Bài giảng cung cấp các kiến thức giúp người học có thể phân biệt được sự khác biệt của phân phối xác suất của giá trị cá thể và phân phối xác suất của các ước lượng lấy mẫu, trình bày được công thức tính phân phối xác suất của trung bình mẫu, hiệu số trung bình mẫu, tỉ lệ và hiệu số tỉ lệ của mẫu.
Trang 1M T S NH NG PHÂN PH I L Y M U QUAN TR NG.Ộ Ố Ữ Ố Ấ Ẫ Ọ
Mục tiêu
Sau khi nghiên c u ch đ , h c viên có kh năng:ứ ủ ề ọ ả
Phân bi t đệ ượ ực s khác bi t c a phân ph i xác su t c a giá tr cá th và phân ph iệ ủ ố ấ ủ ị ể ố xác su t c a các ấ ủ ướ ược l ng l y m uấ ẫ
Trình bày được công th c tính phân ph i xác su t c a trung bình m u, hi u s trungứ ố ấ ủ ẫ ệ ố bình m u, t l và hi u s t l c a m u.ẫ ỉ ệ ệ ố ỉ ệ ủ ẫ
1 Lấy mẫu ngẫu nhiên đơn
M u xác su t là m u rút t dân s theo cách sao cho m i ph n t trong dân s đ u cóẫ ấ ẫ ừ ố ọ ầ ử ố ề
m t xác su t độ ấ ược đ a vào m u.ư ẫ
M u có c m u n đẫ ỡ ẫ ược rút t trong dân s có N ph n t sao cho m i cách l y m u cừ ố ầ ử ọ ấ ẫ ỡ
n đ u có m t xác su t l a ch n nh nhau, m u đó đề ộ ấ ự ọ ư ẫ ược g i là m u ng u nhiên đ n.ọ ẫ ẫ ơ
Phương pháp l y m u còn đẫ ẫ ược chia theo 2 lo i: phạ ương pháp l y m u có hoàn l i vàấ ẫ ạ
l y m u không hoàn l i. Trong phấ ẫ ạ ương pháp l y m u hoàn l i,m t ph n t sau khiấ ẫ ạ ộ ầ ử
được rút ch n đ đ a vào m u v n có kh năng đọ ể ư ẫ ẫ ả ược rút ch n thêm nh v y, m tọ ư ậ ộ
ph n t có th làm đ i di n cho dân s 1, 2, 3 hay nhi u h n l n. Trong phầ ử ể ạ ệ ố ề ơ ầ ương pháp
l y m u không hoàn l i, nh ng ph n t đấ ẫ ạ ữ ầ ử ược rút ch n r i s không đọ ồ ẽ ược ch n m tọ ộ
l n n a. Do đó m t ph n t có th đầ ữ ộ ầ ử ể ược đ a vào m u t i đa 1 l n.ư ẫ ố ầ
Thí d : Gi s trong m t dân s g m m u đụ ả ử ộ ố ồ ẫ ường huy t lúc đói c a 150 đ i tế ủ ố ượng. Hãy dùng phương pháp rút ch n ng u nhiên đ n đ ch n ra m t m u ng u nhiên cóọ ẫ ơ ể ọ ộ ẫ ẫ
c m u b ng 10. Tính đỡ ẫ ằ ường huy t trung bình trong m u đó.ế ẫ
2.Phân phối lấy mẫu
Phân ph i c a t t c các giá tr (trung bình) đố ủ ấ ả ị ược tính t các m u ng u nhiên có cừ ẫ ẫ ỡ
m u b ng nhau đẫ ằ ược g i là phân ph i l y m u (c a trung bình).ọ ố ấ ẫ ủ
Ngoài tính giá tr trung bình, ngị ười ta có th tính các giá tr khác nh đ l ch chu n, tể ị ư ộ ệ ẩ ỉ
l v.v.ệ
N u dân s là h u h n ta có th tìm đế ố ữ ạ ể ượ ấ ảc t t c các m u c n có th có và sau đóẫ ỡ ể tính phân ph i. Nh ng n u dân s là vô h n hay có kích thố ư ế ố ạ ướ ớc l n thì không th li t kêể ệ
t t c các m u, ch có th nghiên c u phân ph i trên m t s l n nh ng m u mà thôi.ấ ả ẫ ỉ ể ứ ố ộ ố ớ ữ ẫ
3 Phân phối của trung bình của mẫu
Thí d :Gi s chúng ta có m t dân s có c m u N = 5, bao g m tu i c a năm đ a trụ ả ử ộ ố ỡ ẫ ồ ổ ủ ứ ẻ
là b nh nhân ngo i trú c a m t trung tâm s c kh e tâm th n. Tu i các đ a tr là nhệ ạ ủ ộ ứ ỏ ầ ổ ứ ẻ ư sau: x1 = 6, x2 = 8, x3 = 10, x4 = 12, x5 = 14. Tu i trung bình c a dân s này là ổ ủ ố Σxi /N =
10 và có phương sai σ2 = 8
N u chúng ta ch n m u có hoàn l i, có th có đ n 25 m u. Sau đó ta có th xây d ngế ọ ẫ ạ ể ế ẫ ể ự phân ph i l y m u c a ố ấ ẫ ủ x b ng cách li t kê t t c các giá tr c a ằ ệ ấ ả ị ủ x m t c t và t nở ộ ộ ầ
su t xu t hi n c t kia.ấ ấ ệ ở ộ
Và khi đó chúng ta có th tính để ược trung bình c a ủ x
µ x = 250 / 25 = 10
Trang 2và σ2 = 4
Trang 3Ð nh lí gi i h n trung tâm: Cho m t dân s v i b t kì hình dn g phân ph i nào v iị ớ ạ ộ ố ớ ấ ạ ố ớ trung bình là µ và phương sai là σ2 , phân ph i l y m u c a ố ấ ẫ ủ x, tính t m u c n c aừ ẫ ỡ ủ dân s này s có phân ph i x p x bình thố ẽ ố ấ ỉ ường v i trung bình là ớ µ và phương sai là
σ2/n, khi c m u l n (c m u ỡ ẫ ớ ỡ ẫ ≥ 30)
L u ý:ư
. Khi các giá tr c a phân ph i đã là phân ph i x p x bình thị ủ ố ố ấ ỉ ường thì đ nh lí trên đúng,ị không c n đi u ki n c m u l n.ầ ề ệ ỡ ẫ ớ
. khi m u c n là m u không hoàn l i t m t dân s h u h n, phân ph i l y m u c aẫ ỡ ẫ ạ ừ ộ ố ữ ạ ố ấ ẫ ủ
x, tính t m u c n c a dân s này s có phân ph i x p x bình thừ ẫ ỡ ủ ố ẽ ố ấ ỉ ường v i trung bìnhớ
là (và phương sai là [(Nn)/(N1)]σ2/n, khi c m u l n (c m u ỡ ẫ ớ ỡ ẫ ≥ 30). H s (Nn)/(Nệ ố 1) được g i là h s hi u ch nh dân s h u h n. Thông thọ ệ ố ệ ỉ ố ữ ạ ường người ta không quan tâm đ n h s này tr khi c m u l n h n 5% quy mô c a dân s ế ệ ố ừ ỡ ẫ ớ ơ ủ ố
4 Ứng dụng
N u chúng ta bi t chi u dài xế ế ề ương s là phân ph i x p x bình thọ ố ấ ỉ ường v i trung bìnhớ
là 185,6 mm và đ l ch chu n 12,7 mm. Tính xác su t m u có c m u 10 rút ra t dânộ ệ ẩ ấ ẫ ỡ ẫ ừ
s này có trung bình l n h n 190.ố ớ ơ
Bài gi i:ả
Phân ph i l y m u c a trung bình c a chi u dài xố ấ ẫ ủ ủ ề ương s s có phân ph i x pọ ẽ ố ấ
x bình thỉ ường v i trung bình là 185,6 mm và đ l ch chu n = 12.7/ớ ộ ệ ẩ √10 = 4,02
Giá tr chi u dài xị ề ương s 190 tọ ương ng v i z = (190185,6)/4,02 =1,09.ứ ớ
T b ng phân ph i chu n, ta bi t di n tích ph n bên ph i 1,09 là 0,1379 hayừ ả ố ẩ ế ệ ầ ả xác su t m t m u có c m u 10 có trung bình l n h n 190 là 0,1379.ấ ộ ẫ ỡ ẫ ớ ơ
5 Phân phối của hiệu số của hai trung bình mẫu
Thí d : Gi s chúng ta có hai dân s m t dân s g m nh ng đ a tr b suy dinhụ ả ử ố ộ ố ồ ữ ứ ẻ ị
dưỡng lúc nh và m t dân s g m nh ng tr không b suy dinh dỏ ộ ố ồ ữ ẻ ị ưỡng. Phân ph i c aố ủ
thương s thông minh c a hai dân s này là x p x bình thố ủ ố ấ ỉ ường và có đ l ch chu nộ ệ ẩ kho ng 20. N u chúng ta l y m t m u g m 15 ngả ế ấ ộ ẫ ồ ười trong m i dân s và tính thỗ ố ươ ng
s thôngminh c a m i nhóm có k t qu nh sau ố ủ ỗ ế ả ư x1 = 92, x2 = 105. N u không có sế ự khác bi t v trí thông minh gi a hai nhóm tr em. Tính xác su t có th quan sát đệ ề ữ ẻ ấ ể ượ c
s khác bi t này ho c khác bi t nhi u h n c a hi u s (ự ệ ặ ệ ề ơ ủ ệ ố x1 x2 ) gi a hai trung bìnhữ
m u.ẫ
Áp d ng công th c:ụ ứ
( 1 2) ( 1 2)
12 1 2 2 2
Ta tính được z = 1,78
Do đó n u không có s khác bi t v trung bình dân s , xác su t có đế ự ệ ề ố ấ ượ ực s khác bi tệ
gi a trung bình dân s ữ ố≥ 13 là 0,0375
Trang 46 Phân phối của tỉ lệ của mẫu
Thí d : N u chúng ta bi t trong dân s t l mù màu ụ ế ế ố ỉ ệ π là 0,08. N u chúng ta ch n ng uế ọ ẫ nhiên trong dân s 150 đ i tố ố ượng , xác su t đ t l mù màu p lên đ n 0,15.ấ ể ỉ ệ ế
Theo công th c:ứ
n
p z
1 (
Ta tính được z= 3,15. Tra b ng phân ph i chu n ta có xác su t quan sát đả ố ẩ ấ ược p≥ 0,08
là 0,0008. Do v y tìm đậ ược m t m u nh v y là m t s ki n hi m.ộ ẫ ư ậ ộ ự ệ ế
7 Phân phối của hiệu số của hai tỉ lệ mẫu
Thí d : Trong m t dân s ngụ ộ ố ười ta bi t r ng t l tr em trai b béo phì ế ằ ỉ ệ ẻ ị π1 = 10%. Giả
s cũng có t l tr em gái b béo phì ử ỉ ệ ẻ ị π2 = 10%, tìm xác su t m t m u g m 250 tr traiấ ộ ẫ ồ ẻ
và 200 tr gái s cho giá tr pẻ ẽ ị 1 p2 ≥ 0,06
Theo công th cứ
2
2 2 1
1 1
2 1 2 1
) 1 ( ) 1 (
) (
) (
n n
p p z
Ta tính được z = 2,11. V y xác su t này là 0,0174.ậ ấ
Bài tập
Bài t p phân ph i l y m uậ ố ấ ẫ
1. N u chúng ta bi t chi u dài xế ế ề ương s là phân ph i x p x bình thọ ố ấ ỉ ường v i trungớ bình là 185,6 mm và đ l ch chu n 12,7 mm. Tính xác su t m u có c m u 10 rút ra tộ ệ ẩ ấ ẫ ỡ ẫ ừ dân s này có trung bình l n h n 190.ố ớ ơ
2. N u trung bình và đ l ch chu n c a s t huy t thanh ngế ộ ệ ẩ ủ ắ ế ở ười đàn ông kh e m nhỏ ạ
là 120 và 15 microgram/100 ml, tính xác su t m t m u ng u nhiên g m 50 ngấ ộ ẫ ẫ ồ ười đàn ông có trung bình s t huy t thanh gi a 115 và 125 microgram/100 ml.ắ ế ở ữ
3. Gi s chúng ta có hai dân s m t dân s g m nh ng đ a tr b suy dinh dả ử ố ộ ố ồ ữ ứ ẻ ị ưỡ ng lúc nh và m t dân s g m nh ng tr không b suy dinh dỏ ộ ố ồ ữ ẻ ị ưỡng. Phân ph i c a thố ủ ươ ng
s thông minh c a hai dân s này là x p x bình thố ủ ố ấ ỉ ường và có đ l ch chu n kho ngộ ệ ẩ ả
20. N u chúng ta l y m t m u g m 15 ngế ấ ộ ẫ ồ ười trong m i dân s và tính thỗ ố ương số thôngminh c a m i nhóm có k t qu nh sau ủ ỗ ế ả ư x1 = 92, x2 = 105. N u không có sế ự khác bi t v trí thông minh gi a hai nhóm tr em. Tính xác su t có th quan sát đệ ề ữ ẻ ấ ể ượ c
s khác bi t này ho c khác bi t nhi u h n c a hi u s (ự ệ ặ ệ ề ơ ủ ệ ố x1 x2 ) gi a hai trung bìnhữ
m u.ẫ
4. Trong m t dân s nam thanh niên và n thanh niên 17 tu i, trung bình và đ l chộ ố ữ ổ ộ ệ chu n c a chi u dày n p g p da vùng dẩ ủ ề ế ấ ở ướ ươi x ng b vai là nh sau: nam 9,7 vàả ư 6,0; n 15,6 và 9,5. M t m u ng u nhiên đ n g m 40 nam và 35 n đữ ộ ẫ ẫ ơ ồ ữ ược ch n t dânọ ừ
s này. Tính xác su t s khác bi t gi a trung bình m u (ố ấ ự ệ ữ ẫ xnu xnam ) s l n h n 10?ẽ ớ ơ
Trang 55. N u chúng ta bi t trong dân s t l mù màu là 0,08. N u chúng ta ch n ng u nhiênế ế ố ỉ ệ ế ọ ẫ trong dân s 150 đ i tố ố ượng , xác su t đ t l mù màu lên đ n 0,15.ấ ể ỉ ệ ế
6. Trung tâm y t d phòng t nh C n th cho bi t t l tr em 1218 tháng tiêm ch ngế ự ỉ ầ ơ ế ỉ ệ ẻ ủ phòng ch ng đ 6 b nh EPI là 90%. Ch n m t m u ng u nhiên đ n g m 200 trố ủ ệ ọ ộ ẫ ẫ ơ ồ ẻ trong l a tu i này và ki m tra tình tr ng tiêm ch ng. Tính xác su t t l tiêm ch ngứ ổ ể ạ ủ ấ ỉ ệ ủ trong m u này dẫ ưới 85%
7. Trong m t dân s ngộ ố ười ta bi t r ng 10% nh ng tr em trai b béo phì. Gi s cũngế ằ ữ ẻ ị ả ử
có 10% tr em gái b béo phì, tìm xác su t m t m u g m 250 tr trai và 200 tr gái sẻ ị ấ ộ ẫ ồ ẻ ẻ ẽ cho giá tr pị 1 p2 ≥ 0,06
Bài gi iả
1 Phân ph i l y m u c a trung bình c a chi u dài xố ấ ẫ ủ ủ ề ương s s có phânọ ẽ
ph i x p x bình thố ấ ỉ ường v i trung bình là 185,6 mm và đ l ch chu n =ớ ộ ệ ẩ 12.7/√10 = 4,02
Do đó, giá tr chi u dài xị ề ương s 190 tọ ương ng v i z = (190ứ ớ 185,6)/4,02 =1,09
P (x >190) = P (z >1,09) = 1 P(z ≤ 1,09) = 1 0,8621 = 0,1379
2. Theo đ nh lí gi i h n trung tâm, giá tr trung bình s t huy t thanh trungị ớ ạ ị ắ ế bình x c a 50 ngủ ười đàn ông s có phân ph i bình thẽ ố ường (trung bình là 120
và đ l ch chu n = 15/ộ ệ ẩ √50 = 2,12.
Khi đó
P (115 < x ≤ 125) = P{(115 120)/2.12 < z ≤(125 120)/2.12)} = P( 2,36 < z ≤ 2,36)
= 0,9909 0,0091 = 0,9818
3. Theo th ng kê v phân ph i c a hi u s gi a hai trung bình m u, ta cóố ề ố ủ ệ ố ữ ẫ
2
2 2 1
2 1
2 1 2
(
n n
x x z
có phân ph i chu n. V iố ẩ ớ
µ1 là trung bình dân s c a thố ủ ương s trí tu nhóm 1ố ệ ở
µ2 là trung bình dân s c a thố ủ ương s trí tu nhóm 2 = ố ệ ở µ1 n u haiế nhóm tr có gì khác bi t v trí tu ẻ ệ ề ệ
x1 là trung bình m u c a thẫ ủ ương s trí tu nhóm 1 (nhóm tr em suyố ệ ở ẻ dinh dưỡng) = 92,
x2 là trung bình m u c a thẫ ủ ương s trí tu nhóm 2 (nhóm tr khôngố ệ ở ẻ
b suy dinh dị ưỡng) = 105
σ1 phương sai c a thủ ương s thông minh nhóm 1,ố ở
σ2 phương sai c a thủ ương s thông minh nhóm 2, ố ở σ2 = 202 = 400
n1 là c m u c a nhóm 1,ỡ ẫ ủ
Trang 6n2 là c m u c a nhóm 2, nỡ ẫ ủ 1 = n2 = 15.
Ta tính được z = 1,78
P (x1 x2 <13) = P (z < 1,78) = 0,0375
Do đó n u không có s khác bi t v trung bình dân s , xác su t có đế ự ệ ề ố ấ ược sự khác bi t gi a trung bình dân s ệ ữ ố≥ 13 là 0,0375
4. Theo th ng kê v phân ph i c a hi u s gi a hai trung bình m u, ta cóố ề ố ủ ệ ố ữ ẫ
nu nu
nam nam
có phân ph i chu n. V iố ẩ ớ
µnu là trung bình dân s c a chi u dày n p g p da nhóm n = 15,6ố ủ ề ế ấ ở ữ
µnam là trung bình dân s c a chi u dày n p g p da nhóm nam = 9,7ố ủ ề ế ấ ở
x nu là trung bình mẫu của chiều dày nếp gấp da ở nhóm nữ
xnam là trung bình m u c a chi u dày n p g p da nhóm nam, ẫ ủ ề ế ấ ở xnu
xnam = 10
σ2
nu phương sai c a chi u dày n p g p da nhóm n = 9,52 = 90,25ủ ề ế ấ ở ữ
σ2
nam phương sai c a chi u dày n p g p da nhóm nam = 62 = 36ủ ề ế ấ ở
nnu là c m u c a nhóm n = 35,ỡ ẫ ủ ữ
nnam là c m u c a nhóm nam =40,ỡ ẫ ủ
Ta tính được z = 2,20
P (x1 x2 >13) = P (z > 2,20) = 0,0375 = 1 0,9861 =0,0139
Xác su t có đấ ượ ực s khác bi t chi u dày l p m dệ ề ớ ỡ ưới da trung bình gi ã namư
và n > 10 là 0,0139.ữ
5. Theo th ng kê v phân ph i t l c a m u, ta cóố ề ố ỉ ệ ủ ẫ
n
p z
1 (
có phân ph i bình thố ường
v i ớ π: t l mù màu trong trong dân sỉ ệ ố = 0,08
p: t l mù màu trong m u = 0,15ỉ ệ ẫ n: c m u = 150ỡ ẫ
Ta tính được z= 3,15
P(p > 0.15) = P(z > 3,15) = 1 P(z ≤ 3,15) = 1 0,9992 = 0,0008
Xác su t này là r t hi mấ ấ ế
6. Theo th ng kê v phân ph i t l c a m u, ta cóố ề ố ỉ ệ ủ ẫ
Trang 7p z
1 (
có phân ph i bình thố ường
v i ớ π: t l tiêm ch ng trong dân sỉ ệ ủ ố = 0,90
p: t l tiêm ch ng trong m u = 0,85ỉ ệ ủ ẫ n: c m u = 200ỡ ẫ
Ta tính được z= 2,36
Do đó:
P(pâ ≤ 0.85) = P(z ≤ 2,36) = 0,0091 ≈ 1/100
7. Theo th ng kê v phân ph i t l c a m u, ta cóố ề ố ỉ ệ ủ ẫ
2
2 2 1
1 1
2 1 2 1
) 1 ( ) 1 (
) (
) (
n n
p p z
có phân ph i bình thố ường v iớ
v i ớ π1: t l béo phì trong dân s nam = 0,10ỉ ệ ố
π2: t l béo phì trong dân s n = 0,10ỉ ệ ố ữ
p1: t l béo phì trong m u g m 250 namỉ ệ ẫ ồ
p2: t l béo phì trong m u g m 200 n , pâ1 pâ2 = 0,06ỉ ệ ẫ ồ ữ
n1 là c m u c a nhóm nam = 250ỡ ẫ ủ
n2 là c m u c a nhóm n = 200ỡ ẫ ủ ữ
Do đó P{(p1 p2 )≥ 0,06} = P(z ≥ 2,11) = 1 P(z ≤ 2,11) = 1 0,9826 = 0,0174