdydz + ydxdz + zdxdy, S là mặt dưới của phần mặt nónz =px2+ y2, z ≤ 1
Câu 3: RR
S
xydydz + yzdxdz + xzdxdy, S là mặt trong của vật thể gh bởi x ≥ 0, y ≥ 0, x2+ y2= 1, z = 0, z = 1
Câu 4: RR
S
ydydz + xydxdz − zdxdy, S là mặt ngoài của vật thể cho bởi x2+ y2≤ 1, 0 ≤ z ≤ x2+ y2
Câu 5: Tính bằng 3 phương pháp
RR
S
xdydz + ydxdz + zdxdy, S là mặt trong của mặt cầu đơn vị x2+ y2+ z2= 1, y ≤ 0
Câu 6: Dùng công thức G-O, tính RR
S
xydydz + yzdxdz + xzdxdy, S là mặt trong của vật thể gh bởi x ≥ 0, y ≥ 0, x2+ y2 =
1, z = 0, z = 1
Câu 7: RR
S
xydydz + (zcosx + y)dxdz + xy2dxdy, S là mặt trong của mặt Paraboloid eliptic z = x2+ y2(z ≤ 1)
Câu 8: RR
S
x3dydz + y3dxdz + z3dxdy, S là mặt dưới của mặt nón z =px2+ y2(z ≤ 1)
Câu 9: RR
S
xzdydz + yzdxdz + dxdy, S là phía ngoài phần mặt cầu x2+ y2+ z2= 25(z ≥ 3)
Câu 10: RR
S
xdydz + ydxdz + zdxdy
p
x2+ y2+ z2 , S là mặt ngoài của vật thể cho bởi 1 ≤ x2+ y2+ z2≤ 4
Câu 11: RR
S
(6x2+ 2y)dydz + (y + x2z)dxdz + pdxdy
x2+ y2, S là phía ngoài của mặt nón x2+ y2= 1(0 ≤ z ≤ 1)
Ôn tập tích phân mặt
Câu 1: Tính diện tích phần mặt z = x2+ y2nằm phía dưới mặt phẳng z = 1
Câu 2: Tính diện tích phần mặt cầu z =pR2− x2− y2 nằm phía trong mặt trụ x2+ y2= Rx
Câu 3: TínhRR
S
x2dydz + y2dxdz + z2dxdy với S là nửa trên mặt cầu x2+ y2+ z2= 2z, phía trên
Câu 4: Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi y = 2 − x2, y = 1, z = 0, z = 3x
SinhVienZone.Com
Trang 714 Tính tích phân đường loại 2 trong không gian
Câu 1: H
C
ydx + (x + z)dy + xdz, C là giao tuyến của x2+ y2= 1 và z = y + 1, chiều kđh nhìn từ hướng dương oz
Câu 2: H
C
(x + y)dx + (2x − z)dy + ydz, C là giao tuyến của x2+ y2+ z2= 4 và x + y + z = 0 ngược chiều kđh nhìn từ hướng
dương Oz
Câu 3: H
C
(3x − y2)dx + (3y − z2)dy + (3z − x2)dz, C là giao tuyến của z = x2+ y2 và z = 2 − 2y chiều kđh theo hướng dương Oy
Câu 4: H
C
(x + y)dx + (2x − z)dy + ydz, C là tam giác ∆ABD : A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), D(0; 0; 6), ngược chiều kđh nhìn từ hướng
dương Oy
Câu 5: TínhR
C
yzdx + xzdy + xydz với C là giao của x2+ y2= 1, z = y2, lấy ngược kđh từ hướng dương Oz
Câu 1:
∞
P
n=1
2 + 3n
7 − 4n
Câu 2:
∞
P
n=1
2 +√
2n − 3 7n2− 4n
Câu 3:
∞
P
n=1
ln 1
n
n2
Câu 4:
∞
P
n=1
sin n + cos 2n
2n − 3n2
Câu 5:
∞
P
n=1
(3n + 1)!
8nn2
Câu 6:
∞
P
n=1
(2n − 1)!!
22n(n − 1)!
Câu 7:
∞
P
n=1
n − 1
n + 1
n(n−1)
Câu 8:
∞
P
n=1
(n + 1)n2
nn 2
2n
Câu 9:
∞
P
n=1
2 + 3n
7 − 4n
Câu 10:
∞
P
n=1
1
2n
1 + 1 n
n2
Câu 11:
∞
P
n=1
(−1)n2n−1+ 1
2n+1+ 1
Câu 12:
∞
P
n=1
(−1)n+1 n + 1
2n2− 5 Câu 13:
∞
P
n=1
(−1)n n + 1
√
n − n.
Câu 14:
∞
P
n=1
(−1)n (−1)n−√n Câu 15:
∞
P
n=1
sin n n
abc
SinhVienZone.Com