Bài giảng Lý thuyết mật mã và an toàn thông tin: RSA cryptosystem - PGS.TS. Vũ Đình Hòa

Bài giảng Lý thuyết mật mã và an toàn thông tin: RSA cryptosystem cung cấp cho người đọc các kiến thức: Mật mã RSA, mô tả sơ lược, tạo khó, mã hóa và giải mã, tính bảo mật của RSA,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

RSA CRYPTOSYSTEM

4.3 Mật mã RSA

• RSA : Ron Rivest, Adi Shamir và Len Adleman (Leonard Max Adleman) năm

1977 Massachusetts

Mô hình mã hóa và giải mã bản mã

điện tử:

Bản tin rõ

A Mã hóa

Bản tin mới

Mạng

Bản tin mới Bản tin rõ

B Giải mã

Khóa công khai của người nhận

Khóa riêng của người nhận

Mô tả sơ lược

• Thuật toán RSA có hai khóa, khóa công

khai (public) và khóa bí mật (private) Mỗi

khóa là những số cố định sử dụng trong quá trình giải mã và mã hóa Khóa công khai được công bố rộng rãi cho mọi người

và được dùng để mã hóa

Tạo khóa

• Hệ mật mã này được tính toán trên vành

số nguyên Z n

• Đầu tiên, ta chọn 2 số nguyên tố lớn ngẫu nhiên và khác nhau p và q

• Tính n = p*q

• Tính giá trị hàm số Ơle Φ(n) = (p-1)(q-1)

• Tìm một số ngẫu nhiên e thỏa mãn điều kiện sau: 1< e <Φ(n) và gcd(e, Φ(n)) =1

• Tính d sao cho de ≡ 1(mod Φ(n))

Tạo khóa

• Khóa công khai bao gồm n và e: n -

modun và e - số mũ công khai (số mũ mã

hóa)

• Khóa bí mật là d: d - số mũ bí mật (khóa

giải mã)

Mã hóa và giải mã

• Giả sử B muốn gửi đoạn thông điệp P cho

A Đầu tiên, B chuyển P thành một số P<n theo một hàm có thể đảo ngược (từ P có thể xác định P) đã được thỏa thuận trước

• Ví dụ: A -> 01, B -> 02, …; z ->26

• Gọi E và D lần lượt là các hàm mã hóa và giải mã

Mã hóa và giải mã

• Thao tác mã hóa:

C là bản mã hóa của m theo công thức:

C = P e (mod n)

• Thao tác giải mã:

A nhận C từ B và biết khóa bí mật d A sẽ tìm được P từ C theo công thức sau:

P = C d mod n

Ví dụ

• Lấy p=61 (Số nguyên tố thứ nhất)

• q= 53 (Số nguyên tố thứ hai)

• n = pq = 3233 (mô đun công bố công khai)

• Φ(n) = 3120

• e = 17 (Số mũ công khai) được chọn sao cho nguyên tố cùng nhau Φ(n) = 3120

• d = 2753 (Số mũ bí mật) (chọn d sao cho

de ≡ 1(modΦ(n))  d ≡ e-1 mod Φ(n), tính theo giải thuật Ơclit mở rộng)

Ví dụ (tiếp)

• Khóa công khai (e,n) Khóa bí mật là d

• Hàm mã hóa E(m) = m e (mod n) = m17

(mod 3233)

• Hàm giải mã là D(m) = c d mod n = c 2753 (mod 3233)

Ví dụ

• Chẳng hạn: để mã hóa văn bản P=AW

có giá trị 0123 (A=01, W=23), ta thực hiện phép tính:

• Mã hóa E(m) = 12317 (mod 3233) = 855

• Giải mã: D(m) = 8552753 (mod 3233) = 123

• (Thủ thuật tính 123.123 … 123, ta thực hiện ngay phép lấy số dư của 123.123

trong phép chia cho 3233 … )

Tính bảo mật của RSA

• Bài toán : Cho trước n, phân tích n thành tích các số nguyên tố chưa có thuật toán tốt (với thời gian tính toán đa thức) để giải

nó

• Vì vậy, biết khóa công khai (n,e) rất khó tính ra khóa giải mã d

Chữ ký điện tử và vấn đề chống

mạo danh

Giả sử A gửi cho B văn bản P kèm theo chữ

ký K của A

Cơ chế;

A mã hóa P bằng khóa lập mã (nB, eB) và

- K bởi (nA, dA)

B giải mã bản mã bằng khóa (nB, dB) và

- K bởi (nA, eA)

Tính khóa giải mã d

• Procedure Euclid_E(a,m) int, y0=0,y1:=1;

• While a>0 do

• { r:= m mod a

• if r=0 then Break

• q:= m div a

• y:= y0-y1*q

• m:=a; a:=r y0:=y1 y1:=y }

• If a>1 Then Return "A không khả nghịch

theo mođun m"

• else Return " Nghịch đảo modulo m của a

là y"

Bài tập:

Xét hệ mật mã RSA với p = 3, q = 7

• Hỏi có thể chọn e = 3 được không?

• Hãy mã hóa chữ cái đầu tên của em với

e = 5

• Gợi ý:

• e = 3 không thể

Ví dụ mã hóa H với e = 5:

• H được số hóa thành 08,

• e(H) = 85 = ? (mod 21)

• Do 82 = 64 = 1 (mod 21), suy ra

• 85 = (82)28 = 1.8 = 8 (mod 21)