Bài giảng Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

Đại lượng ngẫu nhiên; các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên; véc tơ ngẫu nhiên; hàm của một đại lượng ngẫu nhiên;.. là những nội dung chính mà Bài giảng Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên hướng đến trình bày.

Chương 2: Đ i lạ ượng ng u nhiên, vect  ng u nhiênẫ ơ ẫ

§1: Đ i lạ ượng ng u nhiênẫ

• Khái ni m: Đ i l ng ng u nhiên là đ i l ng có th  ng u ệ ạ ượ ẫ ạ ượ ể ẫnhiên nhân m t s  giá tr  v i xác su t tộ ố ị ớ ấ ương  ng xác đ nh.ứ ị

• Đ i l ng ng u nhiên là r i r c n u s  các giá tr  c a nó là ạ ượ ẫ ờ ạ ế ố ị ủ

h u h n ho c vô h n đ m đữ ạ ặ ạ ế ược

• Đ i l ng ng u nhiên là liên t c n u t p h p t t c  các giá ạ ượ ẫ ụ ế ậ ợ ấ ả

tr  có th  có c a nó l p đ y ít nh t 1 kho ng trên tr c s ị ể ủ ấ ầ ấ ả ụ ố

§2: Các phương pháp mô t  đ i lả ạ ượng ng u nhiênẫ

1. B ng phân ph i xác su t (ch  dùng cho r i r c)ả ố ấ ỉ ờ ạ

2 1

k

kp p

p

x x

xx

Χ Ρ

Ví d  2.2: đ  bài gi ng bài trên đi u ki n ng ng là b n trúng ụ ề ố ề ệ ừ ắ

thì ng ng ho c b n h t 20 viên thì ng ngừ ặ ắ ế ừ

• 2. Hàm phân ph i xác su t(r i r c và liên t c):ố ấ ờ ạ ụ

• Đ nh nghĩa 2.2: hàm phân ph i xác su t c a đ i l ng ng u ị ố ấ ủ ạ ượ ẫnhiên X là: 

x F x

F X ( )

x

a F b

F b

X a

F F

X X

1 ,

0

x

F X

19 18

2 .

20 19

3 2

1

q pq

pq pq

p

0

0 0 x,

x X

4 , 0 5 , 0 1, 0

7 5 2

1

6 , 0

1, 0

0

x

F X

x x x x

7

7 5

5 2

2

Chú ý: Hàm phân ph i      bên trái mi n giá tr  c a X ố ề ị ủ

và       bên ph i mi n giá tr  c a X.ả ề ị ủ

• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu

P a < X < b = f x dx

Chú ý: 1.Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm

2 Hãy tìm hàm phân phối

• Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi Lập dãy phân phối của số lần ném của mỗi người nếu xác suất lọt

rổ của người thứ nhất,hai là

• Giải: Gọi là xác suất ném trượt bóng của người 1,2

• X là số bóng của người thứ 1

• Y là số bóng của người thứ 2

• Z là tổng số bóng của cả 2 người

1 , 2

q q

1, 2

p p

§3: Véc tơ ngẫu nhiên

I Vectơ ngẫu nhiên

Giả sử là các đại lượng ngẫu nhiên được xácđịnh bởi kết quả của cùng 1 phép thử Khi ấy

được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều

II Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).

1 Bảng phân phối xác suất đồng thời:

2.Bảng phân phối xác suất lề của X và Y

3.Điều kiện độc lập của X và Y

ij 1

p

5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)

Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau:

(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:

(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y

là phụ thuộc

(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:

(4)Tìm hàm phân phối:

0 2 0,3 0,7

X

X P

( )

0, 0.1, , 0.1 0.2,

0.1 0.3, 1,

X Y X

P =

III Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)

1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)

HINH 3.1

=

=

.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề:

4.Điều kiện độc lập của X và Y

X Y

0

, ( )

0

,( )

2 2

x y x

HÌNH 3.2

HÌNH 3.3

4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2

Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3

HÌNH 3.4

HÌNH 3.5

5.Hãy tìm hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)

0

22

HÌNH 3.6

HÌNH 3.7

HÌNH 3.8

Ví dụ 3.3: P(-2<X<1,-2<Y<2) =

,D1: -2<x<1 , -2<y<2

,D2:-2<Y<2.P(-2<X<1 / -2<Y<2)=

Ρ Ρ

$4.Hàm của một đại lượng ngẩu nhiên

2 Trường hợp liên tục: Gỉa sử cho X liên tục

Bước 1 Tìm miền giá trị của

Định nghĩa 4.1: đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối đều trên đoạn kí hiệu X~U ,nếu

nếu x<a

Chú ý : Nếu X có phân phối đều thì cũng có

phân phối đều, với là các hằng số

Ví dụ 4.3 : Cho X có phân phối đều trên đoạn [0,1] .

) ln

( )

( )

Y y P Y y P X y P X e F

$4 Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên

1 Trường hợp rời rạc.

Giả sử:

Ví dụ 4.1: Cho X,Y có bảng

Tìm bảng phân phối xác suất của X+Y và X.Y

( , )

( )

,

x y z

ϕ =

Y

X

Bước 2

Bước 3

Ví dụ 4.2:

,nếu

,nếu trái lại

Tìm hàm phân phối của Z=X+Y

• HÌNH 4.1 • HÌNH 4.2