Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về một số hướng mở rộng của định lý Wedderburn

Luận án trình bày về các nội dung: cơ sở lý luận của các vành không giao hoán, định lý Wedderburn và một số hướng mở rộng cổ điển từ định lý ấy, các điều kiện được xét như là một tiêu chuẩn để một vành là vành giao hóa, khái niệm siêu tâm của một vành Herstein và các kết quả cơ bản về siêu tâm. Đó là một mở rộng của khái niệm tâm của một vành. Mời các bạn cùng tham khảo.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

HUỲNH HUY VIỆT

VỀ MỘT SỐ HƯỚNG MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN

LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ

MÃ SỐ 1.01.03

THÁNG 12 NĂM 1997

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

HUỲNH HUY VIỆT

VỀ MỘT SỐ HƯỚNG MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN

LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ

MÃ SỐ 1.01.03

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

HUỲNH HUY VIỆT

VỀ MỘT SỐ HƯỚNG MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN

LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO SƯ HƯỚNG DẪN : PGS PTS BÙI TƯỜNG

TRÍ CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ

MÃ SỐ 1.01.02

THÁNG 12 NĂM 1997

LỜI NÓI ĐẦU

Vào năm 1905, Wedderburn J.H.M đã chứng minh một định lý nổi tiếng: “Mọi thể hữu hạn là một trường” (A theorem on finite algebbras, Trans, Amer Math Soc 6 (1905) 349 – 352) Sau kết quả quan trọng này, nhiều nhà toán học lớn trên thế giới đã phát triển và mở rộng

định lý ấy theo nhiều hướng Một trong những người có công lớn có thể kể đến là Z.N Herstein, C.Taith, Rowen…, trong đó đặc biệt phải kể đến khái niệm: SIÊU TÂM (HYPERCENTER) của Z.N Herstein được trình bày vào năm 1975

Mục đích của luận văn này là trình bày một cách có hệ thống các hướng mở rộng đó và chứng minh lại một số vấn đề mà tác giả bỏ qua không chứng minh, đồng thời đưa ra một số thí

dụ và phản thí dụ để làm sáng tỏ hướng mở rộng đó Luận văn một mặt sẽ trình bày lại toàn bộ kết quả của Herstein với phép chứng minh đầy đủ, tiến hành chứng minh chi tiết một số vấn đề

mà Herstein đã bỏ qua (được in nghiêng trong luận văn), đồng thời nêu ra một số thí dụ và phản thí dụ, để thấy rõ ý nghĩa của sự mở rộng siêu tâm so với khái niệm tâm của một vành

Luận văn được chia làm ba phần:

Phần I: Trình bày cơ sở lý luận của các vành không giao hoán

Các khái niệm cơ bản và lý thuyết cơ bản để chuẩn bị cho phần II và phần III như: Radiacal Jacobson của một vành, vành nửa đơn, vành nguyên thủy, vành nguyên tố,… các mối liên hệ giữa chúng

Phần II: Trình bày định lý Wedderburn và một số hướng mở rộng cổ điển từ định l ý

ấy, các điều kiện được xét như là một tiêu chuẩn để một vành là vành giao hóa Trong phần này

ta đặc biệt chú ý đến các kỹ thuật chứng minh – cách đặt vấn đề - cách phân tích vấn đề và từng bước giải quyết vấn đề: đi từ hẹp đến mở rộng dần

Phần III Trình bày khái niệm siêu tâm của một vành Herstein và các kết quả cơ bản

về siêu tâm Đó là một mở rộng của khái niệm tâm của một vành Ở đây Herstein đã định nghĩa

siêu tâm và đã chứng minh được một số kết quả: ―Trong điều kiện nào thì siêu tâm sẽ trùng với tâm của một vành?‖ Ông đã đi đết kết quả cuối cùng : ―Trong một vành không có nil-ideal ta sẽ

có siêu tâm trung với tâm‖

Trong vấn dề này, tôi có xây dựng một ví dụ để chứng tỏ rằng : ―Trong một vành nil thì khái niệm siêu tâm thực sự khác với khái niệm tâm‖ Thí dụ cũng đã làm sáng tỏ vấn đề: ―Khái niệm siêu tâm là mở rộng thực sự khái niệm tâm‖ mà tôi chưa tìm thấy được chứng minh của

Herstein

Luận văn được hoàn thành phần lớn là nhờ sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy hướng dẫn của quý thầy Bùi Xuân Hải, Mỵ Vinh Quang và sự tạo điều kiện hết lòng của quý thầy cô Phòng nghiên cứu khoa học, cũng như Ban chủ nhiệm khoa Toán Trường Đại học sư phạm Tp Hồ Chí Minh Nhân đây tôi xin kính bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Bùi Tường Trí và quý thầy cô đã giúp đỡ và tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận án này, xin cảm

ơn quý bạn bè gần xa đã có những giây phút động viên quý báu và thiết thực

Do trình độ còn hạn chế, do lần đầu viết một luận án khá lớn, chắc chắn bài viết sẽ không tránh khỏi thiếu sót Kính mong được sự hướng dẫn giúp đỡ của quý thầy cô và của các bạn

Trong phần này ký hiệu R để chí đến một vành không giao hoán và M là một R-môđun nào đ ó

cộng các tự đồng cấu từ M vào M

hóa được toàn bộ M , A(M) = {x R / Mx = (0) }

là modun trung thành ( faithfu) trên vành thương R / A(M)

Chứng minh : • Để c/m A (M) là ideal 2 phía của R

(M trung thành trên R/A(M) {x R/A(M) : Mx = {0}} = {0})

Giả sử có lớp r +A (M) linh hóa toàn bộ M

LƯU Ý : f đơn cấu A{M) = { 0 } kerf= { 0 }

Về khái niệm tâm t ậ p của một R-môđun : t ậ p hợp các t ự đồng cấu của E ( M ) giao hoán được với mọi t ự đồng cấu của E (M ) , ta có một số kết quả sau , đặc biệt là bổ đề Schur:

Ta gọi tâm tập của M trên R là tập hợp :

C (M) = { E (M) / Tr = Tr , Vr R }

• M đƣợc gọi là module bất khả quy nếu : MR {0} và M không có module con thật sự nào

Chứng minh : Giả sử M bất khả quy MR (0)

Đặt S = {u M / uR = (0)} dễ kiểm tra S là module con của M Nếu S S = M (vì M bất khả quy) MR = {0} Mâu thuẫn Vậy S ={0} Do đó u M và u thì uR Nhƣng uR là module con của M và M là bất khả quy uR = M

Giả sử có ρ l ρ, ρ l cũng là ideal phải của R, khác với ρ

Theo định lý Noether : Im  = M R/p (để ý toàn cấu)

=> ρ l/ ρ ={x + ρ / x ρl}:là module con của R/ ρ và 0

M bất khả quy thì R/ ρ cũng bất khả quy R/ ρ ρ l/ ρ ρ l R Vậy ρ là ideal tối đại

(Khái niệm chính quy (regular) mà tác giả I.N HERSTEIN dùng ở đây chính là khái

niệm modular mà JACOBSON đã sử dụng )

Ngƣợc lại, giả sử ρ là ideal phải, tối đại, chính quy của R

• (R/ ρ).R {0} Thật vậy, giả sử (R/ ρ).R = {0}

Suy ra : x R, y R (y + ρ).x = 0 yx ρ (*)

Mặt khác x R, a ρ sao cho x- ax ρ

từ đẳng thức (*) cho ta : a x ρ x ρ

Vậy x R x ρ R ρ R = ρ Mâu thuẫn

• R/p không có module con thật sự nào, điều này hiển nhiên do ρ là tối đại

Liên quan đến các kỹ thuật chứng minh của Wedderburn và Herstein , ta cần xét thêm một số khái niệm như sau :

II RADICAL CỦA VÀNH :

Ta định nghĩa Radical Jacobson của một vành không giao hoán, không có đơn vị nhƣ sau :

đƣợc tất cả các module bất khả quy trên R Ký hiệu là J(R) hoặc Rad(R)

J(R) = {a R / Ma = {0} với mọi M là R module bất khả quy }

Ta có : A (M) = { R / Ma ={0}, M là R-môđun bất khả quy}

A (M) là ideal hai phía của R, vậy J (R) có thể định nghĩa khác :

J(R)= ⋂

• Vì M được hiểu là R - module phải nên J (R) còn được gọi là Radical Jacobson phải

• Tương tự ta có định nghĩa về Radical Jacobson trái

Để hiểu rõ hơn cấu trúc Radical Jacobson của một vành không giao hoán , chúng ta cố gắng mô tả chi tiết cấu trúc của chính nó

MÔ TẢ CẤU TRÚC J(R) :

II.2 Bổ đề :

M bất khả quy M R/ ρ với ρ là ideal phải, tối đại, chính quy

• Nếu R không có module bất khả quy thì J (R) = R Lúc đó vành R gọi là vành Radical.Vành R là vành Radical nếu trên R không có ideal phải, tối đại, chính quy

Nhận xét : Nếu vành R có đơn vị, R không thể là vành Radical Mọi ideal đều chính quy trên vành có đơn vị

Chứng minh : Giả sử R có đơn vị, xét tập

X = {tất cả các ideal phải thực sự của R}

= {các ideal phải ρ của R / 1 ρ } vì có ideal 0 X

X thỏa mãn bổ đề Zorn Lấy một dãy tăng vô hạn các ideal phải thực sự như sau: ρ1 ρ2 … lấy ⋃ là một ideal phải thật sự của R Để ý 1 ρ ρ X X có ideal tối đại chính là ideal phải tối đại, chính quy (chính quy hiển nhiên vì R có đơn vị)

R có ideal phải, tối đại, chính quy nên R không là vành Radical

(đpcm)

Bản chất của Radical Jacobson chính là : Nó là phần giao của một lớp các ideal đặc biệt:

II.3 Đinh nghĩa :

Cho là ideal phải của R Ta định nghĩa ( :R) = { x R / R x }

Kiểm tra được rằng ( : R) là một ideal phải của vành R

• Xét trường hợp là ideal phải, tối đại, chính quy và giả sử M = R/

Chứng minh : Theo trên J (R) = ( :R)

Ta chỉ cần cmr ( : R) là ideal tối đại, chính quy, hai phía, lớn nhất còn nằm trong

* Dễ kiểm tra ( : R) là ideal hai phía

Chứng minh : gọi M = tập các ideal phải, chính quy, thực sự, chứa

M vì M = { j là ideal phải của R / j R, j }

Lưu ý : Phần tử a vì nếu a x - a x

= R Mâu thuẫn giả thiết là ideal thực sự của R và tất nhiên a j j

(vì nếu a j => j = R Mâu thuẫn)

Họ M thỏa mãn bổ đề Zorn

(Zorn's Lemna : Nếu có dãy các ideal phải tăng l 2 các ideal j

M thì: ta có : ⋃ Lúc đó trong M tồn tại ideal tối đại)

Hiển nhiên, nếu có 1 2 thì ⋃ Vì a ⋃ ⋃ Theo

bổ đề Zorn, trong M phải có phần tử tối đại là ’

* ’ là ideal thực sự của R (vì a ’ ’ R)

* ’ cũng tối đại trong R vì nếu có ideal 1’ mà ’ là con thật sự của 1’ thì 1’ suy ra a 1 1’ = R Mâu thuẫn

Vậy ' tối đại và chứa (đpcm)

Hơn thế nữa , có thể thấy Radical Jacobson của vành R chính là :

II.6 Đinh lý : J(R) = : ideal phải, tối đại, chính quy

Chứng minh :

 Theo định lý 1.2.1 : J(R) = ( : R) J(R)

 Mặt khác, đặt =

x xét tập ’ = {xy + y / y R} ta cm ’ trùng R Thật vậy, nếu ’ R ’ là

ideal phải, chính quy của R (Chứng minh tính chính quy : Lấy a = - x Ta có y R ta có : y -

ay = y + xy ’) và do đó theo bổ đề II.5 thì ’ đƣợc nhúng vào trong 1 ideal phải tối đại

Đây là một tính chất quan trọng của 1 phần tử của

Bây giờ ta chứng minh rằng : J (R) bằng phản chứng

Giả sử ngƣợc lại : J (R) → module bất khả quy M không bị linh hóa : M {0} m M : m {0} Dễ kiểm tra m là module con của R vì M bkq m = M Vậy t sao cho m = -m

Nhƣng vì t s R : t + s + ts = 0

m (t + s + ts) = mo =0 mt + ms + mts = 0

-m + ms - ms = 0 -m = 0 m = 0 Mâu thuẫn với m {0}

Vậy = J (R) Tóm lại: J(R) =

Phần trên , chúng ta đã khảo sát Radical Jacobson trên cơ sở M là một R-môđun phải Trong trường hợp M là R-môđun trái ta có những kết qua hoàn toàn tương tự : Radical Jacobson trái Vấn đề là quan hệ giữa Radical Jacobson trái và Radical Jacobson phải như thể nào ?

sao cho a + a' + aa' = 0 Phần tử a' được gọi là tựa nghịch đảo phải của a

• Tương tự ta có định nghĩa chính qui trái

♦ Lưu ý rằng : nếu vành R có đơn vị 1, thì phần tử a R là tựa chính qui phải khi và

chỉ khi 1 + a có nghịch đảo trong R

Chứng minh : giả sử a tựa chính qui phải => a’ R : a + a’+ aa’ = 0

1 + a + a’ + aa' = 1 (1 + a ) + ( 1 + a) a' = 1 (1 + a ) ( 1 + a ’ ) = 1

Do vậy,1 + a có nghịch đảo phải là 1 + a’

Ngược lại giả sử 1 + a có phần tử tựa chính quy phải x R : ( 1 + a)x = 1

x + ax = 1 (x- 1 ) + ax = 0 Đặt a' = x - 1 từ đẳng thức cuối: a’ + a (a' + 1 ) = 0

a + a' + aa' = 0 a là phần tử tựa chính qui phải

• Một ideal phải trong R được gọi là tựa chính qui phải nếu mỗi phần tử của nó đều tựa chính qui phải

Dựa vào phép chứng minh định lý II.6 ta suy ra 2 mệnh đề :

(1) ideal J(R) tựa chính qui phải

(2) Nếu là ideal phải tựa chính qui của vành R thì J(R)

Chứng Minh : Giả sử J ( R ) module bkq M : M {0} m 0 , m

M : m 0 Vì m là module con của M và vì M bkq m = M x , x 0 sao

J(R) là ideal phải tựa chính quy phải của R và nó chứa tất cả các ideal phải tựa chính quy phải của vành R, do đó J(R) là ideal phải tựa chính quy phải lớn nhất của R

Chứng minh : Giả sử phần tử a R là tựa nghịch đảo trái & tựa nghịch đảo phải b

R : a + b + ba = 0 : ac + bc + bac = 0

c R : a + c + ac = 0 ba + bc + bac = 0 ac = ba b = c

Nghĩa là phần tử tựa nghịch đảo trái và tựa nghịch đảo phải của cùng một phần tử (nếu có) thì trùng nhau

Bây giờ giả sử a J (R) theo định lý II.2 a' R : a + a' +aa' = 0

Do a J (R) aa' J (R) a' = a + a' + aa' - a - aa' J (R) Nhưng do a’ J (R) a" R : a' + a‖ + a’ a‖ = 0 Do đó a‖ J (R)

Như vậy, a' có phần tử tựa chính quy phải là a‖ và a’ cũng có phần tử tựa chính quy trái

là a Do đó a a‖ Từ đẳng thức a' + a + a'a = 0 Suy ra rằng a' không những là phần tử tựa chính quy phải mà còn là phần tử tựa chính quy trái của a Nói cách khác ta đã chứng minh rằng

J (R) cũng là ideal tựa chính quy trái của R

Vậy mọi phần tử a J (R) vừa tựa nghịch đảo phải vừa tựa nghịch đảo trái của cùng một phần tử

* J(R) cũng là ideal trái tựa chính quy trái

* Tương tự xây dựng J(R) bên trái là 1 ideal 2 phía, lớn nhất trong tất cả các ideal trái tựa chính quy trái

Tóm lại ta đi đến một kết luận mạnh mẽ : Jphải (R) = Jtrái (R)

Chuyển sang phần sau, ta tiếp tục khảo sát thêm về Radical Jacobson của một đại số

II.9 Đinh nghĩa :

a) Phần tử a R được gọi là lũy linh nếu số nguyên m > 0 sao cho am

= 0 b) Ideal trái (phải, hai phía) được gọi là nil - ideal nếu mọi phần tử của nó đều là lũy linh

c) Ideal phải (trái, hai phía) được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên m > 0 sao cho

a1 a2 am = 0 a1 , a2,… , am

* Nếu I, J là 2 ideal phải (trái, hai phía) của vành R thì tập hợp :

IJ = {<ab> / ael, b J} nhóm cộng sinh bởi cặp phần tử a,b

Lúc đó IJ cũng là ideal phải (trái, 2 phía) của vành R

Bằng quy nạp ta định nghĩa : I1 = I; In= In-1.I

d) Ideal phải được gọi là lũy linh nếu số nguyên m > 0 sao cho m

= (0)

IJ = {∑ / ai , bi }

Rõ ràng IJ là ideal phải (trái, hai phía )

Nếu I, J là ideal 2 phía IJ I; IJ I J

X 1 :  Nếu : là ideal lũy linh ( m

= 0) thì nó là nil - ideal

 Điều ngược lại không luôn đúng

II.10: Mối quan hệ giữa phần tử lũy linh và tựa chính quy

NX : Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy phải, tựa chính quy trái

Chứng minh : Vì a lũy linh m > 0 : am

= 0 Đặt b = -a + a2

lưu ý rằng : Hai phần tử a, b này có thể giao hoán nhau

Chứng Minh : Nếu là một nil-ideal phải mọi phần tử của nó lũy linh mọi phần tử của là tựa chính quy phải Suy ra J(R)

II.12 Radical Jacobson của một đại số

A được gọi là đại số trên F nếu :

+ A vành

+ A không gian véc tơ trên F

+ a, b A, Fα (ab) = (αa) b = a (α b)

• Nếu A có đơn 1 thì (α 1) x = x (α .1)

Là các phép biến đổi thuộc tính

• Một đại số vừa có cấu trúc là một vành , vừa có cấu trúc không gian véc tơ

Ta có định nghĩa Radical Jacobson của một đại số hoàn toàn tương tự như định nghĩa

Radical Jacobson của một vành, chỉ có một lưu ý quan trọng là : Các khái niệm ideal ở đây được hiểu theo nghĩa ideal của một đại số (vừa có cấu trúc ideal của vành vừa có cấu trúc không gian vectơ con

Xây dựng khái niệm Radical Jacobson của một đại số :

 Giả sử R là một đại số trên trường F nào đó

 Tập hợp M được gọi là môđun trên đại số R nếu nó là môđun trên vành A và thỏa mãn điều kiện:

m M, a A, F ta có (ma) α = m(a) α = (m α)a

 Ta gọi tập hợp A(M) là lập hợp tất cả các phần tử của R linh hóa được toàn bộ M , A(M) = {x R / Mx = (0) }

Bổ đề : Tập A(M) ={x R/Mx = {O}} là ideal 2 phía của R trong đó M là modun trung thành (faithful) trên vành thương R / A(M)

 M được gọi là R-môđun bất khả quy trên đại số R nếu :

* MA (0)

* M không có môđun con thật sự

 Ta gọi Radical của đại số R là tập tất cả các phần tử của R linh hóa được tất cả các module bất khả quy trên R Ký hiệu là J(R) hoặc Rad(R)

 J(R) = {a R / Ma = {0} với mọi M là R module bất khả quy }

 Ta gọi : A (M) = {a R / Ma = {0}, M là R-môđun bất khả quy}

 A (M) là Ideal hai phía của R, vậy J (R) có thế định nghĩa khác :

 J (R) = ⋂

 J(R) = , là ideal phải, tối đại, chính quy của đại số R

Một vấn đề đặt ra là : Nếu A là đại số trên trường F thì cũng có Radical - Jacobson

của đại số A, nó khác thế nào so với Radical - Jacobson của vành A ?

Giả sử A : đại số trên trường F

Vậy Jvành(A) Jđạisố(A)

Nhưng thực ra chúng bằng nhau Thật vậy ta cần chứng minh rằng mọi ideal phải tối đại chính quy của vành A cũng là không gian véc tơ trên trường F

Giả sử không là không gian vectơ con trong trường F → F

*Ta có F là ideal phải của A

*Do tối đại mà F A = F +

A2 = (F + ) A F A + .A = (FA) + .A

Vì p chính quy a A : x - ax x A

Nhưng ax A2 Vậy x A A =

Mâu thuẫn với tính tối đại của .Tóm lại cũng là không gian véc tơ

Do vậy ta có : Jvành (A) = Jđạisố (A)

Chứng Minh : Đặt = R / J (R), và gọi p ideal phải, tối đại, chính quy của R Ta có J(R) , mặt khác theo định lý đồng cấu = / J(R) là ideal phải tối đại trong , nó chính quy vì nếu x - ax - , x ̅

Vì J(R) = (0) = Theo định lý II.6 thì J( ) trùng với phần giao của tất cả các ideal phải tối đại chính quy của và do đó nằm trong J( ) = (0) (đpcm)

III VÀNH NỬA ĐƠN

Đến đây việc xuất hiện Radical Jacobson J(R) đã có một ý nghĩa Nhưng nếu J(R) = (0) điều gì sẽ xảy ra ? Người ta đi đến khái niệm vành nửa đơn như sau:

Theo định lý II.13 vành R / J(R) nửa đơn với mọi vành R

Chứng Minh : Vì A là ideal 2 phía của R nên J(A) cũng là ideal 2 phía của A Ta có : J(A).R ideal phải của R và J(A).R A (Lưu ý rằng A là ideal 2 phía nhưng không bảo đảm luôn luôn có J(A) R J(A).)

Giả sử J(A) (0) J(A) R là ideal phải của R và I1 = J(A).R 0 vì nếu I1 = 0 thì : Nếu I1 = J(A).R = 0 mà J(A) 0 thì J(A)2 J(A).R = 0 J(A)2= 0 suy ra J(A) là ideal lũy linh (Lưu ý rằng J(A) chỉ là ideal của A chứ không là ideal của R) Nhưng do J(A).R = 0 nên J(A) cũng là ideal phải của R , như vậy ta có :

J(A) là ideal phải của R , J(A) 0 và J(A)2 = 0 suy ra J(A) J(R) (vì J(R) chứa mọi nil-ideal) Mâu thuẫn với giả thiết R là nửa đơn

Nghĩa là I1 0 Nhưng I12 = J(A).[R.J(A).R] J(A).A J(A) do đó mọi phần tử của đều tựa chính quy phải ( vì I12 J(A) ) Lại do I12 là ideal phải , tựa chính quy phải suy

ra I12 J(R) = 0 do đó I12 = 0 Mâu thuẫn với giả thiết vành R có ideal phải I1 0 và I1 là lũy linh và R là nửa đơn (đpcm)

Từ đó có thể mô tả một cách chính xác hơn về Radical Jacobson của một ideal hai phía

A → f(A) là ideal tựa chính quy của và Ker = J(R)

Đồng cấu cảm sinh * : A→ R/J(R)

Với R/J(R) là vành nửa đơn và Ker * = A J(R)

Theo định lý No ̈ther A/Ker * (A) Nghĩa là : *(A)

Vậy là nửa đơn

Xét phép chiếu chính tắc : A → : nửa đơn

Do J(A) là tựa chính quy trong A nên (J(A)) cũng tựa chính quy

Đặt = suy ra (J(A)) J(A) = (0) do đó J(A) J(R) A

Theo giả thiết A là một ideal của R Xét vành thương = R/J(R)

Tồn tại = {a J(R) / a A } cũng là một ideal của R Hơn nữa (vì có toàn cấu f : A →

a → a+J(R) , trong đó Kerf = A J(R) nên theo định lý

e11 và e22 cùng thuộc A suy ra e11+e22 = (

) = ma trận đơn vị cũng thuộc A , do đó R là vành đơn Mâu thuẫn Vậy J(R) = 0 : Vành ma trận vuông cấp 2 các hệ tử thực là vành nửa đơn

Qua phần ví dụ và phân tích trên , chúng ta có thể tổng quát hóa và thu được một kết quả đặc sắc như sau :

Nhận xét: Lập luận tương tự , ta thấy rằng : Mọi vành ma trận cấp n : M n (F) đều là vành đơn (Ký hiệu Mn(F) chỉ vành ma trận cấp n lấy hệ tử trên trường F)

IV VÀNH ARTIN

đều có ideal phải tối tiểu

Từ đây về sau , ta gọi vành Artin phải là vành Artin

Từ định nghĩa trên ,ta có ngay một số kết quả sau :

* Trường, Thể là các vành Artin

* Mọi vành chỉ có một số hữu hạn các ideal phải là vành Artin

* Vành các ma trận vuông cấp n trên một trường hay trên một thể là các vành Artin (Để ý rằng , nếu R = Fn : vành các ma trận vuông cấp n trên 1 trường là một vành Artin , suy ra tập các ideal phải của Fn là hữu hạn )

* Tổng trực tiếp một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin

Tương tự , chúng ta định nghĩa đại số Artin như sau : Cho R là một đại số trên trường F, đại số R được gọi là Artin nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải (0 ) của R đều có phần tử tối tiểu

* Nhân xét:

Nếu A là một đại số hữu hạn chiều trên một trường thì A là đại số Artin (Vì 1

ideal phải của một đại số là một không gian vectơ con Do đó nếu A có hữu hạn chiều,

thì một dãy hữu hạn các dãy giảm đại số ρ1 2 …pn là không thể kéo dài vô hạn do dim(A) hữu hạn , do đó dãy có phần tử tối tiểu)

Nhưng nếu xem A là một vành thì có thể A không là Artin Ví dụ,

Giả sử u là một ký hiệu nào đó, ta định nghĩa một phép toán như sau u2 = u.u = 0 Gọi Q là trường các số hữu tỉ và gọi Qu = {ru/r Q }, trên Qu ta định nghĩa hai phép toán:

r1u + r2u = (r1 + r2)u

(r1 u) (r2u) = (r1r2) u2

Qu với hai phép toán trên trở thành một vành giao hoán (trong đó tích hai phần

tử bất kỳ là bằng 0) Ngoài ra Qu có cấu trúc không gian vectơ trên trường số hữu tỉ Q,

và có số chiều dim Qu = 1 ( vì Qu có một cơ sở là u: mọi phần tử đều biểu diễn được qua u) Do đó Qu là một đại số, chính là đại số Artin Nhưng nếu xem Qu như một vành thì

nó không là Artin (Thật vậy , do tính chất của chính trường số hữu tỉ Q , ta có thể thiết lập một dãy giảm các ideal không bao giờ dừng như sau :

1 = <pu> 2= < 2u > 3 = < 3

u >

i là ideal sinh bởi phần tử i (I = 1,2,3, ) , trong đó p là một số nguyên tố nào đó Để

ý rằng , không thể xem <p2u> là đại số vì nếu nó là một đại số thì p2

u = (pu)(pu) = 0 và

< p2u > = {kp2u / k Z }

Nghĩa là Qu là đại số Artin mà không là vành Artin

Về mối quan hệ giữa khái niệm vành Artin và Radical Jacobson của một vành, chúng

ta thu được một số kết quả sau :

Xét vành thương = R/W và đồng cấu chính tắc : R →

Jn→ (0)

= {r+w/r Jn

} là ideal khác 0 của R , vì rằng J( ) suy ra = (0) Với mọi ideal của Do R là vành Artin suy ra cũng Artin , do đó tập = { ideal khác (0) của / } có ideal tối tiểu là Xét xem như là mô đun trên , vì tối tiểu nên nó hoặc bất khả quy hoặc = (0) trong cả hai trường hợp là đều có = (0) suy

ra Jn W , vì vậy mà ta có : Jn

Jn = J2n

= (0) Nhưng chính là do Jn = J2n mà Jn

= (0) Nghĩa là W suy ra = (0) Mâu thuẫn Trường hợp 2 không thể xảy ra và định lý được chứng minh

Hệ quả : Trong một vành Artin, mọi nil-ideal đều là ideal lũy linh

Thật vậy , nếu A là nil-ideal của vành Artin R thì A J(R) , nhưng chính J(R) lũy linh, nên A cũng lũy linh

Nhân xét: Nếu vành tùy ý R có p là ideal phải lũy linh của R , (0) , và giả sử m

= (0) Nếu R = (0) thì R là một ideal hai phía lũy linh của R

Chứng minh : (R )m = R R R = R( R)( R) ( R) R m

= (0)

Trường hợp R = (0) thì là ideal hai phía khác 0 của vành R Do vậy mà bất kỳ

trường hợp nào ta cũng có : " Nếu vành R đã có ideal phải lũy linh 0 , thì chắc chắn cũng có ideal hai phía lũy linh khác 0 " (đó chính là hoặc )

Để ý rằng , đã từ lâu có giả thiết của Kete rằng : Nếu vành đã có nil-ideal phải khác 0, thì nó cũng có nil-ideal hai phía ? Đáng tiếc là chúng ta chưa tìm thấy được chứng minh giả thiết này

Bây giờ , kết hợp khái niệm Radical Jacobson của một vành và khái niệm về vành Artin

để khảo sát sâu hơn lớp các vành nửa đơn , mối quan hệ giữa chúng để sau này vận dụng trong các phép chứng minh cho định lý Wedderburn và các mở rộng của chúng

= e

sử là ideal phải tối tiểu 0 của R Khi đó là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng nào đó: = eR

Chứng minh : Ta phải có : 2 (0) vì nếu 2

= (0) thì là ideal phải lũy linh khác 0 của R suy ra R có ideal hai phía lũy linh khác 0 Mâu thuẫn Vậy 2 0 nên x : x (0) nhƣng {x /x } là một ideal phải của R , nằm trong Do tính tối tiểu của suy ra x

= suy ra tồn tại e : xe = x xe = xe2 x(e – e2

) = 0 Gọi 0 = {a /xa = 0} đây là một ideal phải của R Ngoài ra ta còn có : 0 ( và

0 vì nếu 0 = x = 0 = 0 Mâu thuẫn ) Vì tối tiểu suy ra 0 = 0

Do e-e2 0= 0 nên e – e2 = 0 hay e = e2 : phần tử e lũy đẳng Hơn nữa e eR

vì rằng 0 e = e2 eR suy ra eR (0), do tính tối tiểu của p ta suy ra = eR

Nhận xét : Từ bổ đề trên suy ra : Trong vành không có ideal lũy linh khác 0 thì mọi

ideal phải khác 0 tối tiểu đều là ideal chính sinh bởi một phần tử lũy đẳng

Nếu ideal phải của vành Artin chứa các phần tử lũy linh thì đó cũng là ideal lũy linh

Từ đó một câu hỏi tự nhiên được đặt ra : " Phải chăng ideal phải mà chứa phần tử không lũy linh trong vành Artin thì trong đó thế nào cũng tìm được phần tử lũy đẳng ?

-a lũy linh Khi đó hoặc chính a lũy linh, hoặc tồn tại đa thức q(x) với hệ số nguyên sao cho e = aq(a) là phần tử lũy đẳng

Chứng minh : Giả sử (a2-a)k = 0 Khai triển vế trái ta đƣợc ak = ak+1.p(a) trong đó p(x) là

đa thức với hệ số nguyên Vậy:

ak = ak.ap(a) = ak.ap(a).ap(a) = ak[ap(a)]2 =…= ak[ap(a)]k = a2k[p(a)]k

* Nếu ak = 0 thì a lũy linh

vị

khác 0 của R Khi đó eR là ideal phải tối tiểu của R khi và chỉ khi eRe là một thể

có đặc số p Thế thì J(F(G)) = (0)

Chứng minh :

(Trước hết ta nhắc lại định nghĩa đại số nhóm F(G) :

Cho G là một nhóm hữu hạn : G = {g1,g2,g2 ,g2} ; F là một trường bất kỳ Ta gọi tập hợp ký hiệu F(G) là tập hợp các phần tử , mỗi phần tử là một tổng hình thức có dạng i i với i và i G Trên F(G) ta định nghĩa các phép toán :

i i i i = ( i i ) i

∑ ∑ = ∑Lúc đó (F(G),+) trở thành một nhóm Abel Hơn nữa F(G) còn là không gian vectơ trên

F F(G) được gọi là đại số nhóm và dimF(G) = n = cấp của nhóm G , trong đó một cơ sở của không gian F(G) là gl, g2, , gn )

Bây giờ ta chứng minh định lý IV.9

trở thành phép nhúng đẳng cấu ( Thật vậy rõ ràng là một toàn cấu Ta cmr Ker

= {0} Lấy Ta chính là ánh xạ không , do đó xa = 0 x F , đặt biệt lấy x = 1.e

xa = a = 0 Ta = 0 do đó Ker = {0} ( Để ý rằng 1.e (một cách hình thức) là đơn vị của đại số F(G)) Vậy F(G) đơn cấu và suy ra F(G) đẳng cấu

Với mọi phép biến đổi tuyến tính , ta biết rằng đều có một ma trận tương ứng Do đó , với gi G , tương ứng ta có Tgi , chính Tgi lại có ma trận đối với cơ sở G = {g1=e,g2, ,gn} là :

Suy ra Tgi ma trận có kiểu :A = (

) mỗi hàng có 1 số 1

mỗi cột không có hai số 1 ( để ý rằng trong G có luật gián ước nên nếu gmgi = gngi gm= gn)

Vết của ma trận A là tr(A) = a11 + a22 + … + ann

Đặc biệt Tgl = Te= ma trận đơn vị, nên ta có tr(Tg1) = cấp của nhóm G = 0(G)

Nếu gi g1 = e thì Tgi = 0 vì ma trận Tgi có đường chéo chính toàn là số 0 (thật vậy , giả sử a22 = 1 g2gi g2 và g3 gi g3

Nếu x J và x 0 x lũy linh Do đó Tx cũng lũy linh Phép 1 biến đổi tuyến tính

Tx lũy linh , thì vết của nó tr(Tx) = 0 Giả sử x 0 , có thể giả thiết x có dạng :

x = 1 + 2g2 +….+ ngn với 1 0 tr( Tx) = 0 = 1tr(Tg1) + ….+ ntr(Tg1) Mâu thuẫn (đpcm)

M trung thành đơn cấu

R nhúng đẳng cấu vào trong E(M)

A(M) = ker

Nhận xét 2 : R nguyên thủy J(R)=(0)

Vì J(R) = A(M) = (0) R nửa đơn

Mọi vành nguyên thủy đều là vành nửa đơn

Nhận xét 3 : Nếu R là vành bất kỳ và giả sử có M là R-modun bất khả quy A(M) là ideal 2 phía của R và vành thương R/A(M) nguyên thủy

Chứng minh : M là R-modun bất khả quy của R/A(M) = (0) suy ra A(M) = (0) Vậy R/A(M) nguyên thủy

( M là R-modun bất khả quy R/A(M) là vành nguyên thủy)

Nhân xét 4 : M là R-modun bất khả quy Tồn tại là ideal phải tối đại chính quy của R sao cho M = R/

Lúc đó A(M) = (p : R) : ideal 2 phía lớn nhất nằm trong

Suy ra rằng :

R nguyên thủy tồn tại ideal phải tối đại chính quy và ( :R) = (0)

Về mối quan hệ giữa vành nguyên thủy và vành nửa đơn , chúng ta có một số kết qua như sau :

V.2 Định lý : R là vành nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại chính quy

mà : R) = (0) Trong trường hợp đó R cũng là vành nửa đơn Hơn nữa vành nguyên thủy

mà giao hoán là 1 trường

Chứng minh : R nguyên thủy tồn tại ideal phải tối đại chính quy là ideal 2 phía tối đại (vì R giao hoán) ( : R) = (vì ( : R) là ideal 2 phía lớn nhất nằm trong ) Do ( : R) = (0) = (0)

Ideal tối đại = (0) R : trường (đpcm)

Giả sử R là vành nguyên thủy và M là R-modun bất khả quy trung thành Khi đó theo

là không gian vectơ Vì là thế nên ta có thế định nghĩa độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính như sau :

dày đặc trên M) nếu với mọi số tự nhiên n và mọi hệ vectơ v1, v2 , vn độc lập tuyến tính trên

và với mọi hệ w1,w2, wn M , tồn tại phần tử r R sao cho wi = vi.r( 1 i n)

Lưu ý rằng r R phép nhân bên phải vir là phép biến đổi tuyến tính của không gian

vcctơ M trên thể ∆ : r R , r Tr Hom∆ (M,M) (1)

Ở đây dày đặc được hiểu theo nghĩa : Lấy tùy ý hệ hữu hạn độc lập luyến tính và một hệ hữu hạn bất kỳ, bao giờ cũng tồn tại phép biến đổi tuyến tính biến hệ độc lập tuyến tính này thành hệ kia

*/ Nếu M = n ( hữu hạn ) thế thì Hom (M,M) = R

Vì f Hom (M,M) , và giả sử M có cơ sở là 1, 2, , n Đồng cấu f hoàn toàn được xác định nếu biết các ảnh 1f, 2 f ,…, n f

Theo tính dày đặc ta có r R sao cho w1,w2, ,wn và : if = wi (1 i n ) suy

ra, r f Vậy Hom (M,M) R (2)

Từ (1) và (2) suy ra rằng Hom (M,M) R

Dày đặc theo nghĩa đại số như sau :

Hom (M,M) R nếu chiều của M trên  là hữu hạn

V.4 Định lý dày đặc :

Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R-modun bất khả quy trung thành và = C(M) Khi đó R là vành dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ M trên thể (nói tắt: R dày đặc trên M)

( Ý nghĩa : R → Hom (M,M) : R dày đặc trong Hom (M,M)

Và nếu dim M là hữu hạn thì R Hom (M,M))

Lưu ý : Vrs = (0) Giả sử v1 , v2, vn M là hệ độc lập tuyến tính trên và w1 , wn

M tùy ý Gọi Vi là không gian của M trên sinh ra bởi các Vj với j

Vi = < Vj / j i > Vi Vi Vì hệ vi, …,vn đltt Vậy i tồn tại ti Rsao cho viti =

wi và Viti = (0) Đặt t = t1 + + tn R thì ta có vit = wi theo định nghĩa R dày đặc trên M

Để chứng minh định lý ta chứng minh nhận xét trên bằng quy nạp theo số chiều của không gian vecto V trên 

Tập hợp A(Vo) là ideal phải của vành R và do  Vo nên A(Vo)  (0) là modun con của M A(Vo) = M (1) (Suy ra rằng m  M, m V sao cho từ đẳng thức Vr = (0) suy ra

Giả sử x = a, a  A(Vo) và giả sử x = 1 a , a1 A(Vo) thế thì : (a – a1) = 0 suy ra

a – a1 l i n h hóa  , do đó a – a1 linh hóa toàn bộ V , theo giả thiết phản chứng suy ra a - a1 cũng linh hóa m m(a - a1) = 0 ma = ma1, định nghĩa là đúng đ ắ n

Nếu x = 0 = a (aA(Vo)) thì Va = (0) do đó theo điều kiện giả thiết ma = 0 Từ đó x

= ma = 0 và nghĩa là có định nghĩa đúng đắn Ta chứng minh rằng giao hoán được với r

, r  R Rõ ràng rằng E(M) Hơn nữa nếu x = a trong đó aA(Vo) Do đó (xr) = m(ar) (theo định nghĩa) = (ma)r = (x )r Từ đó   = C(M) Nhưng khi đó aA(Vo) đẳng thức tương ứng ma = x = (a) = ( )a suy ra a A(Vo) , m-  M và (m- )a

= 0 Vậy phần tử m -  linh hóa toàn bộ mọi phần tử a  A(Vo) V Theo giả thiết quy

nạp, ta có hệ thức sau : m-  Vo nghĩa là m  Vo +  Vo + = V Mâu thuẫn Định lý đã được chứng minh