Phân tích động tấm mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm

Các kết quả phân tích số được triển khai nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của những yếu tố quan trọng đến ứng xử của tấm, ví dụ như vận tốc ban đầu, gia tốc hãm, khối lượng, độ cứng và hệ số cản

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LÊ VĂN TƯ

PHÂN TÍCH ĐỘNG TẤM MINDLIN

TRÊN NỀN ĐÀN NHỚT CHỊU TẢI TRỌNG HÃM

Chuyên ngành : Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Mã số ngành : 60580208

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2016

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Cán bộ hướng dẫn: PGS TS Lương Văn Hải

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Đào Đình Nhân

Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS TS Nguyễn Thị Hiền Lương

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng 01 năm 2016

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 Chủ tịch hội đồng : PGS TS Bùi Công Thành

2 Thư ký hội đồng : TS Cao Văn Vui

3 Ủy viên Phản biện 1 : TS Đào Đình Nhân

4 Uỷ viên Phản biện 2 : PGS TS Nguyễn Thị Hiền Lương

5 Uỷ viên hội đồng : PGS TS Nguyễn Văn Hiếu

i

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ngày, tháng, năm sinh: 01/10/1990 Nơi sinh: Thừa Thiên Huế Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Mã số ngành : 60580208

I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích động tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Thiết lập các ma ưận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản cho các phần tử kết cấu tấm chịu tải họng hãm sử dụng phương pháp phần tử chuyển động

2 Phát triển thuật toán, lập trình tính toán bằng chương trình Matlab để giải hệ phương trình động tổng thể của bài toán

3 Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của chương trình với kết quả các bài báo tham khảo

4 Tiến hành thực hiện các ví dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các nhân tố quan trọng đến ứng xử động của kết cấu tấm, từ đó rút ra các kết luận và kiến nghị

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 04/12/2016

Tp HCM, ngày tháng năm 2017

PGS TS Lương Văn Hải

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

ii

LỜI CẢM ƠN

Luận văn thạc sĩ Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp nằm trong hệ thống bài luận cuối khóa nhằm hang bị cho học viên cao học khả năng tự nghiên cứu, biết cách giải quyết những vấn đề cụ thể đặt ra trong thực tế xây dựng Đó là trách nhiệm và niềm tự hào của mỗi học viên cao học

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng và nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiều từ tập thể và các cá nhân Tôi xin ghi nhận và tỏ lòng biết ơn tới tập thể và các cá nhân đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó

Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS TS Lương Văn Hải Thầy gợi ý về cách thực hiện đề tài, góp ý cho tôi rất nhiều về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu, cách tiếp cận nghiên cứu hiệu quả cũng như giúp đỡ tôi vượt qua các khó khăn trong quá trình nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng, trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh đã truyền dạy những kiến thức quý giá cho tôi, đó cũng là những kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học

và sự nghiệp của tôi sau này

Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản thân, tuy nhiên không thể không có những thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô chỉ dẫn thêm để tôi bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn

Xin trân họng cảm ơn

Tp HCM, ngày 01 tháng 12 năm 2016

Lê Văn Tư

iii

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Xu hướng làm kết cấu đường bằng bê tông đang gia tăng tại Thành Phố Hồ Chí Minh cũng như các nước đang gia tăng, đặt biệt là tại các tuyến đường huyết mạch có mật độ lưu thông cao của các loại xe có tải họng lớn Mặc khác, việc sử dụng kết cấu mặt đường bê tông trong các sân bay cũng rất rộng rãi Ý tưởng của luận văn xuất phát từ thực tế là phân tích tấm bê tông nền đường như là tấm Mindlin và tải họng tác động là tải họng hãm trong quá trình chuyển động

Luận văn tập trung phân tích ứng xử động của tấm Mindlin sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) Ngược lại với phương pháp phần

tử hữu hạn thông thường (FEM-Finite Element Method), phương pháp MEM xét các phần

tử là chuyển động trong khi tải trọng là đứng yên so với tấm Luận văn sẽ thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng, ma trận cản cho kết cấu tấm dày Mindlin, đồng thời phân tích ứng xử của tấm khi chịu tải trọng hãm Ảnh hưởng của sự tương tác giữa đất nền và tấm cũng được xét đến với nền Winkler và nền Pasternak Các kết quả phân tích số được triển khai nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của những yếu tố quan trọng đến ứng xử của tấm, ví

dụ như vận tốc ban đầu, gia tốc hãm, khối lượng, độ cứng và hệ số cản của đất nền, tác động qua lại giữa các vị trí chịu tải trọng

Các kết quả nghiên cứu trong luận văn có thể là một trong những tài liệu tham khảo hữu ích cho các nghiền cứu chuyên sâu hơn về sau

4

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy PGS TS Lương Văn Hải

Các kết quả trong luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác

Tôi xin chịu hách nhiệm về công việc thực hiện của mình

Tp HCM, ngày 01 tháng 12 năm 2016

Lê Văn Tư

MỤC LỤC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC sĩ i

LỜI CẢM ƠN ii

TÓM TẮT LUẬN VÀN THẠC sĩ iii

LỜI CAM ĐOAN iv

MỤC LỤC V DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH viii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIÊU X MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xi

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu 1

1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài 4

1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước 5

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước 8

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 9

1.4 Cấu trúc luận văn 10

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 11

2.1 Lý thuyết tấm Mindlin 11

2.1.1 Giới thiệu tổng quát 11

2.1.2

Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng - chuyển vị 13

2.1.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất - biến dạng 15

2.1.4

Phương trình năng lượng của tấm 17

2.2 Phần tử đẳng tham số 18

2.2.1 Khái niệm phần tử đẳng tham số 18

2.2.2 Hệ tọa độ địa phương phần tử đẳng tham số Qỹ 18

2.2.3 Phép tích phân số - Phép cầu phương Gauss 21

2.3 Thiết lập công thức ma trận kết cấu tấm Mindlin trên nền đàn nhớt sử dụng phần tử chuyển động MEM 22

2.4 Tải trọng 27

2.4.1 Tải trọng hãm 27

2.4.2 Qui tải tập trung thành tải trọng tác động tại bốn bánh xe 29

vi

2.5 Phát triển phần tử MEM trong phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền

Pasternak 30

2.6 Giải pháp thực hiện 33

2.7 Phương pháp Newmark 35

2.8 Thuật toán sử dụng trong luận văn 37

2.8.1 Thông số đầu vào 37

2.8.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị 38

2.8.3 Giải bài toán theo dạng gia tốc 39

2.8.4 Độ ổn định và hội tụ của phương pháp Newmark 39

2.9 Lưu đồ tính toán 39

CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 41

3.1 Kiểm chứng giải thuật và khảo sát độ hội tụ 43

3.1.1 Bài toán 1: Kiểm tra sự hội tụ và độ tin cậy của chương trình khi tính toán với bài toán tĩnh 43

3.1.2 Bài toán 2: Kiểm tra sự hội tụ của chương trình khi tính toán với bài toán động 48

3.1.3 Bài toán 3: Kiểm tra độ tin cậy của chương trình khi tính toán với bài toán động 49

3.2 Phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của tải trọng hãm 52

3.2.1 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm khi gia tốc hãm thay đổi 52

3.2.2 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm khi vận tốc ban đầu thay đổi 53

3.2.3 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm khi khối lượng vật thay đổi 54

3.2.4 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm khi hệ số ma sát động thay đổi 56

3.2.5 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm khi chiều dày tấm thay đổi 57

3.2.6 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm khi tải trọng của xe di chuyển được quy thành bốn tải trọng tập trung tương ứng tại vị trí bánh xe 63

3.2.7 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động của tấm trên nền Pasternak chịu tải trọng hãm 68

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 70

4.1 Kết luận 70

vii

4.2 Kiến nghị 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 78

8

DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Máy bay trên đường băng [1 ] 1

Hình 1.2 Kết cấu tấm nền đường hầm Thủ Thiêm - Tp Hồ Chí Minh [2] 2

Hình 1.3 Mô hình tải họng di động và phần tử tấm cố định (FEM) [3] 3

Hình 1.4 Mô hình tải họng cố định và phần tử tấm chuyển động (MEM) [4] 3

Hình 1.5 Hai pha của tải trọng hãm 4

Hình 2.1 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Kirchhoff 12

Hình 2.2 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Mindlin 13

Hình 2.3 Mô hình tấm Mindlin trên nền đàn nhớt 14

Hình 2.4 Quy ước chiều dương của chuyển vị w và hai chuyển vị xoay Px, Py của tấm Mindlin hên nền đàn nhớt 15

Hình 2.5 Phần tử tứ giác Qặ trong hệ tọa độ địa phương 19

Hình 2.6 Phần tử tứ giác Qỹ trong hệ tọa độ tự nhiên 19

Hình 2.7 Quy tải họng hãm thành tải nút 28

Hình 2.8 Mặt cắt dọc phân bố tải trọng của xe xuống bốn bánh xe 29

Hình 2.9 Mặt cắt cắt ngang phân bố tải họng của xe xuống bốn bánh xe 30

Hình 2.10 Mô hình tấm Mindlin trên nền Pasternak 31

Hình 2.11 Biến dạng của tấm Mindlin trên nền Pasternak 32

Hình 2.12 Lưu đồ tính toán 40

Hình 3.1 Mô hình tấm Mindlin trên nền đàn hồi 43

Hình 3.2 Sự hội tụ của chuyển vị tại vị trí đặt lực hên tấm 44

Hình 3.3 Chuyển vị dọc theo trục qua họng tâm của tấm theo phương X 46

Hình 3.4 Chuyển vị dọc theo trục qua họng tâm của tấm theo phương y 47

Hình 3.5 Chuyển vị dọc theo trục qua họng tâm của tấm theo phương y ứng với tấm đặt hên nền đàn hồi và tấm không đặt hên nền đàn hồi 48

Hình 3.6 Đường cong chuyển vị w theo các bước thời gian 49

Hình 3.7 So sánh chuyển vị dọc theo trục qua họng tâm của tấm theo phương X với Huang và Thambiratnam (2001) [23] 51

Hình 3.8 Chuyển vị ứng với các gia tốc hãm thay đổi khi vận tốc đầu vo = 2Gm/s 52 Hình 3.9 Chuyển vị theo thời gian với các vận tốc trước pha hãm thay đổi ứng với gia tốc hãm a de = -10wi/ s 2 54

9

Hình 3.10 Chuyển vị so với chuyển vị cực đại của tấm ứng với các giá trị tải họng khác

nhau 56

Hình 3.11 Chuyển vị của tấm theo thời gian ứng với các hệ số ma sát động khác nhau 57 Hình 3.12 Chuyển vị của tấm theo thời gian ứng với các chiều dày tấm khác nhau với vận tốc pha 1 là vo = 80(m/ s), gia tốc hãm pha 2 là a de - -5mIs 2 58

Hình 3.13 Chuyển vị của tấm theo thời gian ứng với các chiều dày tấm khác nhau với vận tốc pha 1 là vo = 80(m / s), gia tốc hãm pha 2 là - -20m /s 2 60

Hình 3.14 Chuyển vị của tấm theo thời gian tại đầu Phase 1 ứng với các chiều dày tấm khác nhau với vận tốc pha 1 là vo = 80(m/ s) 61

Hình 3.15 Chuyển vị của tấm theo thời gian tại đầu Phase 2 ứng với các chiều dày tấm khác nhau với vận tốc pha 1 là vo = 80(m/ s) 62

Hình 3.16 Chuyển vị của tấm theo các mặt cắt song song với trục X 63

Hình 3.17 Chuyển vị của tấm theo các mặt cắt song song với trục y 64

Hình 3.18 Dạng chuyển vị của tấm trong các trường hợp tải trọng tác dụng quy thành 1 tải tập trung (a) và 4 tải tập trung (b) 65

Hình 3.19 Chuyển vị của tấm theo thời gian trong các trường hợp tải trọng tác dụng quy thành 1 tải tập trung (a) và 4 tải tập trung (b) 66

Hình 3.20 Chuyển vị của tấm theo trục qua bánh xe cho 2 trường hợp khoảng cách bánh xe a=5(m) và a=10(m) 67

Hình 3.21 Chuyển vị của tấm theo thời gian tại các vị trí bánh xe 67

Hình 3.22 Chuyển vị dọc theo trục qua trọng tâm của tấm theo phương X 68

Hình 3.23 Chuyển vị tỷ đối theo thời gian tại tâm tấm trên nền Pasternak 69

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép phương cầu Gauss 21

Bảng 2.2 Thông số tấm Mindlin 38

Bảng 2.3 Thông số nền đàn nhớt 38

Bảng 2.4 Thông số xe 38

Bảng 3.1 Thông số tấm Mindlin 41

Bảng 3.2 Thông số tải họng 41

Bảng 3.3 Thông số nền đàn nhớt 42

Bảng 3.4 Hệ số ma sát 42

Bảng 3.5 Sự hội tụ của chuyển vị w (xlO'5 m) tại vị trí đặt lực ứng với các hệ số kf 45 Bảng 3.6 Sai số (%) chuyển vị so với nghiệm hội tụ của các phương pháp với lưới chia phần tử 96x48 46

Bảng 3.7 Thông số tấm theo Huang và Thambữatnam (2001) [23] 50

Bảng 3.8 Thông số nền theo Huang và Thambữatnam (2001) [23] 50

Bảng 3.9 So sánh kết quả luận văn và Huang và Thambữatnam (2001) [23] 51

Bảng 3.10 So sánh chuyển vị của tấm khi gia tốc hãm thay đổi 53

Bảng 3.11 So sánh chuyển vị của tấm khi vận tốc ban đầu thay đổi 54

Bảng 3.12 So sánh chuyển vị của tấm khi gia tốc hãm thay đổi 55

Bảng 3.13 So sánh chuyển vị của tấm khi gia tốc hãm thay đổi 57

Bảng 3.14 So sánh chuyển vị của tấm trong các trường hợp tải họng tác dụng quy thành 1 tải tập trung và 4 tải tập trung 64

Bảng 3.15 So sánh kết quả chuyển vị lớn nhất trong tấm với trường hợp tải tác dụng vào 4 bánh 66

Bảng 3.16 So sánh kết quả chuyển vị lớn nhất của nền Pasternak với nền Winkler 69

FEM9 Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử 9 nút

DOF Bậc tự do (Degree of Freedom)

BEM Phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method) FTM Phương pháp biến đổi Fourier (Fourier Transform Method)

xii

Ma ửận độ cứng hiệu dụng

Ký hiệu

L Chiều dài tấm theo phương X

B Chiều dài tấm theo phương y

E Module đàn hồi của vật liệu

G Module chống cắt đàn hồi của vật liệu

V Hệ số poisson của vật liệu

p Trọng lượng riêng của vật liệu tấm

p Góc xoay của tấm quay quanh trục y

A Góc xoay của tấm quay quanh trục X

H Tổng lực quán tính theo phương ngang của xe khi tính toán lực hãm

F ci Lực tác dựng của bánh xe thứ i lên tấm khi tính toán lực hãm

N Tổng tải trọng đứng tác dụng và tấm khi tính toán lực hãm

13

Đạo hàm riêng bậc hai của hàm ộ theo biến X và y

k f Hệ số độ cứng nền

c f

Hệ số độ cản nền

p r Tải họng tập trung ở hai bánh xe sau

p rl Tải họng tập trung ở bánh xe sau bên hái

p rr Tải họng tập trung ở bánh xe sau bên phải

Pf Tải họng tập trung ở hai bánh xe trước

p fl Tải họng tập trung ở bánh xe trước bên trái

K Hệ số đàn hồi của nền Pasternak

Hệ số cắt của nền Pasternak

do trọng lượng bản thân vật chuyển động

Mô hình tấm trên nền đàn nhớt chịu tải trọng chuyển động được ứng dụng khá nhiều vào trong thực tiễn, như máy bay chuyển động trên đường băng (Hình 1.1), xe

chạy trên mặt đường (Hình 1.2)

Hình 1.1 Máy bay trên đường băng [1]

Tổng quan 2

"lình 1.2 Kêt câu tâm nên đường hâm Thủ Thiêm - Tp Hô Chí Minh [2]

Việc xác định ứng xử động của nền đường có ý nghĩa quan trọng trong thiết kế kết cấu đường Tải trọng hãm tác dụng lên kết cấu có thể là lực tập trung hay lực phân bố trên một diện tích hữu hạn, vận tốc ban đầu và gia tốc hãm có thể thay đổi theo nhiều quy luật Kết cấu áo đường được xem như là phần tử đàn hồi dạng tấm hay dầm đặt trên nền đất Vật liệu của tấm được giả thiết là vật liệu đàn hồi tuyến tính

Để giải quyết bài toán tấm chịu tải trọng di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn thông thường (Finite Element Method), ta xem rằng tấm được rời rạc hoá thành một số hữu hạn các phần tử và tải trọng sẽ di động trên các phần tử đó Mô hình

Tổng quan 3

thường gặp phải một số khó khăn khi tải họng di động tiến đến gần biên và di chuyển vượt ra ngoài biên hữu hạn của phần tử Ngoài ra, vị trí của tải họng phải luôn được cập nhật khiến cho khối lượng tính toán tăng lên nhiều.(Luong-Van, et al., 2014) [3]

Hình 1.3 Mô hình tải trọng di động và phần tử tấm cố định (FEM) [3]

Phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) giúp giải quyết tốt những điểm yếu của FEM trong bài toán tấm (Luong-Van, et al., 2014) [3], Theo MEM, tải họng sẽ cố định so với phần tử chứa tải trọng chuyển động Minh hoạ mô hình phương pháp này như Hình 1.4, trong đó các hệ số kf và Cf lần lượt là các giá trị độ cứng và hệ số cản của đất nền Như vậy các tải họng này sẽ không vi phạm vùng biên hữu hạn của phần

tử Hơn nữa MEM giảm khối lượng tính toán do không phải cập nhật vị trí tải họng tính toán qua các giai đoạn MEM cho thấy rằng nó phù hợp để phân tích các bài toán động lực học cho kết cấu tấm dài vô hạn trên nền đàn nhớt

Hình 1.4 Mô hình tải trọng cố định và phần tử tấm chuyển động (MEM) [4]

Tải họng di động

Phần tử cố định

Tải trọng cố định

Tổng quan 4

Việc nghiên cứu ứng xử động của tấm khi chịu tải di động là rất quan trọng, tuy nhiên, tìm ra ứng xử của tấm khi chịu tải trọng hãm nặng cũng là một bài toán cần xem xét đến trong thiết kế các kết cấu tấm, đặc biệt là trong kết cấu đường giao thông Không giống như tải trọng hãm thông thường, tải trọng hãm nặng (hãm khẩn cấp), các bánh xe sẽ có giai đoạn trượt trên mặt đường (Tran, et al., 2016) [5], Như đã trình bày trong Hình 1.4, kết cấu được mô hình thành nền đàn hồi Winkler chịu tải trọng chuyển động từ bên trên

Phản ứng động của tấm được chia thành 2 pha, pha chuyển động và pha hãm như trong Hình 1.5 Trong pha chuyển động (pha 1), vật di chuyển với vận tốc là vo đến thời điểm tt, vật chịu tải trọng hãm và tiến hành pha hãm (pha 2) cho đến khi vận tốc giảm về 0

ở thời điểm t 2

Hình 1.5 Hai pha của tải trọng hãm Tải trọng tác dụng lên tấm sẽ bao gồm tải đứng và tải ngang Trong phạm vi luận vãn này, tác giả giả thiết rằng tải trọng đứng tác dụng lên tấm là không đổi theo thời gian

1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài

Sự phát triển nhanh chóng của phương pháp số đã cải thiện rất nhiều kết quả tính toán các bài toán cơ học nói chung và các bài toán động lực học kết cấu nói riêng Các bài toán phân tính ứng xử động của kết cấu tấm vỏ có xét đến ảnh hưởng của đất nền đã được rất nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước nghiên cứu và phát triển

1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước

Bài toán tải trọng di động tác động lên két cấu mặt đường đã được quan tâm từ rất sớm Với phương pháp biến đổi chuỗi Fourier (Fourier Transform Method - FTM) và hệ kết cấu

Tổng quan 5

chuyển động, Mathews (1958) [6], (1959) [7] đã đưa ra lời giải cho bài toán động lực của dầm có chiều dài vô hạn tựa hên nền đàn hồi chịu tải trọng bất kỳ di chuyển dọc theo trục dầm FTM là một phương pháp biển đối miền tần số Phương pháp này đâ được các nhà nghiên cứu khác quan tâm và sử dụng rất nhiều Năm 1981, Jezequel (1981) [8] đã phân tích phản ứng có tính đến độ cứng xoay theo phương ngang của dầm Euler-Bemoulli dài

vô hạn tựa trên nền đàn hồi dưới tác dụng của một lực tập trung di chuyển với vận tốc không đổi Các nghiên cứu tương tự sử dụng FTM cũng được thực hiện bởi Trochanis và cộng sự (1987) [9], Ono và Yamada (1989) [10], Tuy nhiên, phương pháp FTM có thể cho lời giải chính xác cho các hệ đơn giản, một bậc tự do, nhưng với các bài toán phức tạp hơn,

hệ có nhiều bậc tự do hay lực di động có xét đến việc tăng tốc và giảm tốc thì phương pháp FTM trở nên kém hiệu quả

Sử dụng phương pháp chồng chất, Timoshenko (1974) [11] đã đưa ra lời giải phương trình vi phân tổng quát của dầm đơn giản chịu tải trọng di động trong miền thời gian Vấn

đề này cũng được Warburton (1976) [12] khảo sát Kết quả của Warburton cho thấy hệ số khuyếch đại động lớn nhất của độ võng dầm xảy ra ứng với một vận tốc nhất định của tải

di chuyển Bài toán tải di chuyển trên dầm đồng nhất vô hạn, tựa trên con lăn hỗ trợ tuần hoàn đã được Cai và cộng sự (1988) [13] nghiên cứu và giải quyết bằng phương pháp chồng chất Nghiên cứu của Chen và Huang (2000) [14] được thực hiện để tìm ra phàn ứng của dầm Timoshenko dài vô hạn trên nền đàn nhớt chịu tác dụng của một tải cố định chuyển động với vận tốc cố định Phương trình tổng quát của dầm vô hạn được thiết lập trong quá trình di chuyển

Các công trình nghiên cứu như đã đề cập ở trên đều xét phản ứng của dầm liên tục đồng thời sử dựng phương pháp giải tích để giải phương trình vi phân của tấm Đối với các bài toán phức tạp hơn, phương pháp giải tích cho lời giải rất hạn chế Với bài toán phân tích ứng xử của tấm, trong nghiên cứu của mình, Michael Taheri & Ting (1990) [15] đã phân tích dao động của tấm chịu tải trọng chuyển động dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn Phản ứng của tấm chịu tải trọng chuyển động cũng được Taheri & Ting (1989) [16] giải quyết bằng một phương pháp khác, phương pháp SIM (Structural Impedence Method) Gbadeyan và Oni (1995) [17] tiến hành phân tích động lực học của dầm và tấm hữu hạn

có dạng hình chữ nhật dưới tác động của tải trọng chuyển động bằng phương pháp Struble’s hiệu chỉnh Nghiên cứu của Gbadeyan & Oni đâ đưa ra lời giải cho các dạng điều kiện biên

Tổng quan 6

bất kỳ của dầm và tấm chịu tải trọng chuyên động với số lượng tải là bất kì Nối tiếp càc công trình nghiên cứu của mình, Gbadeyan và Dada (2006) [18] đã đưa ra kết quả phân tích phản ứng động của tấm Mindlin dạng hình chữ nhật chịu tải trọng của vật thể chuyển động có khối lượng phân bố đều Bài báo này tập trung vào các đặc điểm khác nhau giữa phân tích tấm dày có kể đến biến dạng trượt của lý thuyết Mindlin và với lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff Nghiên cứu của Kim (2004) [19] đã đưa ra kết quả phân phản ứng động của tấm trên nền đàn nhớt Winkler chịu tải trọng di động có xét đến mức độ gồ ghề của mặt đường Trong nghiên cứu này, Kim sử dụng phương pháp biến đổi chuỗi Fourier theo thời gian và không gian

Các công trình nghiên cứu về tấm trên nền đàn hồi cũng được phát triển rất nhiều, ứng xử của tấm vô hạn trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng chuyển động điều hoà không đổi đã được Kim và Rosset (1998) [20] nghiên cứu Sử dụng phân tích chuỗi Fourier, Sun (2003) [21] đã xây dựng lời giải giải tích cho bài toán tấm Kirchhoff trên nền đàn nhớt chịu tải điều hòa Fryba (1999) [22] nghiên cứu dao động riêng của tấm dài vô hạn hoặc có các kích thước hữu hạn với các điều kiện biên khác nhau Với phương pháp dải hữu hạn, Huang và Thambữatnam (2001) [23] đã phân tích ứng xử của kết cấu tấm cố định tựa trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động có vận tốc thay đổi theo thời gian Javad (2013) [24] đã nghiên cứu ứng xử động lực học và sự ổn dịnh của tấm Mindlin khi chịu tác động của tải trọng di động sử dụng phương pháp EEM (Eigenfunction Expansion Method) Sử dụng phương pháp biến phân, nghiên cứu của Cheng (1986) [25] đã đưa ra kết quả phân tích ứng

xử động của tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng di động Công việc tương tự cũng được Sun (2005) [26] tiến hành nhưng với tải trọng điều hoà di động bằng cách sử dụng hàm số động Green

Với sự ra đời và phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) giúp giải quyết tốt hơn những bài toán phức tạp, nhiều nghiên cứu đã ra đời dựa trên phương pháp này Sử dụng FEM, Yoshida và Weaver (1971) [27] phân tích dầm và tấm có các biên tựa đơn dưới tác dụng của tải trọng chuyển động và khối lượng chuyển động Xét đến chiều dài tấm, cũng như vận tốc và gia tốc ban đầu của tải trọng chuyển động, Wu và cộng sự (1987) [28]

đã tìm ra phản ứng động của tấm trong điều kiện đó Pan và cộng sự (1994) [29] đã nghiên cứu phản ứng động của đường băng dưới tác dụng của tải trọng máy bay cất cánh cũng như

hạ cánh Đây là một nghiên cứu có tính ứng dụng thực tiễn cao Phát triển tiếp hướng

Tổng quan 7

nghiên cứu của mình, sử dụng phương pháp kết hợp FEM và BEM (Boundary Element Method), Pan và Atluri (1995) [30] đã cải tiến kết quả phản ứng động của đường băng Mở rộng hơn hướng nghiên cứu kết cấu tấm trên nền đàn hồi, Thompson (1963) [31] đã tiến hành nghiên cứu phản ứng động của tấm mỏng dưới tác dụng của tải đi chuyển dọc trục Trong nghiên cứu của mình Thompson mô hình mặt đường như một tấm dài vô hạn Zaman (1991) [32] tiến hành tìm phản ứng động của kết cấu tấm dày tựa trên nền đàn nhớt dùng phần tử FEM bốn nút Nghiên cứu của Li và cộng sự (2013) [33] đã đưa ra phản ứng động của kết cấu tấm trên nền đàn nhớt Chuyển vị của tấm theo thời gian phụ thuộc vào sự biến đổi của vận tốc và các giá trị ban đầu của vận tốc và gia tốc

Tìm hiểu các đặc trưng dao động tự nhiên của kết cấu tấm bằng phương pháp FEM cũng được các nhà nghiên cứu quan tâm và phát triển Gupta (2009) [34] đã phân tích dao động tự nhiên của tấm chữ nhật trên nền đàn nhớt với các chiều dày ấm khác nhau Do các hạn chế trong giải tích, để giải quyết các phương trình dao động, các nhà nghiên cứu sử dụng các phương pháp tính lặp từng bước thời gian như phương pháp Newmark và phương pháp Wilson

Khi giải quyết các bài toán về tải trọng di động trên biên hữu hạn của phần tử, phương pháp FEM bộc lộ những khó khăn của mình Để giải quyết nhưng khó khăn này, Koh và cộng sự (2003) [35] đã sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Nghiên cứu này đã cho thấy MEM là phương pháp thích hợp nhất để phân tích bài toán động học cho các kết cấu chịu tải trọng động Sau khi được ứng dụng thì phương pháp MEM càng cho thấy sự hữu dựng và ngày càng được phát triển Tiếp tục hướng nghiên cứu của mình, Koh và cộng sự (2005) [36] đã khảo sát đến ứng xử động của nền bán không gian đàn hồi bằng phương pháp MEM Sau khi được phát triển, phương pháp MEM đã được sự quan tâm của rất nhiều nhà nghiên cứu Ang và cộng sự đã sử dụng MEM

để khảo sát đến dao động của đường trong khoảng thời gian tăng tốc và giảm tốc [37] và hiện tượng nảy bánh xe của tàu cao tốc [38], Thi và cộng sự (2013) [39] đã phân tích động lực học của tàu cao tốc trên nền hai thông số Nghiên cứu này sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Lei và Wang (2013) [40] đã đề xuất một cách tiếp cận mới tên là phần tử khung chuyển động cho đường ray, dựa trên phần tử xe và phần tử nền để đánh giá ứng xử động của tàu và hệ thống nền ba lớp Gần đây nhất, Xu và cộng sự (2009) [41] sử dụng phương pháp MEM để phân tích dao động ngẫu nhiên của

Tổng quan 8

tấm Kirchhoff ưên nền Kelvin chịu tải họng di động sử dụng phần tử tứ giác

Tải ưọng hãm chưa được nghiên cứu nhiều, đặc biệt là tải họng hãm tác dụng lên tấm Các nghiên cứu về tải hãm chủ yếu tập trung vào kết cấu bên trên Đối với tải ửọng hãm tác dụng lên phần tử thanh, Thi và cộng sự (2013) [39] đã xem xét phản ứng của thanh ray xe lửa chịu tác dụng tải họng hãm nặng Tải họng hãm tác dụng lên ray bao gồm lực

ma sát giữa bánh xe và mặt ray, và lục tương tác giữa bánh xe và mặt ray Tuy nhiên bài báo cũng tập trung phân tích mô hình và phản ứng của xe khi chịu tải trọng hãm đồng thời

bỏ qua tác dụng của tải trọng ngang khi phân tích phản ứng của ray

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nước

Một số luận văn cao học ngành xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp tại trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh cũng đã giải quyết một số bài toán tải trọng chuyển động đối với dầm và tấm

Cường (2011) [42] đã phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt xét đến khối lượng của vật chuyển động Nghiên cứu này đã lựa chọn được mô hình cụ thể để mô phỏng cho bài toán thực tế, biến dạng trượt của tấm đã được xét đến theo lý thuyết tấm Mindlin nhưng sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Duy (2013) [43] phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác đất nền Tiếp nối nghiên cứu này, Anh (2013) [44] đã phân tích động lực học tàu cao tốc có xét đến độ nảy bánh xe và tương tác với đất nền Hải và cộng sự (2013) [45] phân tích ứng xử tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác với đất nền sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Nghiên cứu này sử dụng phương pháp MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc

Với tính ứng dụng rộng rãi của mô hình kết cấu tấm trên nền đàn nhớt, vì thế đã có rất nhiều nghiên cứu về ứng xử động của kết cấu tấm Tuy nhiên các nghiên cứu từ trước đến nay chủ yếu dùng các phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)

Để khắc phục những nhược điểm của các phương pháp truyền thống, phương pháp phần

tử chuyển động (MEM) được đề xuất và ứng dụng Nhưng các nghiên cứu trước đây về phương pháp MEM chỉ mới được ứng dụng để phân tích động lực học tàu cao tốc, bài toán

về dầm chịu tải trọng động Trên thế giới và trong nước chưa có bất cứ nghiên cứu nào về kết cấu tấm dày chịu tải trọng hãm sử dụng phương pháp MEM hay các phương pháp khác

Do đó, luận văn sẽ trình bày nghiên cứu về phản ứng kết cấu tấm dày chịu tải trọng hãm,

Tổng quan 9

góp phần đưa ra các kết quả mới về phân tích ứng xử của tấm dày Từ đó rút ra các kết luận

và các giải pháp áp dụng trong thực tế

1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận văn nhằm phân tích động lực tấm Mindlin dài vô hạn trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm sử dụng phần tử tấm chuyển động MEM Trong đó phương pháp MEM được phát triển nhằm giải quyết tốt hơn và khắc phục các điểm hạn chế của các phương pháp truyền thống Các vấn đề nghiên cứu cụ thể trong phạm vi luận văn này bao gồm:

• Thiết lập các ma trận khối lượng, độ cứng, cản cho các phần tử tấm dày Mindlin sử dụng phương pháp MEM

• Thiết lập tải trọng hãm tác dụng vào tấm

• Phát triển thuật toán lập trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài toán

• Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của luận văn với các kết quả các nghiên cứu của tác giả khác

• Thành lập và thực hiện các ví dụ số để khảo sát sự ảnh hưởng của các đại lượng khác nhau đến ứng xử động của bài toán, từ đó rứt ra các kết luận

1.4 Cấu trúc luận văn

Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm chịu tải trọng di động, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài Chương 2: Trình bày các công thức phần tử hữu hạn để phân tích động lực tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm sử dụng phần tử chuyển động

Chương 3: Trình bày các kết quả phân tích số được tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài toán

Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Tổng quan 10

Phụ lục: một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 3

2.1 Lý thuyết tấm Mindlin

2.1.1 Giói thiệu tổng quát

Theo Timoshenko (Timoshenko, 1959) [46], tấm được phân chia thành ba loại tùy theo trạng thái ứng suất Loại thứ nhất là tấm có ứng suất màn nhỏ so với ứng suất uống khi biến dạng do tải họng ngang Loại này được phân loại là tấm mỏng (Tấm Kirchhoff), có tỉ

lệ chiều dày và kích thước cạnh ngắn nằm trong giới hạn T77 - - Ị

80 B 5 đông thời độ võng Với tâm mà trạng thái ba trục được xét đên bởi bộ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn hồi ba chiều thì tấm được phân loại là tấm dày (Tấm Reissner-Mindlin) Tấm dày có tỉ lệ giữa chiều dày với kích thước cạnh ngắn "7

> 7 • Loại thứ 3 được đặc trưng bởi các ứng suất uốn và kéo hay nén tương đối

B 5 lớn trong mặt phẳng trung bình Tấm này gọi là tấm có chuyển vị lớn (hay lý

thuyết

màng) và được phân loại khi thỏa điêu kiện vv > \

4 Trong ba lý thuyết tấm kể trên, lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là được sử dụng rộng rãi nhất để phân tích ứng xử của tấm Đây là lý thuyết đơn giản nhất với các giả thiết (Bletzinger, 1980) [47] như sau:

- Khi biến dạng và độ dài của các đoạn thắng vuông góc với mặt trung gian của tấm là không đổi là không đổi, các đoạn thẳng này vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) Điều này có nghĩa là

Cơ sở lý thuyết 12

các thành phần biến dạng cắt ngang được bỏ qua (Ỵ =ỵ xz =0) khi xét ứng xử

của tấm

- Mặt trung bình không chịu kéo, nén hay trượt khi tấm chịu uốn

- ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm được bỏ qua

Sự bỏ qua các biến dạng cắt ngang sẽ dẫn đến các kết quả không chính xác khi tỷ

sô -T- (B là kích thước nhỏ nhât của mặt trung bình tâm) không đủ nhỏ Đê khăc phục B

sự thiếu chính xác này, (Reissner, 1945) [48] công bố lý thuyết tấm kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ửong tấm đàn hồi chịu uốn

Hình 2.1 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Kirchhoff

Bằng cách giả định sự phân bố ứng suất tiếp theo quy luật parabol dọc theo chiều dày tấm, lý thuyết Reissner không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt Sự ảnh hưởng của quán tính xoay và biến dạng trượt trong dao động của tấm đàn hồi đẳng hướng được đưa ra bởi R.D Mindlin (1951) [49], Lý thuyết này hoàn toàn tương thích với lý thuyết của Reissner Sự nới lỏng về giả thiết các pháp tuyến chịu các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phang trung bình trong suốt quá trình biến dạng dẫn đến ứng suất tiếp không bằng 0 tại biên tự

do của tấm Điều này vi phạm yêu cầu tĩnh học, do vậy cần áp dụng hệ số hiệu chỉnh cắt

để đảm bảo yêu cầu tĩnh học

Lý thuyết tấm Reissner-Mindlin là lý thuyết tấm kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang, nhờ đó mở rộng lĩnh vực ứng dụng của lý thuyết tấm vào trường hợp tấm dày

và tấm trung bình Tóm tắt lý thuyết tấm Mindlin (Mindlin, 1951) [49]:

• Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn là thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung bình khi biến dạng

2.1.2 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giũa biến dạng - chuyển vị

Xét tấm Mindin được đặt trên nền đàn nhớt với chiều dài L, chiều rộng B, chiều dày h và

có các đặc trưng vật liệu như module đàn hoi E, trọng lượng riêng p, hệ số Poison V được

thể hình trong Hình 2.3 Trong đó, thành phần đàn hồi và thành phần đàn nhớt của nền được mô hình bởi các lò xo và các cản nhớt đặt trên bề mặt tấm, lần lượt được đặc trưng

bởi các hệ số k f và Cj

Cơ sở lý thuyết 14

Hình 2.3 Mô hình tấm Mindlin trên nền đàn nhớt Với giả thiết tấm Mindlin chịu biến dạng uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng

tấm, hệ trục tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt trung bình

Qcz7?2 và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Tấm dựa trên các giả thiết Mindlin, với w

là độ võng tấm, P x ,P y lần lượt là các góc xoay của pháp tuyến của mặt trung hòa quanh trục

Oy và Ox của hệ tọa độ địa phương với qui ước chiều dương cho ở Hình 2.4, Q là mặt trung

hòa của tấm Các thành phần u, V và w tương ứng là chuyển vị theo phương X, y và z; w°

là chuyển vị tại mặt trung hòa (giả thiết biến dạng màng: M° =v° =0)

Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm Mindlin được tạo bởi:

u = [w /3 X

và, các thành phần chuyển vị trong mặt phẳng: u, v và w được biểu diễn như sau:

(2.1)

u(x, y,z) = z/ỉ x (x,y) ’

v(x,y,z) = zfi y (x,y) w(x,

y,z) = w° (x,y)

(x,y)efì,zẼ h ỈL

Cơ sở lý thuyết 15

Hình 2.4 Quy ước chiều dương của chuyển vị w và hai chuyển vị xoay Px, Py của tấm

Mindlin trên nền đàn nhớt

2.1.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất - biến dạng

Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng uốn và biến dạng cắt Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công thức sau:

Biến dạng uốn của tấm:

trong đó véctơ thành phần độ cong:

hay công thức (2.3) được viêt cách khác:

Cơ sở lý thuyết 17

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng: ứng suất của tấm lần lượt là ứng suất uốn và ứng suất cắt, có mối liên hệ với biến dạng uốn và biến dạng cắt theo định luật Hooke như sau: ứng suất uốn của tấm:

2

trong đó E là module đàn hồi của vật liệu tấm, V là hệ số poison, ứng suất cắt của tấm:

trong đó X* = 6 là hệ sô hiệu chỉnh căt, G là module đàn hôi trượt

2.1.4 Phưong trình năng lượng của tấm

Năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm Mindlin được cho bởi công thức sau:

Cơ sở lý thuyết 18

2.2 Phần tử đẳng tham số

2.2.1 Khái niệm phần tử đẳng tham số

Trong phương pháp phần tử hữu hạn khi miền khảo sát là đường cong hoặc có biên là các đường cong hay mặt cong, nếu ta chỉ sử dụng phần tử một chiều thẳng, các phần tử hai chiều dạng tam giác, tứ giác hay các phần tử ba chiều dạng khối, mặt thì không đủ đảm bảo

độ chính xác của kết quả Điều này dẫn đến việc cần phải xây dựng và phát triển các phần

tử có dạng hình học bất kỳ với các biên là các đường cong hay mặt cong Các phần tử này được gọi là các phần tử có biên cong hay là phần tử đẳng tham số (izoparametric element) Khái niệm phần tử đẳng tham số dựa trên cơ sở phép biến đổi một phần tử được gọi

là phần tử chuẩn (master element) hong hệ tọa độ tự nhiên Oệrj thành phần tử thực tương ứng có dạng tùy ý ửong tọa độ vuông góc Oxy

Quá tình phát triển phần tử hữu hạn cho tấm được các nhà khoa học trên thế giới triển khai khá rộng rãi Trong luận văn này, tác giả sử dụng phần tử tấm tứ giác 9 nút (Quadrilateral nine-node element - 2g) thuộc loại đẳng tham số (isoparametric element) có các hàm nội suy song tuyến tính (bilinear interpolation fuention) để mô hình hóa bài toán khảo sát

2.2.2 Hệ tọa độ địa phưong phần tử đẳng tham số Qỹ

Rời rạc hóa miền bài toán thành 7V, phần tử tứ giác chín nút Qg sao cho

Ne _

Q = [J với o Q j = 0, j

e=l

Cơ sở lý thuyết 19

X

Hình 2.5 Phần tử tứ giác Qỹ ương hệ tọa độ địa phương

Vì liên quan đến các phép tính tích phân sau này, để cho việc chuẩn hóa các tọa độ

tiện lợi hơn nên ta đặt sao cho cạnh 1-2 có r/ = -1, cạnh 3-4 có ĩ] = 1, cạnh 1-4 có

ệ = -1, cạnh 2-3 có ệ = 1

Hình 2.6 Phần tử tứ giác Qọ trong hệ tọa độ tự nhiên

Dạng hình học của phần tử được cho bởi tổ hợp tuyến tính:

i=l i=l

với (x,, y,) là tọa độ của nút thứ i (ỉ = 14- 9) trong hệ tọa độ tổng thể (x, ỳ)

Ba đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:

4(-

8(-l,0)

Cơ sở lý thuyết 20

trong đó là giá trị của các hàm w,Ị3 x ,P y tại nút i hay cũng là các bậc tự do tại nút i

Các hàm dạng để nội suy của phần tử ổg được xác định bời:

(2.27)

Cơ sở lý thuyết 21

ÕĨJ

ÕĨJ _õy õy _

2.2.3 Phép tích phân số - Phép cầu phương Gauss

Mặt dù một số tích phân có dạng trong công thức (2.30) có thể giải được bằng giải tích,

nhưng việc áp dụng đối với các hàm phức tạp tỏ ra rất khó khăn Đặc biệt khi ĩj,ệ biến thiên

theo đường cong Trong thực tế công thức (2.30) được tính bằng phương pháp số, sử dụng phép cầu phương Gauss trên toàn miền phần tử Các qui tắc cầu phương trong mặt phẳng đều có dạng sau:

trong đó là tọa độ điểm nằm trong phần tử, là các trọng số tương ứng, n

là số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương

Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm f (£, 77)

là một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng (2n -1) Một so tọa độ và trọng so của phép cầu phương Gauss được cho trong Bảng 2.1

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép phương cầu Gauss

Công nội ảo của kết cấu tấm được cho bởi:

tw, = ỔU b = IJ Ốx/D^dxdy +1J Ố/D^dxdy

55555 0.88888

Cơ sở lý thuyết 23

W E = -J Ị^ỞU) mùaxạy

n với m là ma trận khối lượng và được xác định bởi

w£ = - J (ốw)r k f wdxdy á

Công ảo gây ra do lực cản của nền

WE = -J ( c f wdxdy

Luận văn nghiên cứu bài toán tấm chịu tải trọng hãm Giả sử tải trọng hãm

theo phương X với vận tốc V = v o +at Bằng cách sử dụng phương pháp MEM, phương

trình động học được chuyển sang một hệ tọa độ (r, ó’) gắn liền với tải trọng hãm Trong

đó, trục r di chuyển cùng vận tốc với tải họng di động Mối quan hệ giữa hai trục tọa

độ được xác định như sau:

(2.41)

(2.42) hay

(2.43)

trong đó (x, y) lần lượt là hệ tọa độ cố định; (r,s) lần lượt là hệ tọa độ chuyển động; V, a và

t lần lượt là vận tốc, gia tốc và thời gian di chuyển

Khi đó trường chuyển vị và các đạo hàm riêng trong hệ tọa độ chuyển động được biểu diễn như sau:

Cơ sở lý thuyết 24

w(r,s) = w(x,y)

< £(r,s) = £(x,y) A(r’s)=A(x^)

Từ phương trình (2.43), các đạo hàm của r theo t được xác định bởi:

Sử dụng đạo hàm riêng phần đối với các biến, đạo hàm của w, P x , Ạ theo r, s, t lần

lượt được xác định bởi:

ổw(x,y) = ổw(r,s) d/3 x (x,y) = ôp x (r,s) õ/3 y (x,y) = ô/3 y (r,s)

Tại thời điểm bất kỳ

, <1 = p x p y J lan lượt la đạo hàm cấp một và cấp hai

Cơ sở lý thuyết 25

Toán tử L b trong công thức (2.7) và toán tử L, trong công thức (2.13) trong hệ

tọa độ chuyển động được viết lại

0 — n 1

L6=

õs dr J Khi đó công nội ảo dong hệ tọa độ chuyển động được xác định như sau:

ôr ôr 2 ôr J