Tham số hóa các đường cong sóng kết hợp trong mô hình dòng lưu chất trong ống với tiết diện ngang biến thiên

HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TRẦN ĐĂNG HÙNG THAM SỐ HÓA CÁC ĐƯỜNG CONG SÓNG KẾT HỢP TRONG MÔ HÌNH DÒNG LƯU CHẤT TRONG ỐNG VỚI TIẾT DIỆN NGANG BIẾN THIÊN NGÀNH: TOÁN ÚNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRẦN ĐĂNG HÙNG

THAM SỐ HÓA CÁC ĐƯỜNG CONG SÓNG

KẾT HỢP TRONG MÔ HÌNH DÒNG LƯU CHẤT TRONG

ỐNG VỚI TIẾT DIỆN NGANG BIẾN THIÊN

NGÀNH: TOÁN ÚNG DỤNG

MÃ NGÀNH: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tp Hồ Chí Minh - Năm 2016

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG TP.HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Mai Đức Thành

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Bá Thi

Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS.TS Nguyễn Văn Kính

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh ngày 08 tháng 01 năm 2017

Thành phần Hộ đồng đánh đánh giá luận văn gồm:

(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chẩm bảo vệ luận văn thạc sĩ)

1 PGS TS Nguyễn Đình Huy - Chủ tịch Hội đồng

2 TS Nguyễn Bá Thi - ủy viên phản biện 1

3 PGS TS Nguyễn Văn Kính - ủy viên phản biện 2

4 TS Đặng Văn Vinh - Thư ký Hội đồng

5 TS Đậu Thế Phiệt - ủy viên Hội đồng

Xác nhận của chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận vãn đã chỉnh sửa (nếu có)

PGS TS Nguyễn Đình Huy PGS.TS Huỳnh Quang Linh

ii

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HOA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: TRẦN ĐĂNG HÙNG MSHV: 1570240

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112

I Tên đề tài: THAM SỐ HÓA CÁC ĐƯỜNG CONG SÓNG KẾT HỢP TRONG MÔ HÌNH DÒNG LƯU CHẤT TRONG ỐNG VỚI TIẾT DIỆN NGANG BIẾN THIÊN

II Nhiệm vụ và nội dung

• Các tính chất cơ bản của mô hình dòng chảy trong ống với tiết diện ngang biến

thiên

• Xây dụng đuờng cong sóng kết hợp, tham số hoá thành phần vận tốc, khối luợng

riêng, tính đơn điệu

• Các ví dụ số, vẽ minh hoạ các đuờng cong sóng kết hợp

III Ngày giao nhiệm vụ: 15/08/2016

IV Ngày hoàn thành nhiệm vụ: 04/12/2016

V Cán bộ huớng dẫn khoa học: PGS.TS Mai Đức Thành

Tp HCM, ngày tháng năm 2016

Chủ nhiệm bộ môn

TRƯỞNG KHOA

PGS TS Huỳnh Quang Linh

Cán bộ hướng dẫn khoa học

PGS.TS Mai Đức Thành PGS.TS Nguyễn Đình Huy

3

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình tới Thầy hướng dẫn của tôi - PGS.TS Mai Đức Thành, người đã quan tâm, nhiệt tình hướng dẫn, luôn khuyến khích, tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp này

Thứ hai, tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong Hội đồng đánh giá luận văn

đã đọc và cho ý kiến nhận xét để luận văn của tôi được chỉnh sửa và hoàn thiện hơn Thứ ba, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Khoa học ứng dụng, các Thầy Cô trong Bộ môn Toán ứng dụng trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh, các Thầy Cô đồng nghiệp trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Tiếp theo, tác giả xin chân thành cảm ơn nghiên cứu sinh Đào Huy Cường đã đọc và góp ý cho luận văn của tôi

Cuối cùng, tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến bạn bè, gia đình, người thân, những người đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

Thành phũ Hõ Chí Minh - Năm 2016

Tác giả luận văn

Trần Đăng Hùng

4

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là đề tài nghiên cứu do tôi thực hiện Các số liệu và kết luận nghiên cứu trình bày trong luận văn chưa từng được công bố ở các nghiên cứu khác Tôi xin cam đoan rằng không có hiện tượng đạo văn, đạo ý tưởng xảy ra trong luận văn Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Học viên

Trần Đăng Hùng

V

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, VIẾT TẮT

TT Ký hiệu/viết tắt Ký hiệu/viết tắt của - ý nghĩa Ghi chú

bỏ qua các yếu tố thứ yếu của hiện tượng, mô tả các quy luật vật lý cơ bản Việc nghiên cứu các mô hình này cho ta kết quả không chỉ về mặt định lượng mà cả bản chất các hiện tượng vật lý

Nhiều mô hình vật lý có thể được nghiên cứu và sử dụng lý thuyết về sóng sốc và các sóng cơ bản khác trong hệ hyperbolic các đỉnh luật bảo toàn Các mô hình này thu được từ nghiên cứu mô hình hoá toán học các bài toán vật lý và chứa những đại lượng vật lý dạng phi bảo toàn Chẳng hạn như các mô hình dòng chảy đa pha, các phương trình dòng nước nông, mô hình dòng lưu chất trong ống với tiết diện ngang biến thiên

Các bài toán trên đang là hướng nghiên cứu thời sự, thu hút sự quan tâm của nhiều nhà

khoa học trên thế giới Một số công trình nghiên cứu đó là: J Luận án tiến sĩ của tác giả

Võ Tuyển, nghiên cứu về: Nghiên cứu và ứng dụng dòng phun rối xoáy trong hệ thống thiết bị tưới phun (2012, ĐH BK TP.HCM)

J Luận án tiến sĩ của G LeFloch, nghiên cứu về: Hệ hyperbolic bảo toàn: Lý thuyết của

sóng sốc cổ điển và phi cổ điểm (2002, ĐH ETH Zurich, Thuỵ Sỹ)

J Bài báo khoa học của tác giả T.P Liu nghiên cứu về: Ổn định phi tuyến và không ổn

định phi tuyến của dòng chảy trong vòi phun (1982- springer)

Vll

■S Bài báo khoa học của tác giả G LeFloch nghiên cứu về: Sóng sốc trong hệ hyperbolic

phi tuyến dạng phi bảo toàn (1989-Tạp chí toán học và ứng dụng (IMA) của Đại học Minnesota, USA)

■S Bài báo khoa học của tác giả p Goatin và p G LeFloch nghiên cứu về: Bài toán

Riemann cho hệ Hyperbolic các định luật cân bằng của lớp cộng hưởng phi tuyến Elsevier)

(2004-■S Bài báo khoa học của tác giả D Kroner, M D Thanh nghiên cứu về: Phương pháp số

cho dòng chảy nén trong vòi phun với tiết diện ngang biến thiên (2005-Siam, USA)

■S Bài báo khoa học của tác giả G Rosatti, L Begnudelli nghiên cứu về: Bài toán

Riemann cho hệ phương trình bề mặt dòng nước nong một pha: Nghiên cứu lý thuyết và

mô phỏng số (2010, Journal of Computational Physics Academic Press Professional, Inc San Diego, CA, USA)

Gần đây, các nghiên cứu về bài toán Riemann cho mô hình dòng lưu chất trong vòi phun với tiết diện ngang biến thiên của tác giả P.G LeFloch và M.D Thành [20], một nghiên cứu khác về tính chất của các đường cong sóng kết hợp trong phương trình nước nông của tác giả M.D Thành và D.H Cường [28] Luận văn tiếp cận hướng nghiên cứu,

kỹ thuật nghiên cứu, nghiên cứu tổng hợp của các công trình nghiên cứu trên thông qua đọc hiểu và trình bày lại

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu phép tham số hóa các đường cong sóng kết hợp và các tính chất của những đường cong này trong mô hình dòng lưu chất trong ống với tiết diện ngang biến thiên Từ đó, xác định tính đơn điệu của những đường cong này

viii

3 Nội dung nghiên cứu

• Các tính chất cơ bản của mô hình dòng chảy trong ống với tiết diện ngang biến

thiên

• Xây dựng đường cong sóng kết hợp, tham số hoá thành phần vận tốc, khối lượng

riêng, tính đơn điệu

• Các ví dụ số, vẽ minh hoạ các đường cong sóng kết hợp

4 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu lý thuyết việc tạo thành các sóng cơ bản: sóng giãn, sóng sốc, sóng

tĩnh

• Nghiên cứu sự tạo thành sóng kết hợp từ 2, 3 sóng cơ bản và sự giao nhau của các

đường cong sóng

• Mô phỏng sóng kết hợp bằng phần mềm matlab qua các ví dụ cụ thể

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn này được trình bày vói cấu trúc gồm ba chương

• Chương 1: Kiến thức cơ sở gồm các tính chất cơ bản của mô hình dòng chảy trong

ống với tiết diện ngang biến thiên: Tính hyperbolic, tính phi hyperbilic ngặt, các trường đặc trưng thuần phi tuyến, suy biến tuyến tính, sóng giãn, sóng sốc, gián đoạn tiếp xúc, sóng tĩnh và tiêu chuẩn đơn điệu để chọn lọc sóng tĩnh chấp nhận được

• Chương 2: Xây dựng đường cong sóng kết hợp: Tham số hoá thành phần vận tốc

của đường cong sóng kết hợp, tham số hoá thành phần khối lượng riêng, biểu thị vận tốc như là hàm của khối lượng riêng dọc theo đường cong sóng kết hợp, tính đơn điệu

• Chương 3: Các ví dụ số, vẽ minh hoạ các đường cong sóng kết hợp

ix

Mục lục

Lời cảm ơn iii

MỞ ĐẦU V Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1

1.1 Tính hyperbolic, tính phi hyperbolic ngặt 1

1.2 Các trường đặc trưng thuần phi tuyến, suy biến tuyến tính 5

1.2.1 Hệ tuyến tính với hệ số hằng 5

1.2.2 Trường đặc trưng thuần phi tuyến, suy biến tuyến tính 8

1.3 Sóng giãn, sốc, gián đoạn tiếp xúc 10

1.3.1 Sóng giãn 10

1.3.2 Sóng sốc 13

1.3.3 Sóng gián đoạn tiếp xúc 15

1.4 Sóng tĩnh, tính chất và tiêu chuẩn đơn điệu để chọn lọc sóng tĩnh chấp nhận được 19 Chương 2 XÂY DƯNG ĐƯỜNG CONG SÓNG KẾT HỢP TRONG MÔ HÌNH DÒNG LƯU CHẤT TRONG ỐNG VỚI TIẾT DIỆN NGANG BIẾN THIÊN 30

2.1 Giới thiệu 30

2.2 Tham số hóa thành phần khối lượng riêng của đường cong sóng kết hợp 42

2.3 Tham số hóa thành phần vận tốc của đường cong sóng kết hợp 47

Chương 3 CÁC VÍ DỤ SỐ VẼ ĐƯỜNG CONG SÓNG KẾT HỢP 53

3.1 Các ví dụ số 53

3.2 Code matlab 62

X

KẾT LUẬN 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

2

Ý nghĩa vật lý

Một cách hình thức, hệ (1.1) biểu thị sự bảo toàn của p đại lượng u ỉ ,u 2 , ,u p Thật vậy,

giả sử D^R d là một miền tùy ý Gọi n = {n ỉ ,n 2 , ,n d ) T là véc-tơ pháp tuyến đơn vị hướng

ra ngoài biên ÕD của D Khi đó lấy tích phân trên D hai vế (1.1) và sử dụng Định lý

Gauss- Green, ta có:

J udx + ^2 J fj (ù)rijds = 0

Phương trình này có một ý nghĩa cân bằng tự nhiên: biến đổi theo thời gian của đại

lượng J uđx đúng bằng lượng thấm qua biênD

D

Bây giờ ta định nghĩa hệ hyperbolic các luật bảo toàn

Định nghĩa 1.1 (tr 4, [3]) Hệ (ỉ.ỉ) được gọi là hyperbolic nếu với mỗi U&£1 và với

bất kỳ cữ={ũ\,cữ 2 , ,cữ d )&R d ,a>*ồ,ma đ

trậnA(ụ,cò) = ^\ữjAj(u) cóp giá trị riêng thực

j=i

Ậ (u, Cữ) < (u, Cữ) < < Ằ (u, Cữ)

vả p véc-tơ riêng tương ứng độc lập tuyến tinh TỊ (w, ứ?), r 2 (w, ứ?), , r p (w, Cữ) Khỉ

đó,

A(u,cử).r k (u,cử) - Ả k (u,Cử).r k (u,cử), l<k<p

(cặp Ả k (u, Cữ) r k (u, Cữ) được gọi là trường đặc trưng thứ k)

Định nghĩa 1.2 (tr 5, [3]) Hệ (1.1) được gọi là hyperbolic ngặt, nếu tất cả các giá trị

riêng À k (u,ữ)) của ma trận A(u,cữ) là phân biệt:

Ằ l (u,cờ)<Ầ 2 (u,cờ)< <Ằ p (u,cờ)

3

Giả sử hệ (1.1) là hệ hyperbolic Vì một ma trận và một ma trận chuyển vị của nó có

cùng tập các giá trị riêng nên tồn tại các véc-tơ riêng l k (ụ, cờ) ứng với mỗi giá trị riêng

(w, Cử) của ma trận A T (ụ, cơ), tức là:

A T (ụ, cò)l k (u) = \ {u,co)l k (u, cờ), k=ỉ, ,p

Lấy chuyển vị hai vế ta đuợc

(u)A(u,Cữ) = \(u,(u, co), k = 1, , p

Từ đó, véc-tơ l k thuờng đuợc gọi là véc-tơ riêng trái, và các véc-tơ r k thuờng đuợc gọi

là các véc-tơ riêng phải của ma trận A

Bài toán Cauchuy đối với hệ (1.1) là bài toán sau đây: Tìm hàm số u R d X [0, +oo)

Q là nghiệm của hệ phuơng trình (1.1) thỏa mãn điều kiện đầu:

u(X, 0) = u ữ (x), x&R d ,

trong đó u ữ : R d Q là một hàm cho truớc Trong truờng hợp X là biến một

chiều và u 0 có dạng:

Bài toán Cauchy với u0 có dạng (1.3) đuợc gọi là bài toán Riemann

Giả sủ hệ (1.1) là hyperbolic ngặt Khi đó,

l i (ụ,cử).r j (ụ,cử) = ữ, Vu&Qcơ/O (1.4)

Thật vậy,

Ả j (u, ũỳịỊị (u, Cữ).r j (u, &>)) = lị (u, ứ?) (A(tt, CÒ ) r-j (u, cơ))

= (lị (u, cờ).A(u, cơ)).rj (u, cơ)

4

trong đó p là độ trù mật, u = (UpUpUg) là vận tôc, p là áp suât, £ là năng

I |2

lượng nội tại riêng (trên một đơn vị khôi lượng) , và e = £ + -7- là tông năng

lượng riêng Các phương trình (1.5) biểu thị tương ứng các luật bảo toàn về khối lượng,

động lượng, và năng lượng Các biến nhiệt động học là p, p,£ T là nhiệt độ tuyệt đối,

s là entropy Các biến nhiệt động học ràng buộc với nhau bởi đồng nhất thức động lực

Bây giờ ta hãy chứng tỏ hệ (1.5) có dạng tổng quát (1.1) Muốn vậy, ta đặt

q,= pUị, l<i<3, E = pe,

(1.5)

Ằ l <Ằ 2 < <Ằ p

ứng với mỗi giá trị riêng \ ta chọn ra một véctơ riêng phải r k

(1.7)(1.6)

6

và một véctơ riêng trái ỉỊ

(1.8)

nghĩa là ỉ k là một véc tơ riêng của A T Do các giá trị riêng là phân biệt, các véc tơ 7^,1

< k < p, tạo nên một cơ sở của R p và ta có

//*=0, Hơn nữa, ta có thể chuẩn hóa các véc tơ sao cho

do hệ cấp một (1.6) tương đương với p phương trình vô hướng

Như vậy, ta có thể đi đến một biểu thức tường minh cho nghiệm u của bài toán

i=l Nói riêng, bây giờ ta xét bài toán Riemann cho hệ (1.6) với dữ kiện đầu

(1.13)

(1.14)

<*kL>

và do đó

- Wm-1) = 4(w» - • Như vậy, ngang qua mỗi đường gián đoạn x = 2mí, hệ thức bước nhảy Rankỉne-Hugoniot được thỏa mãn

1.2.2 Trường đặc trưng thuần phi tuyến, suy biến tuyến tính

Bây giờ ta hãy xét trường hợp tổng quát Giả sử Q GZ R p là một tập con mở và f :Cì—

>R p là một hàm đủ trơn tùy ý (ít nhất là thuộc lớp c2) Ta xét hệ luật bảo toàn phỉ tuyến

^+ịf(u) = Q, xeR,t>0, (1.16)

dt dx

trong đổ u = (u i ,u 2 , ,u p ) T và /(«) = (/,(«), f 2 (u), J p (u)) T Đê đơn giản, giả sử rằng hệ

(1.16) là hyperbolic ngặt, nghĩa là với bất kỳ u € Q, ma trận Jacobi

có p giá trị riêng thực phân biệt

/1(M)<Ẳ 2(M)< <Ấ ;,(IÍ)

Với mỗi giá trị riêng Ả k (ù) ta liên kết với một véc tơ riêng phải r k (ù)

A(u)r k (u)=^(ù)r k (u) (1.17) A(M)=

9

và một véc tơ riêng trái ỉ k (Ù) T

ỉ k (u) T A(u) = Ằ k (u)r k (u) T (1.18)

nghĩa là ỉ k (ù) là véc tơ riêng của A T (u) Do các giá trị riêng là phân biệt, các véc tơ ỉ k (ù), l<k<p tạo nên một cơ sở cùa R p và là cơ sở đối ngẫu của ỉ k (ù), 1 < k < p, và ta có, sử

10

Điều này có nghĩa là

a(ù) =a= const

Như vậy ta trở về trường hợp một luật bảo toàn tuyến tính

13 Sóng giãn, sốc, gián đoạn tiếp xúc

Neu V Xệ) không triệt tiêu trên một khoảng thì do các giá trị riêng là phân biệt, chỉ số

k không phụ thuộc vào ỉ trong khoảng đó Nếu ta lấy đạo hâm phương trình thứ hai đối

và V như vậy là đường cong tích phân của trường r k Như vậy, giả sử rằng trường đặc

trưng thứ k là phi tuyến thực sự và hàm V là nghiêm của (1.25) với

Như vậy đòi hỏi U L và U R cùng nằm trên một đường cong tích phân của r k và tăng từ

U L đến U R dọc theo đường cong này Lý luận trên chỉ ra rằng hàm

là một nghiệm yếu tự đồng dạng của (1.16)

Định nghĩa 1.3,1 (tr 54, [3]) Nghiệm yểu tự đồng dạng (ỉ.26) được gọi là một sổng

k-gìãn

Sự tồn tại của các sóng giãn được cho bởi định lý sau

Định lý 13.1 (tr 54, [3]) Giả sử rằng trường đặc trưng thứ k là phỉ tuyến thực sự với

sự chuẩn hỏa (1.24*) Cho trưởc một trạng thải U L e Í2, tồn tại một đường cong R k (u L ) gồm cảc trạng thải w GÍÌ mà cỏ thể nổi với U L về bên phải bời một sóng k-giãn Hơn thế, tồn tại một phép tham chiếu hóa của

(1.26)

M(X,Í)=<

12

= U L + sr t (u L )+y VrẾ (wt).rt(»L)+O(s3) (1.27)

Z-11 r • 1 “7 7 &* / í y -I • A *> -I J y -I * í A

r r v'(ỉ) = r i (v(ỉ)), ỉ>Ằ t (u L ), (1.28) với dữ kiện đầu

13

Như vậy đường cong R k (ụ L ) là tập hợp tất cả các trạng thái của íì mà có thể nối với U L

về bên phải bởi một sóng /c-giãn Đặt

trong đó Uo là một giá trị tùy ý chọn trước

Định nghĩa 1.3.2.1 (tr 23, [3]) Một sóng séc của (ỉ.30) là một nghiệm yếu u của (1.30)

thỏa điều kiện entropy (1.31) và cỏ dạng

trong đó U-, u + là các hằng sẻ cho trước, u_^u + , được gọi là cảc trạng thải bên trái và trạng thái bên phải, s được gọi là vận tốc séc

u(x,t) x<st,

x>st 9

(1.32)

14

Như vậy một sốc (1.31) thỏa hệ thức Rankine-Hugoniot sau

-s(u + -M_)+(/(n+) -/(«_))=0 (1.33) Định lý sau đây cho phép kiểm tra một cách trực quan khi nào thì một nghiệm yếu

có dạng (1.32) là một sóng sốc

Định lý 1 «3.2.2 (Tiêu chuẩn Oleinik, tr 24, [3]) Một giản đoạn (1.32) thỏa điều kiện

entropy (1.31) nếu và chỉ nếu

v-u_ u + -u_

Ngoài ra, điều kiện (1.33) suy ra bất đẳng thức sốc Lax f\u_)>s>f\u + ) (1.34)

Ý nghĩa hình học của tiêu chuẩn Oleỉnỉk Đồ thị của hàm f nằm dưới (trên) đoạn

thẳng nối hai điểm («_,/(«_)) và (w+,/(tt+)) nếu u + <u_ ( tương ứng, nếu u + > u_)

15

Ju - v-u_ u + -u_ (*)

<0

Vi u" > 0 là tùy ý, bất đẳng thức (1.33) và (*) là tương đương □

1.3.3 Sóng gián đoạn tiếp xúc

Cho trước haỉ trạng thái U L , u R eCì Ta hãy khảo sát các nghiệm gián đoạn là hằng số

từng mảnh của (1.16) nối U L với U R nhắc lại rằng dọc theo đường gián đoạn X = ệ(t) của một nghiệm yếu u của (1.16), u thỏa mãn hệ thức bước nhảy Rankine-Hugoniot

trong đó ơ = ệ ’(í) là tốc độ lan truyền gián đoạn Từ đó một hàm

là một nghiêm yếu của (1.16) nếu có số thực ơ thỏa mãn hệ thức Rankine- Hugoniot

Định nghĩa 1.3.3.1 (tr 56, [3]) Một nghiệm có dạng (1.37) được gọi là một sóng giản

đoạn của (1.16) Cho trưởc trạng thải bên trải U L , ta có thể xảc định được tập hợp các trạng thải U^Q mà có thể nối với U L về bên phải với một sóng gián đoạn Từ đó, ta cỏ định nghĩa sau

Định nghĩa 1.3.3.2 Tập Rankine-Hugonỉot của Uo là tập tất cả các trạng thải íí G Q

sao cho tồn tại một số ơ(u Q ,ù) e R thỏa mãn

-ơ(u Q ,ù)(u-u Q ) + (f(u)-f(u Q ))=0

Định lý 1.3.3.3 (tr 56, [3]) Giả sử u ữ e£ì Tập hợp Rankỉne-hugoniot của Uo một cách địa phương gồm p đường cong H k (ụ 0 ), 1 < k < p Hơn thế, với mỗi

16

Chứng minh Do ma trận Df(u) là hyperbolic ngặt trong Q nên ma trận trung bình

A(w0,w):=í Pf(0u ữ + (ỉ-ỡ)u)dỡ

*0

cũng hyperbolic ngặt Ta ký hiệu Ằk(u 0 ,u),rk(u 0 ,u),ỉk(u 0 ,u) cho trường đặc trưng thứ k

của Á(w0,w) mà sau khi chuẩn hóa, ta có thể giả thiết

lk(u 0 ,u).rk(u 0 ,u)=ỉ

Hệ thức Rankine-Hugoniot (1.38) tương đương với

(Ẩ-Ạ)(w-wo) = O

Suy ra, tồn tại một chỉ số k sao cho u - u ữ là véctơ riêng thứ k với giá trị riêng Ằ =

Ằk(u-u 0 ) Nói riêng ta có

ỉj(u o ,u)(u — u o )=O, Vj^k,j = l, ,p.(*)

Đây là hệ phương trình đại số phi tuyến p - 1 phương trình với p ẩn là véctơ u trong

17

Lấy đạo hàm hai vế của (l 38) theo s ta cố

Ã\ s )(y( s )-U o ) = (A(y(s) -2(s))v V) (*)

Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức (*) theo s ta có

/T'(s)(v(s) -Mo) + 22'(.s)vV)

= (ũ>(>WW(vW -Ã(J))V"(J)

Cho s -> 0 từ (*) ta thu được

Ũ(O)-A(uo))v(O)=O

Ta đã cỏ 2(O) = /ựwo) Do đổ, hệ thức trên nói rằng vỴỠ) là một bội của r k (u ữ ) Hơn

thế, ta cổ thể kiểm tra rằng v'(0) 0 và do đó bằng một phép đổi biến số thích hợp (thay s bởi as với một hằng sổ a nào đỏ) ta thu được v'(O) = rt(wo)

Tiếp theo, trong (**) cho s -> 0 ta thu được

2l’(O)r/Mo) = (D 2 f (u Q )x k (u Q )) + (A(v(O) - Ấ(O))v”(O)

Mặt khác, lấy vi phân đẳng thức Ar k = ^r k ta có

(P f ' r k) r k — —(A—\)Dr k x k + (VẬ rẲ)rv

id vậy

(2Ã’(0)- vv*(«o))r*(«o) = (A(v(O)-4(M O))(V”(O)-Dr k (u ữ )x k (u ữ Ỵ (***) Nhân hai vế

của đẳng thức trên với l k (u Q ) ta suy ra rằng

l'(O)=-iv^(Mo).rt(Mo)

Và ta thấy rằng v"(O)-DrJt(wo).rA(wo) phải là một véctơ riêng

Nói cách khác, với hằng số b nào đó ta có

Nhân đồng nhất thức này với véctơ riêng trái lk ta suy ra (1.40) □

Định nghĩa 1.3.3.4 Một giản đoạn có dạng (1.36) liên kết với một đường đặc trưng

suy biến tuyến tỉnh được gọi là một giản đoạn tiếp xúc

Định lý 1.3.3.5 (tr 60, [3]) Giả sử trường đặc trưng thứ k là suy biến tuyến tỉnh,

nghĩa là

v^.r4=0

Khỉ đó, đường cong tích phân R k (u 0 ) và đường cong Hugoniont H k (u 0 ) trùng nhau Hơn thế, vận tốc đặc trưng dọc theo đường cong tích phân và vận tốc séc dọc theo đường cong Hugonỉont là hằng sé và trùng nhau

A(s) = -4t(w(s))(w(s) -Mo) + /(w(s)) -/(uó)

Sử dụng w’(s) = %(w(s)) ta nhận được

h\s) = -4(w(s))w'(í) + A(w(s))w'(í) = 0

Do hự)) = ớ ta có h(s) = 0 với tất cả các giá trị thích hợp của s Điều này chứng minh

rằng hệ thức Rankỉne-Hugonỉot đúng dọc theo đường cong tích phân và hai đương

19

đường trùng nhau Hơn thế ^(w(s)) = Ằk(ụ ữ , w(s))

1.4 Sóng tĩnh, tính chất và tiêu chuẩn đơn điệu để chọn lọc sóng tinh chấp nhận được

Ta nghiên cứu bài toán Riemann cho mô hình dòng lưu chất trong ống với tiết diện ngang biến thiên Mô hình được cho bởi

sóng gián đoạn giữa

trạng thái bên trái u_ = (jơ_,w_,a_) và trạng thái bên phải u + = (p + ,u + ,a + ) với vận tóc

sốc 2 Khi đó hệ thức Rankine-Hugoniot tuông ứng với Đ t a = 0 phải thỏa mãn, tức là

—2[ữ] = 0,

với [«] := a + - a_, điều này có nghĩa là

(i) hoặc tiết diện của a là hằng số,

(ii) hoặc vận tốc sốc 2 = 0

5

c* :=<(p,u,a)i u =