Bài giảng Thống kê y học - Bài 2: Một số khái niệm căn bản về xác suất

Bài giảng Thống kê y học - Bài 2: Một số khái niệm căn bản về xác suất cung cấp các kiến thức giúp người học có thể trình bày 2 định nghĩa về xác suất và đưa ra các ví dụ, xây dựng được tập giao và hợp của 2 tập hợp xác định,... Mời các bạn cùng tham khảo.

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CĂN BẢN VỀ XÁC SUẤT Mục tiêu

Sau khi nghiên c u ch  đ , h c viên có kh  năng:ứ ủ ề ọ ả

­ Trình bày 2 đ nh nghĩa v  xác su t và đ a ra các ví dị ề ấ ư ụ

­ Xây d ng đự ượ ậc t p giao và h p c a 2 t p h p xác đ nhợ ủ ậ ợ ị

­ Trình bày và phân bi t đệ ược hai công th c chuy n v  và t  h pứ ể ị ổ ợ

­ Trình bày đ nh nghĩa c a xác su t có đi u ki nị ủ ấ ề ệ

­ Trình bày công th c c ng xác su t và công th c nhân xác su tứ ộ ấ ứ ấ

1 Ðịnh nghĩa về xác suất

1.1 Ð nh nghĩa xác su t theo t n su t tị ấ ầ ấ ương đ iố

Theo ngôn ng  thông thữ ường, xác su t chính là t n su t tấ ầ ấ ương đ i. Thí d  m nh đố ụ ệ ề 

kh ng đ nh xác su t sinh con trai là 0,515 có nghĩa là khi th ng kê  nhi u l n sinh, t nẳ ị ấ ố ề ầ ầ  

su t tấ ương đ i sinh con trai s  x p x  b ng 0,515 (t n su t tố ẽ ấ ỉ ằ ầ ấ ương đ i là t n su t x yố ầ ấ ả  

ra bi n c  quan tâm chia cho t ng s  l n th ). Nói cách khác, n u m t quá trình đế ố ổ ố ầ ử ế ộ ượ  c

l p l i n nhi u l n, và n u có f l n x y ra bi n c  E, t n su t tậ ạ ề ầ ế ầ ả ế ố ầ ấ ương đ i c a bi n cố ủ ế ố 

E s  x p x  b ng xác su t c a E.ẽ ấ ỉ ằ ấ ủ

n

f E

P )(

(1) Thí d : Buffon th c hi n 4040 l n tung đ ng ti n và quan sát đụ ự ệ ầ ồ ề ược 2048 l n xu t hi nầ ấ ệ  

m t s p. T n su t tặ ấ ầ ấ ương đ i x y ra m t s p là . Xác su t x y ra m t s p cũng x p xố ả ặ ấ ấ ả ặ ấ ấ ỉ 

b ng 0,507.ằ

1.1 Phép th , k t c c, bi n c , bi n c  đ i l pử ế ụ ế ố ế ố ố ậ

Khi chúng ta gieo m t đ ng ti n lên m t m t ph ng có th  x y ra m t trong hai k tộ ồ ề ộ ặ ẳ ể ả ộ ế  

c c: xu t hi n m t s p ho c xu t hi n m t ng a v i k t qu  không th  tiên đoánụ ấ ệ ặ ấ ặ ấ ệ ặ ử ớ ế ả ể  

được. Người ta g i vi c gieo đ ng ti n là phép th  (experiment) và s  xu t hi n m tọ ệ ồ ề ử ự ấ ệ ặ  

x p hay m t ng a c a đ ng ti n là các k t c c (outcome).ấ ặ ử ủ ồ ề ế ụ

Tương t , khi chúng ta tung con xúc x c, có th  xu t hi n các m t 1, 2, 3, 4, 5, 6 thìự ắ ể ấ ệ ặ  

vi c tung con xúc x c đệ ắ ược g i là phép th  ng u nghiên và vi c xu t hi n m t 1, xu tọ ử ẫ ệ ấ ệ ặ ấ  

hi n m t 2, 3, 4, 5 và  6 đệ ặ ược g i các k t c c ng u nhiên. N u chúng ta quan tâm đ nọ ế ụ ẫ ế ế  

bi n c  ra m t xúc x c ch n thì bi n c  (event) này bao g m 3 k t c c: ra m t 2, raế ố ặ ắ ẵ ế ố ồ ế ụ ặ  

m t 4 và ra m t 6. Nói khác đi bi n c  là t p h p mà các ph n t  là các k t c c. B iặ ặ ế ố ậ ợ ầ ử ế ụ ở  

vì t p h p có th  có bao g m toàn b  các ph n t , 0 ph n t  hay 1 ph n t  nên vi c raậ ợ ể ồ ộ ầ ử ầ ử ầ ử ệ  

m t m t xúc x c nào đó (thí d  ra m t 2) v a có th  xem là k t cu c v a có th  xemộ ặ ắ ụ ặ ừ ể ế ộ ừ ể  

là bi n c : bi n c  đó đôi khi đế ố ế ố ược g i là bi n c  s  c p.ọ ế ố ơ ấ

N u chúng ta tung 3 con xúc x c phân bi t , có k t c c sau có th  x y ra {1,1,1} (baế ắ ệ ế ụ ể ả   con xúc x c ra m t 1); {1,1,2}; {1,1,3}; ; {6,6,5}; {6,6,6}. Bi n c  có t ng s  đi mắ ặ ế ố ổ ố ể  

c a 3 con xúc x c =18 bao g m m t k t c c {6,6,6}. Tủ ắ ồ ộ ế ụ ương t  chúng ta có th  đ nhự ể ị   nghĩa bi n c  t ng s  đi m c a ba con xúc x c <=10, bi n c  t ng s  đi m là 11;ế ố ổ ố ể ủ ắ ế ố ổ ố ể  

bi n c  t ng s  đi m >=12.ế ố ổ ố ể

Đ i v i m i bi n c  A có m t bi n c  đ i l p (complementary event ) ố ớ ỗ ế ố ộ ế ố ố ậ A c (được đ c làọ   không A) bao g m các k t c c không có tính ch t Aồ ế ụ ấ  Tr  v  thí d  c a phép th  tungở ề ụ ủ ử   con súc s c 6 m t, bi n c  đ i l p v i bi n c  ra m t ch n là bi n c  ra m t l  Bi nắ ặ ế ố ố ậ ớ ế ố ặ ẵ ế ố ặ ẻ ế  

c  đ i l p cho bi n c  ra m t >=2 là bi n c  ra m t 1. ố ố ậ ế ố ặ ế ố ặ

1.2 K t c c đ ng kh  năngế ụ ồ ả

Khi chúng ta gieo con xúc x c đ ng nh t, c m nh n thông thắ ồ ấ ả ậ ường cho phép chúng ta 

gi  đ nh vi c xu t hi n k t c c ra m t 1, ra m t 2, ra m t 3, ra m t 4, ra m t 5, ra m tả ị ệ ấ ệ ế ụ ặ ặ ặ ặ ặ ặ  

6 có xác xu t nh  nhau. Khi đó ta g i các k t c c này là k t c c đ ng kh  năng.ấ ư ọ ế ụ ế ụ ồ ả

1.4 Ð nh nghĩa xác su t c  đi n ị ấ ổ ể

N u phép th  ng u nhiên có th  x y ra theo N k t c c lo i tr  l n nhau và có xác su tế ử ẫ ể ả ế ụ ạ ừ ẫ ấ  

nh  nhau và g i m là s  các k t c c thu n l i cho bi n c  E, xác su t x y ra bi n cư ọ ố ế ụ ậ ợ ế ố ấ ả ế ố 

E, được kí hi u là P(E), s  b ng m chia cho Nệ ẽ ằ

N

( )

(2)

N còn được g i là s  các k t c c có th  và m s  các k t c c thu n l i.ọ ố ế ụ ể ố ế ụ ậ ợ

Thí d : N u chúng ta tung con xúc x c (xí ng u) có 6 m t: m t 1, m t 2, m t 3, m t 4,ụ ế ắ ầ ặ ặ ặ ặ ặ  

m t 5, m t 6 thì có th  x y ra v i 6 k t c c khác nhau. Nh ng k t c c này lo i trặ ặ ể ả ớ ế ụ ữ ế ụ ạ ừ 

l n nhau (n u ra m t 1 thì không ra m t 2 và ngẫ ế ặ ặ ượ ạc l i) và đ ng xác su t. Gi  s  taồ ấ ả ử   quan tâm đ n bi n c  con xúc x c ra m t ch n. Bi n c  này có th  x y ra theo 3 cách,ế ế ố ắ ặ ẵ ế ố ể ả   nói khác đi bi n c  này bao g m 3 k t c c. Khi đó xác su t x y ra bi n c  ra m tế ố ồ ế ụ ấ ả ế ố ặ  

ch n là 3/6=0.5ẵ

Thí d : Khoa ph i và khoa Th n c a b nh vi n Ch  R y có 50 b nh nhân trong sụ ổ ậ ủ ệ ệ ợ ẫ ệ ố  này có 35 b nh nhân n  Có 12 b nh nhân c a khoa Th n trong đó có là 8 ngệ ữ ệ ủ ậ ười là n ữ  

Có bao nhiêu b nh nhân n    khoa ph i?  Có bao nhiêu trong s  nh ng b nh nhân c aệ ữ ở ổ ố ữ ệ ủ  

2 khoa này là n  hay n m   khoa Ph i.ữ ằ ở ổ

Trước tiên chúng ta l p m t b ng chéo đ  phân lo i các b nh nhân theo gi i tính vàậ ộ ả ể ạ ệ ớ   theo khoa đi u tr  (Ph i hay Th n) và đi n các thông tin đã cho t  đ  bài vào b ng nàyề ị ổ ậ ề ừ ề ả   (các s  in đ m c a b ng). T  các thông tin này chúng ta tính các s    các ô còn l i (cácố ậ ủ ả ừ ố ở ạ  

s  in thố ường) c a b ng chéoủ ả

Bảng 1 Giới tính của bệnh nhân của khoa Phổi và khoa Thận bệnh viện Chợ rẫy

Khoa 

Ph iổ Khoa 

Th nậ T ng sổ ố

T ng sổ ố 38 12 50

T  b ng chéo chúng ta bi t đừ ả ế ượ ố ệc s  b nh n  c a khoa ph i là 27 và s  b nh nhân nữ ủ ổ ố ệ ữ  hay n m   khoa ph i là 46 ngằ ở ổ ười

Thí d : S  d ng s  li u c a b ng trên hãy tính các xác su t:ụ ử ụ ố ệ ủ ả ấ

1. Ch n m t ngọ ộ ườ ấi b t kì tính xác su t ngấ ườ ằ ởi n m   khoa Ph i  ­ P(Khoa Ph i):ổ ổ

N: S  k t cu c có th  là 50; m: s  các k t cu c thu n l i cho 38; ố ế ộ ể ố ế ộ ậ ợ

P (Khoa Ph i) = ổ

2. Ch n m t ngọ ộ ườ ấi b t kì tính xác su t ngấ ười đó là nam  ­ P(Nam)

N: S  k t cu c có th  là 50; m: s  các k t cu c thu n l i cho 15; ố ế ộ ể ố ế ộ ậ ợ

P (Nam) = 

Khái ni m v  nguy c  và s  chênh (odds)ệ ề ơ ố

M t khái ni m quan tr ng trong d ch t  h c là nguy c  Nguy c  độ ệ ọ ị ễ ọ ơ ơ ược đ nh nghĩa là tị ỉ 

l  m c b nh trong kho ng th i gian nghiên c u   m t nhóm ngệ ắ ệ ả ờ ứ ở ộ ười người lúc đ uầ   không b  b nh. Nh  v y còn có th  đị ệ ư ậ ể ược xem là xác su t c a m t ngấ ủ ộ ườ ị ắi b  m c b nhệ   trong kho ng th i gian nghiên c u v i đi u ki n lúc đ u không b  m c b nh. Đó là líả ờ ứ ớ ề ệ ầ ị ắ ệ  

do t i sao xác su t và th ng kê  có m t vai trò then ch t trong các nghiên c u d ch t ạ ấ ố ộ ố ứ ị ễ

Nh ng chúng ta s  th y xác su t là m t hàm s  có đ c tính thu n l i  v  m t toánữ ẽ ấ ấ ộ ố ặ ậ ợ ề ặ  

h c, thí d  nh  nguyên lí c ng tính. Tuy nhiên xác su t có mi n xác đ nh là đo n [0;1]ọ ụ ư ộ ấ ề ị ạ   nên đ  mô t  xác su t theo m t bi u th c tuy n tính c n s  d ng các phép bi n đ iể ả ấ ộ ể ứ ế ầ ử ụ ế ổ  

đ  m  r ng mi n xác đ nh. M t trong các phép bi n đ i đó là s  chênh (odds)ể ở ộ ề ị ộ ế ổ ố

S  chênh c a m t bi n c  A đố ủ ộ ế ố ược kí hi u là Odds(A) b ng xác su t c a bi n c  Aệ ằ ấ ủ ế ố   chia cho xác su t c a bi n c  không A.ấ ủ ế ố

Odds(A)= = 

Mi n xác đ nh c a s  chênh là đo n [0;∞) đề ị ủ ố ạ ược m  r ng so v i mi n xác đ nh c a xácở ộ ớ ề ị ủ  

su t.  S  chênh cũng có m t đ c tính khác quan tr ng là s  chênh c a bi n c  không Aấ ố ộ ặ ọ ố ủ ế ố  

b ng ngh ch đ o c a s  chênh bi n c  A.ằ ị ả ủ ố ế ố

Odds(Ac) = = 1: = 1:Odds

M c dù lí do chính đ  s  d ng s  chênh là đ c tính toán h c c a nó, s  chênh cũng làặ ể ử ụ ố ặ ọ ủ ố  

m t khái ni m quen thu c trong cu c s ng hàng ngày.ộ ệ ộ ộ ố

Thí d : Khi ta gieo đ ng ti n chúng ta chúng ta có 2 k t c c s p và ng a đ ng khụ ồ ề ế ụ ấ ử ồ ả  năng. Khi  đó xác su t đấ ược m t s p, P(s p) =   = 0,5. S  chênh đặ ấ ấ ố ược m t s p,ặ ấ   Odds(s p) =  = . Th c ra trong dân gian cách nói xác su t ra m t s p là 0,5 không quenấ ự ấ ặ ấ   thu c b ng cách nói là vi c độ ằ ệ ược m t ng a là 1 ăn 1 thua (hay 5 năm 5 thua).ặ ử

Khi bi n c  A hi m (P(A)<0,1) thì 1­P(A) ế ố ế ≈ 1 nên s  chênh và xác su t là x p x  Tố ấ ấ ỉ ừ 

s  chênh chúng ta cũng có th  tính đố ể ược xác su t theo công th c sau:ấ ứ

P(A) = 

1.3 Ð nh nghĩa xác su t ch  quanị ấ ủ

Khái ni m v  xác su t ch  quan l n đ u tiên đệ ề ấ ủ ầ ầ ược đ  xề ướng b i Von Newman,ở   Morgenstern, Ramsey và Savage. Theo khái ni m này, xác su t không ch  áp d ng choệ ấ ỉ ụ   các hi n tệ ượng ng u nhiên mà còn đẫ ược s  d ng cho các m nh đ  (proposition). Cóử ụ ệ ề  

nh ng m nh đ  có th  ki m ch ng b ng th  nghi m l p l i đữ ệ ề ể ể ứ ằ ử ệ ậ ạ ược (thí d  m nh đụ ệ ề 

“chi c nh n vàng này là th t” có th  đế ẫ ậ ể ược ki m ch ng sau khi th  nghi m ki m traể ứ ử ệ ể   vàng b ng l a). M c dù trằ ử ặ ước th  nghi m, tính chân th c c a m nh đ  là không ch cử ệ ự ủ ệ ề ắ  

ch n nh ng sau th  nghi m chúng ta luôn luôn bi t đắ ư ử ệ ế ược m nh đ  này là đúng hay sai.ệ ề   Tuy nhiên có nh ng m nh đ  không th  ki m ch ng b ng th  nghi m l p l i đữ ệ ề ể ể ứ ằ ử ệ ậ ạ ượ  c

(thí d  nh  m nh đ  “s  d ng vitamine A b  sung s  làm gi m nguy c  ung th ”ụ ư ệ ề ử ụ ổ ẽ ả ơ ư   không th  ể ch ng minh  ứ được dù chúng ta có th c hi n đ n 10 th  nghi m lâm sàng b iự ệ ế ử ệ ở  

vì k t qu  c a 10 th  nghi m này không cho k t qu  gi ng h t nh  nhau). V i nh ngế ả ủ ử ệ ế ả ố ệ ư ớ ữ  

m nh đ  này thì trệ ề ước hay sau th  nghi m chúng ta đ u ph i s  d ng m t s  đoử ệ ề ả ử ụ ộ ố  

lường v  m c đ  không ch c ch n c a m nh đ  và s  đo lề ứ ộ ắ ắ ủ ệ ề ố ường này được g i là xácọ  

su t ch  quan. Khuy t đi m c a các ti p c n này   ch  xác su t c a m nh đ  là m tấ ủ ế ể ủ ế ậ ở ỗ ấ ủ ệ ề ộ   con s  ch  quan và thay đ i theo nh n đ nh c a t ng ngố ủ ổ ậ ị ủ ừ ười. Tuy v y nh ng ngậ ữ ườ  i

ng h  nó l p lu n r ng dù có ch p nh n tính ch  quan hay không, trong cu c s ng và

khoa h c nhi u qu  đ nh c a chúng ta là ch  quan và  u đi m c a phọ ề ả ị ủ ủ ư ể ủ ương pháp này là 

nó minh b ch hoá tính ch  quan c a các gi  đ nh. Đ nh nghĩa ch  quan là c  s  c aạ ủ ủ ả ị ị ủ ơ ở ủ  

phương pháp Bayes (Bayes method) trong th ng kê h c hi n đ i.ố ọ ệ ạ

2 Nhắc lại về lí thuyết tập hợp

M t t p h p là g m nhi u nh ng đ i tộ ậ ợ ồ ề ữ ố ượng xác đ nh và khác nhau. Nh ng đ i tị ữ ố ượ  ng này được g i là ph n t  c a t p h p. T p h p thọ ầ ử ủ ậ ợ ậ ợ ường được kí hi u b ng ch  in và cóệ ằ ữ  

th  bi u th  b ng gi n đ  Venn. ể ể ị ằ ả ồ

Hình 1 Giản đồ Venn (Venn diagrams)

Thí d  khi ta tung con xúc x c có th  x y ra 6 k t cu c (1, 2, 3, 4, 5, 6). Do bi n cụ ắ ể ả ế ộ ế ố  (event) là m t t p h p v i các ph n t  k t cu c nh  v y chúng ta có xây d ng cácộ ậ ợ ớ ầ ử ế ộ ư ậ ự  

bi n c  sau:ế ố

E1={1}; E2={2}; E3={3}; E4={4}; E5={5}; E6={6} (nh  đã quy ư ước, các bi n c  ch  cóế ố ỉ  

m t ph n t  là m t k t c c độ ầ ử ộ ế ụ ược g i là bi n c  s  c p)ọ ế ố ơ ấ

S={1, 2, 3, 4, 5, 6} (bi n c  này đế ố ược g i là bi n c  toàn th  khi t t c  các k t c cọ ế ố ể ấ ả ế ụ  

đ u là các ph n t  c a bi n c  này)ề ầ ử ủ ế ố

A= {2,4,6}: A là bi n c  ra m t ch n.ế ố ặ ẵ

Kí hi u ệ x  X đ  ch  đ nh x là m t ph n t  c a ể ỉ ị ộ ầ ử ủ X  và kí hi u x ệ   X đ  ch  r ng x khôngể ỉ ằ   thu c t p h p X. Áp d ng thí d  trên và s  d ng kí hi u ch  đ nh ph n t , ta có thộ ậ ợ ụ ụ ử ụ ệ ỉ ị ầ ử ể 

vi tế

1   E1; 1  S; 1  E2 ; 1   A 

Ph n giao c a hai t p h p A và B là m t t p h p (kí hi u b ng Aầ ủ ậ ợ ộ ậ ợ ệ ằ ∩B )g m nh ngồ ữ  

ph n t  chung c a hai t p h p.ầ ử ủ ậ ợ

Ph n h p c a hai t p h p A và B là t p h p (kí hiêu b ng Aầ ợ ủ ậ ợ ậ ợ ằ ∪B) g m nh ng ph n tồ ữ ầ ử 

có m t trong t p h p A ho c có m t trong t p h p B.ặ ậ ợ ặ ặ ậ ợ

Thí d : N u A là t p h p c a các m t ch n c a con xúc x c.ụ ế ậ ợ ủ ặ ẵ ủ ắ

A= {2,4,6}

N u B là t p h p các m t l n h n ho c b ng 3ế ậ ợ ặ ớ ơ ặ ằ

B = {3,4,5,6}

A∪B = {2,3,4,5,6}

A∩B = {4,6}

4 Nhắc lại về đại số mệnh đề

M t m nh đ  (proposition) là m t phát bi u ho c đúng ho c sai nh ng không th  cùngộ ệ ề ộ ể ặ ặ ư ể   đúng và cùng sai

Thí d : Trong 3 phát bi u sau, phát bi u nào là m nh đụ ể ể ệ ề

a. 42 chia h t cho 7ế

b. Trái đ t là hành tinh duy nh t trong vũ tr  có s  s ngấ ấ ụ ự ố

c. Mua hai vé xem đá banh tr n đ u gi a Manchester United và Leed Unitedậ ấ ữ

Tr  l i: Hai phát bi u đ u (a và b) là m nh đ  và phát bi u th  ba (c) khôngả ờ ể ầ ệ ề ể ứ  

ph i là m nh đ  mà ch  là m t m nh l nh.ả ệ ề ỉ ộ ệ ệ

Khi chúng ta k t h p hai m nh đ  con b ng t   và thì chúng ta có m t m nh đ  thìế ợ ệ ề ằ ừ ộ ệ ề  

m nh đ  này ch  đúng n u hai m nh đ  con đ u đúng:ệ ề ỉ ế ệ ề ề

Thí d : Trong hai m nh đ  sau, m nh đ  nào là m nh đ  đúng.ụ ệ ề ệ ề ệ ề

42 chia h t cho 7 và 100 chia h t cho 10ế ế

2 + 2 = 4 và 91 là s  nguyên tố ố

Tr  l i: M nh đ  (a) là đúng còn m nh đ  (b) sai vì ch  có m t m nh đ  conả ờ ệ ề ệ ề ỉ ộ ệ ề  

c a nó là đúng. M nh đ  con còn l i (91 là s  nguyên t ) sai.ủ ệ ề ạ ố ố

Khi chúng ta k t h p hai m nh đ  con b ng t   hay thì chúng ta có m t m nh đ  thìế ợ ệ ề ằ ừ ộ ệ ề  

m nh đ  này ch  sai n u hai m nh đ  con đ u sai:ệ ề ỉ ế ệ ề ề

Thí d : Trong hai m nh đ  sau, m nh đ  nào là m nh đ  đúng.ụ ệ ề ệ ề ệ ề

42 chia h  t cho 7 và 100 chia h t cho 10ế ế

2 + 2 = 4 và 91 là s  nguyên tố ố

Tr  l i: M nh đ  (a) là đúng vì c  hai m nh đ  con đ u đúng. M nh đ  (b) đúng vì cóả ờ ệ ề ả ệ ề ề ệ ề  

m t m nh đ  con c a nó  là đúng (2+2 = 4).ộ ệ ề ủ

5 Nến tảng tiên đề của lí thuyết xác suất

Vào đ u th  k  20, lí thuy t xác su t đã đầ ế ỉ ế ấ ược xây d ng n n t ng tiên đ  tự ề ả ề ương t  nhự ư  các ngành khác c a toán h c. Nh  đó s  phát tri n c a lí thuy t xác su t d a trên cácủ ọ ờ ự ể ủ ế ấ ự   tiên đ  này  ch  ph  thu c vào tính ch t ch  logic (logic correctness) dù r ng nh ngề ỉ ụ ộ ặ ẽ ằ ữ  

đ nh lí c a nó có ph n ánh th  gi i th c hay không. Nhà toán  h c Nga ị ủ ả ế ớ ự ọ Kolmogorov là 

người đã có công xây d ng trình bày các bài toán xác su t theo các khái ni m c a líự ấ ệ ủ   thuy t đo lế ường và các tiên đ  đ  xây d ng lí thuy t xác su t do ông đ a ra đề ể ự ế ấ ư ược trình  bày sau đây:

N u chúng ta kí hi u S là t p h p các k t c c c a phép th  (còn g i là bi n c  toànế ệ ậ ợ ế ụ ủ ử ọ ế ố  

th ), M là m t l p các bi n c  và M tho  3 tính ch t sau: ể ộ ớ ế ố ả ấ (i) S  M; (ii) n u ế A  M, thì A c   M; 

(iii) n u  ế A1, A2, . . .  M, thì A1  A2   M.

Hàm s  P đố ược g i là xác su t gán cho m i bi n c  A thu c l p M m t con s  khôngọ ấ ỗ ế ố ộ ớ ộ ố  

âm và có 2 tính ch t sau: ấ

1. P(S) = 1  (Xác su t c a bi n c  toàn th  b ng đ n v )ấ ủ ế ố ể ằ ơ ị

2. N u  ế A1, A2, . . .  M và A i   A j = Ø cho t t c  ấ ả i  j, thì P(A1  A2  …) = P(A1) + P(A2) + 

… (N u các bi n c  Aế ế ố 1, A2,… là  lo i tr  tạ ừ ương h  l n nhau  thì xác su t c a s  xu tỗ ẫ ấ ủ ự ấ  

hi n Aệ 1 hay A2 hay   b ng t ng c a các xác su t đ n l ).ằ ổ ủ ấ ơ ẻ

Tiên đ  th  hai là c  b n cho các ch ng minh trong th ng kê và đề ứ ơ ả ứ ố ược g i là nguyên líọ  

c ng tính (principle of additivity)ộ

6 Giải tích tổ hợp

Gi i tích t  h p (Combinatorics) là lãnh v c toán nghiên c u v  các bài toán ch n l a,ả ổ ợ ự ứ ề ọ ự   hoán v  và các toán t  trong h  th ng h u h n. Trong ph m vi c a tài li u này chúng taị ử ệ ố ữ ạ ạ ủ ệ  

ch  trình bày các khái ni m v  hoán v  (arrangment), ch nh h p (permutation) và t  h pỉ ệ ề ị ỉ ợ ổ ợ   (combination)

6.1 Nh c l i v  giai th a (factorial)ắ ạ ề ừ

Giai th a c a n (v i n là s  nguyên) đừ ủ ớ ố ược đ c là n giai th a và đọ ừ ược kí hi u là n! ệ

n!=n.(n­1).(n­2) 1

Theo quy ước, 0! =1

Nh  kí hi u giai th a ngờ ệ ừ ười ta có th  vi t m t cách v n t t tích m t chu i các ch  sể ế ộ ắ ắ ộ ỗ ữ ố  liên ti p. Thí d : Th  hi n bi u th c 1 ế ụ ể ệ ể ứ  2   3   4   5   6   7 b ng kí hi u 7!ằ ệ

Thí d : Th  hi n bi u th c 3 ụ ể ệ ể ứ  4   5   6   7 b ng  ằ

6.2 Hoán v  ị

Tr m y t  có 3 v  trí đ  treo 3 b c tranh A, B, C. S  cách s p x p 3  b c tranh vào 3 vạ ế ị ể ứ ố ắ ế ứ ị  trí có th  để ược tính theo cách l p lu n sau:ậ ậ

­ V  trí s  1 có th  ch n 1 trong 3 b c tranh đ  treo, nh  v y có t t c  3 cách ch nị ố ể ọ ứ ể ư ậ ấ ả ọ

­ V  trí s  2 có th  ch n 1 trong 2 b c tranh còn l i, v y   v  trí này có 2 cách ch nị ố ể ọ ứ ạ ậ ở ị ọ

­ V  trí s  3 ch  còn duy nh t m t tranh đ  treo, v y   v  trí này ch  có 1 cách ch nị ố ỉ ấ ộ ể ậ ở ị ỉ ọ

S  cách s p x p 3 b c tranh vào 3 v  trí = 1 ố ắ ế ứ ị × 2 × 3 = 3!

M t cách t ng quát s  cách s p x p n đ i tộ ổ ố ắ ế ố ượng vào n v  trí khác nhau còn đị ược g i làọ  

s  cách hoán v  (arrangments) c a n đ i tố ị ủ ố ượng b ng n!.ằ

6.3. Ch nh h p và t  h p ỉ ợ ổ ợ

Ch nh h p và t  h p đ u là cách ch n k đ i tỉ ợ ổ ợ ề ọ ố ượng t  n đ i từ ố ượng cho trước. Vi cệ  

ch n các đ i tọ ố ượng được g i là ch nh h p (Permutation) n u chúng ta đ  ý đ n th  tọ ỉ ợ ế ể ế ứ ự 

l a ch n  và đự ọ ược g i là t  h p (Combination) n u chúng ta không quan tâm đ n thọ ổ ợ ế ế ứ 

t  l a ch n. ự ự ọ

Khái ni m v  ch nh h p và t  h p s  đệ ề ỉ ợ ổ ợ ẽ ược minh ho  trong thí d  sau. Gi  s  chúng taạ ụ ả ử  

có 5 đ i tố ượng phân bi t (distinguishable objects) là các lo i thu c A (antibiotic), Bệ ạ ố   (beta agonist), C (corticosteroid), D (bronchoDilator) và   E (expectorant). Gi  s  đả ử ể 

đi u tr  cho b nh nhân b  hen ph  qu n chúng ta c n ph i ch n 2 lo i thu c và hai lo iề ị ệ ị ế ả ầ ả ọ ạ ố ạ   thu c này không dùng đ ng th i (m t thu c dùng trố ồ ờ ộ ố ước, m t thu c dùng sau). Khi đóộ ố   các cách đ  ch n 2 lo i thu c để ọ ạ ố ược li t kê   nh  sau:ệ ở ư

M i cách ch n l a li t kê   trên đỗ ọ ự ệ ở ược g i là m t ch nh h p. S  các ch nh h p nàyọ ộ ỉ ợ ố ỉ ợ  

được g i là s  ch nh  h p 5 đ i tọ ố ỉ ợ ố ượng ch n 2 (permuations of 5 objects taken 2) vàọ  

được kí hi u là ệ 5P2.  L p lu n đ  tính s  ch nh h p 5 đ i tậ ậ ể ố ỉ ợ ố ượng ch n 2 nh  sau:ọ ư

Đ  ch n đ i tể ọ ố ượng th  nh t chúng ta có 5 cách ch nứ ấ ọ

Đ  ch n đ i tể ọ ố ượng th  hai sau khi ch n đ i tứ ọ ố ượng đ u tiên chúng ta có 4 cáchầ  

ch nọ

Do đó 5P2 =  5 × 4 =  =   

M t cách t ng quát, công th c tính ộ ổ ứ nPr (s  ch nh h p n đ i tố ỉ ợ ố ượng ch n r) là s  cáchọ ố   trong n đ i tố ượng ch n ra r đ i tọ ố ượng có phân bi t th  t  đệ ứ ự ược ch n (đ  giao cácọ ể   nhi m v  hay nh n lãnh các v  trí khác nhau) là:ệ ụ ậ ị

1 ) 1 (

) (

1 ) 1 ( )!

(

!

r n r n

n n r

n

n

P r

n

Chúng ta hãy xét m t thí d  khác. Gi  s  đ  đi u tr  cho b nh nhân b  hen ph  qu nộ ụ ả ử ể ề ị ệ ị ế ả   chúng ta c n ph i ch n 2 lo i thu c và cho dùng đ ng th i. Trong trầ ả ọ ạ ố ồ ờ ường h p này tợ ổ 

h p AB đ ng nh t nh  t  h p BA, t  h p AC cũng đ ng nh t nh  t  h p CA và s  tợ ồ ấ ư ổ ợ ổ ợ ồ ấ ư ổ ợ ố ổ 

h p b ng s  ch nh h p chia s  s  hoán v  c a 2 đ i tợ ằ ố ỉ ợ ố ố ị ủ ố ượng được ch n.ọ

Do đó 5C2 = 5C2 /2! =  =   

M t cách t ng quát, công th c tính ộ ổ ứ nCr (s  t  h p n đ i tố ổ ợ ố ượng ch n r) là s  cách trongọ ố  

n đ i tố ượng ch n ra r đ i tọ ố ượng có không phân bi t th  t  đệ ứ ự ược ch n (và s  nh n lãnhọ ẽ ậ   cùng m t nhi m v  hay cùng m t v  trí ) là:ộ ệ ụ ộ ị

1 ) 1 ( 1 ) 1 (

) (

1 ) 1 (

! )!

(

!

r r r

n r n

n n r

r n

n

C r

n

(4)

L u ý: T  h p và ch nh h p có th  đư ổ ợ ỉ ợ ể ược kí hi u khác. Thí d  t  h p n l y r còn đệ ụ ổ ợ ấ ượ  c

kí hi u là Cệ nr  hay  r

n

 . M t s  tài li u nêu rõ t  h p là t  h p không l p và dùng tộ ố ệ ổ ợ ổ ợ ặ ừ 

ch p hay cho t  l y do đó nCr đậ ừ ấ ược g i là t  h p không l p ch p r c a n đ i tọ ổ ợ ặ ậ ủ ố ương.  Tuy nhiên ph n l n tài li u hi n đ i đ u quy ầ ớ ệ ệ ạ ề ướ ổ ợc t  h p có nghĩa là t  h p không l pổ ợ ặ  

đ  tránh rể ườm rà

6.4 Bài toán ngày sinh nh tậ

B  môn Y t  công c ng có n=23 gi ng viên và nhân viên, hãy tính xác su t P trong bộ ế ộ ả ấ ộ  môn  ít nh t có 2 ngấ ười trùng ngày sinh

Đ  đ n gi n, chúng ta hãy gi  đ nh là m t năm ch  có 365 ngày và m i ngày đ u cóể ơ ả ả ị ộ ỉ ỗ ề   xác su t là ngày sinh c a m t ngấ ủ ộ ười ng u nhiên là nh  nhau. Khi đó m t nhóm nẫ ư ộ  

ngườ ẽi s  có 365n cách x y ra ngày sinh c a n ngả ủ ười đó. Cách ch n trong 365 ngày sinhọ  

đ  gán cho n ngể ười khác nhau chính là ch nh h p 365 ch n n. do đó Xác su t trong bỉ ợ ọ ấ ộ  môn ít nh t 2 ngấ ười trùng ngày sinh = 1 – xác su t n ngấ ười có ngày sinh hoàn toàn khác  nhau. 

Thay n=23, chúng ta có xác su t trong b  môn Y t  công c ng có ít nh t 2 ngấ ộ ế ộ ấ ười trùng  ngày sinh là 0,5

Khi s  lố ượng người gia tăng thì xác su t có ít nh t 2 ngấ ấ ười cùng ngày sinh nh t cũngậ   gia tăng. Đáp s  c  th  cho các trố ụ ể ường h p đợ ược trình bày nh  sau:ư

XS   có   ít   nh t   có   2ấ  

người trùng ngày sinh 0,0946 0,5073 0,9140 0,9704

Bài tập

Bài t p đ nh nghĩa xác su tậ ị ấ

1. M t b nh vi n có c  c u nhân viên theo tu i và công tác độ ệ ệ ơ ấ ổ ược trình bày trong b ngả  

1. Gi  s  n u ta ch n m t nhân viên trong b nh vi n., tính xác su t:ả ử ế ọ ộ ệ ệ ấ

a­ nhân viên đó là bác sĩ

b­ nhân viên đó là bác sĩ  l n h n 35 tu iớ ơ ổ

c­ nhân viên đó là  đi u dề ưỡng

d­ nhân viên đó là m t đi u dộ ề ưỡng tu i t  26 đ n 35ổ ừ ế

1a.  Theo công th cứ

P E m

N

( )

V i N là s  các bi n c  có th  và m s  các bi n c  thu n l i.ớ ố ế ố ể ố ế ố ậ ợ

Khi ch n ng u nhiên vi c ch n l c có th  k t cu c theo 1766 cách khác nhau (S  bi nọ ẫ ệ ọ ự ể ế ộ ố ế  

c  có th  N=1766). Trong vi c tính xác su t nhân viên đó là bác sĩ, bi n c  thu n l i làố ể ệ ấ ế ố ậ ợ  

bi n c  ch n đế ố ọ ược m t trong 105 bác sĩ. Nh  v y s  bi n c  thu n l i m = 105.ộ ư ậ ố ế ố ậ ợ

Ta có xác su t ch n đấ ọ ược m t bác sĩ là 105/1766=0,059 = 5,9%ộ

1b. Tương t  ta có xác su t ch n đự ấ ọ ược m t bác sĩ l n h n 35 tu i là 75/1766 = 0,042 =ộ ớ ơ ổ   4,2%

1c. Xác su t ch n đấ ọ ược m t nhân viên đi u dộ ề ưỡng là 1220 /1766 = 0,691 = 69,1% 1d   Xác   su t   chon   đấ ược   m t   nhân   viên   đi u   dộ ề ưỡng   tu i   t   26   đ n   35   =ổ ừ ế   (375+442)/1766 = 817/1766 = 0,463 = 46,3% 

Bài t p v  t p h p và m nh đậ ề ậ ợ ệ ề

B ng 1. Nhân viên c a b nh vi n phân theo tu i và công tácả ủ ệ ệ ổ

≤ 25

A2 26­

30

A3   31­

35

A4

>35 T ng sổ ố

B2. Ph c v  phòng thí nghi mụ ụ ệ 20 30 35 35 120

B3. Ph c v  dinh dụ ụ ưỡng 3 6 6 10 25

B4. Ph c v  h  s  b nh ánụ ụ ồ ơ ệ 7 15 8 12 42

B5. Ph c v  đi u dụ ụ ề ưỡng 200 375 442 203 1220

B8. Ph c v  đi u trụ ụ ề ị 5 25 15 10 55

B9. Nh ng ngành khácữ 20 35 50 25 130

1. D a vào s  li u c a b ng 1. Gi i thích b ng l i nh ng t p h p sau đây. Nh ng t pự ố ệ ủ ả ả ằ ờ ữ ậ ợ ữ ậ  

h p đó có bao nhiêu ph n t :ợ ầ ử

A4∩B3 ; B5∩A2 ;  B3∪A4 ; (A4∪A3)∩B3

2. Trong các m nh đ  sau, m nh đ  nào là đúngệ ề ệ ề

2+2 là 4 hay Darwin là con khỉ

B nh AIDS do m t lo i virus gây ra và b nh AIDS có th  lây lan qua mu i  ệ ộ ạ ệ ể ỗ Aedes 

aegypti 

Bài gi iả

1. Gi i thích các t p h pả ậ ợ

A4∩B3  là t p h p nh ng nhân viên c p dậ ợ ữ ấ ưỡng >35 tu i. n(A4ổ ∩B3) = 10

B5∩A2  là t p h p nh ng đi u dậ ợ ữ ề ưỡng tu i t  26 đ n 30. n(B5ổ ừ ế ∩A2) = 375 B3∪A4     là   t p   h p   nh ng   ngậ ợ ữ ười   nhân   viên   c p   dấ ưỡng   hay   trên   35   tu i.ổ   n(B3∪A4)=385 +25 ­10 = 400

(A4∪A3)∩B3   là   t p   h p   nh ng   nhân   viên   c p   dậ ợ ữ ấ ưỡng   tu i   t   31   tr   lên.ổ ừ ở   N{(A4∪A3)∩B3}=16

2. M nh đ  (a)  là m nh đ  hay.  M nh đ  này đúng do m t m nh đ  con c aệ ề ệ ề ệ ề ộ ệ ề ủ  

nó là đúng (2+2 =4),

M nh đ  (b) là m nh đ  và.  M nh đ  này sai do m t m nh đ  con c a nóệ ề ệ ề ệ ề ộ ệ ề ủ   (b nh AIDS có th  lây lan qua mu i Aedes aegypti ) là sai.ệ ể ỗ

Bài t p v  ch nh h p, t  h pậ ề ỉ ợ ổ ợ

1. M t nhân viên v t lí tr  li u s p k  ho ch làm vi c trong ngày. Anh ta bi t r ng cóộ ậ ị ệ ắ ế ạ ệ ế ằ  

7 công vi c ph i làm trong ngày đó.ệ ả

a. N u anh ta có th  ti n hành công vi c theo ý mu n, thì anh ta có th  có baoế ể ế ệ ố ể   nhiêu cách s p x p?ắ ế

b. N u anh ta quy t đ nh ngh  bu i chi u và ch  làm 3 công vi c vào bu i sángế ế ị ỉ ổ ề ỉ ệ ổ   thì anh ta có bao nhiêu cách s p x p?ắ ế

2. M t nhân viên mu n làm xét nghi m 4 m u máu nh ng bà ta ch  có đ  hóa ch t độ ố ệ ẫ ư ỉ ủ ấ ể  xét nghi m cho 3 m u mà thôi. H i có bao nhiêu cách ch n 3 m u máu trong 4 m u đệ ẫ ỏ ọ ẫ ẫ ể  làm xét nghi m?ệ

3. Gi  s  trong phòng thí nghi m có 3 công vi c khác nhau ph i làm và có 5 ngả ử ệ ệ ả ười làm 

vi c đó. H i có bao nhiêu cách đ  giao 3 công vi c này cho 5 ngệ ỏ ể ệ ười?

Bài gi iả

1a. Do người nhân viên v t lí tr  li u này mu n liên k t 7 công vi c khác nhauậ ị ệ ố ế ệ   vào 7 th i đi m khác nhau trong k  ho ch công tác, anh ta có th  có s p x pờ ể ế ạ ể ắ ế   công vi c theo  7!=7 ệ ×  6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 5040 cách

1b. N u anh ta ch   còn có đ  th i gian đ  làm 3 công vi c, anh ta ph i t  7ế ỉ ủ ờ ể ệ ả ừ   công vi c ch n ra 3, 3 công vi c này sau khi đệ ọ ệ ược ch n s  đọ ẽ ượ ắc s p x p khácế   nhau. Nh  v y, s  k  ho ch anh ta có th  s p x p là:ư ậ ố ế ạ ể ắ ế

7P3 = 7!/(7­3)! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 / 4 × 3 × 2 × 1 = 7 × 6 × 5 = 210  cách

2. Người nhân viên này mu n ch n t  4 m u máu l y 3 m u, 3 m u máu nàyố ọ ừ ẫ ấ ẫ ẫ   sau khi ch n là không phân bi t (đ u đọ ệ ề ược làm xét nghi m). V y s  cách ch nệ ậ ố ọ  

3 m u máu đ  xét nghi m là  ẫ ể ệ 4C3 = 4!/(4­3)!3! = 4 × 3 × 2 × 1 / (1 × 3 × 2 ×

1) = 4