giải tích 2 lê xuân đại giới hạn lien tuc sinhvienzone com

Lê Xuân Đại BK TPHCM CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP... Lê Xuân Đại BK TPHCM CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP... Lê Xuân Đại BK TPHCM CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP... Lê Xuân Đại

Trang 1

CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP HCM — 2011

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 1 / 18

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Trang 2

Định nghĩa

Cho tập con M ⊂ Rm Một qui luật f đặt tương ứng mỗi điểm

x = (x1, x2, , xm) ∈ M với một số thực u = f (x1, x2, , xm) ∈ R gọi là

một hàm m biến có miền xác định là tập M Hàm số này được kí hiệu là

f : M ⊂ Rm→ R hoặc u = f (x) = f (x1, x2, , xm)

Định nghĩa

Đối với hàm f : M ⊂ Rm → R, tập hợp M được gọi làmiền xác định của hàm số này và được kí hiệu D(f )

Ví dụ

Hàm u = arcsin f (x , y ) xác định khi −1 6 f (x, y ) 6 1

SinhVienZone.Com

Trang 3

Ví dụ

Tìm miền xác định của hàm số f (x , y ) = arcsiny

x. Hàm số xác định nếu ta có −1 6 y

x 6 1 và x 6= 0, tức là −x 6 y 6 x khi

x > 0 hoặc là x 6 y 6 −x khi x < 0

SinhVienZone.Com

Trang 4

Ví dụ

Cho hàm số f (x , y ) = 2x − 3y

3x − 2y Tính f (2, 1), f (1, 2)f (a, a), f (y , x ).

Ta có f (2, 1) = 2.2 − 3.1

3.2 − 2.1 =

1

4, f (1, 2) =

2.1 − 3.2 3.1 − 2.2 = 4.

f (a, a) = 2.a − 3.a

3.a − 2.a = −1, f (y , x ) =

2y − 3x 3y − 2x.

SinhVienZone.Com

Trang 5

Định nghĩa

Số A ∈ R được gọi làgiới hạn của hàm số f (x , y ) khi (x , y ) → (x0, y0),

nếu như ∀{(xn), (yn)} ⊂ M\(x0, y0) : xn→ x0, yn→ y0 luôn có bất đẳng thức f (xn, yn) → A

Ví dụ

Tính lim

x →0

y →1

x + y

x2+ y2

Ta lấy dãy (xn, yn) → (0, 1) bất kỳ, tức là xn→ 0 và yn→ 1 Khi đó

f (xn, yn) = xn+ yn

x2

n+ y2 n

02+ 12 = 1

Vậy theo định nghĩa thì lim

x →0

y →1

x + y

x2+ y2 = 1

SinhVienZone.Com

Trang 6

Định lý

Nếu g (x , y ) 6 f (x, y ) 6 h(x, y ), ∀x, y và limx →x0

y →y0

g (x , y ) = lim

x →x0

y →y0

h(x , y ) = a thì lim

x →x0

y →y0

f (x , y ) = a

Ví dụ

Tính lim

x →0

y →0

(x2+ y2) sin 1

xy.

Ta có bất đẳng thức 0 6

(x2+ y2) sin 1

xy

6 x2+ y2 Hơn nữa

lim

x →0

y →0

(x2+ y2) = 0 nên lim

x →0

y →0

(x2+ y2) sin 1

xy

= 0

Từ đó suy ra lim

x →0

y →0

(x2+ y2) sin 1

xy = 0.

SinhVienZone.Com

Trang 7

Trong giải tích cùng với giới hạn của hàm nhiều biến hay còn gọi là giới hạn kép, người ta còn dùng giới hạn lặp của hàm nhiều biến Giới hạn lặp của hàm nhiều biến là giới hạn thu được bằng cách lấy lần lượt giới hạn của từng biến riêng lẻ

Cho hàm số f (x , y ) xác định trên tập M ⊂ R2 và điểm (a, b) ∈ R2 là điểm

tụ của tập hợp M Cố định biến y khi đó ta sẽ thu được hàm số một biến

số ϕ(x ) = f (x , y ) Lấy giới hạn lim

x →aϕ(x ) = lim

x →af (x , y ) Nếu giới hạn này tồn tại với mọi ∀y thì ta sẽ thu được hàm số một biến số

ψ(y ) = lim

x →af (x , y ) Tiếp tục lấy giới hạn lim

y →bψ(y ) = lim

y →b lim

x →af (x , y ) Nếu giới hạn này tồn tại thì ta thu được giới hạn lặp của hàm số f (x , y ) tại điểm (a, b) Lập luận tương tự ta thu được giới hạn lặp lim

x →a lim

y →bf (x , y )

SinhVienZone.Com

Trang 8

Ví dụ

Tìm giới hạn lim

x →0lim

y →0f (x , y ) và lim

y →0lim

x →0f (x , y ), với

f (x , y ) = x − y + x

2+ y2

Lấy x 6= 0 cố định, xét giới hạn lim

y →0f (x , y ) = lim

y →0

x − y + x2+ y2

x + y = 1 + x = ϕ(x ) Tiếp tục lấy giới hạn lim

x →0ϕ(x ) = lim

x →0(1 + x ) = 1 Vậy lim

x →0 lim

y →0f (x , y ) = 1

Tương tự, lấy y 6= 0 cố định, xét giới hạn lim

x →0f (x , y ) = lim

x →0

x − y + x2+ y2

x + y = y − 1 = ψ(y ) Tiếp tục lấy giới hạn lim

y →0ψ(y ) = lim

y →0(y − 1) = −1 Vậy lim

y →0 lim

x →0f (x , y ) = −1

SinhVienZone.Com

Trang 9

Định nghĩa

Hàm số f (x , y ) được gọi là liên tục tại điểm (x0, y0), nếu như

∀{(xn), (yn)} ⊂ M\(x0, y0) : xn→ x0, yn→ y0 luôn có bất đẳng thức

f (xn, yn) → f (x0, y0)

Ví dụ

Cho hàm số

f (x , y ) =

(

xy 2

x 2 +y 2, (x , y ) 6= (0, 0),

a, (x , y ) = (0, 0)

Tìm a để hàm số f (x , y ) liên tục tại điểm (0, 0)

Xét giới hạn lim

x →0

y →0

xy2

x2+ y2 Ta có 0 6

xy2

x2+ y2

6

yx2+y2 2

x2+ y2

= |y |

2 Do đó

khi y → 0 thì lim

x →0

y →0

xy2

x2+ y2 = 0 Như vậy, chỉ cần lấy a = 0 thì hàm số

f (x , y ) liên tục tại (0, 0)

SinhVienZone.Com

Trang 10

Định lý

Cho hàm số u = ϕ(x , y ) liên tục tại điểm (x0, y0), còn hàm số f = g (u) liên tục tại điểm tương ứng (u0), ở đây u0 = ϕ(x0, y0) Khi đó hàm hợp

f (x0, y0) = g (ϕ(x0, y0)) cũng liên tục tại điểm (x0, y0)

Ví dụ

Chứng minh rằng hàm số f (x , y ) = sin(x2+ xy − y2) liên tục trên R2

Vì u(x , y ) = x2+ xy − y2 liên tục trên R2 và g (u) = sin u cũng là hàm liên tục trên R nên hợp của hai hàm liên tục

f (x , y ) = g (u) = sin u = sin(x2+ xy − y2) sẽ liên tục trên R2

SinhVienZone.Com

Trang 11

Mặt Paraboloid elliptic

Vẽ mặt Paraboloid elliptic z = x

2

a2 +y

2

b2

SinhVienZone.Com

Trang 12

Mặt ellipsoid

x2

a2 +y

2

b2 +z

2

c2 = 1

SinhVienZone.Com

Trang 13

Mặt Hyperbolic Paraboloid

Vẽ mặt Hyperbolic Paraboloid z = x

2

a2 −y

2

b2

SinhVienZone.Com

Trang 14

Mặt Hyperboloid

1 Vẽ mặt Hyperboloid 1 tầng x

2

a2 +y

2

b2 −z

2

c2 = 1

2 Vẽ mặt Hyperboloid 2 tầng x

2

a2 +y

2

b2 −z

2

c2 = −1

SinhVienZone.Com

Trang 15

Mặt trụ

1 Vẽ mặt trụ ellipse x

2

a2 +y

2

b2 = 1, z ∈ R

2 Vẽ mặt trụ parabol y2 = 2px , z ∈ R

SinhVienZone.Com

Trang 16

Mặt nón 2 phía

x2

a2 +y

2

b2 = z

2

c2

SinhVienZone.Com

Trang 17

Nhận dạng mặt bậc 2 xác định bởi phương trình 4x2+ 4y2− 8z2− 10xy + 4yz + 4xz − 16x − 16y − 8z + 72 = 0

SinhVienZone.Com

Trang 18

THANK YOU FOR ATTENTION

SinhVienZone.Com

Trong giải tích với giới hạn hàm nhiều biến hay gọi giới hạn kép, người ta dùng giới hạn lặp hàm nhiều biến Giới hạn lặp hàm nhiều biến giới hạn thu cách lấy giới hạn biến riêng lẻ

Cho...

SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn

SinhVienZone. Com< /h3>...

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 20 11 15 / 18

SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn

SinhVienZone. Com< /h3>

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	630,62 KB