Hãy nêu mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm cấp 1 của hàm số?. Hãy phân biệt các khái niệm: Điểm cực đại, giá trị cực đại, cực trị của hàm số và điểm cực trị của
Trang 1ÔN LUYỆN KHẢO SÁT VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
PHẦN I – CƠ BẢN
A/ LÝ THUYẾT
Câu 1 Hãy nêu mối liên hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm cấp 1 của hàm số? Quy tắc xét
tính đơn diệu của hàm số?
Câu 2 Hãy phân biệt các khái niệm: Điểm cực đại, giá trị cực đại, cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị
hàm số?
Câu 3 Nêu cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số liên tục trên một đoạn, một khoảng, nửa
khoảng?
Câu 4 Nêu định nghĩa và cách tìm các loại tiệm cận của đồ thị một hàm số?
Câu 5 Hãy viết sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị của một hàm số?
B/ BÀI TẬP
Bài 1 1) Xét sự đồng biến của các hàm số sau:
a) y x4 2 x2 3 b) y 2 x3 3 x2 12 x 1
1
x y
x
1
x x y
x
6 10
y x x f) y 2 x 1 x 5 2) Tìm m để hàm số:
a) y 2 x3 3 mx2 2( m 5) x 1 đồng biến trên R b)
3
y x m m x đồng biến trên khoảng 1; c) y 2sin 2 x (2 m 3) x nghịch biến trên R
3) Chứng minh rằng: a) tan , 0;
2
x x x
3
6
x
x x x
Bài 2 1) Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y x4 4 x2 2 b) y 2 x3 3 x2 36 x 10
2
1
y
x
6 10
y x x f) y sin x cos , x x ;
2) Cho hàm số:
2 2 1
y x
a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
3) Chứng minh rằng với mọi m các hàm số sau luôn có hai cực trị phân biệt:
a) y x 3 2 mx2 3 x 2 b)
2 ( 2) 2 2
y
x m
4) Tìm m đề hàm số:
3
2 ( 2 1) 1 3
x
y mx m m x đạt cực đại tại điểm x=1
Bài 3 1) Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
a) y x3 3 x 2 trên 3;0 b) 3 2
1
x y x
trên 0;2
1
2
y x
x
trên 1; d) y x 2 x2
e) 2 cos 2 4sin , 0;
2
y x x x
2 2
y x x x
4
y x x x h) y sin4x 4sin2x 5
2) Tính cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48m2
Trang 23) Tính độ dài bán kính đáy và chiều cao của một hình trụ có thể tích V cho trước và có diện tích toàn phần nhỏ nhất
Bài 4 Tìm tiện cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:
1
x y
x
2 1
x y x
2 2
4
y x
d)
3 3
4 ( 1)
x y
x
1
y x
1
x y x
Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1) y x 3 3 x2 2 2) y x3 3 x 2 3) y x 3 6 x
4) y x3 3 x2 3 x 1 5) y x4 2 x2 3 6) y x 4 2 x2 3
1
x y
x
1 1
x y x
Phần II Khảo sát và các bài toán có liên quan trong các đề thi Đại học – Cao đẳng từ năm 2002 đến nay
Hàm đa thức:
D2004 Cho hàm số: y x 3 3 mx2 9 x 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 2
2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y x 1
D2005 Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 1 3 2 1
m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 2
2) Gọi M ( Cm)có hoành độ bằng -1 Tìm M để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với đường thẳng d:
5 x y 0
D2006 Cho hàm số: y x 3 3 x2 2 ( ) C
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;2) và có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
D2008 Cho hàm số: y x 3 3 x2 4 ( ) C
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k, k>-3 đều cắt đồ thị của hàm số tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB
B2002 Cho hàm số y mx 4 ( m2 9) x2 10 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m 1
2) Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị
B2003 Cho hàm số y x 3 3 x2 m (1)
1) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m =2
B2004 Cho hàm số 1 3 2
2 3 ( ) 3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
B2007 Cho hàm số y x3 3 x2 3( m2 1) x 3 m2 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m 1
2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ
B2008 Cho hàm số y 4 x3 6 x2 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua M(-1;-9)
A2002 Cho hàm số: y x3 3 mx2 3(1 m x m2) 3 m2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m 1
2) Tìm k để phương trình x3 3 x2 k3 3 k2 0có 3 nghiệm phân biệt
3) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1)
A2006 Cho hàm số: y 2 x3 9 x2 12 x 4
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Trang 32) Tìm m để phương trình: 2 x3 9 x2 12 x 4 mcó 6 nghiệm phân biệt
Hàm phân thức hữu tỷ
D2002 Cho hàm số:
2
(2 1)
(1) 1
y
x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số vớim 1
2) Tính điện tích hình phẳng giưói hạn bởi (C) và hai trục toạ độ
D2007 Cho hàm số 2
( ) 1
x
x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm điểm M ( ) C , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B mà diện tích OABbằng 1
4
Cao đẳng 2008: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
1
x y x
2) Tìm m để đường thẳng yx m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A2009 Cho hàm số: 2
( )
2 3
x
x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt ox, oy lần lượt tại A, B và tam giác OAB cân tại O B2003 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x 4 x2
D2003 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 1
1
x y x
trên đoạn 1; 2
Bài tập tự luyện
3
m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m 1
2) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trên R
3) Xác định m để hàm số (1) có cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số (1)
4) Xác định m để hàm số (1) đạt cực đại tại x =2
Bài 2 Cho hàm số: y x 3 3 x2 3 mx 3 m 2 ( Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 0
2) Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:
a) 3x2 x3 m b) 3x2 x2 m c) x3 3 x2 2 m 3) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
4) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu
5) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị dương
6) Tìm các điểm cố định của họ đường cong (Cm)
Bài 3 Cho hàm số: y 4 x3 6 x2 4 x 1 ( ) C Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
1) Tại điểm A(1;1)
2) Tại điểm B có hoành độ bằng 2
3) Tại điểm C có tung độ bằng -1
4) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d1): y = 4x – 1
5) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d2): x 28 y 1 0
6) Biết tiếp tuyến tại điểm M ( ) C có hệ số góc nhỏ nhất Chứng minh rằng: M là tâm đối xứng của đồ thị (C) 7) Chứng minh rằng: trên (C) không tồn tại điểm mà qua nó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
Bài 4 Cho hàm số: 1 3 2 2
( )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:
a 1 3 2
5 0
3 2
3 x x 3 m
Trang 4c 1 3 2 2
3 x x 3 m d
3 2
3 x x 3 m
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a Tại điểm có tung độ bằng 2
3.
b Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d y1: 3 x 9
c Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2 1
8
d Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1;0)
Bài 5 Cho hàm số: y x4 2( m 1) x2 m2 1
1) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;3) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m tìm được 2) Tìm m đề hàm số có 3 cực trị
3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
4) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng
Bài 6 Cho hàm số 3
( ) 1
x
x
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Chứng minh rằng y 2 x m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N
3) Xác định m sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất
4) Tiếp tuyến tại điểm S bất kỳ của (C) cẳt hai đường tiệm cận của (C) tại 2 điểm phân biệt P, Q Chứng minh rằng S là trung điểm của P và Q
5) Tìm A ( ) C sao cho tổng khoảng cách từ A đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất
6) Tìm các điểm trên (C) có toạ độ là những số nguyên
Bài 7 Cho hàm số: 2
( ) 1
x
x
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết:
1) Tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ 2
2) Tiếp tuyến đi qua A(0;-2)
Chú ý: Các em học ban khoa học tự nhiên đọc thêm phần hàm số dạng
2
( 0)
dx e
