Luận văn Thạc sĩ Toán học: Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn

Luận văn Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn trình bày về các nội dung: cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính, sự tồn tại toán tử ngược của toán tử vi phân tuyến tính, về sự bảo toàn tính fredholm của toán tử vi phân tuyến tính. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- OOO -

TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

VỚI HỆ SỐ BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ S Ố : 1.01.01

NGƯỜI THỰC HIỆN : HOÀNG ANH TUẤN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1997

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- OOO -

TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

VỚI HỆ SỐ BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ S Ố : 1.01.01

NGƯỜI THỰC HIỆN : HOÀNG ANH TUẤN

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1997

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Người hướng dẫn:

Phó giáo sư Tiến sĩ TRẦN HỮU BỔNG

Khoa Toán Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Người phản biện 1:

Phó tiến sĩ DƯƠNG LƯƠNG SƠN

Khoa Giáo dục Tiểu học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

HOÀNG ANH TUẤN

Khoa Thống kê - Toán Kinh tế - Tin học Đại học Kinh Tế Tp Hồ Chí Minh

LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin kính gửi đến Phó Giáo sư Tiến sĩ TRẦN

HỮU BỔNG - Khoa Toán Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình

hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc

Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quí thầy : Phó tiến sĩ DƯƠNG LƯƠNG SƠN Khoa Giáo dục Tiểu học Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Phó tiến sĩ ĐẬU THẾ CẤP

Khoa Khoa học Cơ bản Trường Cao đẳng Kỹ thuật Vinhempic

đã đọc bản thảo, phê bình và phản biện cho luận văn

Xin chân thành cảm ơn Quí Thầy cô trong Khoa Toán đã tận tình truyền đạt kiến

thức cho tôi trong suốt quá trình học tập và Quí Thầy cô thuộc Phòng Nghiên cứu Khoa học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi

trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này

Xin cảm ơn gia đình, bạn hữu, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Thành phố Hồ chí Minh, 1997

Hoàng Anh Tuấn

KÝ HIỆU

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 1

I Phổ của toán tử tuyến tính 1

II Cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính 1

III Ứng dụng 3

CHƯƠNG 2: SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ NGƯỢC CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 9

I Hàm liên tục đều bị chặn 10

II Hàm đầu tuần hoàn 10

III Hàm truy đồi 11

IV Các bổ đề 12

V Điều kiện tồn tại toán tử ngược 22

CHƯƠNG 3: VỀ SỰ BẢO TOÀN TÍNH FREDHOLM CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 33

I Định nghĩa và kết quả 33

II Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa hội tụ tích phân tại vô cực 34

III Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa đinh vị tại vô cực 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

R, p là tập hợp các số thực và số phức

Rn(Pn) là không gian thực (phức) với chuẩn

Mn là không gian (vành) các ma trận thực cấp n với chuẩn

C(R n ),C(P n ) là không gian Banach phức của các hàm liên tục, bị chặn trên R, có giá trị

trong Rn, pn với chuẩn :

C 1(Rn) là không gian Banach phức các hàm liên lục, bị chặn x(t ) có đạo hàm

cấp 1 (t) liên tục, bị chặn trên R ( C(Rn

) ) với chuẩn

C*(Rn) là không gian con của C(Rn) gồm tất cả các hàm liên tục đều bị chặn trên R, có giá trị trong Rn

C(Mn) là không gian Banach các hàm ma trận A(t ) liên tục, bị chặn với chuẩn

C*(Mn) là không gian Banach các hàm ma trận A(t ) liên tục đều, bị chặn với chuẩn như trên

Lý thuyết toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn trên trục số đã được nhiều tác giả quan tâm, bắt đầu từ những công trình cổ điển của Bohl P , Person O , Favard J về

sau lý thuyết này được các nhà toán học nghiên cứu theo những hướng khác nhau : Về tính chất nghiệm, về dáng điệu nghiệm, về tính giải được của phương trình không thuần nhất và cũng được xét trên những không gian hàm khác nhau

Luận văn của chúng tôi nghiên cứu về toán tử vi phân tuyến tính có dạng

với A(t) là ma trận hàm liên tục bị chặn trên trục số và phương trình thuần nhất

Từ tính chất của toán tử L ta sẽ thu được những tính chất của phương trình không thuần nhất

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1 nghiên cứu cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính L (Định lý 1.1) Chúng tôi đã thiết lập các mối liên hệ giữa khái niệm khả qui và hầu khả qui của phương trình thuần nhất Kết quả chính của chương là định lý 1.2, có thể xem như một ứng dụng, xác định một điều kiện cần và đủ dưới dạng phổ để phương trình (2) hầu khả qui về phương trình

có hệ số hằng

Chương 2 trình bày về điều kiện tồn tại toán tử ngược của toán tử vi phân tuyến tính Chúng tôi đã nhắc lại các khái niệm hàm hầu tuần hoàn, hàm truy hồi và các hàm cùng nhau truy hồi và chứng minh ba bổ đề mang tính chất kỹ thuật Kết quả chính của chương là chỉ ra rằng toán tử

L:C1(Rn) C(Rn

)

có toán tử ngược bị chặn trong hai trường hợp sau :

giới hạn thuần nhất không có nghiệm khác không bị chặn trên R (Định lý 2.1, 2.2)

(b) Toán tử L là giải chuẩn tắc và A là ma trận hàm truy hồi (Định lý 2.4)

Ngoài ra với một vài giả thiết bổ sung, chúng tôi cũng xác định được tính chất nghiệm

của phương trình không thuần nhất Lx = f (Định lý 2.3)

Chương 3 nói về sự bảo toàn tính Fredholm của toán tử L phụ thuộc tham số bé dựa trên hai khái niệm : ma trận hệ số hội tụ tích phân tại vô cực và định vị tại vô cực Kết quả chính của chương là chỉ ra với α > 0 đủ bé thì Lα

Fredholm trong hai trường hợp sau đây :

(a) Ma trận hàm A(t,α) hội tụ tích phân tại vô cực đến A0(t) khi α⟶0 (Định lý 3.1)

(b) Ma trận hàm A(t,α) định vị tại vô cực khi α⟶0 và với mỗi dãy { ̃ },

̃ với αk⟶ 0 tồn tại

dãy con , ̃ - hội tụ đến ma trận B không có giá trị riêng thuần ảo (Định lý 3.2)

Trong chương còn có hai hệ quả, có thể xem như phần ứng dụng, khá thú vị suy ra từ các kết quả chính trên (Hệ quả 3.1,3.2)

Phương pháp chứng minh trong hai chương 2 và 3 dựa trên phương pháp của Mukhamadiev[4] mà cơ sở là sử dụng toán tử giới hạn tại vô cực xuất phát từ toán tử L ban đầu

CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

I Phổ của toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.1 Cho không gian Banach phức E và toán tử tuyến tính liên tục

L : E - > E

Số phức λ, gọi là giá trị chính qui của toán tử L nếu toán tử

L - λ I

có toán tử ngược liên tục, xác định trên toàn bộ E

Một số phức không phải là giá trị chính qui của L gọi là giá trị phổ của L Tập

hợp tất cả các giá trị phổ của L gọi là phổ của L, đó là phần bù (L) trong P của các giá trị chính qui của L

Đinh nghĩa 1.2 Các toán tử tuyến tính L1, L2 gọi là đồng dạng

nếu tồn tại một toán tử tuyến tính U liên tục và khả nghịch liên tục sao cho

Mệnh đề 1.1 Các toán tử đồng dạng có cùng phổ

II Cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính

Xét phương trình thuần nhất:

L là toán tử vi phân tuyến tính từ C1Rn) vào C ( Rn) định bởi :

Bổ đề 1.1, Với số thực α, toán tử Lα định bởi

)

CHỨNG MINH Xây dựng toán tử Uα trong C(Pn) như sau :

Thì Uα là toán tử tuyến tính, liên tục, khả nghịch liên tục

Theo bể đề 1.1 , α + iβ cũng là giá trị phổ của Lβ

nên Lp - (a + ip)l không có toán tử ngược liên tục Mặt khác

do đó Lβ/

- ( α + iβ/ ) I không có toán tử ngược liên tục

suy ra α + iβ/ là giá trị phổ của Lβ/

Theo bổ đề 1.1, α + iβ/ cũng là giá trị phổ của L

Vậy phổ của toán tử L gồm các đường thẳng song song với trục ảo trong mặt phẳng phức

Đinh nghĩa 1.4 Cho hai phương trình thuần nhất:

Phương trình (1) gọi là khả qui về phương trình (2) nếu (1) có thể đưa về (2) bằng một phép

biến đổi Liapunov

Phương trình (1) gọi là hầu khả qui về phương trình (2) nếu với mỗi > 0, tồn t ạ i phép biến

đổi Liapunov

x(t) = U (t)y(t)

chuyển (1) về phương trình sau

(3) trong đó

Gọi L, L1, L là các toán tử từ C 1( Rn) vào C ( Rn) tương ứng với các phương trình

(L) (L1)

Bổ đề được chứng minh □

Đinh lý 1.2 Phương trình (1) hầu khả qui về phương trình (2) với hệ số hằng khi và chỉ khi

phổ của toán tử L gồm hữu hạn các đường thẳng song song với trục ảo

CHỨNG MINH Điều kiên cần

Giả sử phương trình (1) hầu khả qui về phương trình (2) với hệ số là ma trận hằng A1

Gọi λk, k = là các giá trị riêng của ma trận A1

Theo định lý Bohl, phổ của L1 trùng với tập các đường thẳng

Theo định lý về lưỡng phân mũ (Demidovich [1]), không gian nghiệmX của

(1) là không gian n chi ều được phân tích thành t ổngtrực tiếp

là ma trận cơ bản của phương trình (1)

Gọi G[X(t)] và G[Xk + 1(t)], k = 0, 1 , , r-1 là nh ững định th ức Grama c ủa

trong đó Bk(t) là h à m ma tr ận tam giác c ấp nk- nk - 1, k =

(8)

dựa vào (5) thỏa mãn ước lượng

(9)

Gọi Uk(t,s) là ma trận Cauchy của phương trình (8) (Uk(s,s)= Ik )

yk(t)=Uk(t,s)yk(s) vớit > s

Từ (9) suy ra các ước lượng sau đối với ma trận Cauchy Uk(t,s) (Uk (s,s)= Ik) của phương trình (8)

từ bất đẳng thức (10) suy ra ước lượng sau

Kết hợp hai bất đẳng thức cuối, ta có với t s

Từ ( 11) với ɛ’ 0 tùy ý, ta chọn

và dựa vào kết quả trên suy ra các phần tử trên đường chéo bjj(t) của ma trận Bk(t) là khả

tích gần đến số αk (Zabreiko,Krasnocelski, Strưgin [3]), do đó tất cả các hệ (8) là hầu khả qui đến hệ phương trình với hệ số hằng Vậy phương trình (1) h ầ u khả qui đến phương trình với

hệ số hằng

Định lý được chứng minh □

CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ NGƯỢC CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Chương này trình bày một điều kiện đủ để phương trình không thuần nhất

Trong trường hợp đó (Mukhamadiev [4]) sẽ tồn tại các tập :

theo thứ tự là tập hợp các ma trận hàm giới hạn (theo nghĩa hội tụ đều trên từng khoảng hữu hạn của R) của tất cả các dãy ma trận hàm dạng {A(t + hk)}

Đặt H(A) = H+(A) H_(A) thì

Cùng với (1) và L, xét các phương trình giới hạn thuần nhất

Hay

với ̃ là toán tử tương ứng từ C1

( Rn) vào C( Rn) định bởi

̃ gọi là toán tử giới hạn tại vô cực xuất phát từ toán tử L

Favard [5] đã khảo sát tính chất của nghiệm phương trình không thuần nhất với định lý sau đây:

Định lý Favard [5] Giả sử

(i) Ma trận hàm A(t) hầu tuần hoàn,

(ii) Tất cả các phương trình (2) không có nghiệm khác không bị chặn trên

Ở đây ta xét các kết quả của Mukhamadiev đối với toán tử (1)

đều hầu tuần hoàn

Mệnh đề 2.3 Mọi hàm hầu tuần hoàn đều thuộc C*(Rn)

III Hàm truy đồi

• Với mọi à H(A), ta có H( ̃) = H(A)

Mệnh đề 2.4 Mọi hàm hầu tuần hoàn đều là hàm truy hồi

Mệnh đề 2.5 Giả sử f C*(Rn) là hàm truy hồi Khi đó các hàm ̃ H(f)cũng truy hồi Chú ý rằng tính truy hồi của các hàm vectơ nói chung không suy ra được từ tính truy hồi của các thành phần của nó

Định nghĩa 2.5 Cho một họ hữu hạn các hàm

Các h à m n à y gọi là cùng nhau truy hồi nếu h à m vectơ

Khi đó với mọi f C(Rn), phương trình

Lx = f

có ít nhất một nghiệm Xf C1

(Rn)

CHỨNG MINH Cho f C(Rn

) Theo giả thiết, phương trình

Có nghiệm

Với mọi t R, mọi k N

Vậy dãy hàm {xk} bị chặn đều

Vì xk thỏa đẳng thức

nên xk cũng thỏa đẳng thức

Với mọi t, s R, mọi k N

Vậy dãy hàm {xk } liên tục đồng đều

Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {xk} là tập compac tương đối theo tôpô hội tụ đều trên từng khoảng hữu hạn, nên dãy đó chứa một dãy con hội tụ đến hàm x0 trên C(Rn) Không giảm tính tổng quát có thể giả sử dãy con đó chính là dãy hàm {xk}

Với t R

nên dãy hàm {xk(t)} hội tụ đến hàm x0(t) đều trên R và do đó đều trên từng khoảng hữu hạn Mặt khác

suy ra dãy hàm {Ak(t)xk} hội tụ đến hàm A(t)x0 đều trên từng khoảng hữu hạn

Với mỗi t R, tồn tại một khoảng hữu hạn [-a,a] chứa đoạn [0,t], do đó lấy giới

đều không có nghiệm khác không bị chặn trên R

(ii) Tồn tại một dãy các ma trận hàm {Ak} trong C(Mn), mỗi

Ak tuần hoàn với chu kỳ k thỏa

và một dãy số {Tk} thỏa

sao cho

(9)

Khi đó tồn tại số k0 > 0 sao cho với mọi k k0, các toán tử

có toán tử ngược bị chặn và

CHỨNG MINH

Ta chứng minh

Thật vậy, với mọi t R, mỗi k N

nhưng Ak, tuần hoàn với chu kỳ k, nên

Từ (9) suy ra

do đó

Theo Demidovich [ 1 ] và Krasnocelski [2], để toán tử Lk với hệ số tuần hoàn Ak có toán tử ngược thì điều kiện cần và đủ là các phương trình thuần nhất

không có nghiệm khác không bị chặn trên R

Ta chứng minh rằng tồn tại số k0 > 0 sao cho với mọi k k0, các phương trình thuần nhất

không có nghiệm khác không bị chặn trên R bằng phản chứng

Giả sử với mỗi i, tồn tại ki i sao cho phương trình

có nghiệm xi khác không bị chặn trên R

yi =

‖ cũng là nghi ệm khác không, hơn n ữa ||yi||C1=1 Vậy ta có th ể giả sử rằng t ồn tại dãy hàm {xi} trong C1(Rn) và dãy s ố {ki}, ki i sao cho với mọi i

Do và xi liên tục nên tồn tại

tồn tại số nguyên mi thỏa

Khi đó, xét dãy hàm {yi} với yi(t) = xi (t + mi ) với mọi i và

Đặt i = ti - mi thì

Do ma trận hàm Akj (t) tuần hoàn với chu kỳ Nên

đồng thời dãy hàm {yi} bị chặn đều và liên tục đồng đều

Thật vậy, với mọi i N, mọi t R

Vậy dãy hàm {yi} bị chặn đều

Vì xi thỏa đẳng thức (10)

Với mọi i N, mọi t, s R

Vậy dãy hàm {yi} liên tục đồng đều

Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {yi} là tập compac tương đối nên chứa một dãy con hội

tụ đến hàm y0 trên C(Rn); ta có thể giả sử rằng dãy con đó chính là dãy hàm {yi} Do đó dãy {yi (t)} hội tụ đến y0(t) đều trên R, nên cũng đều trên từng khoảng hữu hạn Bây giờ xét dãy { i}

●Nếu dãy { i} bị chặn thì dãy đó chứa một dãy con hội tụ, do đó không giảm tính tổng quát có thể coi như dãy { i} hội tụ đến 0 khi đó dãy {A(t + i) hội tụ đến A(t +

0) với mọi t R

Với mỗi t R , vì k = k = + mà ki nên

= = +

do đó với 0, tồn tại số i0 sao cho * + chứa [0,t] và từ (9) suy ra

khi i > i0 vì i * + suy ra dãy hàm { }

hội tụ đến hàm A( ) đều trên từng khoảng hữu hạn

Từ bất đẳng thức

Suy ra dãy hàm { } hội tụ đến hàm A(t+ 0)y0(t) đều trên từng khoảng hữu hạn

A(t+ i) đều trên từng khoảng hữu hạn nên dãy hàm { } hội tụ đến ̃(t) đều trên từng khoảng hữu hạn Suy ra dãy hàm { } hội tụ đến ̃(t)y0(t) đều trên từng khoảng hữu hạn Xét đẳng thức

Khi đó tồn tại các ma trận hàm {Ak}, mỗi Ak tuần hoàn với chu kỳ k và dãy số {Tk} thỏa

Sao cho

CHỨNG MINH

Tk như sau:

ta xác định được một dãy số {Tk} thỏa

cũng có thể giả sử rằng Tk [0, k] và + Tk k với mọi k

Do điều kiện (12) suy ra

V Điều kiện tồn tại toán tử ngược

Định lý 2.1 Giả sử :

(i) Hệ số ma trận hàm A(t) của toán tử L là hầu tuần hoàn

(ii) Tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất

(2) không có nghiệm bị chặn khác không trong C1Rn)

Khi đó với mỗi hàm fC(Rn), phương trình (6) có duy nhất nghiệm khác không bị chặn trên R

Định lý 2.1 là trường hợp riêng của định lý 2.2, do đó ta không chứng minh

Chú ý rằng trong Krasnocelski [2] đã chứng minh rằng : nếu với mỗi f hầu tuần hoàn, phương trình (6) có ít nhất một nghiệm bị chặn trên R thì tất cả các phương trình thuần nhất (2) không có nghiệm khác không bị chặn trên R Vậy điều kiện của định lý 2.1 là điều kiện cần và đủ để phương trình (6) giải được đơn trị, tức toán tử L từ C1Rn) vào C(Rn) có toán tử ngược bị chặn nếu và chỉ nếu tất cả các phương trình (2) không có nghiệm khác không bị chặn trên R

Mở rộng định lý 1 là

Định lý 2.2 Giả sử :

(i) Hệ số ma trận hàm A(t) của toán tử L là truy hồi

(ii) Tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất

(2) không có nghiệm khác không bị chặn trên R

Khi đó với mỗi hàm f  C(Rn), phương trình (6) có duy nhất nghiệm khác không bị chặn trên R

Nói cách khác, toán tử L từ C1Rn) vào C(Rn) có toán tử ngược bị chặn

CHỨNG MINH Giả sửAC(Mn)là truy hồi

Khi đó A H(A) = H+(A) H_(A)

• Trường hợp AH+(A)

Tồn tại dãy { k} thỏa