Bài giảng Thống kê y học - Bài 5: Phân phối xác suất

Bài giảng Thống kê y học - Bài 5: Phân phối xác suất cung cấp các kiến thức giúp người học có thể: Phân biệt được 3 phân phối xác suất phổ biến - Phân phối nhị thức, phân phối Poisson và phân phối bình thường; tính xác suất của phân phối nhị thức và phân phối poisson khi được cung cấp các tham số,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

PHÂN PH I XÁC SU TỐ Ấ Mục tiêu

Sau khi nghiên c u ch  đ , h c viên có kh  năng:ứ ủ ề ọ ả

­ Phân bi t đệ ược 3 phân ph i xác su t ph  bi n: phân ph i nh  th c, phân ph i Poissonố ấ ổ ế ố ị ứ ố  

và phân ph i bình thố ường

­ Tính xác su t c a phân ph i nh  th c và phân ph i poisson khi đấ ủ ố ị ứ ố ược cung c p cácấ   tham số

­ Xác đ nh đị ược phân ph i xác su t c a phân ph i chu n    m t giá tr  b t kì, đố ấ ủ ố ẩ ở ộ ị ấ ượ  c phép s  d ng b ng s  c a phân ph i chu n.ử ụ ả ố ủ ố ẩ

­ Tính t  l  c a dân s  có m t đ c tr ng nh t đ nh v  m t đ i lỉ ệ ủ ố ộ ặ ư ấ ị ề ộ ạ ượng có phân ph i bìnhố  

thường khi được cung c p các tham s  và b ng s  c a phân ph i chu n.ấ ố ả ố ủ ố ẩ

1 Phân phối xác suất

Nh  đã trình bày,n u chúng ta ch  quan tâm đ n giá tr  đ i lư ế ỉ ế ị ạ ượng được xác đ nh b iị ở  

k t c c c a phép th ,chúng ta mô t  bi n c  là bi n s  ng u nhiên. Thí d  n u chúngế ụ ủ ử ả ế ố ế ố ẫ ụ ế  

ta tung 3 đ ng ti n mà ch  quan tâm đ n s  đ ng tiên ra m t ng a thì chúng ta t o raồ ề ỉ ế ố ồ ặ ử ạ  

bi n s  ng u nhiên X là s  đ ng ti n ng a. Khi đó chúng ta có th  kí hi u (X=1) đế ố ẫ ố ồ ề ử ể ệ ể 

ch  bi n c  g m các k t cu c có s  đ ng ti n ng a là 1 (g m 3 bi n c  S p ­S p ­ỉ ế ố ồ ế ộ ố ồ ề ử ồ ế ố ấ ấ  

Ng a; S p ­ Ng a ­ S p; Ng a ­ S p ­ S p). Xác su t c a bi n c  này đử ấ ử ấ ử ấ ấ ấ ủ ế ố ược được g iọ  

là phân ph i xác su t c a X. Áp d ng vào thí d  trên chúng ta có phân ph i xác su tố ấ ủ ụ ụ ố ấ  

c a X nh  sau:ủ ư

xi S  bi n c  thu nố ế ố ậ  

l iợ f(xi)=P(X=xi) F(xi)=P(X ≤ x)

Ð nh nghĩa: Phân ph i xác su t c a bi n s  r i r c là m t b ng mô t  nh ng giá trị ố ấ ủ ế ố ờ ạ ộ ả ả ữ ị 

c a bi n s  r i r c cùng v i xác su t và xác su t tích lu  tủ ế ố ờ ạ ớ ấ ấ ỹ ương  ng c a nó. ứ ủ

Xác su t c a các bi n s  ng u nhiên X đấ ủ ế ố ẫ ược g i là hàm kh i (mass function) c a X ­ọ ố ủ  

kí hi u là f(x). Xác su t tích lu  c a bi n s  ng u nhiên X đệ ấ ỹ ủ ế ố ẫ ược g i là hàm phân ph iọ ố   (distribution function) c a X và đủ ược kí hi u là F(x)ệ

Hai đ c tính c  b n c a phân ph i xác su t c a bi n s  r i r c:ặ ơ ả ủ ố ấ ủ ế ố ờ ạ

(1) 0 ≤ P(X=x) ≤ 1

(2) Σ P(X=x) = 1

Có hai phân ph i xác su t r i r c đố ấ ờ ạ ượ ử ục s  d ng r ng rãi nh t là phân ph i nh  th c vàộ ấ ố ị ứ   phân ph i Poision. Chúng ta s  th o lu n v  hai phân ph i này và phân ph i bìnhố ẽ ả ậ ề ố ố  

thường trong các ph n sau.ầ

2 Phân phối nhị thức

Bài toán: Gi  s  chúng ta th c hi n n phép th  đ ng nh t và đ c l p v i nhau, m iả ử ự ệ ử ồ ấ ộ ậ ớ ỗ   phép th  có 2 k t cu c là thành công hay th t b i v i xác su t thành công trong m iử ế ộ ấ ạ ớ ấ ỗ  

l n th  là p. Hãy tính xác su t có x l n thành công.ầ ử ấ ầ

Khi th c hi n n l n th  chúng ta s  có 2ự ệ ầ ử ẽ n k t c c. Trong đó s  k t c c có x l n thànhế ụ ố ế ụ ầ   công là = px(1­p)n­x  và s  k t c c có x l n thành công là ố ế ụ ầ nCr

Vì v y, xác su t có x l n thành công sau n l n th  làậ ấ ầ ầ ử

) (

) 1 ( )

x

n C p p x

X

P

Do xác su t này ph  thu c vào x nên nó là hàm s  c a x và đấ ụ ộ ố ủ ược g i là hàm kh i xácọ ố  

su t nh  th c (binomial probability mass function) ấ ị ứ

) (

) 1 ( )

( )

x

n C p p x

X P x

f

Thí d : gi  s  trong m t dân s  nh t đ nh, t  l  sinh con trai là 52%. N u chúng ta xemụ ả ử ộ ố ấ ị ỉ ệ ế   xét k t qu  c a 5 l n sinh. Đ  tính xác su t trong 5 l n sinh này có đúng 3 l n sinh làế ả ủ ầ ể ấ ầ ầ   con trai có th  l p lu n nh  sau:ể ậ ậ ư

­ Ð  trong 5 l n sinh có 3 l n sinh con trai, có ể ầ ầ 5C3 = 5!/[3!x2!] = 10 cách khác nhau (đó 

là TGTTG, TTTGG, TGGTT, TTGTG, TTGGT, TGTGT, GTTTG, GGTTT, GTGTT,  GTTGT). Xác su t x y ra c a m t cách nh  v y = 0,52ấ ả ủ ộ ư ậ 3(1­0,52)2= 0,2304 x 0,1406 =  0,032. Nh  v y xác su t trong 5 l n sinh có 3 l n sinh là con trai là 10 x 0,032 = 0,32.ư ậ ấ ầ ầ

­ Chúng ta cũng có th  xem 5 l n sinh là th  nghi m nh  th c g m 5 l n th  đ ng nh tể ầ ử ệ ị ứ ồ ầ ử ồ ấ  

và m i l n th  có hai k t cu c (sinh con trai và sinh con gái ) và xác su t sinh con traiỗ ầ ử ế ộ ấ  

là 0,52 không thay đ i trong các l n th  Áp d ng hàm m t đ  xác su t nh  th c taổ ầ ử ụ ậ ộ ấ ị ứ  

được

32 , 0 48

, 0 52 , 0 )

3 ( )

3

3

5 C X

P f

Thí d : Cho r ng  10% thanh niên trong dân s  là hút thu c lá.  Đ  tính xác su t cóụ ằ ố ố ể ấ   đúng 2 thanh niên hút thu c lá trong nhóm 10 thanh niên chúng ta có th  s  d ng hàmố ể ử ụ  

m t đ  xác su t nh  th c v i n = 10, x = 2, and p = 0,1. Trong trậ ộ ấ ị ứ ớ ường h p này xác su tợ ấ  

là 0,1937

Thí d : Gi  s  có 30% tr  dụ ả ử ẻ ưới 5 tu i b  suy dinh du ng. Trong m t m u 10 tr  dổ ị ỡ ộ ẫ ẻ ướ  i

5, tính xác su t có đúng 4 b  suy dinh dấ ị ưỡng

3 Phân phối Poisson

Bài toán: Gi  s  trong m t đ n v  th i gian trung bình có ả ử ộ ơ ị ờ λ l n xu t hi n k t c c quanầ ấ ệ ế ụ   tâm. Hãy tính xác su t trong ấ m t đ n v  th i gian  ộ ơ ị ờ có x l n xu t hi n k t c c này.ầ ấ ệ ế ụ

Gi  đ nh m t đ n v  th i gian đả ị ộ ơ ị ờ ược chia thành N phân t  th i gian v i N là m t s  vôử ờ ớ ộ ố   cùng l n. Khi đó xác su t x y ra k t c c quan tâm trong m t phân t  th i gian là  ớ ấ ả ế ụ ộ ử ờ λ/N.  Khi đó bài toán có th  để ược đ t dặ ướ ại d ng: Th c hi n th  nghi m nh  th c v i N l nự ệ ử ệ ị ứ ớ ầ  

th  đ ng nh t và xác su t x y k t cu c quan tâm trong m i l n th  là  ử ồ ấ ấ ả ế ộ ỗ ầ ử λ/N. Áp d ngụ   công th c hàm m t đ  xác su t nh  th c ta đứ ậ ộ ấ ị ứ ược

1

!

1

!

) 1 (

) 1 ( )

1 ( )

(

)

(

) (

) ( )

(

x

e N

N

x

N

N N

x

x N N

N p

p C x X

P

x

f

x N

x

x

x

x N x

x N x

x N

! )

(

x

e x

X

f

x

đ  n m v ng các phép bi n đ i đ i s  k  trên c n nh  l i đ nh nghĩa c a s  e (c  sể ắ ữ ế ổ ạ ố ể ầ ớ ạ ị ủ ố ơ ố 

c a logarithm Neper)ủ

U

=2,7183 Bài toán: Gi  s  trong m t đ n v  th i gian trung bình có ả ử ộ ơ ị ờ λ l n xu t hi n k t c c quanầ ấ ệ ế ụ   tâm. Hãy tính xác su t trong ấ t đ n v  th i gian  ơ ị ờ có x l n xu t hi n k t c c này.ầ ấ ệ ế ụ

Gi  đ nh m t đ n v  th i gian đả ị ộ ơ ị ờ ược chia thành N phân t  th i gian v i N là m t s  vôử ờ ớ ộ ố   cùng l n. Nh  v y trong t đ n v  th i gian có Nt phân t  th i gian. Xác su t x y ra k tớ ư ậ ơ ị ờ ử ờ ấ ả ế  

c c quan tâm trong m t phân t  th i gian là   ụ ộ ử ờ λ/N. Khi đó bài toán có th  để ược phát 

bi u dể ướ ại d ng: Th c hi n th  nghi m nh  th c v i Nt l n th  đ ng nh t và xác su tự ệ ử ệ ị ứ ớ ầ ử ồ ấ ấ  

x y k t cu c quan tâm trong m i l n th  là  ả ế ộ ỗ ầ ử λ/N. Áp d ng công th c hàm m t đ  xácụ ứ ậ ộ  

su t nh  th c ta đấ ị ứ ược

!

) ( 1

!

1

!

1

!

) 1 (

) 1 ( )

1 ( )

( )

(

) ( )

(

) ( )

(

x

e t N

x

t N

N x

t

N

N N

x

x Nt Nt

Nt p

p C x X P x

f

t x Nt

x x Nt

x

x x x

x Nt x

x Nt x

x Nt

M t cách t ng quát, phân ph i Poisson độ ổ ố ược dùng làm mô hình cho s  l n xu t hi nố ầ ấ ệ   các bi n s  thu n l i trong m t kho ng th i gian (t đ n v  th i gian) khi đã bi t ế ố ậ ợ ộ ả ờ ơ ị ờ ế λ,  trung bình s  l n xu t hi n bi n c  trong  m t đ n v  th i gian. Hàm kh i xác su tố ầ ấ ệ ế ố ộ ơ ị ờ ố ấ   Poisson được trình bày công th c sauứ

!

) ( ) (

x

e t x

X

f

t x

v i ớ λ là tham s  c a phân ph i và là s  l n xu t hi n trung bình c a bi n c  trong m tố ủ ố ố ầ ấ ệ ủ ế ố ộ   kho ng th i gian nh t đ nh (hay trong m t không gian nh t đ nh) và e=2,7183.ả ờ ấ ị ộ ấ ị

Thí d : Gi  s  s  l n nh p vi n trong ngày c p c u   m t b nh vi n có phân ph iụ ả ử ố ầ ậ ệ ấ ứ ở ộ ệ ệ ố   Poisson v i s  l n nh p vi n trung bình là 3 l n/ngày.ớ ố ầ ậ ệ ầ

Tính xác su tấ

a. Vào ngày 12 tháng 8 năm 2003, có đúng 2 trường h p c p c u.ợ ấ ứ

b. Vào ngày 12 tháng 8 năm 2003, có 1 trường h p c p c u nào.ợ ấ ứ

c. Trong m t tu n có 7 trộ ầ ường h p c p c u.ợ ấ ứ

T  su tỉ ấ

S  l n xu t  hi n trung bình c a bi n c  trong m t đ n v  th i gian, ố ầ ấ ệ ủ ế ố ộ ơ ị ờ λ,  còn được g iọ  

là t  su t (rate) hay m t đ  m c m i (incidence rate). Khác v i xác su t, ỉ ấ ậ ộ ắ ớ ớ ấ λ là đ i lạ ượ  ng

có đ n v  Qua hàm kh i c a phân ph i Poisson có th  nh n xét n u trung bình s  l nơ ị ố ủ ố ể ậ ế ố ầ  

xu t hi n c a bi n c  trong m t đ n v  th i gian là ấ ệ ủ ế ố ộ ơ ị ờ λ thì trung bình s  l n xu t hi nố ầ ấ ệ  

c a t đ n v  th i gian là ủ ơ ị ờ λt

4 Phân phối xác suất của biến liên tục

Gi  s  ta mu n tìm phân ph i xác su t c a bi n liên t c (thí d  nh  tr ng lả ử ố ố ấ ủ ế ụ ụ ư ọ ượng c aủ  

tr  s  sinh), ta có th  phân lo i tr ng lẻ ơ ể ạ ọ ượng s  sinh thành nhi u nhóm nh  (thí d  nhơ ề ỏ ụ ư 

t  2,0kg đ n < 2,1 kg, t   2,1kg đ n < 2,2 kg, v.v). Khi đó bi n liên t c s  tr  thànhừ ế ừ ế ế ụ ẽ ở  

bi n s  r i r c và ta có th  dùng phế ố ờ ạ ể ương pháp phân ph i xác su t c a bi n r i r c choố ấ ủ ế ờ ạ  

lo i bi n s  này.ạ ế ố

N u chúng ta l i chia thành nh ng nhóm nh  h n, phân ph i s  tinh vi h n và:ế ạ ữ ỏ ơ ố ẽ ơ

­ Ða giác t n su t s  tr  thành đầ ấ ẽ ở ường cong tr n và đơ ược g i là hàm m t đ  (densityọ ậ ộ   function) c a phân ph i v i kí hi u là f(x)ủ ố ớ ệ

­ Ph n di n tích   dầ ệ ở ướ ười đ ng cong, được bao quanh b i tr c x và hai đở ụ ường th ngẳ   vuông góc đi qua a và b s  là P (a < X ≤ b).ẽ

­ Ph n di n tích   dầ ệ ở ướ ười đ ng cong n m   bên trái c a đằ ở ủ ường th ng vuông góc đi quaẳ  

x là xác su t bi n s  ng u nhiên nh  h n hay b ng x, kí hi u là P(Xấ ế ố ẫ ỏ ơ ằ ệ ≤x) hay F(x) đượ  c

g i hàm phân ph i (distribution function) c a bi n ng u nhiên Xọ ố ủ ế ẫ

5 Phân phối bình thường

Phân ph i bình thố ường là phân ph i xác su t liên t c ph  bi n nh t. Hình 2 là đ  thố ấ ụ ổ ế ấ ồ ị 

c a phân ph i xác su t bình thủ ố ấ ường v i trung bình là 0 và đ  l ch chu n là 1.ớ ộ ệ ẩ

Hình 1. Phân ph i xác su t bình thố ấ ường 

­ Phân ph i bình thố ường là phân ph i có hàm m t đ :ố ậ ộ

f x( ) 1 e (x ) /

2

2 2 2

V i  ớ µ  là trung bình c a phân ph i v i   ủ ố ớ σ  và  σ2  là phương sai là đ  l ch chu n vàộ ệ ẩ  

phương sai c a phân ph i. Đ  th  hi n bi n s  X có phân ph i bình thủ ố ể ể ệ ế ố ố ường v i trungớ   bình là µ và phương sai σ2 còn có th  s  d ng kí hi uể ử ụ ệ

X ∼ N(µ,σ2)

Phân ph i bình thố ường có 4 đ c tính quan tr ng sau:ặ ọ

­ M t đ  cao nh t t p trung   quanh giá tr  ậ ộ ấ ậ ở ịµ, càng xa giá tr  ịµ hàm m t đ  càng gi mậ ộ ả

­ Hàm m t đ  ti n t i zero   các giá tr  cách xa ậ ộ ế ớ ở ị µ

­ Hàm m t đ  đ i x ng qua đậ ộ ố ứ ường th ng đ ng đi qua ẳ ứ µ

­ Ngoài ra t  hàm m t  đ  c a phân ph i bình thừ ậ ộ ủ ố ường người ta ch ng minh đứ ược n uế  

bi n s  có phân ph i bình thế ố ố ường v i trung bình là ớ µ và đ  l ch chu n ộ ệ ẩ σ, xác su t giáấ  

tr  bi n s  n m t  trung bình – 1,96 đ  l ch chu n đ n trung bình + 1,96 đ  l chị ế ố ằ ừ ộ ệ ẩ ế ộ ệ   chu n là 95%.ẩ

X~N(µ,σ2)  =>  P(µ ­ 1,96σ <X < µ + 1,96σ) = 0,95

Hay nói khác đi, ch  có 5% giá tr  c a bi n s  X n m ngoài kho ng  ỉ ị ủ ế ố ằ ả µ ± 1,96σ 

Phân ph i bình thố ường chu n hay còn g i là phân ph i chu n là phân ph i bình thẩ ọ ố ẩ ố ườ  ng

có trung bình là zero và đ  l ch chu n =1.ộ ệ ẩ

2 /

2

2

1 )

f

L u ý: trong phân ph i chu n, tr c x đư ố ẩ ụ ược g i là  tr c z. Phân ph i bình thọ ụ ố ường có thể 

bi n thành phân ph i chu n n u ta  t o bi n ng u nhiêu m i z = (x­ế ố ẩ ế ạ ế ẫ ớ µ)/σ

Thí d : Cho m t phân ph i bình thụ ộ ố ường, tính P(Z ≤ 2,71)

Thí d : Cho m t phân ph i chu n, tìm di n tích n m dụ ộ ố ẩ ệ ằ ướ ười đ ng cong, trên tr c Z,ụ  

n m gi a z=­1 và z=2.ằ ữ

Thí d : tính xác su t Z đụ ấ ược ch n b t kì trong dân s  có phân ph i bình thọ ấ ố ố ường có giá 

tr  t  ­2,55 đ n +2,55.ị ừ ế

6 Ứng dụng phân phối bình thường

M c dù trong th c t , không có m t phân ph i nào là phân ph i bình thặ ự ế ộ ố ố ường m t cáchộ   chính xác, có nhi u phân ph i có th  đề ố ể ược coi là x p x  bình thấ ỉ ường. Khi đó, n u dùngế  

mô hinh phân ph i bình thố ường thì chúng ta có th  có nh ng suy lu n xác su t ti n l iể ữ ậ ấ ệ ợ  

h n r t nhi u so v i vi c s  d ng nh ng phơ ấ ề ớ ệ ử ụ ữ ương pháp ph c t p khác. Nh ng phânứ ạ ữ  

ph i đố ược coi là x p x  bình thấ ỉ ường là tr ng lọ ượng tr  s  sinh, chi u cao ngẻ ơ ề ườ  i

trưởng thành, thương s  thông minh.ố

Hình 3 Phân ph i c a ph n trăm so v i tr ng lố ủ ầ ớ ọ ượng chu n c a 1750 tr  em h c sinh nhà trẩ ủ ẻ ọ ẻ  Hoa Hướng Dương 15, Q11, Thành ph  H  Chí Minh (trung bình=92, đ  l ch chu n =10)ố ồ ộ ệ ẩ

a. Ướ ược l ng t  l  dân s  có m t thu c tính nh t đ nhỉ ệ ố ộ ộ ấ ị

Thí d :Thụ ương s  thông minh trong m t dân s  có trung bình =100 và đ  l ch chu nố ộ ố ộ ệ ẩ  

15. Ch n ng u nhiên m t ngọ ẫ ộ ười trong dân s   này, tính xác su t ngố ấ ười này có thươ  ng

s  thông minh nh  h n 120.ố ỏ ơ

P(IQ<120) = P(Z<(120­100)/15) = P(Z<1,33) =0,9082

Thí d : Gi  s  tr ng lụ ả ử ọ ượng c a đàn ông   thành ph  H  chí Minh có phân ph i chu nủ ở ố ồ ố ẩ  

và có trung bình là 56 kg và đ  l ch chu n 10 kg. Tính xác su t m t ngộ ệ ẩ ấ ộ ười đàn ông 

được ch n ng u nhiên có tr ng lọ ẫ ọ ượng   gi a 40 kg và 68 kg.ở ữ

P(40 < TL < 68) = P(­1,6 < Z < 1,2) = P(Z< 1,2)  –  P(Z <­1,6) 

Áp d ng quy t c: mu n tìm P(Z <z) v i z âm, ta tính P c a tr  tuy t đ i c a Z r i l y 1ụ ắ ố ớ ủ ị ệ ố ủ ồ ấ  

tr  cho s  đóừ ố

P(Z <z)=1­ P (Z <|z|)

ta có P(Z< ­ 1,6) = 1 ­ P(Z<|1,6|)

Ta được:

P(40   <   TL   <   68)   =   P(­1,6   <   Z   <   1,2)   =   P(Z<   1,2)     –     P(Z   <­1,6)  

=  0,8849 – (1 – 0,9452) = 0,8301

Thí d : Trong thành ph  H  chí minh có c  th y 1.000.000 đàn ông trên 20 tu i. Ch pụ ố ồ ả ẩ ổ ấ  

nh n gi  đ nh   thí d  trên, hãy ậ ả ị ở ụ ước tính   thành ph  H  Chí Minh có bao ngở ố ồ ười có 

tr ng lọ ượng l n h n 80 kg.ớ ơ

P(TL > 80) = P(Z> (80­56)/10) = P(Z>2,4) = 1­ P(Z<2,4) = 1­0,9918 = 0,0082

Vì v y s  đàn ông n ng h n 80 kg = 1.000.000 x 0,00820 = 8200 ngậ ố ặ ơ ười

b. Ch n đoán cho cá nhânẩ

Thí d : Theo t  ch c y t  th  gi i, đ a tr  32 tháng bình thụ ổ ứ ế ế ớ ứ ẻ ường có tr ng lọ ượng trung  bình là 14 kg v i đ  l ch chu n là 1,5 kg. M t đ a tr  32 tháng n ng 13 kg có ph i làớ ộ ệ ẩ ộ ứ ẻ ặ ả  

b t bình thấ ường v  dinh dề ưỡng hay không?

Ð  tr  l i câu h i này chúng ta ph i xét hi n tể ả ờ ỏ ả ệ ượng đ a tr  32 tháng n ng 13 kg cóứ ẻ ặ  

ph  bi n hay không.ổ ế

P(TL <13) =  P(Z < ­ 0,66) = 1 – P(Z>0,66) = 1 – 0,7454 = 0,2546

Vì có đ n 25,46%  tr  32 tháng có tr ng lế ẻ ọ ượng 13 kg hay nh  h n nên cân n ng nàyẹ ơ ặ   không ph i là b t thả ấ ường

Ð a tr  32 tháng n ng 9 kg có ph i là b t thứ ẻ ặ ả ấ ường v  dinh dề ưỡng hay không?

Tương t  nh  câu h i trự ư ỏ ước đó, chúng ta ph i xét hi n tả ệ ượng đ a tr  32 tháng n ng 9ứ ẻ ặ  

kg có ph  bi n hay không.ổ ế

P(TL <9) =  P(Z < ­ 2,66) = 1 – P(Z>2,66) = 1 – 0,9961 = 0,0039

Nghĩa là trong 1000 tr  ch  có kho ng 4 tr  có tr ng lẻ ỉ ả ẻ ọ ượng 9 kg hay nh  h n. Vì v yẹ ơ ậ  

đ a tr  này đứ ẻ ược xem là suy dinh dưỡng

Người ta quy ước n u xác su t x y ra  m t tr  s   nào đó hay c c đoan h n tr  s  đóế ấ ả ộ ị ố ự ơ ị ố  

nh  h n 5% thì tr  s  đó là b t thỏ ơ ị ố ấ ường. Áp d ng tính ch t th  t  c a phân ph i bìnhụ ấ ứ ư ủ ố  

thường, đi u này có th  phát bi u là n u giá tr  nào n m ngoài kho ng ề ể ể ế ị ằ ả µ ± 1,96σ là  giá tr  b t thị ấ ường và giá tr  n m trong kho ng ị ằ ả µ ± 1,96σ là giá tr  bình thị ường. Phát 

bi u theo cách khác n u kho ng cách gi a m t tr  s  đ n  giá tr  trung bình l n h nể ế ả ữ ộ ị ố ế ị ớ ơ   1,96 l n đ  l ch chu n (tầ ộ ệ ẩ ương  ng v i |Z|>1,96) thì giá tr  đó là b t bình thứ ớ ị ấ ường. Và  giá tr  tị ương  ng v i |Z|<1,96 là giá tr  bình thứ ớ ị ường

Thí d : n u đụ ế ường huy t có phân ph i bình thế ố ường v i trung bình là 100 mg% và đớ ộ 

l ch chu n là 10 mg%. H i kho ng giá tr  bình thệ ẩ ỏ ả ị ường c a đủ ường huy t là bao nhiêu?ế Kho ng giá tr  bình thả ị ường c a  đủ ường huy t tế ương  ng v i   ­ 1,96 < Z < 1,96 hay ứ ớ

100 ­ 1,96 × 10 <  đường huy t <  100  + 1,96 ế × 10 hay t   80­120 mg%ừ

Bài tập

Bài t p phân ph i nh  th cậ ố ị ứ

1. Gi  s  b nh nhân b  viêm màng não có t  l  t  vong là 10%. Trong khoa lây c aả ử ệ ị ỉ ệ ử ủ  

b nh vi n, hi n có 10 b nh nhân b  viêm màng não. Tính xác su t:ệ ệ ệ ệ ị ấ

a. Không có ai s ng sótố

b. Có ít nh t hai ngấ ườ ịi b  ch tế

c. Có đúng 3 ngườ ịi b  ch tế

Bài gi i:ả

Có th  xem di n ti n c a m t b nh nhân viêm màng não là m t phép th  Nhể ễ ế ủ ộ ệ ộ ử ư 

v y quan sát 10 phép th  đ ng nh t và đ c l p v i nhau, m i phép th  có 2 k tậ ử ồ ấ ộ ậ ớ ỗ ử ế  

cu c là thành công hay th t b i v i xác su t thành công trong m i l n th  làộ ấ ạ ớ ấ ỗ ầ ử   0,9. G i X là s  l n thành công ta có ọ ố ầ

) (

) 1 ( )

( )

x

n C p p x

X P x

f

a. Xác su t không có ai s ng sót = Xác su t s  thành công b ng 0 = P(X=0)=ấ ố ấ ố ằ

= 10C0 p0(1­p)(10­0) =10C10 . 0,90.0,110  =10!/(0!10!).0,110=1/(1010) Xác su t là 1 ph n mấ ầ ườ ỉi t

b. Ta có

P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+ +P(X=10) = 1

It nh t hai ngấ ườ ịi b  ch t nghĩa là là có t  0 đ n 8 ngế ừ ế ườ ối s ng. Do đó, xác su tấ  

có ít nh t hai ngấ ườ ịi b  ch t là:ế

P(X=0)+P(X=1)+ +P(X=8) = 1­ P(X=9)­P(X=10)

V i P(X=10) = ớ 10C10 p10(1­p)(10­10) = 0,910 = 0,3486

Và P(X=9) = 10C9 p9(1­p)(10­9) = 0,99 = 0,3874

Nên xác su t có ít nh t 2 ngấ ấ ườ ịi b  ch t b ng: 1 ­ 0,3486 ­ 0,3874 = 0,264ế ằ

c. Xác suât có đúng 3 ngườ ịi b  ch t là = Xác su t có 7 ngế ấ ườ ối s ng:

P(X=7) = 10C7 p7(1­p)(10­7) = 120 . 0,97 . 0,13 = 0,0574

Bài t p phân ph i Poissonậ ố

Bi t r ng s  chu t trung bình trong m i h  gia đình   C n th  là 1,4 con. N u sế ằ ố ộ ỗ ộ ở ầ ơ ế ố  chu t tuân theo phân ph i Poisson, tính xác su t   m t gia đình nh t đ nh có:ộ ố ấ ở ộ ấ ị

a. Không có con chu t nào?ộ

b. Có m t con chu t?ộ ộ

c. Có t  3 con chu t tr  lên?ừ ộ ở

Bài gi i:ả

a. S  d ng công th cử ụ ứ

P(X=x) = ( ) x!

e x

f

x

v i ớ λ = 1,4 và x = 0 ta được  P(X=0) = 0,247 x 1,40  / 0! = 0,247

b. P(X=1) =  0,247 x 1,41  / 1! = 0,346

c. Vì P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X≥3) =1

Ta có P(X(3) = 1 ­ P(X=0)  ­ P(X=1)  ­ P(X=2)

V i ớ P(X=0) = 0,247 x 1,40  / 0! = 0,247

  P(X=1) =  0,247 x 1,41  / 1! = 0,346

P(X=2) =  0,247 x 1,42  / 2! = 0,242 Nên  P(X ≥ 3) = 1 ­ 0,247 ­ 0,346 ­ 0,242 = 0,165

Phân ph i bình thố ường

1. Hãy li t kê 10 bi n s  ng u nhiên mà anh ch  nghĩa r ng nó là phân ph i x p x  bìnhệ ế ố ẫ ị ằ ố ấ ỉ  

thường

2. N u hàm lế ượng cholesterol  huy t thanh là phân ph i x p x  bình thế ố ấ ỉ ường v i trungớ   bình là 200mg/100 ml và đ  l ch chu n là 20 mg/100ml. Tính xác su t m t cá nhânộ ệ ẩ ấ ộ  

được ch n ng u nhiên có giá tr  cholesterol (a) t  180 đ n 200 mg/100ml (b) l n h nọ ẫ ị ừ ế ớ ơ  

225 mg/100 ml (c) nh  h n 150 mg/100ml (d) gi a 190 và 210 mg/100 ml.ỏ ơ ữ

Bài gi iả

1.  Nh ng bi n s  có phân ph i x p x  bình thữ ế ố ố ấ ỉ ường là : chi u cao c a đànề ủ   ông  trưởng thành, tr ng lọ ượng tr  s  sinh, hemoglobin máu, Hct, đẻ ơ ường huy t,ế   chu vi vòng cánh tay, nh p tim, tu i d y thì c a ph  n , cholesterol huy t thanh,ị ổ ậ ủ ụ ữ ế  

t  tr ng nỉ ọ ước ti u.ể

2.a.   P(180 < cholesterol ≤ 200) = P{(180­200)/20 < Z ≤ (200­200)/20} 

= P(­1 < Z ≤ 0) = P(0 < Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) ­ P(Z ≤ 0) = 0,8413 ­ 0,5 

= 0,3413 2.b.   P(cholesterol > 225) = 1­P(cholesterol ≤ 225) = 1­ P{Z ≤ (225­200)/20} 

= 1 ­ P(Z ≤ 1,25) = 1 ­ 0,8944 = 0,1056 2.c.  P(cholesterol  ≤  150)   =     P{Z  ≤  (150­200)/20}   =  P{Z  ≤  ­2,5}=   P{Z 

>2,5}= 1­P{Z ≤ 2,5}=1­0,9938=0,0062 2.d.  P(190 < cholesterol ≤ 210) = P{(190­200)/20 < Z ≤ (210­200)/20} 

= P(­0,5 < Z ≤ 0,5) = P(Z ≤ 0,5) ­ P(Z ≤ ­0,5) = P(Z ≤ 0,5) ­ P(Z >0,5)=  P(Z ≤ 0,5) ­ 1 + P(Z ≤ 0,5)=2 x 0,6915 ­ 1 = 0,3830