Góc tạo bởi hai đường thẳng - khoảng cách

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến với một đường thẳng 1... Một số dạng bài tập khoảng cách:1.. Độ dài đường cao tam giác 2.. Bán kính đường tròn khi biết tọa độ tâm và một tiếp

IV Góc tạo bởi hai đường thẳng:

1

3

I

B A

Áp dụng định lí Py- ta – go, ta được:

BD 2 = AD 2 + AB 2 = 3 + 1 = 4

=> BD = 2 => BI = ID = 1

=> IA = ID = 1

=> ∆IAD đều

=> AID = 60 0

=> AIB = 180 0 – 60 0 = 120 0

1

1 1

60 0 120 0

1 Ví dụ: Cho hình hình chữ nhật ABCD, với AB = ;

AD = 1 Tính các góc

3

AID; AIB Giải

2 Định nghĩa:

∆1

∆2

φ

Qui ước:

∆ 1 // ∆ 2 hoặc ∆ 1 ≡ ∆ 2 : φ = 0 0

Chú ý: 0 0 ≤ φ ≤ 90 0

Kí hiệu:

(∆ 1 ; ∆ 2 ) hoặc (∆ 1 ; ∆ 2 )

3 Công thức tính góc tạo bởi hai đường thẳng:

1 2

1 2

|n n | cos =

|n |.|n |

ϕ

r r

| a a + b b |

=

a + b a + b

∆ 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0; ∆ 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

Đặt φ = (∆ 1 ; ∆ 2 )

Khi đó: n = (a ; b ); r1 1 1

n = (a ; b ) r

Ví dụ: Tính góc φ tạo bởi hai đường thẳng:

∆ 1 : 4x + 2y + 6 = 0; ∆ 2 : x + 3y + 1 = 0

Ta có: n = (4; 2); n = (1; 3) r1 r2

1 2

1 2

|n n | cos =

|n |.|n |

ϕ

r r

r r

| 4.1 + 2.3 |

=

4 + 2 1 + 3

10

=

20 10

1

=

2

=> φ = 45 0

4 Chú ý:

+ ∆ 1 ∆⊥ 2 ⇔ nr1 ⊥ nr2 ⇔ a a + b b = 01 2 1 2

+ ∆ 1 : y = k 1 x + b 1 ; ∆ 2 : y = k 2 x + b 2 , khi đó:

n = (k ; - 1); r

n = (k ; - 1) r

Do đó: ∆ 1 ∆⊥ 2 ⇔ k k = - 11 2

nr

Δ

0 0

M(x ;y )

y

x

V Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến với một đường thẳng

1 Bài toán: Cho M(x 0 ; y 0 ) và ∆: ax + by + c = 0 Hãy tính khoảng cách từ

M đến ∆

Giải:

Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với ∆

=> VTCP của d: u = n = (a; b)d ∆

=> Phương trình tham số của d: 0

0

x = x + at

y = y + bt







Gọi H = ∆ ∩ d , khi đó tọa điểm H là nghiệm của hệ:

0 0

x = x + at (1)

y = y + bt (2)

ax + by + c = 0 (3)











H

Thế (1) và (2) vào (3) ta được:

a(x 0 + at) + b(y 0 + bt) + c = 0 => ax 0 + a 2 t + by 0 + b 2 t + c = 0

=> (a 2 + b 2 )t = - (ax 0 + by 0 + c) - (ax + by + c)0 2 02

t =

a + b

⇒

- (ax + by + c)

a + b

Đặt: t 0 =

Thay t = t 0 vào (1) và (2), ta được tọa độ điểm H là: H(x 0 + at 0 ; y 0 + bt 0 )

Vậy khoảng cách từ M đến ∆ là:

0

= (a + b )t

0

|- (ax + by + c)|

a + b

a + b

=

|ax + by + c|

a + b

=

=> t = t 0

2 Công thức:

|ax + by + c|

d(M, Δ) =

a + b

Cho M(x 0 ; y 0 ) và ∆: ax + by + c = 0 Khoảng cách từ M đến ∆ là:

3 Ví dụ áp dụng: Tính khoảng cách từ các điểm M(- 2; 1) và O(0; 0)

đến đường thắng ∆ có phương trình: 3x – 2y – 1 = 0

Khoảng cách từ các điểm M(- 2; 1) đến đường thắng ∆: 3x – 2y – 1 = 0 là:

Khoảng cách từ các điểm O(0; 0) đến đường thắng ∆: 3x – 2y – 1 = 0 là:

|ax + by + c|

d(M, Δ) =

|3(- 2) - 2.1 - 1|

3 + (- 2)

=

Giải

9 13

13

=

|ax + by + c|

d(M, Δ) =

|3.0 - 2.0 - 1|

3 + (- 2)

13

13

=

Củng cố:

? Nêu các bước để tính số đo góc tạo bởi hai đường thẳng:

n = (a ; b ); r

n = (a ; b ) r

| n n |= |a a + b b | r r

Xác định các VTPT:

Tính:

| n |.| n |= a + b a + b r r

1 2

1 2

|n n | cos =

|n |.|n |

ϕ

r r

r r

Suy ra góc φ

? Nêu các bước để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

n= (a; b); r

Xác định các VTPT:

Tính:

| n|= a + b r 0 0

|ax + by + c|

|ax + by + c|

d(M, Δ) =

a + b

Cách tính số đo góc khi biết cos φ = a

Ấn phím:

Shift cos – 1 a = 0 ’”

Một số dạng bài tập khoảng cách:

1 Độ dài đường cao tam giác

2 Bán kính đường tròn khi biết tọa độ tâm và một tiếp tuyến của

đường tròn