Luận án tiến sĩ Toán học: Đa thức ma trận - Sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan

Mục đích chính của luận án nhằm giải quyết bài toán 1, đưa ra các chặn mới đủ tốt cho giá trị riêng của đa thức ma trận, từ đó so sánh với các chặn được đưa ra bởi Higham và Tisseur.

Ph£n bi»n 2:TS Hç Minh To n

Vi»nTo¡n hå - Vi»n H nl¥mKhoa hå v Cæng ngh»Vi»t Nam

Ph£n bi»n 3:TS L¶ Thoang

Tr÷íng ¤i hå Phó Y¶n

BœNH ÀNH - N‹M 2018

Luªn ¡nn y ÷ñ ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n

TS L¶ Cæng Tr¼nh v TS inh Trung Háa Tæi xin oan ¥y l  tr¼nh nghi¶n

tæi k¸t qu£trong Luªn ¡nl  trung ÷ñ çng gi£ hoph²p sû

döng v h÷a tøng ÷ñ ai bè tr÷î â

Luªn ¡n n y ÷ñ ho n th nh trongqu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n t¤i KhoaTo¡n,

Tr÷íng ¤ihå Quy Nhìn d÷îisü h÷îngd¨n Ti¸ns¾ L¶Cæng Tr¼nh v Ti¸n s¾inh

Trung Háa Tr÷î ti¶n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u ¸n Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh

Thy ¢ h¿b£o tªn t¼nh v h÷îngd¨n tæi tønhúngb÷î u l mnghi¶n Thy t¤o

hotæimët mæitr÷ínghå tªp v nghi¶n mð, th¥nthi»n nh÷ng r§tnghi¶m

Thy luæn ëng vi¶n, gióp ï º tæi tøng b÷î ti¸n bë trong nghi¶n khoa hå

÷ñ hå tªp, l m vîi thy l i·u may m­n v h¤nh ph èi vîi tæi

Tæixin b ytäláng bi¸tìns¥u ¸n Ti¸ns¾inhTrungHáa.Thyluæn ëngvi¶n,

h l», gióp ï v theo s¡t qu¡ tr¼nh nghi¶n tæi dò thy khæng ð trong

n÷î nh÷ng thy v¨n th÷íng xuy¶n trao êi khoa hå vîi tæi hëi th£o do thy tê

¢ gióp tæitr÷ðng th nhr§t nhi·u v· khoa hå l¨n sèng

Tæi xin ìn Ti¸n s¾ Hç Minh To n C£m ìn anh v¼ nhúngbuêi th£o luªn r§t húu

h v· v§n· li¶n quan ¸n ành lþ biºu di¹n d÷ìng v B i to¡n mæmen

Tæi xin gûi líi ìn h¥n th nh ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn,

Pháng  ot¤o sau ¤ihå ¢ t¤o i·u ki»ntètnh§t º tæihå tªp t¤itr÷íng bi»t,

tæixin gûilíi ìn¸n Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n thy gi¡o, gi¡otrong

Khoa ¢ t¤o ra mët mæi tr÷íng hå tªp th¥n thi»n, mð v r§t huy¶n nghi»p i·u

n y gióp tæi ëng º ph¡t triºn b£n th¥n

Tæi xingûilíi ìn¸n BanGi¡m hi»u Tr÷íng Cao ¯ng S÷ ph¤mH  T¥ , Pháng

Tê bë¢ t¤o i·u ki»n tèt nh§t ho tæiihå Tæi xingûi líi ìn ¸n

Ban Chõ nhi»m Khoa Tü nhi¶n v b¤n b± çng nghi»p ¢ luæn õng hë, ëng vi¶n,

hia s´ º tæi thíi gian tªp trung nghi¶n t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy

Nhìn

Tæi xin ìn b¤n nghi¶n sinh t¤i Tr÷íng ¤i hå Quy Nhìn ¢ luæn ëng

vi¶n, hia s´gióp ï tæitrong qu¡tr¼nh hå tªp v nghi¶n

Tæi xin gûilíi bi¸t ìn¸n gia ¼nh haib¶n nëingo¤i Nhúng ng÷íi th¥n ¢ luæn õng

hë, ëng vi¶n tæi Hå l  hé düa tinh thn vúng º tæi y¶n t¥m hå tªp v nghi¶n

khixa nh  bi»t, tæixingûilíibi¸t ìns¥u ¸n ng÷íi mµth¥ny¶u m¼nh

C£m ìn sü hy sinh nh÷ t¼nh y¶u v h¤n mµd nh ho T¼nh th÷ìng

bao la mµluæn õ §mtr¡itim

C£m ìn anh v hai ¢ ¸n b¶n íiem, gióp ï, ëng vi¶n em Gia ¼nh luæn l  nìi

b¼nh y¶n em

Mð u 1

1.1 Sü ph¥n bè nghi»m a mët bi¸n 12

1.2 B i to¡nthù 17 Hilbert v mët sèành lþ biºu di¹n d÷ìng hoa 18 1.2.1 B i to¡n thù 17 Hilbert v ành lþ Artin 18

1.2.2 Mëtsè ành lþ biºu di¹n d÷ìng hoa 19

1.3 B i to¡ntèi ÷u a v b i to¡n mæmen 25

1.3.1 B i to¡n tèi÷u a 25

1.3.2 B i to¡n mæmen 26

1.4 H¼nh hå ¤isè hoa ma trªn 28

1.5 T½nh ành d÷ìng a matrªn v thun nh§t hâa hóng 32 1.6 Chu©n matrªn 36

2 Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng a ma trªn 38 2.1 D¤ng matrªn ành lþ Enestrom-Kakeya 39

2.2 ành lþ d¤ng hy hoa ma trªn 43

2.3 So s¡nh h°n 55

3.1 D¤ng matrªn ành lþ Putinar-V 58

3.2 D¤ng matrªn ành lþ kinson-Povh 60

3.3 D¤ng matrªn ành lþ Handelman 63

3.3.1 D¤ngma trªn ành lþ Handelman tr¶n n-ìn h¼nh 63

3.3.2 D¤ngma trªn ành lþ Handelman tr¶n a di»n lçi, 66 3.3.3 Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho a ma trªn d÷ìng tr¶n mët adi»n lçi 71

Kþhi»uK[X] := K[X 1 , · · · , X n ]l v nh a nbi¸nX 1 , · · · , X nvîih»sètrong

K Kþ hi»u M t (K), M t (K[X]) lnl÷ñt l  v nh ma trªn vuæng t vîi phn tûtrongKv K[X] Méimatrªn A ∈ M t (K[X]) ÷ñ gåil mët ma trªn a mët

a ma trªn, bði v¼ nâ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng mët a n ©n X 1 , · · · , X n vîih» sè tr¶n M t (K)nh÷ sau:

èit÷ñngnghi¶n h½nh Luªn¡nl  a matrªn,v èivîiméitr÷íng

hñp sè bi¸n, hóng tæi quan t¥m ¸n b i to¡n nhau Do â, º thuªn ti»n

ho ng÷íi å hóng tæi h v tr¼nh b y b i to¡n li¶n quan trong hai phn ri¶ng

trong â, z l  bi¸n sè v A i ∈ M t (C), ∀i = 0, , d a ma trªn mët bi¸n l  sü

mðrëng tü nhi¶n a tr÷ngλI t − A mët matrªn A ∈ M t (C), trongâ

Nh÷ v y, méi gi¡ tràri¶ng P (z) l  mët nghi»m a tr÷ng det(P (z))

Tªp hñp gi¡ trà ri¶ng P (z) ÷ñ kþ hi»u bði σ(P (z)) v ÷ñ gåi l  phê a

matrªn P (z)

Chó þ th¶m r¬ng trong tr÷íng hñp P (z) = zI t − A, a tr÷ng ma trªn

A ∈ M t (C), th¼ méigi¡ trà ri¶ng a ma trªn P (z) l  mët gi¡ trà ri¶ng matrªn A.Do â thº nâigi¡trà ri¶ng a matrªn l mët kh¡ini»m mðrënggi¡tràri¶ng mët matrªn

B i to¡n gi¡trà ri¶ng a (PolynomialEigenvalue Problem- PEP) l  t¼m mët gi¡

a matrªn mët bi¸n nhi·u ùng döng trong l¾nh nh÷ ph÷ìngtr¼nh vi

ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng, kÿ thuªt Wiener-Hopf, hå v lþ thuy¸t rung, gi£i h sè,

dò tm quan trång a matrªn l  kh¡ rã r ng nh÷ng t ili»u v· ¤i

sè tuy¸n t½nh v lþ thuy¸t ma trªn · v· nâ khæng nhi·u Hai tr¼nh u ti¶n

vi¸t y õ nh§t v· a ma trªn l  Frazer, v Collar [15℄ n«m 1955 v

[26℄ n«m 1966 C£ hai ·u ph¡t triºn lþ thuy¸t a ma trªn thæng qua lþ

thuy¸t h» rung.Chóng ta thº g°pa matrªnkhinghi¶n h» ph÷ìngtr¼nh

B¶n â, b ito¡ngi¡tràri¶ng QEP nhi·uùng döngv okhoahå v kÿ thuªt

Mëttêngquan v·nhúngùngdöng QEP ÷ñ tr¼nhb ytrong h Gohberg,

v Rodman [16℄, Hamarling,Munro v Tisseur [18℄ v Zeng v Su [56℄ ¢ ÷a

ra nhúng thuªt to¡n º gi£i b i to¡n QEP èi vîi b i to¡n PEP, v i nghi¶n v·

h°n hogi¡tràri¶ng a matrªn÷ñ thi¸tlªptheo hu©n h» sè

a matrªn ¢ ho h¯ngh¤n nh÷ tr¼nh Highamv Tisseur[22℄ Tuynhi¶n,

v h÷îng v t¼m nghi»m a mët bi¸n) l mët b ito¡n khâ Câ mët ph÷ìng

ph¡pl°pº t½nh gi¡tràri¶ngn y ÷ñ ÷arabði v Perotti[52℄ Hìnnúa,

t½nh gi£ phê a ma trªn trong [21℄ thæng tin v· phê, l ,

h¿ ra h°n thº º ành óng mët mi·n m°t ph¯ng hùa gi¡trà

ri¶ng â V¼th¸ t¼m h°n hogi¡ tràri¶ng a matrªn mët bi¸n l mët

l mr§t þ ngh¾a

B i to¡n u ti¶n m  hóng tæi tªp trung nghi¶n trong Luªn ¡n nh÷ sau

B i to¡n 1.Cho P (z) = A d z d + · · · + A 1 z + A 0 l  mët a ma trªn Ch¿ ra sè m

v  M "õ tèt" sao

m ≤ |λ| ≤ M, ∀ λ ∈ σ(P (z)),

l  ra "õ tèt" gi¡ tràri¶ng P (z)

Trong tr÷íng hñp t = 1, l  tr÷íng hñp a mët bi¸n vîi h» sè

B i to¡n n y ¢ ÷ñ nghi¶n bði nhi·u nh  to¡n hå thº kº ra ¥y k¸t qu£

hy [31, 33℄, Enestrom v Kakeya [31, 33℄, Joyal, Labelle v Rahman [24℄, Datt

v Govil [8℄,

º þ r¬ng n¸u A d l mët ma trªn suybi¸n, th¼ a z d P

 1 z



mët gi¡ tràri¶ng

b¬ng0,v n¸uA 0 l mëtmatrªnsuybi¸nth¼0l mëtgi¡tràri¶ng P (z).Doâ,trongLuªn ¡nn y hóng tæiluæn x²tnhúnga matrªn vîi h» sèA d v A 0 khæng suybi¸n, º tø ât¼m mët h°n tr¶n v mët h°n d÷îi ho gi¡trà ri¶ngλ

Trong tr÷íng hñp t > 1, t¼m h°n ho gi¡tràri¶ng a matrªn P (z)

theo hu©n (to¡n tû) matrªnh» sè¢÷ñ hi»n v tr¼nh b y trong b ib¡o

Higham v Tisseur [22℄ h h½nh u ti¶n hóng tæitrong Luªn ¡nl  gi£i

quy¸t B i to¡n 1,÷a ra h°n mîi"õ tèt" ho gi¡tràri¶ng a ma trªn,tø

âso s¡nh vîi h°n ÷ñ ÷a ra bði Highamv Tisseur

2 a ma trªn nhi·u bi¸n

Trong phn n y hóng tæitr¼nh b y mët sè v§n· li¶nquan ¸n a matrªn

sèbi¸n lînhìn 1 Tr÷î ti¶n, x²ttr÷íng hñp t = 1, l  x²t a sèbi¸n lînhìn mët

Cho f ∈ R[X] := R[X 1 , , X n ], G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X] Kþhi»u

X R[X] 2 =

( n X

i=1

f i 2 |f i ∈ R[X], n ∈ N

) ,

D¹ th§y n¸u f ∈ T G (hay M G ) th¼ f ≥ 0 tr¶n K G Do â, mët häi tünhi¶n°t ra

l  hi·u ng÷ñ l¤i i·u n y óng khæng? l ,

f ≥ 0 tr¶n K G = ⇒ f ∈ T G (hay M G )?

N¸u tr£líil óng, hóng ta ÷ñ mëtànhlþbiºudi¹nd÷ìng (Positivstellensatz),

hay ành lþ biºu di¹n khæng ¥m gativstellensatz) Trong mët sè t i li»u h¯ng

h¤n, [32℄), gi£sûdöng thuªt ngú hung l "Positivstellensatz" Doâ, trong to n

bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstellensatz (ành lþ biºu di¹n

d֓ng)

Trong tr÷íng hñp bi»t, G = ∅,ta häi:

f ≥ 0 tr¶n R n = ⇒ f ∈ X R[X] 2 ?

C¥u tr£ líi ho häi n y ÷ñ ÷a ra bði Hilbert (1888), h¿ ra r¬ng häitr¶n h¿

óngtrongbatr÷ínghñp bi»t sèbi¸nv f.Sauâ, t¤i¤i hëiTo¡n håth¸ giîi tê t¤i Paris n«m 1900, Hilbert ¢ ÷a ramët danh h gçm 23 "B i to¡n

th¸ k", trong sèâ, B i to¡n thù 17trong danh hn y ÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

B i to¡n thù 17 Hilbert: Cho f ∈ R[X] Kþ hi»u R(X) l  tr÷íng th÷ìng

v nh a R[X] Kþ hi»u

X

R(X) 2 =

( k X

N¸u f ≥ 0 tr¶n R n

, â suy ra ÷ñ hay khæng f ∈ P R(X) 2

?

Mëtsèv§n·li¶nquan ¸n biºudi¹nth nhtêngb¼nhph÷ìng a ph¥n

v B i to¡n thù 17 Hilbert ÷ñ hóng tæitr¼nh b y trong 1.2.1

nghi¶n ành lþ biºu di¹n d÷ìng âng vai trá quan trång trong b i to¡n

tèi÷u a v b ito¡n mæmen.Cö thº hìn, b i to¡n tèi ÷u a l  b ito¡n t¼m

tr¶n ÷ñ gåil  b i to¡n tèi ÷u a khæng r ng buë

B i to¡n tèi ÷u a ÷ñ nhi·u nh  nghi¶n quan t¥m tø l¾nh

nhau nh÷ ¤i sè quy h nûa ành v lþ thuy¸t to¡n tû Shor [51℄ l  ng÷íi

u ti¶n ¡pdöng mët kÿ thuªt tèi ÷u lçiº tiºu mët a nhi·ubi¸n khæng r ng

buë Nesterov [36℄ ¢ h¿ ra t½nh nân mæmen bði r ng buë nûa ành

trong tr÷íng hñp phn tû nân t÷ìng ùng l  a khæng ¥m thº vi¸t

÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng a Trong né gi£m bît a nhi·u bi¸n,

Lasserre [27℄ l  ng÷íi u ti¶n ¢ ¡p döng k¸t qu£ ¤i sè gn ¥y Putinar

[39℄ º thi¸tlªpmët d¢y nîilänghëitö¸n gi¡tràtèi÷u mët b ito¡ntèi÷u a

Sau ¥y hóng tæi minh håa rã hìn v· ùng döng ành lþ biºu di¹n d÷ìng

trong gi£iquy¸t b ito¡n tèi÷u a (xem, h¯ng h¤n, [28℄)

Biºu (0.1) thº vi¸t l¤id÷îi d¤ng

÷ñ huyºn sang t¼m supremum sè λ sao ho f − λ khæng

¥m d÷ìng) tr¶n K G º gi£i quy¸t b ito¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l thayth¸ i·uki»nkhæng¥mbðimët i·uki»nn oâìngi£n hìn,trongâ hùa

têng b¼nhph÷ìng, º thº ti¸p b¬ng h sûdöng Quy hnûa ành(SDP)

Vîiþ t÷ðng â, mët trong nhúng h º nîiläng i·u ki»n "f − λ ≥ 0 tr¶n K G" l  x²tbiºu di¹n f − λ d÷îi d¤ng

khæng d¨n ¸n mët Quy h nûa ành, bði v¼ hóng

takhæng h°n ÷ñ a t i trongbiºu di¹n f − λ º nhªn÷ñ mëtQuy h nûa ành, hóng tax²t sè nguy¶n k vîi

2k ≥ max{deg(f), deg(g 1 ), , deg(g m ) }.

Khi âf k sos,G ÷ñ t½nh qua mët Quy h nûa ành.Hìn núa,

f k sos,G ≤ f k+1 sos,G ≤ f sos,G ≤ f ∗

v lim

k→∞ f k sos,G = f sos,G

Ti¸p theo hóng tæi giîithi»u vai trá ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong gi£i

quy¸t b ito¡n mæmen D¤ngthù nh§t b ito¡n mæmen÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau

B ito¡nmæmen(d¤ng1)ChoK l mëttªp onângtrongR n

èi vîi tªp tªp âng trong R n

d¤ng K = K G, vîi G l  mët tªp húuh¤nn o âtrongv nh a R[X],mët d¤ng b ito¡n mæmen÷ñ ph¡t biºunh÷ sau

B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X]; K G , T G ÷ñ ành ngh¾a nh÷tr¶n N¸u L(f ) ≥ 0, ∀ f ∈ T G th¼ â tçn t¤i mët ë o Borel d÷ìng µ â gi¡ trong

vîimåi f ∈ R[X] hay khæng?

Chó þ r¬ng vîi f ∈ T G th¼ f ≥ 0 tr¶n K G Do â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn

b i to¡n mæmen d¤ng 1 Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n

K G th¼ hai b ito¡n tr¶n t÷ìng ÷ìngvîi nhau(qua ành lþHaviland) Ng÷íiå thºxemth¶mv·ùng döng ànhlþbiºudi¹n d÷ìngº gi£iquy¸t b ito¡nmæmen

trong t ili»u[28℄, [17℄

ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a ¢ nhªn ÷ñ nhi·u sü quan t¥m

nh to¡nhå Krivine(1964)v Stengle(1974)[25,54℄¢÷a rabiºudi¹n m¨u

ho a d÷ìng(t÷ìngùng, khæng ¥m, b¬ng khæng)tr¶n mët tªp nûa ¤isèâng

b£n t¼m ành lþ biºu di¹n d÷ìng "khæng m¨u hi»n v¨n ang thu hót

süquan t¥m nhi·u ng÷íi

N«m 1991, vîi t¼m líi gi£i ho B i to¡n mæmen b¬ng Gi£i h h m,

hmudgen [46℄ ¢ ÷a ra mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n tªp Cö thº,

hmudgen kh¯ng ành r¬ng: N¸u f > 0 tr¶n K G v  K G l tªp omp th¼ f ∈ T G.Mëttr÷ínghñp bi»t ànhlþ hmudgen÷ñ ÷aratr÷î âbðiHandelman

[19℄, biºu di¹n a d÷ìng tr¶n mët a di»n lçi,

÷a ramët i·u ki»nº £m b£o a d÷ìngtr¶n K G thuë v o M G khâhìn so vîi thuë v o T G Mët i·u ki»n nh÷ th¸ ÷ñ Putinar [39℄ ÷a ra n«m 1993, vîi

i·uki»n mæun haiM G l¤i,mëtmæun haiM trong v nha

R[X]÷ñ gåil  n¸utçnt¤isètünhi¶nk ∈ Nsao hok −(X 2

£mb£o ho a khæng¥m l  nghi»m)tr¶n K G thuë v oT G (t÷ìngùng,

M G) vîii·u ki»n K G (t÷ìngùng, M G

Biºu di¹n a d÷ìng (khæng ¥m) tr¶n mët tªp khæng trong R n

khâ hìn nhi·u Trong tr÷íng hñp K G khæng hweighofer (2006, [50℄) kh¯ng

ành r¬ng: Gi£ sû f ∈ R[X] bà tr¶n K G, v  f â húu h¤n gi¡ trà ti»m ªn trong

K G v  to n bë ·u d÷ìng Khi â, n¸u f > 0 tr¶n K G th¼ f ∈ T G

 n P

i=1

X 2 i

 N

f ∈ P R[X] 2

Têng qu¡t ho k¸t qu£ k, Putinar v V [40℄ ¢ ÷a ra mët ành

lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n mët tªp nûa ¤i sè âng b£n trong R n

Gn ¥y, n«m 2015,

kinson v Povh [10℄ ¢ k¸t hñp ành lþ Pâlya v ành lþ Putinar-V º ÷a ra

mët ành lþ biºu di¹n ho a d÷ìng tr¶n mët tªp nûa ¤i sè âng b£n

Kþ hi»u S t (R[X]) l  tªp hñp a ma trªn èi xùng t trong

M t (R[X]) Vîi méiF ∈ S t (R[X]) v G = {G 1 , , G m } ⊆ S t (R[X]), kþ hi»u

K G := {x ∈ R n |G i (x)< 0, i = 1, , m },

tªp nûa ¤isè âng b£n trongR n

ành bði G

¥y,vîiméia matrªn G ∈ S t (R[X])v vîiméix ∈ R n

,G (x)< 0÷ñ dòng

º kþ hi»u ho matrªn G (x)l  nûa ành d÷ìng, l  vîi måiv ∈ R t , v T G (x)v ≥ 0

Kþ hi»u G (x) ≻ 0 ÷ñ hiºu l  ma trªn G (x) l  ành d÷ìng, l  vîi måi v ∈

mæun hainhä nh§t tr¶n M t (R[X]) hùa G

Ti·n thù tü nhä nh§t hùa G s³ ÷ñ kþ hi»u bði T G Trong tr÷íng hñp G = ∅,

P

t R[X] := M ∅ = T ∅ l  tªp hñp têng húu h¤n nhúng phn tû d¤ng A T A,trong âA ∈ M t (R[X]), v nâl  mæun hainhä nh§t trong M t (R[X])

Rã r ng, n¸u F ∈ T G M G th¼ F < 0 tr¶n K G V§n · h½nh ti¸p theo hóng tæiquan t¥m trong Luªn ¡n nh÷ sau

B i to¡n 2 Cho F ∈ S t (R[X]), G = {G 1 , , G m } ⊆ S t (R[X]) Gi£ sû F ≻ 0 tr¶n K G.Vîi i·u ki»n n o th¼ F ∈ T G ho F ∈ M G

Li¶n quan ¸n b i to¡n n y, herer v Hol [44℄ ¢ ÷a ra mët d¤ng ma trªn biºu

Cimpri[6℄ ÷a ra d¤ng matrªn ho ành lþ Krivine-Stengle;Cimpriv Zalar [7℄¢

nghi¶n b i to¡n mæmen ho a to¡n tû v hå¢ ÷a ramët d¤ng ma trªn

hoànhlþ hmudgen;L¶CængTr¼nh [29℄¢÷a ramëtd¤ngmatrªn hoànhlþ biºu

di¹n d÷ìng Krivine-Stengle, hweighofer, heiderer, Chi ti¸t ho k¸t qu£ n y

÷ñ hóng tæitr¼nh b y trong 1.4 Ch÷ìng 1

D¤ngmatrªn hoànhlþ biºudi¹nd÷ìng Pâlya[37℄âng mëtvaitráquan trång

trong lþ thuy¸t i·u khiºn Hu h¸t b i to¡n i·u khiºn tuy¸n t½nh ·u d¨n ¸n

b§t ¯ng ma trªn.R§t nhi·u trong sè b i to¡n n y thº gi£i÷ñ khi b§t

¯ng ma trªn l tuy¸n t½nh.Rã hìn, mët b§t ¯ng ma trªn tuy¸n t½nh (Linear

MatrixInequality - LMI) d¤ng

L(X) := A 0 + A 1 X 1 + + A n X n ≻ 0, (0.4)

trongâX = (X 1 , , X n )l nbi¸n v A 0 , A 1 , , A n ∈ S n (R)l  matrªnèixùng

ho tr÷î B§t ¯ng (0.4) h¿ ra L(x) ành d÷ìng, l , v T L(x)v > 0, ∀ v ∈

R n \ {0} Khi â, mi·n ành LMI l 

G := {x ∈ R n |L(x) ≻ 0}.

ành lþ biºu di¹n d÷ìng Pâlya ho a ma trªn [44℄ kh¯ng ành r¬ng: Gi£ sû F

l  mët a ma trªn èi xùng thun nh§t b d N¸u F ≻ 0 tr¶n △ n th¼ tçn t¤i sè tünhi¶n N sao

h h½nh ti¸p theo hóng tæitrong Luªn¡nl gi£iquy¸t B ito¡n 2,÷ara

d¤ng matrªn ho ành lþ biºu di¹n d÷ìng Putinar-V kinson-Povh v

Handelman

Ngo i Danhm kþ hi»u, Líimðu, Danh h tr¼nh

gi£li¶n quan ¸n Luªn ¡n, T i li»utham kh£o v K¸t luªn, nëidung h½nh Luªn ¡n

÷ñ hóng tæitr¼nh b y trong ba h÷ìng

Trong Ch÷ìng 1 hóng tæi nhúng kh¡ini»m v k¸tqu£ b£n ÷ñ sûdöng

trong Luªn ¡n gçm: Sü ph¥n bè nghi»m a mët bi¸n, B i to¡n thù 17

Hilbert v mët sèành lþ biºu di¹n d÷ìng,B i to¡n mæmenv B i to¡n tèi ÷u a

d¤ng matrªn ho mët sèànhlþ biºu di¹n d÷ìng.Cuèi h÷ìng hóng tæi÷a rak¸tqu£

mîiv·mèi li¶nh» giúa t½nh d÷ìng a ma trªn v thun nh§t hâa nâ

Trong Ch÷ìng 2 hóng tæi÷a ramët sè h°n ho gi¡trà ri¶ng a ma trªn

Cö thº, hóngtæi¢÷a ramëtsèd¤ng matrªn hoành lþEnestrom-Kakeya ành

lþ2.1.2, 2.1.3,2.1.4).Mëtsèd¤ngmatrªn ho ành lþd¤ng hy ÷ñ hóng

tæi ÷a ra trong ành lþ 2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14, 2.2.16, 2.2.17

Cuèi h÷ìng,trong 2.3, hóngtæitr¼nhb y b£ngsos¡nh h°n¢¤t÷ñ trong

h÷ìngn y vîi h°n ÷ñ ÷arabðiHighamv Tisseur[22℄ tr¶n v½dö v phn

m·m t½nh to¡n

Trong Ch÷ìng 3 hóng tæi nghi¶n ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a

ma trªn Cö thº, hóng tæi ÷a ra d¤ng ma trªn ho ành lþ biºu di¹n d÷ìng

Putinar-V k, kinson-Povh v Handelman Ri¶ng èi vîi d¤ng ma trªn

ho ành lþ Handelman, hóng tæi÷a ra mët thõ º t¼m biºu di¹n ho mët a

matrªn ành d÷ìngtr¶n mët adi»n lçitrong R n

§nph©m [13℄ v ¢÷ñ b¡o t¤i:

• Hëith£oTo¡nhå Mi·nTrung-T¥ Nguy¶nlnI,Tr÷íng¤ihå QuyNhìn,B¼nh

ành, 12-14/08/2015;

• Hëith£o què t¸ The 6th International onMatrix Analysisand

Appli-(ICMAA), Tr÷íng ¤i hå Duy T¥n,   N®ng, 15-18/06/2017;

• Hëi th£o què t¸ String-Math 2018, Tr÷íng ¤i hå Tohoku, Sendai, Nhªt B£n,18-22/06/2018;

• Hëith£oquè t¸The7thInternational onMatrixAnalysisand

tions(ICMAA 2018),Tr÷íng ¤ihå Shinshu,Nagano, NhªtB£n,22-25/06/2018;

• SeminarKhoa To¡n, Tr÷íng ¤i hå QuyNhìn, B¼nh ành;

• ¤i hëi To¡n hå Vi»t Nam ln thù IX, Tr÷íng ¤i hå Thæng tin Li¶n 18/08/2018

14-B¼nhành, th¡ng 11 n«m 2018

T gi£

D÷ Thà HáaB¼nh

Mët sè k¸t qu£ hu©n bà

Trong h÷ìng n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ hu©n bà ho h÷ìng

l¤i Luªn ¡n Sü ph¥n bè nghi»m a mët bi¸n nh÷ ành lþ hy [31, 33℄

v mët sè ành lþ d¤ng hy, ành lþ Enestrom-Kakeya [53, Corollary 3℄ ÷ñ tr¼nh

b y trong 1.1 Chóng tæi s³ tr¼nh b y mët sè ành ngh¾a b£n trong H¼nh hå ¤i

sè ÷ñ h d¨n tø tr¼nh hmudgen [45, 47, 48℄, Cimpri[5, 6℄ v

Marshall [32℄ trong 1.2  ¥y hóng tæi tr¼nh b y mët sè ành lþ biºu di¹n

d÷ìng hoa Mët sèành lþ biºu di¹n d÷ìng ho a matrªn ÷ñ hóng tæi

tr¼nh b y trong 1.4 Ùng döng ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong B i to¡n tèi

÷u a v B i to¡n mæmen s³ ÷ñ hóng tæitr¼nh b y trong 1.3 Cuèi h÷ìng

hóng tæi ÷a ramët sèk¸t qu£mîiv· mèili¶nh» giúa t½nh d÷ìng a matrªn

v thun nh§t hâa nâ

B i to¡n t¼m nghi»m a mët bi¸n l  mët trong nhúng b i to¡n b£n

¤i sè Tuy nhi¶n t¼m h½nh nghi»m a mët bi¸n khæng ph£i

n o d¹ d ng Do â, thay v¼ t¼m nghi»m a hóng ta t¼m mi·n hùa

nghi»m nâ èi vîi a h» sè ta d¤ng t÷ìng ÷ìng sau ¥y

ành lþ Enestrom-Kakeya

ành lþ 1.1.1 (Enestrom-Kakeya, d¤ng 1, [53, Corollary 3℄) Cho f (z) l  mët a

b d

f (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + · · · + a 1 z + a 0 , a i ∈ R, ∀i = 0, , d.

Khi â, måi nghi»mz ∈ C f (z) thäa m¢n



Trong tr÷íng hñp a f (z) |a d | > |a i |, ∀i = 0, , d − 1, th¼ M < 1 Khi â,hóng tanhªn ÷ñ mët h» qu£sau

H» qu£ 1.1.4 ([9, Theorem 2.2℄) Cho f (z) =

a a i

d

Khi â, måi nghi»m a f (z) n¬m trong ¾a

K(0, r 1 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r 1 },

trong â, r 1 l  nghi»m d÷ìng lîn nh§t ph÷ìng tr¼nh

z d+1 − (1 + M)z d + M = 0.

p döng ànhlþ 1.1.6 hoa (1 − z)f(z), hóng ta nhªn ÷ñ h» qu£sau.H» qu£1.1.7 ([9, Theorem3.3℄) Chof (z) =

a d−i − a a d−i−1

d

, a −1 := 0.

Khi â, måi nghi»m a f (z) n¬m trong ¾a

K(0, r 2 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r 2 },

trong â, r 2 l  nghi»m d÷ìng lîn nh§t ph÷ìng tr¼nh

z d+2 − (1 + f M )z d+1 + f M = 0.

H» qu£ sau ¥y l  mët k¸t qu£ t÷ìngtü ànhlþ 1.1.3

H» qu£ 1.1.8 ([9,Theorem 3.4℄) Chof (z) = P d

i=0

a i z i

l mët a b d Khi â,måi nghi»m a f (z) n¬m trong ¾a

K(0, r 3 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r 3 },

trong â, r 3 = 1 + f M v  M f÷ñ ành nh÷ trong H» qu£ 1.1.7

Ch°n tr¶n sau ¥y Joyal-Labelle-Rahman [24℄ trong nhi·u tr÷ínghñp l  tèt hìn

sovîi h°n hy

ành lþ 1.1.9 (Joyal, Labelle, Rahman, [24℄) Cho f (z) = P d

a a i

d

.

Khi â, måi nghi»m f (z) thäa m¢n

1.2.1 B i to¡n thù 17 Hilbert v  ành lþ Artin

Cho f ∈ R[X]l mëta theon bi¸nX 1 , , X n.N¸uf biºudi¹n÷ñ th nhtêngb¼nh ph÷ìng húu h¤n a trong R[X] th¼ rã r ng f khæng ¥m tr¶n R n

Khi â, f â thº biºu di¹n ÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng a trong R[X]

n¸u v  n¸u mët trong i·u ki»n sau thäa m¢n:

n = 1;

d = 2;

n = 2, d = 4

Nh÷ th¸, ngo i batr÷íng hñp ÷ñ Hilbert ÷a ra,èivîi méi sètü nhi¶n n ≥ 2

v d ≥ 4,luæn tçn t¤imëta nbi¸n d,khæng ¥mtr¶nR n

nh÷ng khæng thº biºu di¹n ÷ñ th nh têng b¼nh ph÷ìng a

trongR[X, Y ]([32,Proposition1.2.2℄).Tuynhi¶n, hóng ta thº biºudi¹nM(X, Y ) bðitêng b¼nh ph÷ìng ph¥n nh÷ sau:

T¤i¤ihëiTo¡nhå th¸giîitê t¤iParisn«m 1900,Hilbert¢·nghà mëtdanh

hgçm 23"B i to¡n th¸ k", trong sèâ, B ito¡n thù 17÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

B i to¡n thù 17 Hilbert Cho f ∈ R[X] N¸u f ≥ 0 tr¶n R n

N«m 1927,Artin ¢÷a ra tr£líi sau ho B ito¡n thù 17 Hilbert

ành lþ 1.2.2 (Artin, [1℄) Chof ∈ R[X] N¸u f khæng ¥m tr¶n R n

Cho Al mët v nh giaoho¡n ìn và1 Kþhi»u

Chó þ 1.2.4 Cho A l  mët v nh giaoho¡n ìn và 1.Khi â,

(1) Méiti·n thù tütr¶n A l  mët mæun haitr¶n A

÷ñ gåil  mët tªp nûa ¤i sèn¸u nâ l  hñp húu h¤n

tªp nûa ¤isè b£n trong R n

Cho G = {g 1 , , g m } l mët tªp R[X].Khi â,

• Tªphñp K G = {x ∈ R n |g 1 (x) ≥ 0, , g m (x) ≥ 0}l  mët tªp nûa ¤isè, ÷ñ gåil mët tªp nûa ¤i sè âng ì b£n trong R n

N¸u tr£ líi l  óng, hóng ta ÷ñ mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng

(Positivstel-lensatz), hay ành lþ biºu di¹n khæng ¥m gativstellensatz) Trong mët sè t i li»u

h¯ng h¤n, [32℄), gi£ sû döng thuªt ngú hung l  "Positivstellensatz" Do â,

trong to n bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt ngú Positivstellensatz (ành lþ

biºu di¹n d÷ìng)

Mët biºu di¹n m¨u ho a d÷ìng (t÷ìng ùng, khæng ¥m, b¬ng

khæng) tr¶n K G ÷ñ ÷a rabðiKrivine (1964) v Stengle(1974), thº nh÷ sau

ành lþ 1.2.6 (Krivine-Stengle, [25, 54℄) Cho mët tªp on G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X] v mët a f ∈ R[X] Khi â:

(i) f > 0 tr¶n K G n¸u v  n¸u tçnt¤i p, q ∈ T G sao pf = 1 + q

(ii) f ≥ 0 tr¶n K G n¸u v  n¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n m ≥ 0 v  p, q ∈ T G sao

¥m, b¬ngkhæng) tr¶n tªp K G luæn "m¨u t¼m biºu di¹n "khængm¨u

ho a d÷ìng(t÷ìngùng, khæng ¥m, b¬ng khæng)tr¶n mët tªp nûa ¤isèâng

b£n l mët v§n · quan trång v nhi·u ùng döng trong gi£iquy¸t b ito¡n tèi

÷u a nh÷ b ito¡n mæmen.ànhlþ biºu di¹nd÷ìng khæng m¨u u ti¶n

÷ñ ÷a ra bði hmudgen, thº nh÷ sau

ành lþ 1.2.7 hmudgen, [46,Corollary 3℄) Gi£ sû K G omp N¸u f > 0 tr¶n K G

th¼ f ∈ T G

Mët tr÷íng hñp bi»t ành lþ 1.2.7 ÷ñ ÷a ra bði Handelman (1988, [19℄),

biºu di¹n ho a d÷ìng tr¶n mët adi»n lçi, thº nh÷ sau

Cho P l  mët a di»n lçi, vîi phn trong réng, vîi bi¶n ành bði

a tuy¸n t½nhλ 1 , , λ k ∈ R[X].Khi â, hóng ta thº hån d§u λ i sao ho

P = {x ∈ R n |λ i (x) ≥ 0, ∀i = 1, , k}.

ành lþ 1.2.8 (Handelman, [19℄) Cho a di»n P nh÷ tr¶n v  gi£ sû a f ∈ R[X]

l d÷ìng tr¶n P Khi â, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n m ∈ N sao

H» qu£ 1.2.9 Cho mët a f ∈ R[X], n¸u f (x) > 0 vîi måi x ∈ P, th¼ f â thº

÷ñ biºu di¹n nh÷ sau

N«m 1993, Putinar [39℄ ¢ ÷a ra i·u ki»n èi vîi mæun hai M G ºnhªn ÷ñ k¸tqu£ sau.

ành lþ 1.2.10 (Putinar, [39℄) Gi£ sû M G Khi â, n¸u f > 0 tr¶n K G th¼

f ∈ M G

Chó þ r¬ng n¸u M G th¼ T G Hìn núa, T G n¸u v h¿ n¸u

K G ([31, Theorem 6.1.1℄).Do â i·u ki»n M G m¤nh hìn i·u ki»n

thun nh§t ÷ñ hóng tæitr¼nh b y sau ¥y

ành ngh¾a 1.2.12 (Fiedler, [14℄) Cho {v 0 , , v n } l  mët h» ë lªp affine trong R n

ành ngh¾a 1.2.13 (Marshall,[32℄) Mëta f ∈ R[X] ÷ñ gåil  thun nh§t

d n¸u

f (λX 1 , · · · , λX n ) = λ d f (X 1 , · · · , X n ),

vîi måiλ 6= 0

L÷u þ r¬ng méia d khæng f ∈ R[X] thº ph¥n h ÷ñ mët hduynh§t d÷îi d¤ng

N«m 1995, k ¢÷a ramët ành lþ biºu di¹n d÷ìngnh÷ sau

ành lþ 1.2.15 k, [41℄) Cho f ∈ R[X] l  mët a thun nh§t b N¸u

f > 0 tr¶n R n \ {0} th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r sao

(X 2

1 + · · · + X 2

n ) r f ∈ P R[X] 2

Têng qu¡t ho ành lþ k, Putinar v V [40, Theorem 4.2℄ ¢nghi¶n

biºu di¹n a thun nh§t d÷ìng tr¶n tªp nûa ¤i sè âng b£n

trong R n

ành lþ 1.2.16 ([40,Theorem 4.2℄) Chof, g 1 , · · · , g m ∈ R[X] l  a thun nh§t

b v  gi£ sû f > 0 tr¶n K G \ {0}, trong â G = {g 1 , · · · , g m } Khi â, tçn t¤i mët

sè nguy¶n r ≥ 0 sao

(X 2

1 + · · · + X 2

n ) r f ∈ M G

ph¡t biºu khæng thun nh§t ho ành lþ tr¶n ÷ñ tr¼nh b y trong 1.5.

Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y ùng döng ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong

tèi÷u a v gi£iquy¸tb ito¡nmæmen k¸tqu£÷ñ tr¼nhb y ð¥y ÷ñ h

tø[32℄ v [28℄

1.3.1 B i to¡n tèi ÷u a

B i to¡n tèi ÷u a l  b ito¡n t¼m

÷ñ huyºn sang t¼m supremum sè λ sao ho f − λ khæng

¥m d÷ìng) tr¶n K G º gi£i quy¸t b ito¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l 

têng b¼nhph÷ìng, º thº ti¸p b¬ng h sûdöng Quy hnûa ành(SDP).

Vîiþ t÷ðng â, mët trong nhúng h º nîiläng i·u ki»n "f − λ ≥ 0 tr¶n K G" l  x²tbiºu di¹n f − λ d÷îi d¤ng

l ,nîilängi·uki»n"f −λ ≥ 0tr¶nK G"th nh"f −λ ∈ M G"

i·un y d¨n ¸n x²tb i to¡n

döng ànhlþ biºu di¹n d÷ìng Putinar (ành lþ 1.2.10) ta ÷ñ k¸tqu£ sau

H» qu£ 1.3.1 Cho G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X] v  f ∈ R[X] Gi£ sû M G Khi â

f ∗

sos,G = f ∗

Tuy nhi¶n t¼m f sos,G

khæng d¨n ¸n mët Quy h nûa ành, bði v¼ hóng

takhæng h°n ÷ñ a t i trongbiºu di¹n f − λ º nhªn÷ñ mëtQuy h nûa ành, hóng tax²t sè nguy¶n k vîi

2k ≥ max{deg(f), deg(g 1 ), , deg(g m ) }.

Khi âf k sos,G ÷ñ t½nh qua mët Quy h nûa ành.Hìn núa,

f k sos,G ≤ f k+1 sos,G ≤ f sos,G ≤ f ∗

v lim

k→∞ f k sos,G = f sos,G

1.3.2 B i to¡n mæmen

D¤ng thù nh§t iºn) b i to¡n mæmen÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:

B i to¡n mæmen (d¤ng 1) Cho K l  mët tªp on âng trong R n

Cho L : R[X] → R

l mët phi¸mh m tuy¸n t½nh Câtçnt¤i hay khæng mët ëo Boreld÷ìng µvîigi¡trong K sao vîi måi f ∈ R[X],

ành lþ 1.3.2 (Haviland, [20℄) i·u ki»n n v  õ º tçnt¤i mët ë o Boreld÷ìng µ

vîigi¡ trong K sao vîi måi f ∈ R[X] ta â

Mët d¤ng b i to¡n mæmen÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau

B i to¡n mæmen (d¤ng 2) Cho G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X] Kþ hi»u K G , T G nh÷ tr¶n.N¸u L(f ) ≥ 0 vîi måi f ∈ T G th¼ â tçn t¤i hay khæng mët ë o Borel d÷ìng µ â gi¡trong K G sao vîimåi f ∈ R[X] ta â

L(f ) =

Z

K G

f dµ?

Chó þ r¬ng, vîi f ∈ T G th¼ f ≥ 0 tr¶n K G Do â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn

b i to¡n mæmen d¤ng 1 Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta mët ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n

K G th¼ haib ito¡ntr¶n t÷ìng÷ìng vîi nhau(quaành lþHaviland).Ng÷íiå thºxemth¶mv·ùng döng ànhlþbiºudi¹n d÷ìngº gi£iquy¸t b ito¡nmæmen

trong t ili»u[28℄, [17℄

Mët h» qu£ ành lþ Haviland, ành lþ hmudgen v ành lþ Putinar èi vîi b i

to¡n mæmen÷ñ honh÷ sau

H» qu£ 1.3.3 Cho G = {g 1 , , g m } ⊆ R[X] Gi£ sû K G omp (t÷ìng ùng, M G

Gåi L : R[X] → R l  mët phi¸m h m tuy¸n t½nh thäa m¢n L(f ) ≥ 0, ∀f ∈ T G

(t÷ìng ùng, ∀f ∈ M G) Khi â tçn t¤i mët ë do d÷ìng µ vîigi¡ trong K G saovîimåi f ∈ R[X] ta â

Trong phn n y hóng tæis³ tr¼nhb y d¤ng matrªn ành lþ biºudi¹n d÷ìng

÷ñ tr¼nhb y trong 1.2.2.Tr÷î h¸t hóng tæi mët sèkþ hi»uv kh¡ini»m li¶n

quan Vîiméisètü nhi¶n khæng t, kþ hi»u M t (R[X]) l v nh a matrªn

Kþ hi»u S t (R[X]) l  v nh M t (R[X]) gçm a matrªn èi xùng Gåi I t

Mæun hainhä nh§t tr¶n M t (R[X]) hùa mët tªp ho tr÷î G S t (R[X])

s³÷ñ kþ hi»u bðiM G D¹ kiºm tra÷ñ

M G =

( X

i,j

A T ij G i A ij |G i ∈ G ∪ {I t }, A ij ∈ M t (R[X])

)

ð ¥y

Q

G ′

l  tªp hñp t§t £ húu h¤n nhúng phn tû trong tªp hñp G ′ := {v T Gv |G ∈ G, v ∈ (R[X]) t }

Trongtr÷ínghñpG = ∅,

P

t R[X] := M ∅ = T ∅ l tªphñp tênghúuh¤n nhúngphn tû d¤ngA T A, trongâ A ∈ M t (R[X]), v nâl  mæun hainhä nh§t trong

M t (R[X])

Vîimët mæun haiM trongR[X], kþ hi»u

M t :=

( X

i

m i A T

i A i |m i ∈ M, A i ∈ M t (R[X])

)

.MatrªnA÷ñ gåil nûa ànhd÷ìngtr¶nK,kþhi»uA < 0

tr¶n K, n¸u vîimåix ∈ K, vîi måiv ∈ R t , v T A (x)v ≥ 0

A ÷ñ gåil  ành d÷ìngtr¶n K, kþ hi»u A ≻ 0 tr¶nK,n¸u vîimåix ∈ K, vîi måi

Chóng ta ¢ bi¸t r¬ng måima trªn èi xùng trong M t (R)·u thº h²o hâa ÷ñbði mët ma trªn giao Tuy nhi¶n i·u n y khæng óng èi vîi a ma

trªnèixùng,bðiv¼matrªn giaot÷ìngùngkhæng thuë M t (R[X]).Tuynhi¶n,n«m2009, hmudgen[48℄¢ h¿rar¬ngmåia matrªnèixùng ·u thº h²o

hâa ÷ñ theo h sau ¥y

Bê · 1.4.5 ([48, Corollary 9℄) Cho A ∈ S t (R[X]) Khi â, tçn t¤i a

khæng b, d j ∈ R[X], j = 1, · · · , r, r ≤ t, v  ma trªn X + , X − ∈ M t (R[X]) sao

X + X − = X − X + = bI t , b 2 A = X + DX T

+ , D = X − AX T

− ,

trong â, D = D(d 1 , · · · , d r ) l  ma trªn ÷íng o trong M t (R[X])

Chó þ 1.4.6 Cho A , D nh÷ trong Bê · 1.4.5 v mët tªp K ⊆ R n

N¸u A ≻ 0

(t÷ìngùng A < 0)tr¶n K th¼ D ≻ 0 (t÷ìng ùng D < 0) tr¶n K

Vîi ànhlþ biºudi¹nd÷ìng hoa ÷ñ tr¼nh b ytrong 1.2.2, hóngta

k¸t qu£ t÷ìng tü ho a matrªn t÷ìng ùng Tr÷î h¸t l d¤ng ma

trªn ho ànhlþ biºu di¹n d÷ìng Artin ÷ñ tr¼nh b y bði hmudgen[48℄ nh÷ sau

ành lþ 1.4.7 ([48,Proposition10℄) ChoA ∈ S t (R[X]) N¸u A (x) < 0 vîimåix ∈ R n

,

th¼ tçnt¤i mëta khæng c ∈ R[X] v  ma trªn A i ∈ M t (R[X]), i = 1, · · · , k,sao

ành lþ 1.4.8 ([29℄) ChoG ⊆ S t (R[X]), G ⊆ R[X], K G , K G , T G v  T G ÷ñ ành nh÷tr¶n Cho a ma trªn F ∈ S t (R[X]) Khi â:

(i) F ≻ 0 tr¶n K G n¸u v  n¸u tçn t¤i mët a ma trªn X − ∈ M t (R[X]) v 

ma trªn ÷íng o S v  T â h» tû thuë T G sao

S (X − FX T

− ) = (X − FX T

− )S = I t + T;

(ii) F < 0 tr¶n K G n¸u v  n¸u â mët sè nguy¶n m ≥ 0, mët ma trªn X − ∈

ành lþ 1.4.11 ([44℄) Cho G ⊆ S t (R[X]) Gi£ sû M G l  Khi â, n¸u F ≻ 0

tr¶n K G th¼ F ∈ M G

º tr¼nh b y ành lþ biºu di¹n d÷ìng Pâlya ho a ma trªn hóng tæi

mët sèkþ hi»u sau ¥y Vîi méitªp a h¿sè α = (α 1 , · · · , α n ) ∈ N n

ành lþ 1.4.12 ([44℄) Cho a ma trªn F ∈ S t (R[X]) Gi£ sû F thun nh§t b d

v  F < λI t tr¶n ∆ n, vîiλ l mët sè d÷ìng N¸u N > d(d − 1)L(F)

2λ − dth¼ måih» sè a ma trªn (X 1 + · · · + X n ) N F ·u ành d÷ìng

D¤ng ma trªn ho ành lþ biºu di¹n d÷ìng k, Putinar v V

kinson v Povh,Handelman l  k¸tqu£ mîi hóng tæi,s³÷ñ tr¼nh b y trong

Ch÷ìng 3 Luªn ¡n

Nh÷ hóng ta ¢ th§y ð 1.2, ành lþ biºu di¹n d÷ìng Pâlya, k,

Putinar-V kinson-Povh ÷ñ ph¡t biºu ho a thun nh§t, v nâi

hung khæng óng ho a b§t ký º ph¡t biºu ành lþ tr¶n ho a

sovợi hn hy

nh lỵ... class="text_page_counter">Trang 23

nh lỵ 1.1.9 (Joyal, Labelle, Rahman, [24) Cho f (z) = P d

a a i...