Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Máy tính bỏ túi và lượng giác trong dạy học chủ đề “Giải tam giác”

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Máy tính bỏ túi và lượng giác trong dạy học chủ đề “Giải tam giác” nghiên cứu mối quan hệ thể chế với lượng giác và máy tính bỏ túi; phân tích thực hành một giờ lên lớp của giáo viên; nghiên cứu thực nghiệm.

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2006

Trang Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các từ viết tắt

MỞ ĐẦU ……… 1

1 Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát……… 1

2 Mục đích nghiên cứu……… 3

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu……….3

4 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu……… ……… 5

5 Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn………5

Chương1: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI LƯỢNG GIÁC VÀ MÁY TÍNH BỎ TÚI ……… 8

1.1 MTBT trong các chương trình……… 9

1.2 MTBT với “lượng giác” trong các chương trình……… 11

1.2.1 Chương trình trước thí điểm 2003 ……….11

a) Chương trình THCS 1986………11

b) Chương trình THPT 1990………12

c) Chương trình THPT chỉnh lí hợp nhất 2000………12

1.2.2 Chương trình thí điểm 2003………13

a) Chương trình THCS 2001………13

b) Chương trình thí điểm THPT 2003……… 14

1.3 “Lượng giác” và ứng dụng để “giải tam giác” trong sách giáo khoa hình học 10 thí điểm………15

1.3.1 Tỉ số lượng giác của một góc bất kì (từ 00 đến 1800) ………19

1.3.2 Hệ thức lượng trong tam giác……….24

1.3.3 KẾT LUẬN……….44

Chương 2: PHÂN TÍCH THỰC HÀNH MỘT GIỜ LÊN LỚP CỦA GIÁO VIÊN 45 2.1 Mục đích……… 45

2.3.Tổ chức toán học và tổ chức didactique: một quan điểm tĩnh………51

2.4 Đánh giá tổ chức toán học (tổ chức OM)……… 53

Kết luận……….56

Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ……….57

3.1 Thực nghiệm đối với giáo viên……… 58

3.1.1 Phân tích bộ câu hỏi điều tra………58

3.1.2 Phân tích những câu trả lời thu được……… 63

3.1.3 Kết luận ……… 71

3.2 Thực nghiệm đối với học sinh……… 72

3.2.1 Mục đích, cách tiến hành thực nghiệm………72

3.2.2 Phân tích a priori……… 72

a) Cách xây dựng bộ câu hỏi……… 72

b) Biến didactique……… 76

c) Các chiến lược………78

3.2.3 Phân tích a posteriori……… 89

KẾT LUẬN……… 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

1 Biên bản dự giờ một tiết dạy học của giáo viên

2 Bộ câu hỏi thực nghiệm giáo viên

3 Bộ câu hỏi thực nghiệm học sinh

4 Một số bài làm thu được của học sinh

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê thị Hoài Châu, giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, người đã trực tiếp hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo đã tận tâm giảng dạy, trang bị cho chúng tôi những kiến thức về didactique Toán và kiến thức của toàn khoá học Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:

♦ TS Lê Văn Tiến, Phó phòng đào tạo – ĐHSP TP Hồ Chí minh

♦ TS Đoàn Hữu Hải, Trưởng phòng đào tạo – ĐHSP TP Hồ Chí Minh

♦ GS TS Claude Comiti - Trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hoà Pháp

♦ GS TS Annie Bessot - Trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hoà Pháp

♦ GS TS Alain Birebent - Trường ĐH Joseph Fourier Grenoble I, Cộng Hoà Pháp

Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Nguyễn Xuân Tú Huyên đã giúp đỡ tôi chuyển luận văn này sang tiếng Pháp

Trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu và các bạn đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT Long thới, THPT Thanh Đa đã tạo điều kiện và giúp đỡ cho tôi tham gia và hoàn tất khoá học này

Lời cảm ơn chân thành gởi đến các bạn cùng khoá đã cùng tôi chia

sẻ những niềm vui cũng như những khó khăn trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng, luận văn này không thể hoàn thành nếu không có những lời động viên và sự giúp đỡ của các thành viên trong gia đình Xin cảm ơn gia đình đã luôn ở bên tôi

Nghiêm Thị Xoa

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT

Ngày nay, bên cạnh những phương tiện hỗ trợ cho việc dạy - học như máy vi tính, các phần mềm hỗ trợ giảng dạy và học tập,… máy tính bỏ túi (MTBT) đã trở thành một trong số đồ dùng học tập quen thuộc của hầu hết học sinh, nhất là học sinh ở các thành phố lớn Việc dạy - học Toán kết hợp với công cụ MTBT đã trở nên quen thuộc

với học sinh và giáo viên (GV) Vì thế chúng tôi tự hỏi MTBT đã tồn tại như thế nào trong chương trình và SGK Toán ở trường phổ thông? Đó là câu hỏi đầu tiên khiến

chúng tôi quan tâm

Như chúng ta đều biết các loại MTBT được sử dụng trong nhà trường phổ thông hiện nay có chức năng ngày càng được nâng cao và rất dễ sử dụng, nó có thể cho kết quả các phép tính rất nhanh và tiết kiệm được thời gian tính toán Vì thế, trong chương trình mới, với quan điểm tăng cường rèn luyện thực hành tính toán và tăng

cường MTBT trong dạy - học Toán thì chúng tôi có câu hỏi Vai trò của MTBT trong chương trình mới là gì? Các chức năng và thuật toán có sẵn của MTBT có hạn chế nào về mặt toán học? và chúng đã được khai thác như thế nào trong chương trình?

Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi gắn những câu hỏi trên với một đối tượng dạy- học cụ thể là “lượng giác” Sự lựa chọn này dẫn chúng tôi đến các câu

hỏi: Có những mối liên hệ nào giữa dạy-học “lượng giác” với MTBT? Chương trình thí điểm có những thay đổi nào về “lượng giác” so với chương trình cũ? Trong dạy- học “lượng giác”, GV và học sinh đã có những thay đổi gì cho phù hợp với những quan điểm mới của chương trình?

“Lượng giác” là một nội dung dạy học phong phú Trong chương trình môn toán, “lượng giác” được dạy ở cả ba khối lớp của cấp trung học phổ thông(THPT) Đối với cấp trung học cơ sở (THCS) thì “lượng giác” được đề cập ở cả ba lớp Cụ thể:

- Ở lớp 10, lượng giác có mặt ở chương Hệ thức lượng trong tam giác và trong

đường tròn và ở phần Góc lượng giác và công thức lượng giác

- Ở lớp 11, lượng giác được đề cập đến trong phần Hàm số lượng giác và phương

trình lượng giác Các hàm số lượng giác sau đó còn tiếp tục được nghiên cứu

trong phần giới hạn hàm số, hàm số liên tục và Đạo hàm của các hàm số lượng giác

- Ở lớp 12, lượng giác có ở phần ứng dụng của đạo hàm, nguyên hàm-tích phân, dạng lượng giác của số phức

Trong số các nội dung này thì theo chúng tôi MTBT có thể được khai thác

nhiều nhất ở phần Hệ thức lượng trong tam giác Vì thế, để trả lời cho những câu hỏi

đặt ra, đối tượng cụ thể mà chúng tôi lựa chọn là “lượng giác” với “hệ thức lượng trong tam giác” Sự lựa chọn này xuất phát từ những lý do sau:

- Các hệ thức lượng trong tam giác thường liên quan đến “lượng giác” và việc giải một số bài toán mang tính thực tế có liên quan nhiều đến các hệ thức này

- Các loại MTBT được sử dụng trong trường phổ thông có sẵn các chức năng về lượng giác

- Các tính toán liên quan đến lượng giác thường đưa đến vấn đề xấp xỉ số, làm tròn số và đây lại là một trong số các yếu tố có thể khai thác ở MTBT

Trong khi ở các nội dung khác thì việc giải các bài toán thường được cho ở dạng

suy luận, biến đổi logic kết hợp vận dụng các công thức lượng giác suy ra kết quả của bài toán mà hầu như không có tính toán trên các giá trị số cụ thể Ở những bài toán này, chủ yếu có thể khai thác MTBT để kiểm tra kết quả cuối cùng

Chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu chương trình và SGK để tìm các yếu tố trả lời cho các câu hỏi ban đầu:

- MTBT có vai trò gì trong dạy- học lượng giác ở trường phổ thông ?

- Những nội dung nào của lượng giác đã được thay đổi trong chương trình thí điểm?

- MTBT tồn tại như thế nào trong chương trình SGK môn toán ở trường phổ thông?

- Các chức năng có sẵn của MTBT về lượng giác được quy định sử dụng như thế nào trong chương trình? Và các chức năng này có những hạn chế nào?

Khi nghiên cứu lượng giác với Hệ thức lượng trong tam giác, chúng tôi chỉ xem

xét vấn đề “giải tam giác” Lý do của sự thu hẹp nội dung nghiên cứu nằm ở chỗ:

- Bài toán giải tam giác thường được gặp trong những bài toán mang tính thực tế

và nó gắn liền với đời sống của con người

- Các bài toán giải tam giác thường được xét trong trường hợp các số đo được cho bằng số Tính toán này thường dẫn đến những giá trị gần đúng mà ở đó MTBT có thể được sử dụng

Chúng tôi sẽ chỉ phân tích SGK lớp 10 thí điểm, vì bộ sách này sẽ được chỉnh

lý để đưa vào sử dụng đại trà trên toàn quốc

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Như đã nói ở trên, việc giải các bài toán “giải tam giác” thường đưa đến vấn đề xấp xỉ số, làm tròn số Hơn nữa , MTBT cũng chỉ cho kết quả là các số gần đúng nếu

như không là số tự nhiên, số nguyên hay số hữu tỷ Tuy nhiên trong dạy- học, nhiều

GV không chấp nhận những kết quả có được từ việc sử dụng các chương trình cài sẵn của MTBT hoặc các kết quả gần đúng nếu không được yêu cầu Vậy thì, với quan điểm tăng cường rèn luyện thực hành tính toán và tăng cường MTBT trong dạy- học toán của chương trình mới thì các nhà làm chương trình đã tính đến những vai trò gì của MTBT trong dạy- học Toán, nhất là trong các bài toán “giải tam giác”? Liệu những vai trò đó có được sử dụng triệt để trong thực hành dạy- học “giải tam giác” của

GV và học sinh?

Một cách cụ thể, chúng tôi tự đặt ra cho mình nhiệm vụ tìm những yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi:

- MTBT có vai trò gì trong dạy - học “giải tam giác”?

- Quan niệm của GV và học sinh về MTBT với tư cách là một phương tiện dạy- học và với tư cách là một công cụ hỗ trợ tính toán?

- Trong thực tế dạy học, MTBT đã được GV và học sinh sử dụng như thế nào?

3 PHẠM VI LÍ THUYẾT THAM CHIẾU

Để trả lời cho các câu hỏi trên, nghiên cứu của chúng tôi dựa vào khung lý

thuyết tham chiếu là Didactique toán, cụ thể là một số khái niệm của lý thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, tổ chức toán học - praxéologique), tổ chức didactique và khái niệm hợp đồng didactique Sự lựa chọn này

xuất phát từ những lý do sau:

Khái niệm hợp đồng didactique cho phép ta “giải mã” các ứng xử của GV và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích

một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học Việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng didactique là cần thiết, vì để chuẩn bị cho tương lai, GV phải xem xét đến quá khứ mà dạng hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của

nó Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi

Việc dựa vào lý thuyết nhân chủng học cho chúng tôi làm rõ những mối quan

hệ thể chế với tri thức và giữa tri thức với cá nhân nào đó Qua đó cho chúng tôi biết tri thức xuất hiện ở đâu, có vai trò gì trong thể chế và việc học tập của cá nhân về tri thức bị ảnh hưởng bởi những ràng buộc nào trong mối quan hệ với thể chế

Việc mô hình hoá các hoạt động toán học theo cách tiếp cận của tổ chức toán học (trong lý thuyết nhân chủng học) sẽ giải thích được thực tế của hoạt động toán học theo những quan điểm khác nhau và bằng những cách khác nhau thành một hệ thống các nhiệm vụ xác định Đánh giá từng thành phần của tổ chức toán học cho biết chúng

có được nêu lên một cách rõ ràng hay không? Có dễ hiểu không? phạm vi hợp thức như thế nào? Có đáp ứng nhu cầu hiện tại và trong tương lai?

Nghiên cứu các tổ chức toán học là công cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế và là công cụ phân tích thực tế dạy học Việc chỉ rõ các mối quan hệ với tri thức cũng giúp

ta xác định một số quy tắc của hợp đồng didactique

Việc nghiên cứu các tổ chức toán học có trong SGK sẽ cho phép tạo ra sự phá

vỡ hợp đồng diadctique, tạo nên sự phát triển cho tri thức mới

Liệu thực tế dạy - học có có khác với những gì được trình bày trong SGK? Yếu

tố lý thuyết tham chiếu có thể trả lời cho câu hỏi này là “tổ chức didactique” Việc

nghiên cứu các tổ chức didactique và các thành phần của nó cho phép giải thích sự khác nhau giữa những gì được trình bày trong SGK với thực hành dạy - học của GV Trong tiết thực hành dạy- học đó, các tổ chức toán học nào đã được xây dựng và chúng

đã được xây dựng bằng cách nào? Nói cách khác, hiện thực toán học (tổ chức toán học) được xây dựng trong lớp học nghiên cứu về một chủ đề toán học cụ thể nào đó là gì? GV đã tổ chức cho học sinh nghiên cứu các tổ chức toán học đó như thế nào? Các quy tắc hợp đồng didactique nào đã xuất hiện ngầm ẩn trong giờ học? Qua đó, chúng

ta có thể xây dựng những tình huống hoạt động toán học phù hợp với tri thức, nghĩa là tạo ra những tình huống didactique thích đáng

4 TRÌNH BÀY LẠI CÂU HỎI NGHIÊN CỨU

Với khung lý thuyết tham chiếu và giới hạn đề tài đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm câu trả lời chính là mục đích nghiên cứu của luận văn:

Q1: Những nội dung nào của lượng giác được trình bày trong các SGK phổ

thông Nó xuất hiện ở lớp mấy? MTBT đóng vai trò gì?

Q2: Những tổ chức toán học nào được xây dựng liên quan đến nội dung “Giải

tam giác”? Những kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật nào được ưu tiên thể hiện trong SGK?

Q3: Những quy tắc hợp đồng didactique nào liên quan đến giải tam giác? đến

MTBT?

Q4: Những dấu hiệu nào của SGK thể hiện trong bài “giải tam giác” liên quan

đến vấn đề xấp xỉ và tính toán gần đúng?

Q5: Trong thực tế dạy học, những tổ chức toán học và tổ chức didactique nào

đã được xây dựng liên quan đến “giải tam giác”? và MTBT đã được sử dụng như thế nào?

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Trong phần mở đầu của luận văn chúng tôi nêu lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát, giới hạn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Để trả lời các câu hỏi đã đặt ra ở phần mở đầu, chúng tôi tiến hành nghiên cứu chương trình và SGK Phần này được trình bày trong chương 1 Với mục đích làm rõ vai trò của MTBT với “lượng giác” trong dạy- học giải tam giác, trước hết chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tiến triển của MTBT qua các chương trình phổ thông Việt Nam và phần

nghiên cứu này được kế thừa từ luận văn của Nguyễn Thị Như Hà “ Máy tính bỏ túi trong dạy- học Toán: trường hợp Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10” (năm

2004) Sau đó, chúng tôi cũng cần tìm hiểu xem những nội dung lượng giác nào đã được đưa vào chương trình phổ thông và MTBT có vai trò gì trong các nội dung đó

Để tiến hành các nghiên cứu này, chúng tôi sẽ dựa vào SGK, sách bài tập (SBT), chương trình, sách giáo viên (SGV) và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy Qua đó, chúng tôi cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactique đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hoá việc sử dụng tri thức, vì việc

sử dụng tri thức đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ thuộc vào bản thân tri thức nữa mà còn phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactique Vì thế, chúng tôi tiến hành nghiên cứu mối quan hệ thể chế với MTBT trong dạy học lượng giác mà giới hạn là trong “giải tam giác”

Theo Bosch.M và Chevallard Y, 1999: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời) dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên.”

Do đó, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với một đối tượng tri thức, trong thể chế, có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với tri thức Việc chỉ rõ các tổ chức toán học liên quan đến tri thức cũng giúp ta xác định một

số quy tắc của hợp đồng didactique: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm

gì, có thể sử dụng tri thức như thế nào chẳng hạn

Nghĩa là, với khung lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi cố gắng chỉ ra các

tổ chức toán học đã được trình bày trong phần lý thuyết, đồng thời làm rõ chúng trong phần bài tập (trong cả SGK và SBT tương ứng) Việc chỉ ra các tổ chức toán học và tìm cách phân tích, đánh giá chúng cũng giải thích phần nào các câu hỏi mà chúng tôi

đã nêu ở trên, từ đó cho phép chúng tôi chỉ ra những quy tắc của hợp đồng didactique liên quan đến “giải tam giác” và liên quan đến MTBT

Ở Chương 2, chúng tôi sẽ phân tích thực hành của GV về tiết học “giải tam giác

và ứng dụng” mà chúng tôi đã dự giờ ở một trường phổ thông Qua đó, làm rõ những

tổ chức toán học và tổ chức didactique đã được GV xây dựng trong tiết học này, từ đó tiến hành so sánh và đối chiếu với những tổ chức toán học đã tìm được trong phần phân tích SGK

Kết quả nghiên cứu của chương 1 và 2 cho phép chúng tôi đưa ra các giả thuyết liên quan đến MTBT trong dạy học giải tam giác Để kiểm chứng tính thoả đáng của những giả thuyết đó, chúng tôi phải tiến hành một nghiên cứu thực nghiệm Nghiên

cứu này được trình bày trong chương 3 Chúng tôi tiến hành làm thực nghiệm trên hai đối tượng là GV và học sinh - đang dạy và học theo chương trình thí điểm mà chúng tôi nghiên cứu Đối với GV, chúng tôi sẽ phát phiếu thăm dò ý kiến của họ Đối với học sinh, chúng tôi sẽ cho học sinh làm việc cá nhân trên các câu hỏi thực nghiệm (chia làm hai phần) Học sinh sẽ được đặt trong những tình huống phá “vỡ hợp đồng” (hay trong những tình huống khác lạ so với những gì các em đã từng làm quen) Các kết quả thu được từ thực nghiệm sẽ được so sánh với các phân tích a priori trước đó, từ

đó dẫn chúng tôi đến chỗ khẳng định, phủ định hay phủ định một phần các giả thuyết nghiên cứu đã nêu ra

Cuối cùng là phần kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn

CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI

LƯỢNG GIÁC VÀ MÁY TÍNH BỎ TÚI

Để tìm hiểu mối quan hệ thể chế với lượng giác và MTBT, chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu chương trình và SGK được sử dụng trong các trường THPT từ năm

1990 đến nay, qua đó làm rõ sự tiến triển trong quan điểm của noosphère về vai trò của MTBT trong dạy- học toán Mặt khác, việc tiến hành nghiên cứu sơ lược các chương trình tương ứng ở tiểu học và THCS sẽ cho phép làm rõ sự liên thông giữa các bậc học

Năm 1981, cuộc cải cách giáo dục (bắt đầu từ lớp 1) diễn ra trên toàn quốc và được thực hiện theo kiểu “cuốn chiếu” Nghĩa là 5 năm sau, vào năm 1986-1987 thì tiến hành thực hiện chương trình mới ở cấp THCS (bắt đầu là lớp 6) và chương trình cải cách THPT bắt đầu triển khai ở lớp 10 vào năm 1990-1991 (4 năm sau) Trong 10 năm ở cấp THPT này tồn tại 3 bộ SGK trong khi ở tiểu học và THCS chỉ có 1 bộ Theo tinh thần giảm nhẹ nội dung và yêu cầu đối với học sinh, người ta đã hợp nhất ba

bộ sách này vào năm 2000 thành một bộ sách chung gọi là chương trình và SGK chỉnh

lí hợp nhất 2000 (không có sự thay đổi nào về chương trình và SGK ở tiểu học và THCS)

Nhằm làm rõ sự liên thông và sự kế thừa giữa các chương trình, chúng tôi sẽ xem xét chương trình tiểu học 1981, THCS 1986, THPT 1990 và chỉnh lí hợp nhất

2000 gọi là chương trình trước thí điểm 2003

Kể từ năm 2000-2001, SGK thí điểm soạn thảo theo chương trình mới được triển khai ở cả hai cấp tiểu học (bắt đầu cho lớp 1) và THCS (bắt đầu cho lớp 6) Một năm sau đó (vào năm 2001-2002) thì tiến hành triển khai SGK đại trà trên toàn quốc cho cả hai khối lớp này Nghĩa là song song với việc học SGK mới ở lớp 1 và lớp 6 thì

ở lớp 2 và lớp 7 tiếp tục học SGK thí điểm Vào năm học 2003-2004, chương trình và SGK THPT phân ban được tiến hành dạy thí điểm ở một số trường THPT và dự kiến đến năm 2006-2007 tiến hành triển khai đại trà trên toàn quốc Như vậy, lần thay đổi chương trình này không thực hiện theo kiểu “cuốn chiếu” nữa

Mặt khác, nội dung “lượng giác” trong chương trình thí điểm lại được dạy ở cả lớp 9 và ở cấp THPT Vì thế, khi phân tích chương trình và SGK thí điểm 2003, chúng

tôi sẽ xem xét sơ qua chương trình THCS 2001-2002 để tìm kiếm sự kế thừa liên quan đến “lượng giác” và MTBT

1.1 MTBT TRONG CÁC CHƯƠNG TRÌNH

Sự tiến triển của MTBT trong các chương trình phổ thông đã được Nguyễn Thị Như Hà nghiên cứu và trình bày trong “Máy tính bỏ túi trong dạy-học Toán: trường hợp Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10” Vì thế, trong phần này, chúng tôi sẽ tóm tắt những kết quả mà tác giả Như Hà đã nghiên cứu được để bổ sung và làm rõ hơn trọng tâm nghiên cứu luận văn của mình

1.1.1 Chương trình trước thí điểm 2003:

♦ Chương trình tiểu học 1981:

MTBT xuất hiện lần đầu tiên ở lớp 5, với vai trò chủ yếu là kiểm tra kết quả phép tính Yêu cầu đối với học sinh là “nắm được cách sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả tính toán thông thường với các phép tính cộng, trừ, nhân, chia”

♦ Chương trình THCS 1986:

Chương trình lớp 6 giới thiệu bài “Máy tính điện tử- Máy tính bỏ túi”, đồng thời người ta cũng đưa vào Bảng Brađixơ tích đúng của các số có hai chữ số Tuy nhiên, vai trò của MTBT vẫn rất mờ nhạt Cụ thể là trong SGK chỉ có 1 bài tập có yêu cầu tường minh dùng MTBT để tính toán (xuất hiện trong bài “Máy tính điện tử- Máy tính bỏ túi”), sau đó thì không đề cập đến nó nữa

Chương trình lớp 7 không đề cập gì đến MTBT mặc dù có nhiều nội dung có thể khai thác việc sử dụng MTBT

Ở chương trình lớp 8, MTBT cũng không được đề cập đến mặc dù người ta có thể khai thác trong nhiều nội dung (điển hình như “lượng giác”) Tuy nhiên, chương trình lại giới thiệu bảng lượng giác thay vì MTBT

MTBT được đề cập trở lại vào chương trình lớp 9 (sau chương “Số thực- Căn bậc hai”) nhưng vai trò của nó vẫn không được chú trọng bằng Bảng căn bậc hai Điều này được thể hiện ở các kiểu nhiệm vụ chỉ dành cho tính toán bằng tay và sử dụng bảng căn bậc hai mà không có bài tập nào dành cho MTBT (ngoại trừ hai ví dụ trong SGK)

Vì thế, chúng tôi đồng ý với tác giả Nguyễn Thị Như Hà: trong chương trình

THCS 1986 “Máy tính bỏ túi được giới thiệu cho học sinh biết như là một công cụ hỗ trợ tính toán nhanh và gọn Vai trò của máy tính bỏ túi vẫn “rất mờ nhạt” sau các bảng, biểu” ( Nguyễn Thị Như Hà, trang 12)

♦ Chương trình THPT 1990:

MTBT hoàn toàn không được đề cập đến trong chương trình này Vì thế, có thể

kết luận rằng “Máy tính bỏ túi đã bị “lãng quên” trong chương trình THPT 1990”

(Nguyễn Thị Như Hà, trang 16)

♦ Chương trình THPT chỉnh lí hợp nhất 2000:

MTBT chỉ được đề cập đến trong phần “giải tam giác” Điểm này được thể hiện

trong Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10, trang 70: “Mục giải tam giác bắt buộc học sinh phải dùng máy tính bỏ túi, đây là dịp cho học sinh làm quen với việc sử dụng loại máy tính này” Hơn nữa, chương trình (Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10, trang70) cũng yêu cầu “Khi tính toán, cần nhắc lại cho học sinh thực hiện đúng quy tắc tính toán các số gần đúng” Sau đó nó không còn được nhắc đến nữa

2003, nghĩa là đến thời điểm này, chương trình thí điểm đã được tiến hành triển khai

đủ ở cả ba khối lớp của bậc THPT (lớp 10, 11, 12) và chương trình mới THPT sẽ được triển khai đại trà ở khối lớp 10, bắt đầu từ năm học 2006-2007

♦ Chương trình THCS 2001:

Chủ trương chung của chương trình mới lần này là “tăng cường sử dụng MTBT

để giảm nhẹ những khâu tính toán không cần thiết” Vì thế trong SGK, người ta tăng cường giới thiệu các bài hướng dẫn sử dụng MTBT và thiết kế các kiểu nhiệm vụ có yêu cầu tường minh việc tính toán bằng MTBT mà đặc biệt là các bài có tính toán gần đúng

MTBT vẫn giữ vai trò chủ yếu là công cụ hỗ trợ tính toán nhưng nó đã có vai trò ngang hàng với các bảng, biểu

♦ Chương trình thí điểm THPT 2003:

Ngoài vai trò hỗ trợ tính toán, MTBT trong chương trình thí điểm 2003 tiếp tục được khai thác trong các bài toán có tính gần đúng, đặc biệt là việc sử dụng các chương trình cài sẵn trong máy như các chức năng về lượng giác, giải phương trình (bậc hai), hệ phương trình (bậc nhất hai ẩn)… Tuy nhiên thể chế chỉ mong muốn học

sinh “sử dụng các thuật toán kết hợp với máy tính bỏ túi”(Nguyễn Thị Như Hà, trang

1.2 MTBT VỚI “LƯỢNG GIÁC ” TRONG CÁC CHƯƠNG TRÌNH

Các khái niệm của lượng giác chỉ xuất hiện từ bậc THCS Vì thế, chúng tôi sẽ xem xét các nội dung của “lượng giác” trong các chương trình THCS và THPT cùng với vai trò cụ thể của MTBT trong các nội dung đó

1.2.1 Chương trình trước thí điểm 2003:

a) Chương trình THCS 1986

“Lượng giác” chưa xuất hiện trong chương trình lớp 6 và 7 Nó được đưa vào lần đầu tiên ở lớp 8 khi học sinh học về “Tỉ số lượng giác của góc nhọn” Mục đích chủ yếu là áp dụng “giải tam giác vuông” và “giải các bài toán thực tế” (đưa về giải tam giác vuông)

MTBT không được đề cập đến trong chương trình này cho nên nó không có vai trò gì đối với “lượng giác”

b) Chương trình THPT 1990

Trong chương trình hình học 10, “lượng giác” được đưa vào chương “Hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn” Để mở rộng khái niệm “Tỉ số lượng giác của góc nhọn” đã học trong chương trình lớp 8, chương trình lớp 10 giới thiệu Hàm số lượng giác của góc α (00 ≤ α ≤ 1800) để ứng dụng chứng minh các công thức của tích

vô hướng, các hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn và các bài toán về giải tam giác

“Lượng giác” tiếp tục được giảng dạy trong chương trình lớp 11 qua hai phần

“Hàm số lượng giác” và “Phương trình lượng giác” Lúc này, các hàm số lượng giác

được định nghĩa cho các góc bất kì chứ không phải là góc trong đoạn từ 00 đến 1800như ở lớp 10 Chương trình đưa vào các định nghĩa liên quan đến số đo góc, định nghĩa góc (cung) lượng giác, các phương trình lượng giác; sơ lược về các hệ phương trình lượng giác, bất đẳng thức và bất phương trình lượng giác và cả các khái niệm về hàm số lượng giác ngược (biết các kí hiệu arcsinx, arccosx, arctgx và arccotgx; đồ thị các hàm số lượng giác ngược và ý nghĩa của chúng)

Lượng giác tiếp tục được đề cập đến trong chương trình lớp 11 ở một số nội dung như giới hạn của hàm số lượng giác, hàm số liên tục, phương trình (bất phương trình) mũ và logarít (có chứa hàm số lượng giác) …

Trong chương trình lớp 12, lượng giác lại xuất hiện trong phần đạo hàm, tích phân các hàm số lượng giác… Tuy nhiên, nó chỉ có rải rác trong các nội dung này MTBT vẫn không có vai trò gì với lượng giác trong chương trình THPT 1990

c) Chương trình THPT chỉnh lí hợp nhất 2000

Các nội dung của lượng giác vẫn như chương trình 1990 Tuy nhiên, theo tinh thần giảm tải của Bộ giáo dục, chương trình lần này có lược bỏ bớt một số nội dung ở lớp 11 Cụ thể như sau:

- Bỏ hàm số lượng giác ngược Do đó, các kí hiệu liên quan đến hàm số lượng giác ngược trong tích phân lớp 12 và trong giải các phương trình lượng giác được viết cách khác, ví dụ như:

tgx = 1/5 ⇒ x = arctg1/5 + kπ, k∈Z

Thay cho cách viết này, ta sẽ viết x = α+ kπ, k∈Z với α là cung mà tgα=1/5

- Bỏ phần bất đẳng thức và bất phương trình lượng giác

- Giảm bớt các bài tập biện luận theo tham số khi giải các phương trình lượng giác, giảm các bài tập về nhận dạng một tam giác thoả mãn một hệ thức lượng giác nào đó

Điểm khác biệt trong chương trình lần này là thuật ngữ “tỉ số lượng giác” được

sử dụng thay cho thuật ngữ “hàm số lượng giác” (của chương trình 1990)

Như đã nghiên cứu trong phần 1.1, MTBT được chương trình lần này quan tâm

hơn, đó là “bắt buộc” học sinh phải sử dụng nó trong phần “giải tam giác” Sau đó,

MTBT không được đề cập đến nữa

Kết luận

Các nội dung “lượng giác” trong chương trình 2000 đã được giảm nhẹ hơn so với chương trình trước đó MTBT chỉ “bắt buộc” phải được sử dụng trong bài giải tam giác ở lớp 10 với vai trò hỗ trợ tính toán

1.2.2 Chương trình thí điểm 2003:

Như chúng tôi đã giới thiệu, tương ứng với chương trình thí điểm THPT 2003

là chương trình THCS 2001 Vì vậy, chúng tôi sẽ xem xét sơ qua chương trình này trước khi nghiên cứu chương trình THPT 2003 để tìm sự kế thừa của chúng

a) Chương trình THCS 2001

Trong chương trình 2001, lượng giác xuất hiện ở lớp 9 (chứ không phải ở lớp 8

như chương trình trước thí điểm) trong phần Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cũng như chương trình THCS 1986, “Tỉ số lượng giác của góc nhọn” được đưa vào với mục đích để áp dụng Giải tam giác vuông và các bài toán mang tính thực tế (đưa

về giải tam giác vuông) Nó cũng có trong chương trình Đại số 9 với mục đích là tính các “hệ số góc” của đường thẳng (hệ số góc của đường thẳng y=ax+b là a=tgα với α là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox với phần đường thẳng nằm trên trục Ox)

“Bảng lượng giác và máy tính bỏ túi” được giới thiệu tường minh Tuy nhiên MTBT chỉ được thể hiện trong SGK dưới dạng “bài đọc thêm” nên việc luyện tập sử dụng MTBT là trách nhiệm của học sinh, không phải là trách nhiệm của GV

Kết luận: Trong chương trình THCS 2001, Lượng giác chỉ xuất hiện ở lớp 9,

ngoài ra nó không còn xuất hiện ở đâu nữa MTBT đã được giới thiệu tường minh

nhưng vẫn giữ vai trò ngang hàng với bảng lượng giác (như đã kết luận trong phần 1.1)

b) Chương trình thí điểm THPT 2003

SGV Đại số 10 thí điểm, trang 7, ở phần những điểm mới trong chương trình có

nói rõ sự thay đổi một số nội dung: “…có thêm hai nội dung mới là thống kê (8 tiết) và góc lượng giác và công thức lượng giác (12 tiết)”; “Điểm đặc biệt là trong chương trình có một chương về lượng giác, đúng ra là mở đầu về lượng giác” (trang 8), “Hầu hết các chương đều đề cập đến vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi và tính gần đúng”

Như vậy, lượng giác được đưa vào trong cả chương trình Hình học và Đại số 10 thí

điểm Cụ thể, nó được trình bày ở Đại số 10 qua chương “Góc lượng giác và công thức lượng giác”; và ở hình học 10 là chương “Hệ thức lượng trong tam giác, trong đường tròn” Nghĩa là nếu như “góc lượng giác và công thức lượng giác” được dạy ở

lớp 11 (chương trình 2000) thì bây giờ đưa xuống lớp 10 thí điểm

Vì lí do trên nên ở lớp 11 lúc này chỉ còn Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Hơn nữa, chương trình thí điểm phân ban lại đưa nội dung “Đạo hàm”

xuống lớp 11 nên lượng giác cũng liên quan đến đối tượng này

Chương trình lớp 12 giới thiệu thêm nội dung mới là “Số phức”; như thế lượng giác có mặt trong “Dạng lượng giác của số phức”

Các nội dung khác của lượng giác vẫn là các nội dung của chương trình chỉnh lí hợp nhất THPT 2000 (theo chương trình giảm tải của bộ giáo dục)

Về MTBT, chương trình lần này có quan tâm hơn Ở chương “Hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn”, SGV hình học 10 thí điểm (bộ thứ nhất, trang 41) nêu rõ “Ngoài một số công thức cần nhớ, chương này giúp học sinh luyện tập tính toán, và đây là dịp tốt để học sinh sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT) nếu có điều kiện”,

“Nếu có điều kiện nên hướng dẫn học sinh sử dụng MTBT loại… ” Trên tinh thần

này, SGK có các phần hướng dẫn sử dụng MTBT sau những nội dung có thể ứng dụng MTBT chẳng hạn như sau các định lí cosin và định lí sin trong tam giác, hay sau bài Giải tam giác Các phím chức năng về lượng giác có trên MTBT đã được giới thiệu tường minh Tuy nhiên, MTBT vẫn giữ vai trò chính là công cụ hỗ trợ tính toán (đã kết luận ở 1.1)

1.3 “LƯỢNG GIÁC” VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ “GIẢI TAM GIÁC” TRONG SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 10 THÍ ĐIỂM

Nghiên cứu của chúng tôi dựa trên các khái niệm của tổ chức toán học và khái niệm hợp đồng didactique Cụ thể hơn, trong nghiên cứu dưới đây chúng tôi sẽ sử dụng những khái niệm này để là rõ quan hệ của thể chế được nghiên cứu với MTBT, những quy tắc của hợp đồng didactique liên quan đến MTBT và lượng giác

Như chúng tôi đã giới hạn trong phần lý do chọn đề tài, nghiên cứu SGK sẽ tập

trung vào nội dung Hệ thức lượng trong tam giác – mà trọng tâm là “giải tam giác”

“Giải tam giác” có thể được hiểu theo hai nghĩa “hẹp” và “rộng” Theo nghĩa “hẹp” thì

giải tam giác là tìm góc và cạnh của tam giác khi biết một số yếu tố của nó; còn theo nghĩa “rộng” là tìm các yếu tố của tam giác như góc, cạnh, chiều cao, diện tích, độ dài đường trung tuyến,

Luận văn này sẽ nghiên cứu “giải tam giác” theo nghĩa “hẹp” Chúng tôi giới hạn như vậy với lý do sau: Trong các hệ thức lượng trong tam giác, có thể kể ra ở đây

là định lý sin, định lý cosin, các hệ thức về độ dài đường trung tuyến và các công thức tính diện tích tam giác (liên quan đến chiều cao, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, ) thì chỉ có định lý sin, cosin và một công thức tính diện tích tam giác có gắn với lượng giác

Theo nghĩa đó, chúng tôi cho rằng có thể có các kiểu nhiệm vụ sau:

- T 1: Giải tam giác khi biết hai góc và một cạnh

- T 2: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc

Trong đó chúng tôi phân biệt:

T21: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc xen giữa

T22: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa

- T 3: Giải tam giác khi biết ba cạnh

- T 4: Giải tam giác khi biết các yếu tố khác (không phải là cạnh và góc như các

kiểu nhiệm vụ trên)

Trước hết, chúng ta hãy xem xét những kỹ thuật có thể sử dụng để giải quyết các kiểu nhiệm vụ này Đây chỉ là một sự phân tích thuần tuý về mặt toán học Chúng tôi sẽ dựa vào phân tích này để xem xét SGK

►T1: Giải tam giác khi biết hai góc và một cạnh của nó

Có hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này

• τ1s: Dùng định lí sin

- Tính góc thứ ba (dựa vào tính chất tổng ba góc trong tam giác)

- Tính hai cạnh bằng định lí sin

θ1s: Công thức định lí sin, tính chất tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800

Θ1s: Chứng minh của định lí sin và các yếu tố để chứng minh nó Định lí về tổng

ba góc trong một tam giác bằng 1800

(trong kỹ thuật này bao gồm cách tính qua trung gian hoặc không qua trung gian bán kính đường tròn ngoại tiếp R)

• τ1sc: Kết hợp định lí sin và cosin

- Tính góc thứ ba (dựa vào tính chất tổng ba góc trong tam giác)

- Tính cạnh thứ hai nhờ định lí sin, tính cạnh thứ ba nhờ định lí cosin

θ1sc: Công thức định lí sin và cosin, tính chất tổng ba góc trong một tam giác bằng

1800

Θ1sc: Đó là Θ1s và chứng minh của định lí cosin (cùng với các yếu tố để chứng

minh nó)

► T2: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc

™ T 21: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc xen giữa

Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này có 2 kỹ thuật sau

• τ21c: Dùng định lí hàm số cosin

- Tính cạnh còn lại bằng định lí hàm số cosin

- Tính số đo một trong hai góc còn lại bằng định lí cosin

- Tính góc thứ ba (tổng ba góc trong tam giác hoặc công thức cosin)

θ21c: Công thức định lí cosin

Θ21c: Chứng minh của định lí cosin và các yếu tố để chứng minh nó

• τ21cs: Kết hợp định lí cosin và sin

- Tính cạnh còn lại dựa vào định lí hàm số cosin

- Tính 1 trong 2 góc còn lại bằng định lí sin

- Tính góc thứ ba

θ21cs: Như θ1sc

Θ21cs: Như Θ1s và Θ21c

™ T 22: Giải tam giác khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa

Có 3 kỹ thuật sau:

•τ22s: Dùng định lí sin

- Tính góc thứ hai (tương ứng với một trong hai cạnh đã biết) bằng định

lí sin (trực tiếp, hoặc qua trung gian bán kính R)

► T3: Giải tam giác khi biết ba cạnh

Để giải quyết kiểu nhiệm vụ này, có thể dùng các kĩ thuật sau:

- Tính góc thứ ba

Phạm vi hợp thức của kĩ thuật này là: Góc thứ nhất hoặc góc thứ ba là góc lớn nhất của tam giác và góc thứ ba luôn được tính bằng tính chất tổng ba góc trong một tam giác (nếu tính góc thứ hai là góc nhọn được suy ra từ định lí sin)

Trước khi phân tích các tổ chức toán học có trong phần lý thuyết và bài tập, chúng tôi sẽ nghiên cứu phần trình bày của SGK về các hệ thức lượng trong tam giác

để có sự kế thừa trong phần giải tam giác - trọng tâm nghiên cứu của luận văn

Vì khái niệm tỉ số lượng giác của một góc bất kì từ 00 đến 1800 được giới thiệu trong bài “Tích vô hướng của hai vectơ” ở chương I, do đó chúng tôi sẽ nghiên cứu sơ lược phần này trước khi ngiên cứu các hệ thức lượng trong tam giác, để tìm sự kế thừa của nó trong các bài học về hệ thức lượng trong tam giác ở chương II

Để thuận tiện trong việc nghiên cứu hai bộ sách, chúng tôi kí hiệu như sau:

- Bộ thứ nhất: SGK1 (sách giáo khoa bộ thứ nhất), SGV1 (sách giáo viên bộ thứ nhất), SBT1 (sách bài tập bộ thứ nhất)

- Bộ thứ hai: SGK2 (sách giáo khoa bộ thứ hai), SGV2 (sách giáo viên bộ thứ hai), SBT2 (sách bài tập bộ thứ hai)

1.3.1 Tỉ số lượng giác của một góc bất kì (từ 0 0 đến 180 0 )

◦ Đối với bộ sách thứ nhất:

Ở phần giới thiệu bài “Tích vô hướng của hai vectơ”, SGK1(trang24) nêu rõ:

“Để có thể xác định tích vô hướng của hai vectơ ta cần đến khái niệm tỉ số lượng giác của một góc bất kì” Như vậy, “tỉ số lượng giác” được đưa vào phần này với mục đích

chủ yếu là dùng trong công thức tích vô hướng

Về định nghĩa Tỉ số lượng giác của một góc bất kì (từ 00 đến 1800), SGK1 ôn lại tỉ số lượng giác của góc nhọn (đã học ở lớp 9 thí điểm), sau đó giới thiệu định nghĩa cho góc bất kì (từ 00 đến 1800) dựa vào toạ độ của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị Để áp dụng định nghĩa đó, SGK1 cho ví dụ 1:

Tìm các tỉ số lượng giác của góc 135 0

Bằng các suy luận, dựa vào các tính chất hình học và tỉ số lượng giác trong tam giác vuông (đã học ở lớp 9), tìm được:

Toạ độ của điểm

Ngay sau đó là 2 câu hỏi yêu cầu trả lời nhanh và đúng:

Tìm tỉ số lượng giác của các góc 0 0 , 180 0 , 90 0

Sau đó, SGK1 giới thiệu tính chất về tỉ số lượng giác của 2 góc bù nhau mà việc chứng minh chúng lại dựa vào các tính chất hình học; áp dụng để tìm tỉ số lượng giác của góc 1500 (dựa vào các tỉ số lượng giác của góc bù với nó là 300)

Kết hợp với bảng lượng giác của các góc (nhọn) đặc biệt đã học ở lớp 9, SGK1

đưa ra bảng tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt (từ 0 0 đến 180 0 ), với nhấn

mạnh là “các em học sinh nên nhớ”, nghĩa là nếu gặp các giá trị hay góc đặc biệt có

trong bảng thì phải sử dụng bảng Đó là các giá trị đúng, không có giá trị gần đúng

Như vậy việc xây dựng bảng này được SGK1 tiếp cận bằng hai con đường:

- Tính chất hình học

- Tính chất tỉ số lượng giác của hai góc bù nhau

Các ví dụ trong bài này cho thấy học sinh chủ yếu được làm quen với các góc

đặc biệt và các giá trị đúng Đối với góc bất kì thì SGK1- trang 27 có nêu rằng “Tỷ số lượng giác của các góc bất kì có thể tìm thấy trên bảng số hoặc trên máy tính bỏ túi”,

nhưng sau đó không đề cập đến bảng số nữa

Bảng số mà các tác giả nói ở đây chính là bảng số lượng giác có 4 chữ số thập

phân của V.M Bra-đi-xơ được giới thiệu trong SGK lớp 9 tương ứng (trang 77) Bảng

số này chỉ dành cho các góc nhọn mà thôi

Chúng tôi nhận thấy có 4 bài tập của SGK1 liên quan đến tỉ số lượng giác có trong bài “Tích vô hướng” Chẳng hạn như:

Bài 29 Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi

hoặc bảng số)

a) (2sin30 0 + cos135 0 -3tg150 0 ) (cos180 0 – cotg60 0 );

b) sin 2 90 0 + cos 2 120 0 + cos 2 0 0 – tg 2 60 0 + cotg 2 135 0

Với yêu cầu bài toán là tính giá trị đúng thì các góc cho trước đều là góc đặc biệt (có trong bảng cần nhớ) và hiển nhiên kết quả được cho trong SGV1 là giá trị đúng

Bài 34 Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B = 30 0 Tính các giá trị của các biểu thức sau

2)sin( , ) cos( , )

12

1

2cos12

1 cot

2sin

góc nhọn Chứng minh hai công thức còn lại dựa vào công thức thứ nhất vừa chứng minh

Trong SBT1 chỉ có duy nhất một bài (trong bài “Tích vô hướng” ) có liên quan

đến tỉ số lượng giác đó là bài 48 -trang 10: Tìm dạng của tam giác ABC nếu:

◦ Đối với bộ sách thứ hai:

Khác với SGK1, tỷ số lượng giác của góc bất kì được SGK2 định nghĩa qua hai giai đoạn riêng biệt: qua góc nhọn sau đó đến góc tù (và bẹt) Vì tỷ số lượng giác của các góc nhọn đã học ở lớp 9, đó là tỷ số giữa các cạnh trong tam giác vuông, nên ở lớp

10 chỉ yêu cầu học sinh nhắc lại Sau đó, SGK2 định nghĩa tỷ số lượng giác của hai góc đặc biệt là 00 và 900 Thông qua tỷ số lượng giác của hai góc bù nhau, SGK2 đã định nghĩa tỷ số lượng giác của các góc tù và bẹt (định nghĩa này trong SGK1 được nêu dưới dạng tính chất)

Để áp dụng định nghĩa đó, SGK2 có yêu cầu “Tính các tỉ số lượng giác của các góc 120 0 , 135 0 và 1500” và các kết quả này được tìm ra nhờ định nghĩa tỉ số lượng giác của hai góc bù nhau Kết hợp với bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt (góc nhọn)

đã học ở lớp 9, SGK2 đưa thêm vào bảng này góc đặc biệt nữa là 1800 Đó là bảng sau (SGK2, trang 22):

BẢNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

Như vậy, góc 120 0 , 135 0 và 150 0 không được đưa vào bảng này Đây cũng là

điểm khác biệt thứ hai của SGK2 so với SGK1

Điểm khác biệt thứ ba của hai bộ sách nữa là SGK2 có phần hướng dẫn sử dụng MTBT trong khi SGK1 không có phần này Với 4 ví dụ sử dụng MTBT là Tính sin63052’41”, Tính cotg38010’, Tìm x biết sinx = 0,3502 và tìm x biết cotgx= 2,619 thì kết quả khiến chúng tôi chú ý trong 4 ví dụ trên là: khi biết sinx=0,3502 thì x≈20029’58”, nghĩa là chỉ có góc nhọn được suy ra từ giá trị sin cho trước Vấn đề

này có thể giải thích là vì việc xây dựng chức năng các phím bấm của MTBT “trong phép tính ngược (tìm góc) máy chỉ cho kết quả góc ở định trị chính mà thôi” (trang

69, Máy tính Casio fx 570MS- hướng dẫn sử dụng và giải toán dùng cho các lớp 11-12, sách tặng kèm theo máy của các tác giả TS Nguyễn Văn Trang (chủ biên),

10-Nguyễn thế Thạch, 10-Nguyễn Trường Chấng, Trần Văn Vuông (biên soạn))

Rõ ràng, chúng ta đều biết có hai góc bù nhau cùng thoả sinx = 0,3502 Như vậy, hướng dẫn trên của SGK2 có gây nên những trở ngại hay hiểu lầm nào cho học sinh trong các ứng dụng sau này (nhất là các bài về tính số đo góc của tam giác)?

Trong phần bài tập chỉ có 1 bài liên quan trực tiếp đến các tỉ số lượng giác, đó

là: Tính tỷ số lượng giác của các góc sau đây:

a) 60 0 b) 120 0 c) 150 0 d) 135 0

Các kết quả tìm được dựa vào bảng các giá trị đặc biệt và dựa vào bài tập trình bày ở phần lí thuyết đã nêu trên

Các bài tập còn lại liên quan đến công thức tích vô hướng với các giả thiết là các góc đặc biệt, và các kết quả đều để ở các giá trị đúng

Trong SBT2 có 7/25 bài tập liên quan đến tỉ số lượng giác (trừ những bài về tích vô hướng), gồm những dạng sau:

- Với những giá trị nào của góc α thì sinα cùng dấu và trái dấu với cosα, tgα, cotgα

- Tìm các tỉ số lượng giác của các góc 1200, 1350, 1500

- Tính giá trị của biểu thức, tính và so sánh các giá trị của hai biểu thức

- Không có sự giới thiệu về bảng số lượng giác với 4 chữ số thập phân

- Tính chất (định nghĩa) sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau chỉ được phát biểu dạng công thức và một số áp dụng Ngoài ra, không có một bài tập hay

chú ý nào trong SGK (hay SBT) củng cố cho học sinh về vấn đề với cùng

một giá trị sinα ≥ 0 thì có hai số đo góc α thuộc [00 ; 180 0 ] thoả mãn giá trị đó

- MTBT chỉ cho góc nhọn từ tỷ số lượng giác sin của góc đó Bảng số lượng giác chỉ dành cho các góc nhọn

Những đặc điểm này có được biểu hiện ở chương Hệ thức lượng trong tam giác

và trong đường tròn, nhất là đối với Hệ thức lượng trong tam giác? Để có câu trả lời,

chúng tôi tiến hành nghiên cứu sau:

1.3.2 Hệ thức lượng trong tam giác

Vì trọng tâm nghiên cứu là “Giải tam giác” theo nghĩa “hẹp” mà chúng tôi đã

giới thiệu ở trên, cho nên phần Hệ thức lượng trong tam giác sẽ liên quan đến các vấn

đề sau:

- Định lí cosin và định lí sin trong tam giác

- Độ dài trung tuyến và diện tích tam giác

- Giải tam giác và ứng dụng

a) Bộ sách thứ nhất

♦Phần lý thuyết

Sau khi cho học sinh thực hành tìm ra công thức tính cạnh thứ ba của tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó trong trường hợp tổng quát (đây chính là

hoạt động chứng minh định lí cosin), SGK1 phát biểu định lí cosin:

Trong tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c, ta luôn có

Có hai ví dụ áp dụng định lí và hệ quả vừa nêu:

- Ví dụ 1 là bài toán mang tính thực tế đưa về bài toán tính cạnh còn lại của tam giác nếu biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó Ví dụ này cho giả

thiết là góc đặc biệt 600, sử dụng định lí cosin SGK1 cho kết quả là giá trị gần đúng sau khi có giá trị đúng của cạnh Bắt đầu từ đây, học sinh đã tiếp cận với

kiểu nhiệm vụ T 21 Kĩ thuật được dùng trong trường hợp này là τ 21c(Dùng định lí hàm số cosin)

- Ví dụ 2 là bài toán cho trước ba cạnh của tam giác ABC, yêu cầu tính số đo góc A Vì góc A là góc nhọn và không đặc biệt, nên từ hệ quả của định lí

cosin tính cosA, suy ra A nhọn (lấy đến đơn vị là phút) và tính theo các giá trị

gần đúng Ví dụ này thuộc kiểu nhiệm vụ T 3, và trong trường hợp này người

ta tính số đo của một góc bằng công thức cosin

Ngay sau ví dụ 2 này, SGK1 có chú ý về sử dụng MTBT để tính số đo góc A nếu biết cosA

Như vậy, học sinh đã có thể tính góc và cạnh tam giác bằng công thức cosin

và cũng biết sử dụng MTBT để suy ra số đo góc từ cosin của góc đó

Sau khi phát biểu định lí sin:

Với mọi tam giác ABC, ta có a = b = c =2

sinA sinB sinC R

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

SGK1 suy ra hệ quả:

Với mọi tam giác ABC, ta có a = 2R.sinA, b = 2R.sinB, c = 2R.sinC

Để áp dụng định lý sin, SGK1 đưa ra ví dụ 3 (là bài toán mang tính thực tế) đó

là tìm cạnh của tam giác nếu biết một cạnh và hai góc của tam giác đó Giả thiết cho 1 góc đặc biệt (300), góc còn lại là 15030’, cho nên các giá trị tìm được là các góc cũng không đặc biệt và vì vậy kết quả được để ở giá trị gần đúng Như vậy, kiểu nhiệm vụ

T1 đã được đưa vào từ ví dụ này và kĩ thuật được sử dụng là τ 1s Nghĩa là từ định lý sin này, lại có thêm một công thức để tính cạnh của tam giác

Như vậy, cả hai ví dụ 2, 3 vừa nêu có đặc điểm chung là giả thiết cho các góc không đặc biệt, còn ví dụ 1 cho độ dài cạnh tam giác là số thập phân nên các kết quả

cho trong SGK1 là các giá trị gần đúng Phải chăng khi gặp các giả thiết như thế thì tính gần đúng? Các nghiên cứu sau này sẽ cho phép trả lời câu hỏi vừa nêu

Ngoài ra, SGK1 có chú ý giới thiệu sử dụng MTBT để tính giá trị của biểu thức

số sao cho ít sai số nhất, cụ thể là tính giá trị của biểu thức 70.sin105 30'0 0

sin14 30'

biểu thức có trong ví dụ 3 vừa rồi) Giá trị sin của các góc không được thể hiện cụ thể

là bao nhiêu trong biểu thức cần tính, mà được giữ nguyên theo công thức rồi dùng MTBT để tính kết quả gần đúng một lần (chỉ bấm một lần dãy các phím bấm theo thứ

tự của biểu thức cần tính toán) Nhìn lại các ví dụ trong SGK1, chúng tôi cũng thấy

các biểu thức chỉ tính gần đúng một lần Lí do được nêu ra trong SGK1 là “phải tính

sao cho ít sai số nhất” Như vậy, yêu cầu đặt ra khi tính gần đúng là phải tính sao cho ít sai số nhất

Các công thức tính độ dài trung tuyến của tam giác không liên quan đến lượng giác mà chỉ phụ thuộc vào độ dài ba cạnh của tam giác Tuy nhiên nó lại được chứng minh nhờ định lí cosin trong tam giác Vì thế, định lí cosin vẫn giữ vai trò chính đối với công thức này

Với 5 công thức tính diện tích tam giác thì chỉ có 1 công thức có liên quan đến

tỉ số sin trong tam giác, đó là:

2

1 2

1 2

S = ab.sinC = ac.sinB = bc.sinA

SGK1 không có ví dụ nào về diện tích tam giác có liên quan đến công thức này Như vậy, liên quan đến lượng giác trong hệ thức lượng trong tam giác chủ yếu

là các định lý sin và cosin, nghĩa là đến lúc này thì học sinh có thể tính góc và cạnh của tam giác bằng:

- Định lí cosin

- Định lí sin

- Kết hợp cả định lí sin và cosin

Với các hệ thức lượng trong tam giác vừa nêu thì trong bài “Giải tam giác và

ứng dụng”, SGK1 giới thiệu 5 bài toán thuộc ba kiểu nhiệm vụ đó là T 1, T21, T3 Vậy SGK1 đã lựa chọn định lí nào để giải tam giác hay là lựa chọn sự kết hợp cả hai định lý? Sau đây là một số bài toán đó:

Bài toán 1: Cho tam giác ABC biết a = 17,4; B = 44 0 30’; C = 64 0 Tính góc A và các cạnh b, c của tam giác

Việc tính góc thứ ba bằng tính chất tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng

1800 và tính hai cạnh còn lại của tam giác bằng định lí sin (τ 1s) là đơn giản nhất Còn

kĩ thuật τ 1sc: Dùng định lí sin và cosin không được quan tâm bởi vì chỉ có thể sử dụng

định lí cosin để tính c (sau khi tìm được A, b) nhưng như vậy việc tính toán sẽ phức tạp hơn khi dùng định lí sin

Giả thiết của bài toán 1 này cho góc không đặc biệt và độ dài cạnh là số thập phân nên kết quả tính gần đúng Các giá trị sin của các góc không được ghi cụ thể là bao nhiêu, chỉ tính gần đúng kết quả một lần Như vậy, MTBT đã can thiệp từ đây và đây cũng là thể hiện tinh thần tính sao cho ít sai số nhất mà sách đã yêu cầu (như phân tích ở trên)?

Bài toán 2: Cho tam giác ABC, biết a = 49,4; b = 26,4; C = 47 0 20’ Tính hai góc A, B và cạnh c

Giải Theo định lí cosin ta có

Trong lời giải này có chi tiết:

0,1914 ≈ cos78 0 58’ Vậy - 0,1914 ≈ cos(180 0 – 78 0 58’) = cos101 0 2’

Các tác giả đã không suy ra trực tiếp góc A (tù) từ giá trị cosA nhỏ hơn 0, mà lại qua trung gian góc nhọn (giá trị cosA dương), rồi lấy A bù với góc nhọn đó Chúng tôi cho rằng ở đây có sự ngầm ẩn về việc sử dụng bảng số lượng giác (bảng này có 4 chữ số thập phân và chỉ dùng cho góc nhọn mà chúng tôi đã nêu trong phần 1.3.1) để tìm số đo góc A từ cosA Nghĩa là, các tác giả SGK1 trình bày cách này cho những vùng miền, hay cho những trường hợp không có MTBT (loại máy có chức năng lượng giác) Trong khi đó, nếu sử dụng MTBT có chức năng lượng giác thì sẽ cho trực tiếp kết quả góc A là góc tù mà không cần phải thông qua giá trị trung gian (góc nhọn bù

với nó) dựa vào hướng dẫn sử dụng MTBT trong SGK1 đã nêu Phải chăng MTBT chỉ được sử dụng để hỗ trợ tính toán trong bài toán này, bảng số chỉ được sử dụng ngầm ẩn?

Bài toán 2 này thuộc kiểu nhiệm vụ T 21: giải tam giác khi biết hai cạnh và một

góc xen giữa Kỹ thuật được sử dụng trong bài toán này là τ 21c: Dùng định lí hàm số cosin

- Tính cạnh còn lại dựa vào định lí hàm số cosin

- Dùng định lí cosin tính số đo một trong hai góc còn lại

- Tính góc thứ ba

Ở đây có thể dùng định lí sin để tính số đo góc A thay vì tính bằng cosA như trình bày trong bài toán, nghĩa là sử dụng kỹ thuật τ21cs: Kết hợp định lí cosin và sin

(Tính cạnh còn lại dựa vào định lí hàm số cosin, dùng định lí sin trong tam giác để

tính 1 trong 2 góc còn lại, tính góc thứ ba) Tuy nhiên, nếu tính sinA thì theo tính chất

tỉ số sin sẽ có hai số đo góc A bù nhau thoả sinA = sina C

c .Trong trường hợp này, khi

sử dụng bảng số hay MTBT thì từ sinA sẽ suy ra góc A nhọn, trong khi góc A lại là góc tù.Vì thế, nếu tính bằng sinA thì phải suy ra hai số đo góc bù nhau nhận cùng giá trị sin và để có kết quả cuối cùng thì phải tiến hành loại bỏ góc nhọn bằng các tính chất của tam giác mà cụ thể là sử dụng mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác (góc tương ứng với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Do đó, dùng định lí cosin để tính góc A trong trường hợp này là tốt nhất, nghĩa

là với mỗi giá trị cosx (00 ≤ x ≤ 1800) thì chỉ cho một số đo x duy nhất mà thôi, hơn nữa còn biết được góc đó là góc tù hay nhọn Như vậy, có phải chỉ nên dùng định lí sin

để tính số đo của góc khi biết rõ góc đó là nhọn hay tù? Nói cách khác, dùng công

thức cosin để tính số đo góc thì an toàn hơn định lí sin?

Vậy, với T21 thì SGK1 ưu tiên τ21c

Kiểu nhiệm vụ T 22 không được các tác giả trình bày trong phần bài học này Vậy thì, liệu nó có được yêu cầu trong phần bài tập hay trong SBT1 tương ứng hay không? Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi này trong phân tích hệ thống bài tập sau khi trình bày bài toán 3 dưới đây

Bài toán 3 Cho tam giác ABC biết a = 24; b = 13; c = 15 Tính các góc A, B,C

Giải Theo hệ quả của định lí cosin ta có

Với khuyết điểm đã nêu của τ 3cs (chỉ đúng trong phạm vi hợp thức) thì tại sao

kỹ thuật τ3c (Dùng định lí cosin) lại không được sử dụng Liệu τ 3cs có tiếp tục là kỹ thuật được ưu tiên trong phần bài tập?

Cũng như bài toán 2, cách suy ra góc A của bài toán có sự ngầm ẩn về vai trò của bảng số lượng giác Như vậy, tại sao góc B được suy ra từ sinB lại không được các tác giả giải thích cụ thể, nghĩa là không xét trường hợp góc bù với nó?

Cả 5 bài toán được trình bày trong SGK1 đều cho số đo góc không đặc biệt, độ

dài cạnh là số thập phân và các kết quả đều lấy giá trị gần đúng SGK1 không trình bày

cụ thể các giá trị lượng giác của các góc đem tính là bao nhiêu trong biểu thức tính toán mà tính gần đúng một lần kết quả cuối cùng của biểu thức Chúng ta lại thấy thể hiện quan điểm tính sao cho ít sai số nhất trong các bài toán này Nghĩa là có quy tắc

hợp đồng didactique

R1: Phải tính sao cho ít sai số nhất

Với quy tắc này thì một số dạng thể hiện của nó là:

- Dùng công thức để có biểu thức số, sau đó dùng MTBT để tính kết

quả cuối cùng) Nghĩa là, với mỗi biểu thức tính toán thì không làm tròn nhiều lần các kết quả trung gian và phải lấy hết các chữ số có

trên màn hình MTBT để cho ra kết quả cuối cùng (dạng này thể

hiện trong các ví dụ đã phân tích)

- Lấy càng nhiều chữ số thập phân thì kết quả càng ít sai số

Các tam giác giải được của 5 bài toán đều tồn tại nhưng không có sự giải thích nào về cách sử dụng định lí sin để tính số đo góc, và luôn suy ra số đo góc là nhọn từ sin góc đó Nghĩa là luôn có một tam giác thoả mãn yêu cầu bài toán MTBT vẫn chỉ là công cụ hỗ trợ tính toán

Phần nghiên cứu bài tập sau đây sẽ cho phép chúng tôi trả lời các câu hỏi đã đặt

ra ở trên, đồng thời cũng cho biết các tổ chức toán học đã phân tích trong phần lý thuyết được thể hiện như thế nào trong phần này

♦Phần bài tập

Trong số các bài tập của phần hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác có

ở SGK1, có 5 bài thuộc kiểu T1, 4 bài thuộc T21 và 1 bài thuộc T3

- Đối với T 1 , lời giải trong SGV1 ưu tiên kĩ thuật τ 1s và không có bài nào sử

dụng τ 1sc Việc sử dụng τ 1s có thể được tính qua trung gian bán kính đường tròn ngoại tiếp R hoặc không qua R Tuy nhiên, cách tính qua trung gian R

cũng không được thể hiện trong bất cứ bài tập nào Như vậy, τ 1s được cả phần

lý thuyết và bài tập ưu tiên tuyệt đối

- Đối với T 21 , SGV1 lại ưu tiên τ 21cs trong khi ở phần lý thuyết thì lại ưu tiên τ21c Chẳng hạn ví dụ về (T21, τ21cs) -SGK1, bài tập 25b

Giải tam giác ABC biết b = 32, c = 45, = 87ˆA 0

Giải

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA = 322 + 452 – 2.32.45.cos870 ≈ 2898,27, suy ra a ≈ 53,8

sinB = b.sinA 32.sin870 0,5940

Suy ra B ≈ 36ˆ 0, C = 180ˆ 0 – ( + ) ≈ 57ˆA ˆB 0

Bài tập này suy ra góc B nhọn từ sinB Vậy tại sao B không phải là góc tù? Rõ ràng các quan hệ về góc và cạnh đối diện trong tam giác đã cho phép các tác giả kết

luận góc B nhọn (vì cạnh a lớn nhất tương ứng với A nhọn, cho nên B phải là góc nhọn), nên kết quả này là phù hợp Nếu tính B từ cosB thì sẽ suy ra ngay B nhọn, nhưng công thức tính toán lại phức tạp hơn công thức sin Bài toán này vẫn thể hiện

tinh thần tính sao cho ít sai số nhất (R 1)

Còn ở câu c (cho a = 7, b = 23, C = 1300), góc C là góc tù Vì thế góc A được suy ra từ sinA là góc nhọn Trong khi đó ở bài toán 2 của phần lí thuyết thì cạnh c tìm được không phải là cạnh lớn nhất, mà cạnh a lớn nhất, vì thế người ta tính A theo định

lí cosin Nghĩa là trong phần lý thuyết thì SGK1 ưu tiên τ 21c còn trong bài tập thì lại ưu

tiên τ 21cs Trong ba câu trên, các góc được suy ra từ sin của góc đó luôn nhỏ hơn 900

Như vậy, chúng tôi thấy ở đây có quy tắc của hợp đồng:

R2: Số đo của một góc được suy ra từ giá trị sin của góc đó luôn nhỏ hơn 90 0 Trong kĩ thuật τ 21cs, khi dùng định lí sin tính góc thứ hai thì phải hợp thức kết quả (như những gì phân tích trong các ví dụ trước đó) Nếu tính góc thứ ba không theo tính chất tổng ba góc trong tam giác bằng 1800 mà tính bằng định lí sin thì cũng phải suy luận như ở bước thứ hai Rõ ràng, khi dùng định lí sin thì tính toán sẽ nhanh hơn nhưng lại phải để ý đến vấn đề lựa chọn kết quả phù hợp

Trong SBT1, chúng tôi tìm thấy 1 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T 22 đó là bài tập

4, trang 41 như sau

Tính các cạnh và góc còn lại của tam giác ABC biết a = 20, b = 13, = 67ˆA 0 23’

Việc ưu tiên kĩ thuật τ 22s trong bài toán này là hợp lý và chỉ có một tam giác tồn tại Tuy nhiên, vấn đề vẫn là không có sự giải thích nào cho việc suy ra góc nhọn từ sin của góc đó, trường hợp còn lại thì không hề được bàn đến Nghĩa là quy tắc hợp

đồng R 2 vừa nêu trên lại được thể hiện trong bài tập này

- Đối với T 3, trong SGK1 có một bài tập và SBT1 có 3 bài Điểm khác biệt trong hai sách này là ở chỗ các bài tập của SGK1 được SGV1 ưu tiên giải

quyết theo τ 3cs(Kết hợp định lí cosin và sin) đây cũng là kỹ thuật được sử

dụng trong phần lý thuyết đã trình bày Trong khi đó SBT1 lại ưu tiên τ 3c

Vậy thì sự khác biệt này có từ đâu? Có phải nó xuất phát từ việc áp dụng sông thức sin thì biểu thức tính toán sẽ không phức tạp bằng công thức cosin? Nếu thế thì các tác giả có tính đến việc đưa ra những lý do để hợp

thức góc nhọn tìm được từ định lí sin đó?

Chẳng hạn như bài tập 26, trang 54- SGK1:

Giải tam giác ABC biết a) a = 4, b = 5, c = 7 b) a = 6, b = 7,3; c = 4,8 c) a =14; b = 18, c = 20

Như chúng tôi vừa nói trên, cả ba câu này đều được SGV1 tính theo thứ tự sau:

b) Tương tự câu a, ta tính được:

giác, hay kiểm tra theo bất đẳng thức tam giác (đối với 3 cạnh), hay tổng 3 góc của tam giác thì kết quả này vẫn chấp nhận được Vậy, các tác giả đã dựa vào đâu để loại trường hợp đã nêu?

Chúng tôi nhận thấy, trong lời giải a, các tác giả có nhắc đến việc sử dụng định

lí cosin để tính hai góc A và B, nhưng chỉ nói tương tự cho góc B (tính cosB), sau đó tính góc B theo định lí sin Có lẽ vì định lí sin dễ tính toán hơn định lí cosin? Trong các lời giải, mỗi khi các tác giả dùng định lí sin để tính số đo của góc nào đó thì luôn suy ra góc đó là góc nhọn mà không có giải thích nào cho trường hợp góc tù còn lại,

nghĩa là quy tắc R 2 luôn được thể hiện trong SGK1

Chúng ta biết rằng, liên quan đến góc và cạnh của tam giác thì có thể kiểm tra

sự tồn tại của tam giác bằng các tính chất sau:

- Tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 (1)

- Góc tương ứng với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn (2)

Như vậy, các tác giả SGK1 có tính đến việc kiểm tra sự tồn tại của tam giác sau khi giải được hay không? Hay là nếu đề bài yêu cầu giải tam giác thì hiển nhiên là có một tam giác tồn tại? Như chúng tôi đã phân tích, các kết quả mà SGV1, SBT1 và SGK1 nêu ra đều là các kết quả hợp lí, nghĩa là tam giác sau khi giải được là tồn tại và thậm chí bài toán chỉ có một nghiệm hình Như vậy, họ đã sử dụng điều kiện tồn tại nào của tam giác?

Còn trong SBT1, cũng bài tập này, các tác giả lại sử dụng τ 3c Như vậy, không

có sự thống nhất về kỹ thuật giải quyết T 3 giữa hai sách tương ứng của bộ thứ nhất

Nghĩa là đối với T3 thì SGK1 ưu tiên τ3cs còn SBT1 thì ưu tiên τ3c Hoàn toàn không có dấu hiệu nào cho biết là đã kiểm chứng sự tồn tại của tam giác tìm được

Để ý rằng, MTBT trong các bài tập này vẫn giữ vai trò hỗ trợ tính toán và tính sao cho ít sai số nhất Các chức năng về lượng giác đã được khai thác nhưng chỉ với hai tỷ số lượng giác là cosin và sin

- Đối với T 4, chúngtôi chỉ tìm thấy 3 bài trong SBT1 mà trong SGK1 không có

Ví dụ về kiểu nhiệm vụ T4: SBT1, trang42, bài 11

Tam giác ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = 8

a) Tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến bằng 15; 18; 27

a) Tính diện tích tam giác

b) Tính độ dài các cạnh của tam giác

Giải: b) Giả sử ma = 15, mb = 18, mc = 27 Ta có:

2 a

Như chúng tôi đã giới thiệu ở trên, các bài tập thuộc T4 chủ yếu dùng công thức tương ứng để tính cạnh của tam giác (không liên quan đến tỉ số lượng giác nào), khi muốn tính góc thì lại dùng định lí sin hoặc cosin

Qua các kiểu nhiệm vụ đã nghiên cứu ở trên, chúng tôi không thấy có sự kiểm

chứng về sự tồn tại của tam giác giải được mà các tam giác đã tìm được đều tồn tại Nghĩa là, đối với bài toán giải tam giác có quy tắc của hợp đồng:

R3: Không có sự kiểm chứng về sự tồn tại của tam giác tìm được

KẾT LUẬN

Đối với bộ sách thứ nhất

- Phần lý thuyết chỉ có ba kiểu nhiệm vụ là T1, T21, T3, còn các kiểu nhiệm vụ khác thì chỉ xuất hiện trong SBT1 Nghĩa là các kiểu nhiệm vụ theo chúng tôi

dự định từ ban đầu đã có trong bộ sách này Đối với T 21 thìSGK1 ưu tiên kĩ

thuật τ 21c ở phần lý thuyết nhưng lại ưu tiên τ 21cs trong phần bài tập Đối vớiT 3 thì SGK1 và SGV1 ưu tiên kĩ thuật τ 3cs nhưng SBT1 lại ưu tiên τ 3c

- Có ba quy tắc hợp đồng didactique được tìm thấy:

R1: Phải tính sao cho ít sai số nhất

Với quy tắc này thì một số dạng thể hiện của nó là:

- Dùng công thức để có biểu thức số, sau đó dùng MTBT để tính kết

quả cuối cùng) Nghĩa là không làm tròn nhiều lần các kết quả trung gian và phải lấy hết các chữ số có trên màn hình MTBT để cho ra kết quả cuối cùng

- Lấy càng nhiều chữ số thập phân thì kết quả càng ít sai số

R2: Số đo của một góc được suy ra từ giá trị sin của góc đó luôn nhỏ hơn

90 0

R3: Không có sự kiểm chứng về sự tồn tại của tam giác tìm được

Ngoài ra, chúng tôi còn nhận thấy mỗi khi giả thiết cho góc không đặc biệt hay

số đo cạnh là số thập phân thì kết quả luôn tính ra giá trị gần đúng, sau khi có giá trị đúng

MTBT vẫn giữ vai trò tính toán Bảng số lượng giác được sử dụng ngầm ần, không rõ ràng

b) Bộ sách thứ hai

♦Phần lý thuyết

Các hệ thức lượng trong tam giác được trình bày trong bộ sách thứ hai này cũng giống như bộ sách thứ nhất Tuy nhiên, các ví dụ và lời giải có trong SGK2 có một vài điểm khác so với bộ thứ nhất Cụ thể là:

Trước khi phát biểu định lí cosin, SGK2 nêu hoạt động 2 sau đây nhằm áp dụng công thức tính cạnh thứ ba của tam giác nếu như biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó (sau khi đã chứng minh công thức ở hoạt động 1 về tính cạnh của tam giác):